Bài giảng Xử lý số tín hiệu: Chương 6 - TS. Chế Viết Nhật Anh

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

BIẾN ĐỔI Z
CuuDuongThanCong.com

/>

Nội dung
o
o
o
o
o

Giới thiệu
Định nghĩa
Các tính chất của biến đổi
Các tính chất của biến đổi
Biến đổi Z hữu tỷ

+

2
CuuDuongThanCong.com

/>

Giới thiệu
o Tín hiệu tương tự, hệ thống tương tự: Biến đổi Laplace,
biến đổi Fourrier

Pierre-Simon Laplace
(1749–1827), France

Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830, France)

o Tín hiệu rời rạc, hệ thống rời rạc?
3
CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
o Biến đổi của một tín hiệu rời rạc về thời gian ( ) được
định nghĩa như sau:
≜
= ⋯+

−1

+

0
=

: là biến phức, ký hiệu:
o Mối quan hệ giữa

,

:

+

1

+⋯

( )


o Vùng hội tụ (ROC: Region of Convergence) của
∈ ℂ,
< +∞

:
4

CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
o Cho chuỗi đáp ứng xung ℎ( ), hàm truyền của bộ lọc:
≡ ℎ( )
o Biến đổi Z một phía



≜

( )

o Không có thông tin của ( ) với < 0
o Là duy nhất đối với tín hiệu nhân quả
o
=
( )
o ROC luôn nằm ngoài một vòng tròn bán kính => không quan
tâm đến ROC.
5
CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
ế

≠
1
o
+ ⋯+
=

, ,
− +1 ế =1
o 1+ + +⋯=
ế <1
o

+

+⋯=

o ln 1 +
o ln

=∑
=∑

ế

∈

<1

−1

ế
ế

<1

<1

o />
6
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ
Tìm biến đổi Z và ROC của các tín hiệu (hàm truyền sau)
i.
= 1,2,5,7,0,1
ii.
= 1,2,5,7,0,1

iii.

= 1,2,5,7,0,1,0

iv.
v.
vi.
vii.
viii.

=
=
+3
=
−4
=
=−
− −1
7
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ
Kết quả:
i.
=1+2

+5

+7

ii.

=

+2 +5+7

iii.

=

+2

( )

+5

+

+

+7

+

( )

( )
i. Cả mặt phẳng Z,
ngoại trừ = 0
ROC

( )

( )
ii. Cả mặt phẳng Z,
ngoại trừ = 0 & = ∞

( )
iii. Cả mặt phẳng Z,
ngoại trừ = ∞
8

CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ
Kết quả:
iv.
=1

v.

=

vi.

=
( )

( )

( )
iv. Cả mặt phẳng Z
ROC

( )

( )
vi. Cả mặt phẳng Z,
ngoại trừ = 0

( )
v. Cả mặt phẳng Z,
ngoại trừ = ∞
9

CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ
Kết quả:

vii.

=

=

nếu

>

viii.

=

=

nếu

<

( )

( )

( )

( )

vii. Cả mặt phẳng Z
ngoại trừ
<

viii.
ROC

CuuDuongThanCong.com

<
10
/>

Ví dụ
Tìm biến đổi
của các tín hiệu (hàm truyền sau)
i.
= 1,2,5,7,0,1
ii.
= 1,2,5,7,0,1

iii.

= 1,2,5,7,0,1,0

iv.
v.
vi.

=
=
=

+3
−4

11
CuuDuongThanCong.com

/>

Ví dụ
Kết quả:
i.
=1+2

+5

ii.

+

=5+7

iii.

+7

+

=0

iv.

=1

v.

=0

vi.

=

12
CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
o

=

biểu diễn dưới dạng cực:

với

=

& = ∡

{ }
( )

0

=

( )

{ }

( )

13
CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
o Vẽ ( ) =

.

.

