Tài liệu Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (179.96 KB, 19 trang )
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
69
Quan hệ trên được sử dụng để xác đònh H(z) khi hệ thống được mô tả bởi phương
trình sai phân với hệ số hằng dưới dạng :
y(n) = -
∑
=
−
N
1k
k
)kn(ya +
∑
=
−
M
0k
k
)kn(xb
Lấy biến đổi Z cả hai vế :
Y(z) = -
∑
=
N
1k
k
)z(Ya z
-k
+
∑
=
M
0k
k
)z(Xb z
-k
Y(z)
+
∑
=
−
N
1k
k
k
za1 = X(z)
∑
=
−
M
0k
k
k
zb
H(z) =
)z(X
)z(Y
=
∑
∑
=
−
=
−
+
N
1k
k
k
M
0k
k
k
za1
zb
(2.26)
→ Nhận xét khi biết tín hiệu vào x(n) và đáp ứng xung h(n), để tìm đáp ứng ngõ ra
y(n) ta thực hiện các bước sau :
° Biến đổi Z x(n) và h(n)
x(n)
→←
z
X(z), h(n)
→←
z
H(z)
° Tìm Y(z) = X(z) H(z)
° Biến đổi ngược z của Y(z) để tìm y(n)
Ví dụ 2.18 :
Hãy xác đònh hàm truyền đạt H(z) và đáp ứng xung h(n) của hệ thống nhân quả
được mô tả bởi phương trình sai phân :
y(n) =
2
1
y(n-1) + 2x(n)
Giải :
Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình
Y(z) =
2
1
z
-1
Y(z) + 2X(z)
H(z) =
)z(X
)z(Y
=
1
z
2
1
1
2
−
−
⇒ h(n) = 2
n
2
1
u(n)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
70
b. Hàm truyền đạt của các hệ thống kết nối :
Trong nhiều trường hợp, ta gặp hai hay nhiều lọc mắc nối tiếp (còn gọi là mắc chồng)
hoặc song song. Lúc đó tính toán đáp ứng tần số toàn thể thuận lợi hơn là tính toán đáp
ứng xung cho toàn thể.
• Hàm truyền đạt ghép nối tiếp : Hình 2.6
H(z) = H
1
(z) . H
2
(z) … H
n
(z) với n nguyên dương (2.28)
• Hàm truyền đạt ghép song song : Hình 2.7
H(z) = H
1
(z) + H
2
(z) + … + H
n
(z) với n nguyên dương (2.29)
• Đặc biệt khi hai lọc như nhau mắc nối tiếp, ta có :
H(z) = H
1
2
(z)
2.5.2
Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng Nhờ Biến Đổi Z
Vì việc giải phương trình sai phân thường đi kèm với điều kiện đầu khác không.
Vì vậy ta cần ứng dụng biến đổi Z một phía để giải phương trình Trước hết, ta xét biến
đổi Z của hàm số :
x(n – m) với n ≥ 0 (2.30)
x(n – m)
→←
z
X
m
(z) =
∑
∞
=
−
0n
)mn(x z
-n
Đặt k = n– m
=
∑
∞
−=
mk
)k(x z
-k-m
= z
-m
∑
∞
−=
mk
)k(x z
-k
= z
-m
+
∑∑
−
−=
∞
=
−−
1
mk0k
kk
z)k(xz)k(x
H
1
(z) H
2
(z)
X(z) Y(z) = [H
1
(z) H
2
(z)]X(z)
Hình 2.6
H
1
(z)X(z)
H
1
(z)
H
2
(z)
X(z) Y(z) = [H
1
(z) + H
2
(z)]X(z)
Hình 2.7
H
1
(z)X(z)
H
2
(z)X(z)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
71
= z
-m
−+
∑
=
m
1k
k
z)k(x)z(X
Ví dụ 2.19 :
Giải phương trình sai phân sau
2x(n – 2) – 3x(n – 1) + x(n) = 3
n-2
với n ≥ 0
Biết điều kiện đầu x(-2) = -
9
4
, x(-1) = -
3
1
Giải :
Lấy biến đổi Z một phía 2 vế của phương trình :
2
{
}
)2(x)1(xz)z(Xz
12
−+−+
−−
- 3
{
}
)1(x)z(Xz
1
−+
−
+ X(z) = 3
-2
3z
z
−
Thay : x(-2) = -
9
4
, x(-1) = -
3
1
Ta được : X(z) =
)3z)(1z(
z
−−
Để tìm biến đổi ngược Z, ta sẽ phân chia X(z) thành tổng hai phân thức:
X(z) = -
2
1
1z
z
−
+
2
1
3z
z
−
= -
2
1
1
z1
1
−
−
+
2
1
1
z31
1
−
−
Suy ra x(n) = -
2
1
u(n) +
2
1
3
n
u(n)
Miền hội tụ ROC
z > 3
2.5.3 Độ n Đònh Và Tiêu Chuẩn Jury
2.5.3.1 Sự n Đònh Của Một Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến
Ổn đònh là một đặc tính quan trọng đối với bất kỳ một hệ thống nào được sử dụng
trong thực tế. Một hệ thống bất kỳ được gọi là ổn đònh khi và chỉ khi với dãy đầu vào bò
chặn, ta có dãy đầu ra cũng bò chặn. Nói khác đi, khi không có tín hiệu ở đầu vào của
hệ thống, nhưng cũng có thể ở đầu ra của hệ thống xuất hiện tín hiệu, đó chính là
trường hợp hệ thống không ổn đònh.
