Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn đào tạo nghề ở trường Đại học Công nghiệp Hà Nội

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 115-128
This paper is available online at

DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0172

SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC HỖ TRỢ GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP
CHO SINH VIÊN GẮN VỚI THỰC TIỄN ĐÀO TẠO NGHỀ
Ở TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
Lê Bá Phương
Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
Tóm tắt. Bài báo trình bày nghiên cứu về vấn đề sử dụng một số phần mềm toán học để hỗ
trợ dạy Toán cao cấp (TCC) gắn với thực tiễn đào tạo nghề ở trường Đại học Công nghiệp

(ĐHCN). Tác giả đã tiếp cận vấn đề bằng cách khai thác phần mềm Matlab và Maple trong
giảng dạy Giải tích toán học cho sinh viên (SV) hai nhóm ngành điện và cơ khí ở trường
ĐHCN Hà Nội. Kết quả nghiên cứu thể hiện ở biện pháp và ví dụ minh họa việc sử dụng
Maple, Matlab giúp cho SV nắm vững và vận dụng vào giải quyết bài toán thực tiễn nghề
nghiệp.
Từ khóa: Sử dụng phần mềm toán học, giảng dạy Toán cao cấp, thực tiễn dạy nghề.

1.

Mở đầu

Quan niệm học để làm, một trong bốn “cột trụ” của giáo dục (UNESCO, 1985) là sự khẳng

định chắc chắn của thế giới về mục tiêu tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở các bậc học.
Về giáo dục đại học, Hội nghị quốc tế UNESCO (Paris, 5-8/7/2009) đã làm rõ hơn vai trò
của giáo dục cũng như triết lí của đào tạo bậc đại học: Không những đào tạo cho SV có kiến thức
vững chắc và biết vận dụng sáng tạo trong hoàn cảnh hiện thời và cả cho tương lai. Trong đó, đặc
biệt nhấn mạnh "... Đào tạo tay nghề cao, những công dân có trách nhiệm chuyên nghiệp tùy theo
nhu cầu hiện tại và tương lai của xã hội" [12].
Về giáo dục nghề nghiệp, ngày 29/11/2013, Ngân hàng Thế giới (WB) đã công bố báo cáo
Phát triển Việt Nam 2014 với tựa đề “Phát triển kĩ năng: Xây dựng lực lượng lao động cho một
nền kinh tế thị trường hiện đại ở Việt Nam", trong đó đưa ra kế hoạch thực hiện "phát triển kĩ năng
kĩ thuật phù hợp với công việc thông qua một hệ thống được kết nối tốt hơn giữa người sử dụng
lao động với SV, các trường đại học và các trường dạy nghề" [11].
Như vậy, giáo dục toán học gắn với thực tiễn đã được các nhà giáo dục trên thế giới quan

tâm nghiên cứu theo hướng hình thành và phát triển năng lực vận dụng vào thực tế; ngay từ bậc học
phổ thông - đối với lứa tuổi đang trưởng thành [9], đến bậc học đại học [12] và đào tạo nghề [11].
- Ở Việt Nam, ngay từ rất sớm, trong cuốn sách "Giáo dục học môn Toán" (1981), các tác
giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đã nhìn nhận việc dạy và học môn Toán ở
các bậc học không chỉ thuần túy như một môn học, mà còn thể hiện yêu cầu và kết quả - xem như
một trong những yếu tố văn hóa mà mỗi con người cần có để vận dụng trong thực tiễn cuộc sống.
Ngày nhận bài: 15/7/2015. Ngày nhận đăng: 10/10/2015.
Liên hệ: Lê Bá Phương, e-mail:

115

Lê Bá Phương

- Vấn đề dạy học Toán gắn với ứng dụng của toán học đã được đưa vào giáo trình Lí luận
Dạy học Toán để đào tạo giáo viên (GV), điển hình là trong Giáo trình Phương pháp dạy học môn
toán [4], tác giả Nguyễn Bá Kim (2015) đã chỉ rõ:
+ Tính trừu tượng cao độ của toán học chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của
Toán học. Ngược lại, tính trừu tượng cao độ làm cho Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể
ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống.
+ "Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học" là một trong bốn tư
tưởng cơ bản của dạy học Toán, góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với
hành, nhà trường gắn liền với đời sống. Đồng thời, tác giả cũng chỉ ra con đường và quy trình ứng
dụng thực tế của Toán học, gồm ba bước:

Bước 1: Toán học hóa tình huống thực tế;
Bước 2: Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình toán học;
Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tế.
- Về khai thác ứng dụng phương tiện dạy học, đặc biệt là máy tính và phần mềm, đã có nhiều
tác giả nghiên cứu và triển khai (Phạm Huy Điển [2], Phạm Minh Hoàng [3], Đào Thái Lai [5],
Trần Vui [10], ...). Trong đó, có thể thấy việc khai thác máy tính với phần mềm phù hợp có khả
năng làm sáng tỏ các kiến thức toán học phức tạp bằng những minh hoạ trực quan hoàn hảo, từ đó
tạo điều kiện để người học nắm vững và vận dụng công cụ này vào thực tế.
- Với đào tạo đại học ngành kĩ thuật, Đỗ Văn Dũng và các tác giả trong bài viết Đa phương
tiện trong dạy học tích cực môn học "Nhập môn ngành Công nghệ kĩ thuật ô tô" [1, trang 120-125]
đã áp dụng quy trình bốn bước dạy học đối với SV như sau:
1. Dẫn dắt SV vào vấn đề cần học tập;