14

CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
o ROC của

:

≤ ∑
≤ ∑
−
∑

+
( )

( )

( )

( )

<

( )

( )

( )

>

<

<

15
CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghĩa
+ ⋯+
,
của
=
∩
∩ ⋯∩
o Ví dụ: Tìm biến đổi Z và ROC của các tín hiệu sau
=
+
− −1
o Nếu

=

+

o Kết quả: i. Nếu

<
>
,
=
( )

, ( ) không tồn tại. ii. Nếu
−
với
( )

( )

<

( )

( )

( )

>
CuuDuongThanCong.com

:

<

<

16

/>

Vùng hội tụ của các tín hiệu rời rạc
o Tín hiệu có chiều dài hữu hạn
Độlớn

( )

( )

Nhân quả
Độlớn

( )
( )

Không nhân quả

Độlớn

( )
( )

Trộn lẫn

17
CuuDuongThanCong.com

/>

Vùng hội tụ của các tín hiệu rời rạc
o Tín hiệu có chiều dài vô hạn
Độlớn

( )
…

Nhân quả
Độlớn

Không nhân quả

( )

…

( )

Độlớn
Trộn lẫn

( )

…

( )
…

( )
18

CuuDuongThanCong.com

/>

Các tính chất của biến đổi
Tính chất

Miền thời gian

Miền Z

( )

( )

ROC
<

ROC:

<

Ký hiệu

=

Tuyến tính

Mở rộng theo thời
gian

=

( )

( )
0

=
≠

=

( )

(

)

Co giãn trong miền Z
Đảo thời gian
Liên hợp phức

−
∗

/

ROC

ROC, ngoại trừ
= 0 nếu > 0
= ∞ nếu < 0
<
<

−

Dịch theo thời gian

∩

Tối thiểu

1/
∗

∗

<

< 1/

ROC
19

CuuDuongThanCong.com

/>

Các tính chất của biến đổi
Tính chất

Miền thời gian

Miền Z

ROC

Phần thực

+

∗

∗

/2

ROC

Phần ảo

−

∗

∗

/2

ROC

( )

Vi phân trong miền Z
Chia trong miền thời
gian

( )

Tích chập

⊛

Tương quan chéo
Lý thuyết giá trị đầu

=
Nếu

⊛

(− )

( )
( )

−
( )

−

nhân quả

( )

ROC
ROC
Tối thiểu
∩
Tối thiểu của
(ROC
)∩

=
(0) = lim ( )
→

20
CuuDuongThanCong.com

/>

Các tính chất của biến đổi
Tính chất

Miền thời gian

Miền Z
∗

Quan hệ Parseval
1
2

Tính nhân
Vi phân bậc 1
Tích lũy

−

−1

=

1
2

( )

( )
(1 −

ROC

( )

∗

1
( ∗)

Tốithiểu
<
<

)

1−

21
CuuDuongThanCong.com

/>

Các tính chất của biến đổi
Tính chất

Miền thời gian

Ký hiệu

( )

Miền
( )

Có tất cả các tính chất giống biến đổi Z ngoại trừ tính dịch theo thời gian
−

Tính trể

Lý thuyết giá trị cuối

( )+

nhân quả

Nếu
Time advance

,k > 0

+
∞ = lim
→

( )

,k > 0
−1

(− )

−
nếu cực ( − 1)

( )
( ) nằm trong

vòng tròn đơn vị

22
CuuDuongThanCong.com

/>

Một số cặp biến đổi Z
Tín hiệu

Biến đổi Z

ROC

( )

1

ℂ

( −

)

ℂ\

( )

−

(− − 1)

1/(1 −

)

>

1/(1 −

)

<

( )
−

(− − 1)
( )

−

(− − 1)
cos(

) ( )

sin(

) ( )

/(1 −

)

>

/(1 −

)

<

(1 +

)/(1 −

)

>

(1 +

)/(1 −

)

<

1−
cos( )
1−2
cos
+
1−2

sin(
cos

)
+

>0
<0

= 0 nếu
= ∞ nếu

>
>
23

CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Z hữu tỷ
o Các zero của ( ): tất cả các giá trị sao cho

=0
o Các cực (pole) của ( ): tất cả các giá trị sao cho
=∞
o ROC không chứa bất kỳ cực nào
o Trên mặt phẳng Z, cực: × (hoặc ), zeos: o

24
CuuDuongThanCong.com

/>

Biến đổi Z hữu tỷ
o Nếu X(z) là hàm hữu tỷ:
( )
+
=
=
( )
+
o Nếu

+ ⋯+
+ ⋯+

∑
=
∑

≠0
=

=
=

+( / )
+( / )
−
−
−
−
∏
−
∏
−

+ ⋯+ /
+ ⋯+ ( / )
…( − )
…( − )

25
CuuDuongThanCong.com

/>