Tính ổn đònh của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian cũng có thể được
biểu diển thông qua các đặc tính của hàm truyền đạt.
Trong phần trước của bài học ta đã biết rằng điều kiện cần và đủ để bảo đảm tính
ổn đònh của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là :
∑
∞
−∞=n
)n(h < ∞ (2.31)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
72
ROC
Mặt phẳng Z
1
Hình 2.8
0
r
ROC
1
Hình 2.9
Trong miền Z, điều kiện này sẽ tương đương với việc ROC của hàm truyền đạt H(z)
phải chứa vòng tròn đơn vò.
Thật vậy vì : H(z) =
n
n
z)n(h
−
∞
−∞=
∑
Ta suy ra : )z(H ≤
∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(h =
∑
∞
−∞=n
)n(h
n
z
−
(2.32)
Đánh giá biểu thức này tại
z = 1
Ta suy ra :
1z
)z(H
=
≤
∑
∞
−∞=n
)n(h
Để điều kiện ổn đònh trong miền thời gian
(tức là
∑
∞
−∞=n
)n(h < ∞) được bảo đảm thì rõ ràng hàm
truyền đạt H(z) cũng phải hội tụ với
z = 1
(điểm hội tụ nằm trên vòng tròn dơn vò trong mặt
phẳng Z).
Như vậy ta có thể đưa ra kết luận, để hệ
thống ổn đònh thì vòng tròn đơn vò phải thuộc ROC của hàm truyền đạt H(z).
→ Kết luận :
Hệ thống tuyến tính bất biết theo thời gian là ổn đònh nếu và chỉ nếu ROC của
hàm hệ thống có chứa vòng tròn đơn vò. Hình vẽ bên minh hoạ điều này.
Đối với một hệ nhân quả, điều kiện ổn
đònh có thể được thu hẹp lại trong một chừng
mực nào đó. Thật vậy, ta đã biết rằng hệ thống
nhân quả có đáp ứng xung thoả điều kiện: h(n)
= 0, n< 0, hay nói cách khác h(n) phải là dãy
nhân quả. Nếu hệ thống được biểu diễn trong
miền Z thì ROC của H(z) phải là miền nằm
ngoài vòng tròn với bán kính nào đó và để hệ
thống ổn đònh thì ROC của H(z) lại phải chứa
vòng tròn đơn vò.
Vậy để hệ thống là nhân quả và ổn đònh thì
ROC của H(z) là
z > r, với r < 1
Ta cũng nhận xét là ROC không thể chứa bất cứ một cực nào của H(z). Do vậy, suy ra
rằng một hệ thống LTI nhân quả và ổn đònh khi và chỉ khi tất cả các cực của H(z) nằm
bên trong vòng tròn đơn vò.
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
73
Ví dụ 2.21 :
Xét một hệ thống LTI có hàm truyền đạt :
H(z) =
α
−z
1
Với α là một số thực, dương.
Hãy tìm điều kiện ổn đònh của hệ thống ?
Giải :
Điểm cực của H(z) là z = α . Vậy để hệ thống ổn đònh ta phải có
α< 1. Bây giờ ta hãy kiểm tra lại điều này trong miền thời gian. Trước hết ta thực hiện
phép biến đổi ngược Z để tìm đáp ứng xung h(n).
