Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 4 - Đỗ Tú Anh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.24 MB, 32 trang )
Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi
Fourier
Đỗ Tú Anh
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
1
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Tổ chức
3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
4
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Vài nét lịch sử
Euler nghiên cứu các dây rung,
~ 1750
Phương pháp phân tích các
sóng của Fourier (1822) là sự
phát triển công trình của ông về
dòng nhiệt
Fourier chỉ ra rằng các tín hiệu
tuần hoàn có thể được biểu diễn
thành tổng của các hàm sin có tần
số khác nhau
Được sử dụng rộng rãi để hiểu
rõ về cấu trúc và bản chất tần số
của tín hiệu
5
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Tại sao lý thuyết Fourier quan trọng ?
Phép biến đổi Fourier ánh xạ một tín hiệu miền thời gian sang một
tín hiệu miền tần số
Bản chất tần số của các tín hiệu được giải thích một cách đơn giản
trên miền tần số
Thiết kế các hệ thống để lọc các thành phần tần số thấp hoặc cao
Bất biến với
tín hiệu cao
tần
6
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
7
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Hàm riêng
(Đi sâu vào các hệ liên tục trước, nhưng kết quả có thể áp dụng cho các hệ
gián đoạn)
Hệ thống
Hàm riêng
Giá trị riêng
Hàm riêng
Từ tính chất xếp chồng của hệ LTI
– Các hàm riêng của hệ LTI là gì?
– Loại tín hiệu nào có thể biểu diễn thành xếp chồng của những hàm riêng đó?
Giống khái niệm giá trị riêng/vector riêng trong đại số ma trận
8
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Hàm riêng
Ví dụ 1: Hệ thống đơn vị
Bất kỳ hàm nào cũng là một hàm riêng của hệ LTI này
Ví dụ 2: Hệ thống trễ
Bất kỳ hàm tuần hoàn x(t)=x(t+T) cũng là một hàm riêng của hệ LTI
này
9
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Hàm riêng
Ví dụ 3: h(t) là hàm chẵn
là một hàm riêng
(cho hệ
thống này)
Một hệ thống LTI cụ thể có nhiều hơn một loại hàm riêng
10
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Hàm riêng
đúng với tất cả
giá trị riêng
hàm riêng
Các hàm mũ phức là các
hàm riêng của bất kỳ hệ
LTI nào
11
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
12
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Tín hiệu tuần hoàn và chuỗi Fourier
x(t ) = x(t + T )
với mọi t
– T nhỏ nhất đgl chu kỳ
Ví dụ: x(t ) = A cos(ω0t + θ )
x(t ) = Ae jω0t
A thực
x(t ) =
∞
∑ ak e jω t
0
k =−∞
2π
ω0
2π
Tk =
k ω0
A phức
xk (t ) = Ae jkω0t k nguyên
Xét
T=
Chuỗi Fourier
Chu kỳ cơ bản
– tuần hoàn với chu kỳ T
– {ak } là các hệ số chuỗi Fourier
– k = ±1 thành phần cơ bản
– k = 0 thành phần một chiều (DC)
– k = ±2 hài thứ hai, …
13
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier
Lý thuyết về tích chập LTI sử dụng khái niệm là bất kỳ tín hiệu vào
nào cũng được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các xung đơn vị
được dịch
Bây giờ ta sẽ xem làm thế nào các tín hiệu (vào) được biểu diễn
thành tổ hợp tuyến tính của các hàm Fourier cơ sở (các hàm riêng),
chính là các hàm mũ thuần ảo
Các tín hiệu này đgl các chuỗi Fourier liên tục
Các cơ sở là các tín hiệu sin được dịch, được biểu diễn dưới dạng
các hàm sin phức
14
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
x (t ) = sin ω0t có thể viết thành x(t ) =
1 jω0t − jω0t
−e
(e
)
2j
Do đó các hệ số của chuỗi Fourier của nó là
1
1
a1 =
, a−1 = − , ak = 0 k ≠ ±1
2j
2j
Đồ thị biên độ và góc pha
15
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 2: Tổng các hàm sin thực
Xét chuỗi các hàm sin có tần số cơ bản là ω0
Tín hiệu này có thể viết thành
Đồ thị biên độ và góc pha
16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 3: Đáp ứng của hệ LTI
Hệ LTI có đáp ứng xung
h(t ) = α e −α t u (t ),
y (t ) =
α >0
∞
∑ ak H ( jkω0 )e jkω
0
k =−∞
H ( jkω0 ) =
với tín hiệu vào
∞
∫
h(τ )e − jkω0τ dτ
−∞
Ta có
∞
H ( jkω0 ) = ∫ α e
−ατ − jkω0τ
e
0
∞
dτ = α ∫ e
− (α + jkω0 )τ
0
=−
α
α + jkω0
e
− (α + jkω0 )τ
∞
0
=
α
α + jkω0
.
Tín hiệu ra
y (t ) =
trong đó
2
∑ ck e
jkω0t
k =−2
ck = ak H ( jkω0 )
,
c0 = 1,
1 (α − jα )
c1 = 2
,
α + jω0
c2 =
2
(α + jα )
4
α + j 2ω0
1 (α + jα )
c−1 = 2
α + jω0
,
c−2 =
(α − jα )
4
α + j 2ω0
2
17
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực
Với tín hiệu thực, ta luôn có
a− k = ak∗
(Để chứng minh, tìm liên hợp phức của x(t), ký hiệu là x*(t),
với chú ý rằng x(t)=x*(t))
do đó có thể viết
∞
(
x(t ) = a0 + ∑ ak e
k =1
jkω0t
+ a− k e
− jkω0t
∞
) = a + ∑(a e
0
k =1
k
jkω0t
+ ak∗e− jkω0t
)
Một số cách biểu diễn khác
ak = Ak e
jθ k
∞
x(t ) = a0 + 2∑ Ak cos( kω0t + θ k )
k =1
ak = Bk + jCk
∞
x(t ) = a0 + 2∑ ( Bk cos kω0t − Ck sin kω0t )
k =1
18
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực
Ví dụ
19
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
20
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Xác định các hệ số chuỗi Fourier
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
Ở đây
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
⇓
21
/>
Tiếp tục …
⇓
⇓
Cặp chuỗi Fourier liên tục
(Phương trình
tổng hợp)
(Phương trình
phân tích)
22
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
Các hệ số chuỗi Fourier được xác định như sau
1
jkω0t
ω
t
e
(sin
)
0
T ∫T
1
1
j (1− k )ω0t
=
−
e
dt
2 jT ∫T
2 jT
ak =
∫T
e j ( −1−k )ω0t dt
Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1
Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1
Do đó ta có
a1 =
1
1
, a−1 = − , ak = 0 k ≠ ±1
2j
2j
23
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Ví dụ 2: Sóng vuông tuần hoàn
Với k = 0
Với k ≠ 0
24
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Một số chuỗi Furier có ích
x(t ) =
∞
∑
k =−∞
Ck e
jkω0t
,
1
Ck =
T0
∫T
x(t )e − jkω0t dt
0
25
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
