Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 7 - Đỗ Tú Anh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.52 MB, 35 trang )
Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 7: Phép biến đổi Laplace và Miền hội tụ
Biến đổi Laplace ngược, Các tính chất
Đỗ Tú Anh
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Tổ chức
3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
4
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
5
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Tại sao cần phép biến đổi Laplace?
Ta có
Khi phân tích trong miền thời gian, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
xung và cộng các đáp ứng của hệ thống với các xung đó.
Khi phân tích trong miền tần số, ta phân tích tín hiệu x(t) thành các
thành phần mũ phức có dạng est trong đó s là tần số phức
s = σ + jω
6
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Định nghĩa phép biến đổi Laplace
Biiến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là
Giải thích bằng phép biến đổi Fourier
Phép biến đổi Laplace có thể được coi là phép biến đổi Fourier của
tín hiệu x(t) sau khi nhân với hàm mũ thực e−σ t
7
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
8
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
Ảnh Fourier của tín hiệu mũ thực nhân quả
chỉ tồn tại khi a > 0
Tuy nhiên, từ định nghĩa biến đổi Laplace, ta có
Do đó với bất kỳ giá trị nào của a, biến đổi Laplace tồn tại với mọi
giá trị σ > -a
9
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace: Ví dụ 1
Do s = σ+jω, ta viết lại thành
Nếu a > 0, X(s) tồn tại với σ = Re{s} = 0, khi đó trở thành X(jω).
Ngược lại, biến đổi Laplace X(s) không bao gồm biến đổi Fourier X(jω).
Miền hội tụ: Miền các giá trị của s để biến đổi Laplace hội tụ
Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier
10
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace: Ví dụ 2
Xét tín hiệu mũ thực phản nhân quả
Ảnh Laplace của nó là
Miền hội tụ
Biến đổi
Laplace
bao gồm
biến đổi
Fourier
11
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Sơ đồ điểm không/điểm cực
Ảnh Laplace thường có dạng phân thức của s, tức là
X ( s) =
B( s)
,
A( s )
với s thuộc miền hội tụ (MHT)
trong đó B(s) và A(s) tương ứng là các đa thức bậc M và N của biến s
M nghiệm của tử thức B(s) đgl các điểm không của ảnh Laplace
N nghiệm của mẫu thức A(s) đgl các điểm cực của ảnh Laplace.
Chú ý: các điểm cực của B(s)/A(s) nằm ngoài MHT, còn các điểm
không có thể nằm trong hoặc nằm ngoài MHT.
Mô tả một cách cô đọng đặc tính của ảnh Laplace trong mặt phẳng
s bao gồm cả việc chỉ ra vị trí các điểm không và điểm cực, ngoài
MHT.
12
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace: Ví dụ 3
Xét tín hiệu x(t) là tổng của hai tín hiệu mũ nhân quả
có ảnh Laplace là
Biểu diễn X(s) thành dạng phân thức
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
Điểm
cực
Điểm
không
/>
13
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
14
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Các tính chất của miền hội tụ
Với tín hiệu một phía phải
x(t )
x(t ) = 0, t > t1.
MHT:
Re {s} > σ max ,
trong đó σmax là phần thực lớn nhất
của các điểm cực
t1
t
0
Với tín hiệu một phía trái
x(t ) = 0, t < t2 .
MHT:
x(t )
Re {s} < σ min ,
trong đó σmin là phần thực nhỏ nhất
của các điểm cực
t2 0
15
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
t
/>
Các tính chất của miền hội tụ
Với tín hiệu khoảng hữu hạn (tín hiệu vừa là một phía phải, vừa là
một phía trái
x(t )
x(t ) = 0, t < t1 ∪ t > t2 .
MHT: toàn bộ mặt phẳng s
t1
0
t2
t
Với tín hiệu hai phía (không phải là các tín hiệu trên)
MHT:
σ 1 < Re {s} < σ 2 ,
trong đó σ1 và σ2 là các phần thực
của (ít nhất) hai điểm cực
x(t )
0
t
16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Miền hội tụ: Ví dụ
− at
at
sdfssdfdsfs
x(t ) = esdfssdf
u (t ) −
e
u ( −t )
Xét tín hiệu hai phía
x1 (t )
x2 (t )
Từ các ví dụ trên ta có
X1 ( s) =
1
,
s+a
Re {s} > − a
và
X 2 ( s) =
1
,
s−a
Re {s} < a jω
1
1
, − a < Re < a,
+
s+a s−a
2s
= 2
− a < Re < a,
2
s −a
Do đó
X ( s) =
− a×
×a
σ
x(t )
x(t )
(a < 0)
(a > 0)
0
t
0
17
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
t
/>
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
18
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace ngược
Để tìm lại tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace của nó, ta sử dụng biến đổi
Fourier ngược.
Do
∞
X (σ + jω ) =
∫
−∞
⎡ x(t )e−σ t ⎤e− jωt dt ,
⎣
⎦
nên có thể viết ảnh Fourier ngược của nó là
x(t )e−σ t
1
=
2π
∞
∫
X (σ + jω )e jωt d ω
−∞
Nhân cả hai vế với eσt, ta có
1
x(t ) =
2π
∞
∫
X (σ + jω )e(σ + jω )t d ω
−∞
nằm trong MHT
Thay s = σ+jω và ds=jdω,
x(t ) =
1
σ + j∞
2π j σ −∫j∞
X ( s )e st ds
19
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Cho hàm phân thức bậc 2
được phân tích thành tổng các phân thức đơn giản
Có 3 khả năng của MHT
và
20
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Trường hợp MHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu một phía phải
Ta có
Do đó ảnh Laplace của
là
21
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Trường hợp MHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu hai phía
Ta có
Do đó ảnh Laplace của
là
22
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Laplace ngược: Ví dụ
Trường hợp MHT là
tín hiệu x(t) phải là tín hiệu phía trái
Ta có
Do đó ảnh Laplace của
là
23
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Các cặp biến đổi Laplace
24
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.1.1 Phép biến đổi Laplace
6.1.2 Một số ví dụ biến đổi Laplace và miền hội tụ
6.1.3 Các tính chất của miền hội tụ
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
25
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
