Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 8 - Đỗ Tú Anh

Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt,
Các tính chất đặc trưng của hệ thống
Đỗ Tú Anh

Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạt với các tính chất của hệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân

2

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hàm truyền đạt của hệ thống
ƒ Hàm truyền đạt của hệ LTI, H(s), được định nghĩa là biến đổi Laplace
của đáp ứng xung của hệ thống

ƒ Khi s = jω, đó là biến đổi Fourier (hệ thống phải ổn định) và một
cách tổng quát, đó là biến đổi Laplace.
ƒ Hàm truyền đạt rất quan trọng vì

3

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hàm truyền đạt: Ví dụ
ƒ Khâu vi phân: tín hiệu ra là đạo hàm theo thời gian của tín hiệu vào

x(t )

H(s)

X ( s)

dx(t )
dt
Y ( s ) = sX ( s )
y (t ) =

H (s) = s

ƒ Khâu tích phân: tín hiệu ra là tích phân của tín hiệu vào

x(t )

t

H(s)

X ( s)

y (t ) = ∫ x(τ ) dτ
−∞
1
Y (s) = X (s)
s

H (s) =

1
s

ƒ Khâu chậm trễ: tín hiệu ra là tín hiệu vào dịch đi một khoảng thời gian
(thời gian trễ)

x(t )

H(s)

X ( s)

y (t ) = x(t − τ )

H ( s ) = e −τ s

Y ( s ) = e −τ s X ( s )

4

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạt với các tính chất của hệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân

5

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ nhân quả và phản nhân quả
ƒ Do đáp ứng xung nhân quả h(t) là tín hiệu phía phải, MHT của H(s)
jω
phải thỏa mãn

Re {s} > σ max
σ

MHT phải nằm bên phải tất cả
các điểm cực của hệ

ƒ Do đáp ứng xung phản nhân quả h(t) là tín hiệu phía trái, MHT của
H(s) phải thỏa mãn
jω

Re {s} < σ min

MHT phải nằm bên trái tất cả
các điểm cực của hệ

σ

6

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ nhân quả và phản nhân quả
ƒ Nếu H(s) có thể phân tích thành dạng
trong đó

− sk , k = 1, 2,…, N
rk , k = 1, 2,…, N

N
r
B( s)
= bN + ∑ k ,
A( s )
k =1 s + sk

là các điểm cực
đgl các residue

thì h(t) là nhân quả với

Re {s} > σ max

và là phản nhân quả với

Re {s} < σ min

ƒ Ví dụ

1
,
s +1

Re {s} > −1

Hệ nhân quả

es
H (s) =
,
s +1

Re {s} > −1

Hệ phi nhân quả

H (s) =

7

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ ổn định
ƒ Hệ LTI là ổn định BIBO khi và chỉ khi h(t) khả tích tuyệt đối
∞

∫−∞ h(t ) dt < ∞
ƒ Đây cũng là điều kiện Dirichlet để hàm h(t) có ảnh Fourier (trừ các

trường hợp đặc biệt)
Để tồn tại đáp ứng tần số H(jω) thì hệ phải ổn định
ƒ Mặt khác nếu có thể xác định H(jω) từ H(s) bằng cách thay s = jω thì
MHT của H(s) phải chứa trục jω
jω

jω

jω

σ

σ

jω

σ

σ

ƒ Để hệ là nhân quả và ổn định, tất cả các điểm cực phỉa nằm bên trái
mặt phẳng phức s
EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>
8

Hệ khả nghịch đảo
ƒ Nếu hệ LTI h(t) là khả nghịch đảo, tồn tại hệ nghịch đảo hI(t) sao cho

h(t ) ∗ hI (t ) = δ (t )

H I ( s) =

1
H ( s)

ƒ Nếu H(s) = B(s)/A(s) thì HI(s) = A(s)/B(s)
ƒ Các điểm cực của H(s) là các điểm không của HI(s) và ngược lại
ƒ Nói chung, hệ nghịch đảo HI(s) của H(s) không duy nhất do có thể có
nhiều khả năng khác nhau của MHT (phân thức A(s)/B(s) có ít nhất
một điểm cực)
ƒ Tuy nhiên thường có chỉ một hệ nghịch đảo được sử dụng trong
thực tế do còn có các yêu cầu khác (như tính ổn định và/hoặc tính
nhân quả)
9