Ta có H(z) =
α−z
1
=
1
1
z1
z
−
−
α
−
Suy ra h(n) =
1n−
α u(n – 1)
h(0) = 0; h(1) = 1; h(2) = α; h(3) = α
2
Trường hợp α < 1 Trường hợp α > 1
Ví dụ2.22 :
Xét hệ thống LTI được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z)
H(z) =
21
1
z5,1z5,31
z43
−−
−
+−
−
=
1
z
2
1
1
1
−
−
+
1
z31
2
−
−
Hãy chỉ ra ROC của H(z) và xác đònh h(n) trong những điều kiện sau :
a) Hệ thống là ổn đònh.
b) Hệ thống là nhân quả.
c) Hệ thống là không nhân quả.
Giải :
h(n)
0123
1
α
α
2
n
Hệ ổn đònh
h(n)
0123
1
α
α
2
n
Hệ không ổn đònh
Hình 2.10
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
74
Hệ thống có các cực tại z=
2
1
và z=3 .
a) Hệ thống là ổn đònh, vì ROC không chứa các điểm cực và chứa vòng tròn đơn vò
nên ROC của H(z) là:
2
1
< z < 3
Vậy h(n)=
n
2
1
u(n) – 2 3
n
u( -n–1 )
Hệ thống không nhân quả
b) Hệ thống là nhân quả :
ROC của H(z) phải là
z > 3
Vậy h(n)=
n
2
1
u(n) + 2 3
n
n(n)
c) Hệ thống là không nhân quả :
ROC của H(z) phải là
z <
2
1
u(n)= –
+
n
n
32
2
1
u(–n–1)
ROC không chứa vòng tròn đơn vò nên trong trường hợp này hệ thống không ổn
đònh.
→ Vì độ ổn đònh tùy thuộc vào khoảng cách từ tâm 0 đến cực, nghóa là bán kính của
cực nên ta cũng có thể diễn tả cực trong hệ tọa độ cực. Ví dụ ta có hệ thống với đôi cực
như hình vẽ sau đây :
Vò trí của các cực lần lượt là :
p
1
=
θ
j
re
p
2
=
θ−
j
re
Vậy H(z) =
)rez)(rez(
1
jj
θθ
−
−−
H(z) =
22
rz)cosr2(z
1
+−
θ
Hệ này ổn đònh thì r < 1
2.5.3.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Schür – Cohn
θ
θ
0
Hình 2.11
I
m
(Z)
R
e
(Z)
r
r
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
75
Ta đã biết rằng muốn xét một hệ thống có ổn đònh hay không, phải tìm các điểm
cực của H(z). Nhưng khi bậc của mẫu số của H(z) lớn thì việc tìm các điểm cực sẽ gặp
nhiều khó khăn. Để tránh tìm các điểm cực mà vẫn biết được hệ thống có ổn đònh hay
không, ta có thể dùng tiêu chuẩn ổn đònh Schür – Cohn sẽ được trình bày dưới đây :
Giả thiết H(z) =
)z(A
)z(B
. Các cực của hệ thống là nghiệm của A(z)
A(z) = 1+ a
1
z
-1
+ a
2
z
-2
+ . . . + a
N
z
-N
(2.33)
Trước khi đi vào trình bày chi tiết phương pháp, ta hãy thiết lập một số công thức
liên quan. Ta ký hiệu đa thức bậc m cho bởi :
A
m
(z)=
∑
=
−
m
0k
k
m
z)k(a (2.34)
a
m
(0)= 1
→ Hãy xét đa thức ngược B
m
(z) của A
m
(z), đa thức này có các hệ số giống như các
hệ số của A
m
(z) nhưng được sắp xếp theo thứ tự ngược lại. Như vậy ta có :
B
m
(z) =
∑
=
−
−
m
0k
k
m
z)km(a (2.35)
→ Theo tiêu chuẩn Schür – Cohn, để xác đònh đa thức có tất cả các cực nằm bên
trong đường tròn đơn vò, ta cần xác đònh tập hợp các hệ số được gọi là các hệ số phản
xạ k
1
, k
2
,. . . k
N
từ đa thức A
m
(z).
Đầu tiên ta đặt : A
N
(z)= A(z); k
N
= a
N
(N) . Sau đó ta sẽ tính các đa thức A
m
(z) với
m=N, N-1, N-2, . . .1 theo công thức đệ quy
A
m-1
(z)=
2
m
mmm
k1
)z(Bk)z(A
−
−
(2.36)
Trong đó các hệ số k
m
được đònh nghóa bởi k
m
= a
m
(m). Tiêu chuẩn Schür-Cohn
phát biểu rằng: Đa thức A(z)= 1+ a
1
z
-1
+ a
2
z
-2
+ . . . + a
N
z
-N
sẽ có tất cả các cực nằm
trong vòng tròn đơn vò nếu và chỉ nếu các hệ số k
m
thỏa mãn điều kiện
m
k < 1 với
mọi m= 1, 2, . . ., N.
Ví dụ2.23 :
Hãy xác đònh tính ổn đònh của hệ thống được mô tả bởi hàm truyềân đạt.
H(z) =
21
z
2
1
z
4
7
1
1
−−
−−
Giải :
Hãy bắt đầu với A
2
(z). Theo đònh nghóa
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
76
A
2
(z) = 1 -
4
7
z
-1
-
2
1
z
-2
=
∑
=
2
0k
2
)k(a z
-k
Xét đa thức ngược
B
2
(z) =
∑
=
−
2
0k
2
)k2(a z
-k
→ B
2
(z) = -
2
1
-
4
7
z
-1
+ z
-2
→ k
2
= a
2
(2) = -
2
1
Theo công thức đệ quy :
A
1
(z) =
2
2
222
k1
)z(Bk)z(A
−
−
=
2
2121
2
1
1
zz
4
7
2
1
2
1
z
2
1
z
4
7
1
−−
+−−
−−−−
−−−−
=
4
3
z
2
1
z
8
7
4
1
z
2
1
z
4
7
1
2121 −−−−
+−−−−
=
4
3
z
8
21
4
3
1−
−
= 1 -
2
7
z
-1
với k
1
= a
1
(1) = -
2
7
với
2
k =
2
1
< 1, nhưng
1
k =
2
7
> 1. Do đó hệ thống không ổn đònh.
Ví dụ2.24 :
Xét tính ổn đònh của hệ thống
H(z) =
4321
zzz2z34
1
−−−−
++++
Giải :
Viết lại H(z)
H(z) =
4321
z
4
1
z
4
1
z
2
1
z
4
3
1
4
1
−−−−
++++
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
77
→ A
4
(z) = 1 +
4
3
z
-1
+
2
1
z
-2
+
4
1
z
-3
+
4
1
z
-4
=
∑
=
−
4
0k
k
4
z)k(a
→ B
4
(z) =
∑
=
−
−
4
0k
k
4
z)k4(a =
4
1
+
4
1
z
-1
+
2
1
z
-2
+
4
3
z
-3
+ z
-4
→ k
4
= a
4
(4) =
4
1
→ A
3
(z) =
2
4
444
k1
)z(Bk)z(A
−
−
=
=
16
1
1
zz
4
3
z
2
1
z
4
1
4
1
4
1
z
4
1
z
4
1
z
2
1
z
4
3
1
43214321
−
++++−++++
−−−−−−−−
=
16
15
z
16
1
z
8
3
z
16
11
16
15
321 −−−
+++
= 1 +
15
11
z
-1
+
5
2
z
-2
+
15
1
z
-3
→ B
3
(z) =
15
1
+
5
2
z
-1
+
15
11
z
-2
+ z
-3
→ k
3
= a
3
(3) =
15
1
→ A
2
(z) =
2
3
333
k1
)z(Bk)z(A
−
−
=
2
321321
15
1
1
zz
15
11
z
5
2
15
1
15
1
z
15
1
z
5
2
z
15
11
1
−
+++−+++
−−−−−−
=
225
224
z
225
79
z
75
53
225
224
21 −−
++
= 1 +
224
159
z
-1
+
224
79
z
-2
→ B
2
(z) =
224
79
+
224
159
z
-1
+ z
-2
→ k
2
=
224
79
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
78
→ A
1
(z) =
2
2
222
k1
)z(Bk)z(A
−
−
=
2
2121
224
79
1
zz
224
159
224
79
224
79
z
224
79
z
224
159
1
−
++−++
−−−−
= 1 +
1
2
2
z
299145
224
224
145159
−
×
×
= 1 +
299
159
z
-1
→ k
1
=
299
159
Tóm lại hệ thống ổn đònh vì
k