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ khả nghịch đảo: Ví dụ
ƒ Cho hệ ổn định nhân quả

H ( s) =

s +1
,
s+2

Re {s} > −2

ƒ Hai khả năng cho hệ nghịch đảo tương ứng

s +1
H I1 ( s) =
,
s+2

Re {s} > −1

và

H I 2 (s) =

s +1
,
s+2

Re {s} > −1

ƒ Tuy nhiên chỉ HI1(s) ích hữu trong thực tế vì nó vừa ổn định và nhân
quả, còn HI2(s) thì không
s+2
H I1 ( s) =

, Re {s} > 1
ƒ Ví dụ 2:
s −1
Không ổn định, nhân quả
s −1
H (s) =
, Re {s} > −2
s+2
s+2
H I 2 (s) =
, Re {s} < 1
s −1
ổn định, nhân quả
EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

Ổn định, không nhân quả
/>
10


Ghép nối hệ thống

11

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạt với các tính chất của hệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân

12

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Phương trình vi phân
ƒ Trên thực tế, phần lớn các hệ thống được quan tâm đều được mô tả
bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

d k y (t ) M
d k x(t )
∑ ak dt k = ∑ bk dt k
k =0
k =0
N

với bậc của mô hình là số lớn hơn trong hai số M và N
ƒ Sử dụng biến đổi Laplace và các tính chất của nó, ta có được
M

H (s) =

Y (s)
=
X (s)

k
b
s
∑k

k =0
∞

∑ ak s k

=

B(s)
A( s )

k

ƒ Về lý thuyết, cho phép M > N (ví dụ với khâu vi phân lý tưởng)
ƒ Các hệ thống thực tế bị ràng buộc bởi M ≤ N

???
13

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Phương trình vi phân: Ví dụ
ƒ Xét PTVP tuyến tính cấp 1
ƒ Sử dụng biến đổi Laplace
Do đó

dy (t )
dx(t )
+ ay (t ) = a
dt
dt
B( s)
as
=
A( s ) s + a

- Nến hệ là nhân quả

H1 ( s ) =

as
,

s+a

Re {s} > − a

- Nếu hệ là phản nhân quả

H 2 (s) =

as
,
s+a

Khâu vi phân
thực tế

Re {s} < − a

ƒ Với điều kiện nào của a thì H1(s) ổn định
Với điều kiện nào của a thì H2(s) ổn định

???

a>0
a<0
14

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ thống bậc một
ƒ Xét PTVP tuyến tính cấp 1

dy (t )
+ ay (t ) = x(t )
dt
ƒ Hàm truyền đạt (hệ nhân quả)

H (s) =

1
, Re {s} > − a
s+a

ƒ Đáp ứng xung

h(t ) = L−1 {h(t )} = e − at u (t )
ƒ Với a > 0, MHT của H(s) chứa trục jω, khi đó tồn tại đáp ứng tần
số H(jω), cũng có nghĩa bộ lọc thông thấp là ổn định

15

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ thống bậc hai
ƒ Xét PTVP tuyến tính cấp 2

d 2 y (t )
dy (t )
+
a
+ by (t ) = x(t )
2
dt
dt
ƒ Hàm truyền đạt (hệ nhân quả)

H (s) =

1
1
=
, Re {s} > max {Re {− r1} , Re {− r2 }}
2
s + as + b ( s + r1 )( s + r2 )

ƒ Đáp ứng xung

h(t ) = L−1 {h(t )} = k1e− r1t u (t ) + k1e − r2t u (t )

tổng các hàm mũ phức

ƒ Đồ thị đáp ứng xung ???
16

EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com

/>

Hệ thống bậc hai
Phụ thuộc vào vị trí các điểm cực là
ƒ Thực
ƒ Thuần ảo
ƒ Phức

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

17
/>