1
=
299
159
< 1
k2 =
224
79
< 1
k
3
=
15
1
< 1
k
4
=
4
1
< 1
Ví dụ2.25:
Giả sử ta có1 hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân sau :
y(n) + a
1
y(n -1) + a
2
y(n - 2) = x(n)
Hãy xét sự ổn đònh của hệ thống theo hai tham số a
1
, a
2
Giải :
Lấy biến đổi Z 2 vế của phương trình sai phân ta có
Y(Z)( 1+ a
1
z
-1
+ a
2
z
-2
) = X(z)
Vậy hàm truyền đạt H(z) =
)z(X
)z(Y
=
2
2
1
1
zaza1
1
−−
++
Xét sự ổn đònh : ° A
2
(z) = 1+ a
1
z
-1
+ a
2
z
-2
° B
2
(z) = a
2
+ a
1
z
-1
+ z
-2
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
79
°k
2
= a
2
A
1
(z) =
2
2
222
k1
)z(Bk)z(A
−
−
=
2
2
21
122
2
2
1
1
a1
)zzaa(azaza1
−
++−++
−−−−
=
()
()
2
2
1
211
2
2
a1
zaaaa1
−
−+−
−
= 1 +
2
1
a1
a
+
.z
-1
→ k
1
=
2
1
a1
a
+
Điều kiện ổn đònh
2
k < 1
1
k < 1
⇒
2
a < 1 và
2
1
a1
a
+
< 1
⇒ – 1 < a
2
< 1 và –1 <
2
1
a1
a
+
< 1
Vậy : -1 < a
2
< 1 và -1-a
2
< a
1
< 1+ a
2
a
2
> –1 – a
1
Hay a
2
> a
1
– 1
–1 < a
2
< 1
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
80
BÀI TẬP CHƯƠNG II
Bài tập 2.1
Xác đònh biến đổi Z của các tín hiệu sau :
1) x(n) = {3, 0, 0, 0, 0, 6, 1, -4}
2) x(n) =
≤
≥
4nkhi0
5nkhi
2
1
n
Bài tập 2.2
Tính biến đổi Z và vẽ miền hội tụ của các tín hiệu sau :
1) x
1
(n) =
<
≥
−
0nkhi
2
1
0nkhi
3
1
n
n
2) x
2
(n) =
<
≥−
0nkhi0
0nkhi2
3
1
n
n
3) x
3
(n) = x
1
(n+4)
4) x
4
(n) = x
1
(–n)
Bài tập 2.3
Tính biến đổi Z và vẽ sơ đồ không-cực tương ứng của các tín hiệu sau :
1) x(n) = (1 + n).u(n)
2) x(n) = (a
n
+ a
-n
).u(n)
3) x(n) = (-1)
n
2
n
u(n)
4) x(n) = n.a
n
sinω
o
n.u(n)
5) x(n) = n.a
n
cosω
o
n.u(n)
6) x(n) = A.r
n
cosω
o
n.u(n) (0< r <1)
7) x(n) =
2
1
(n
2
+ n)
1n
3
1
−
u(n – 1)
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
81
8) x(n) =
2
2
1
[u(n) – u(n – 10)]
Bài tập 2.4
Xác đònh biến đổi Z của các tín hiệu sau :
1) x(n) = n(-1)
n
u(n)
2) x(n) = n
2
u(n)
3) x(n) = (-1)
n
n
3
cos
π
u(n)
4) x(n) = (-1)
n
u(n)
5) x(n) = -n.a
n
u(-n – 1)
6) x(n) = {1, 0, -1, 0, 1, -1,. . .}
Bài tập 2.5
Biểu diễn biến đổi Z của tín hiệu :
y(n) =
∑
−∞=
n
k
)k(x qua X(z)
Bài tập 2.6
Sử dụng biến đổi Z để tính tổng chập của các tín hiệu sau :
x
1
(n) =
<
≥
−
0nkhi
2
1
0nkhi
3
1
n
n
x
2
(n) =
n
2
1
u(n)
Bài tập 2.7
Xác đònh tín hiệu nhân quả x(n) biết biến đổi Z ngược của nó
X(z) =
()()
2
11
z1z21
1
−−
−−
Bài tập 2.8
Dùng phép chia, xác đònh biến đổi Z ngược của tín hiệu x(n) :
X(z) =
21
1
zz21
z21
+−
+
−
−
Bài tập 2.9
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
82
Xác đònh tín hiệu nhân quả x(n) biết biến đổi Z của nó
1) X(z) =
21
1
z2z31
z31
−−
−
++
+
2) X(z) =
21
z
2
1
z1
1
−−
+−
3) X(z) =
1
76
z1
zz
−
−−
−
+
4) X(z) =
2
2
z1
z21
−
−
−
+
5) X(z) =
4
1
−+−
++
−−−
−−
121
21
z
2
1
1)z2z21(
zz61
6) X(z) =
21
1
z5,0z5,11
z5,12
−−
−
+−
−
7) X(z) =
21
21
z4z41
zz21
−−
−−
++
++
8) Cho X(z) bởi sơ đồ không cực với G =
4
1
9) X(z) =
1
1
z
2
1
1
z
4
1
1
−
−
+
−
Bài tập 2.10
Xác đònh mọi tín hiệu x(n) có thể thu được từ biến đổi Z
X(z) =
()
11
1
z3)z21(
z5
−−
−
−−
I
mz
Rezr
θ
r
-1/4
θ =
4
1
r =
2
1
-1/2
0
Hình BT.2.9
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
83
Bài tập 2.11
Xác đònh tổng chập của các cặp tín hiệu sau bằng cách dùng biến đổi Z :
1) x
1
(n) =
n
4
1
u(n – 1) ; x
2
(n) =
+
n
2
1
1
u(n)
2) x
1
(n) = u(n) ; x
2
(n) = δ(n) +
n
2
1
u(n)
3) x
1
(n) =
n
2
1
u(n) ; x
2
(n) = cosπn.u(n)
4) x
1
(n) = n.u(n) ; x
2
(n) = 2
n
u(n-1)
Bài tập 2.12
Xác đònh tổng chập của các cặp biến đổi Z sau bằng cách dùng biến đổi Z một
phía.
1) x
1
(n) = {1, 1, 1, 1, 1} ; x
2
(n) = {1, 1, 1}
2) x
1
(n) =
n
2
1
u(n) ; x
2
(n) =
n
3
1
u(n)
3) x
1
(n) = {1, 2, 3, 4} ; x
2
(n) = {4, 3, 2, 1}
Bài tập 2.13
Sử dụng biến đổi Z một phía để xác đònh y(n), n ≥ 0 trong trường hợp sau :
1) y(n) +
2
1
y(n – 1)
4
1
− y(n – 2) = 0 ; y(-1) = y(-2) = 1
2) y(n) – 1,5y(n – 1) + 0,5(n – 2) = 0 ; y(-1) = 1, y(-2) = 0
3) y(n) =
2
1
y(n – 1) + x(n) ; x(n) =
n
3
1
u(n), y(-1) =1
4) y(n) =
4
1
y(n – 2) + x(n) ; x(n) = u(n), y(-1) = 0, y(-2) = 1
Bài tập 2.14
Chứng minh rằng hai hệ thống sau là tương đương :
1) y(n) = 0,2y(n-1) + x(n) – 0,3x(n-1) + 0,02x(n-2)
2) y(n) = x(n) – 0,1x(n-1)
Bài tập 2.15
Xét hệ thống
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
84
H(z) =
)z2,01)(z5,01)(z1(
zz2z21
111
321
−−−
−−−
−−−
−+−
; ROC : 0,5 < z <1
1) Vẽ sơ đồ không – cực của hệ thống. Hệ thống này có ổn đònh không ?
2) Xác đònh đáp ứng xung của hệ thống.
Bài tập 2.16
Tính đáp ứng của hệ thống:
y(n) = 0,7y(n-1) + 0,12y(n-2) + x(n-1) + x(n-2)
khi ngõ vào là x(n) = nu(n). Hệ thống này có ổn đònh không ?
Bài tập 2.17
Xác đònh đáp ứng xung của hệ thống trên hình vẽ sau nếu biết :
h
1
(n) =
n
3
1
u(n) ; h
2
(n) =
n
2
1
u(n) ; h
3
(n) =
n
5
1
u(n)
Bài tập 2.18
Xác đònh đáp ứng xung và đáp ứng bậc của các hệ thống nhân quả sau đây. Vẽ sơ
đồ không-cực và xác đònh tính ổn đònh của hệ thống.
1) y(n) =
4
3
y(n-1)
8
1
− y(n-2) + x(n)
2) y(n) = y(n-1) + 0,5y(n-2) + x(n) + x(n-1)
3) H(z) =
31
11
)z1(
)z1(z
−−
−−
−
+
4) y(n) = 0,6y(n-1) + 0,8y(n-2) + x(n)
5) y(n) = 0,7y(n-1) - 0,1y(n-2) + 2x(n) – x(n-2)
Bài tập 2.19
Xét một hệ thống tuyến tính bất biến khi có tín hiệu ngõ vào là :
h
1
(n)
x(n) y(n)
h
2
(n) h
3
(n)
Hình BT.2.17
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
85
x(n) =
n
2
1
u(n)
4
1
−
1n
2
1
−
u(n – 1)
thì ngõ ra là :
y(n) =
n
3
1
u(n)
1) Hãy xác đònh đáp ứng xung h(n) và hàm truyền đạt H(z) của hệ thống thoả mãn
đề bài.
2) Tìm phương trình sai phân đặc trưng cho hệ thống này
3) Xác đònh sơ đồ thực hiện hệ thống và sơ đồ này dùng ít bộ nhớ nhất
4) Xác đònh tính ổn đònh của hệ thống.
Bài tập 2.20
Hãy tìm miền ổn đònh của hệ thống nhân quả :
H(z) =
2
2
1
1
zaza1
1
++
−
Bằng cách tìm các điểm cực và cho chúng nằm trong vòng tròn đơn vò.
Bài tập 2.21
Xét hệ thống nối ghép như hình vẽ sau, biết :
h(n) = a
n
u(n) ( a <1)
1) Xác đònh đáp ứng xung của hệ thống lớn và xác đònh nếu hệ thống có tính ổn
đònh và nhân quả.
2) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống.
Bài tập 2.22
Xét hệ thống
h(n)
δ(n – 2)
δ(n – 1)
h(n)
x(n) y(n)
I
mz
Rezr
θ
r
-0,8
θ =
6
π
r = 1,5
Hình BT.2.23
Hình BT 2.21
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
86
H(z) =
21
21
z
25
2
z
5
3
1
z
2
1
z
−−
−−
+−
+
1) Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống.
2) Tìm đáp ứng bậc nếu y(-1) = 1 và y(-2) = 2.
Bài tập 2.23
Xét hệ thống được đặc trưng bởi sơ đồ không – cực :
1) Xác đònh hàm truyền đạt và đáp ứng xung của hệ thống biết
=
=1z
)z(H 1.
2) Hệ thống có ổn đònh không ?
3) Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống và xác đònh phương trình sai phân biểu diễn hệ
thống.
Bài tập 2.24
Một mạch lọc đệ quy có hàm truyền đạt :
H(z) =
1zz2z3z4z5z6
z
23456
6
++++++
1) Hãy kiểm tra tính ổn đònh mạch lọc
2) Hãy thực hiện như câu (1) với :
H(z) =
1zz2z3z4z5z6
)2z(
23456
2
++++++
+
Bài tập 2.25
Một mạch lọc số đặc trưng bởi hàm truyền đạt :
H(z) =
1zmzz3z4
z
234
4
++++
Tìm khoảng giá trò của m để mạch lọc ổn đònh.
Bài tập 2.26
Tìm biến đổi Z ngược :
X(z) =
−
−
−
−
1
10
z
2
1
1
z1024
1024
1
với z >0
Bài tập 2.27 :
Cho hệ thống tuyến tính bất biến :
Chương 2 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z
Xử Lý Tín Hiệu Số
87
y(n – 1)
3
10
−
y(n) + y(n + 1) = x(n)
hệ thống là ổn đònh. Hãy xác đònh đáp ứng của hệ thống khi ngõ vào là:
x(n) = u(n)
Bài tập 2.28
Cho hệ thống TTBB :
1) Xác đònh phương trình biểu diễn
quan hệ x(n) và y(n)
2) Hệ thống có ổn đònh không ?
+
z
-
z
-
++
z
-
3
2
z
-
9
1
−
+
Hình BT.2.28