2. Hướng dẫn và tổ chức cho SV tìm kiếm và thảo luận nhóm;
3. Hoạt động làm báo cáo;
4. Hoạt động thuyết trình;
Trong đó, ở hai bước 1 và 2, máy tính và phần mềm có thể trợ giúp khá hiệu quả đối với SV
khi học và sử dụng TCC vận dụng vào thực tiễn học nghề ở trường ĐHCN.
Với đặc thù đào tạo nghề ở trường ĐHCN, môn TCC không chỉ dừng ở chỗ cho SV hiểu
biết Toán học mà quan trọng là tập dượt cho họ khả năng vận dụng vào giải quyết những bài toán
xuất phát từ thực tiễn ngành nghề được đào tạo.
Nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi đã có những kết quả bước đầu về cơ sở lí luận và thực
tiễn, từ đó đề xuất giải pháp (định hướng, quy trình, nội dung và biện pháp) dạy học TCC ở trường
ĐHCN [6-8].
Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi trình bày một kết quả nghiên cứu việc dạy học TCC

gắn với thực tiễn đào tạo nghề thông qua khai thác hai phần mềm Matlab và Maple hỗ trợ giảng
dạy giải tích toán học ứng dụng vào một số bài toán có nội dung nghề nghiệp (điện, cơ khí) cho
SV trường ĐHCN Hà Nội.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Sử dụng các phần mềm Matlab và Maple hỗ trợ giảng dạy Giải tích toán
học gắn với thực tiễn đào tạo nghề cơ khí và nghề điện ở trường ĐHCN

Với những chức năng và ưu thế của các phần mềm Matlab và Maple, GV và SV trường

ĐHCN có thể khai thác để hỗ trợ những hoạt động dạy và học TCC sau:
116


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

- Minh họa trực quan các khái niệm, tính chất toán học phức tạp;
- Kiểm tra, dự đoán kết quả, từ đó xác định hướng giải bài toán;
- Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài toán cùng loại một cách nhanh chóng, chính xác;
- Vẽ các hình trong không gian (đường, mặt, khối, vật thể, ...) để biểu diễn - mô hình hóa
đối tượng trong bài toán thực tế nghề nghiệp.
Trong giảng dạy Giải tích toán học cho SV ngành cơ khí chế tạo, ngành điện tử, việc sử

dụng máy tính cùng với những phần mềm toán học như Matlab, Maple, ... có khả năng trợ giúp vẽ
các đường, mặt cong, khối vật thể, ... trong không gian một cách chính xác, trực quan. Nhờ vậy,
khi học khái niệm tích phân và ứng dụng, SV có thể mô hình hóa, sơ đồ hóa tình huống thực tiễn,
giúp quan sát một cách trực quan từ nhiều góc độ, dễ dàng nhận ra nhiều thuộc tính, quan hệ của
chúng, ... Khi dạy ứng dụng của phương trình vi phân, GV có thể giúp cho SV trong việc mô hình
hóa bài toán thực tiễn, minh họa trực quan các đường cong, mặt cong phức tạp trong không gian
và thể hiện kết quả dưới dạng con số, hình ảnh và đồ thị.
Như vậy, với quan điểm không chỉ dùng Matlab và Maple chứng minh cho việc ứng dụng
toán học, chúng tôi đã sử dụng các phần mềm này trong giảng dạy Giải tích toán học để giúp cho
SV hiểu rõ, nắm vững hơn kiến thức và phương pháp toán học, đồng thời tăng cường cơ hội và
khả năng vận dụng công cụ toán học vào thực tiễn nghề nghiệp của mình. Từ đó góp phần tạo ra
ý thức, thói quen và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn học nghề cho SV trường ĐHCN

Hà Nội.

2.2.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích vật thể
Khi dạy ứng dụng "tích phân hai lớp" để tính diện tích, thể tích vật thể ở những bài toán
nghề nghiệp, GV sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ một số hoạt động sau đây, thông qua đó, SV
không chỉ hiểu rõ nguồn gốc, sự cần thiết của công cụ tích phân, mà còn nắm vững bản chất toán
học, ưu thế và nhất là thấy rõ những tình huống thực tế có thể sử dụng tích phân làm công cụ tính
toán diện tích, thể tích.

Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán: Cho một khối chất rắn có dạng hình trụ nằm trên hình vuông R có
kích thước [0, 2] × [0, 2] và dưới mặt paraboloid z = 16 − x2 − 2y 2 , đường sinh của hình trụ song
song với Oz. Tính thể tích V của khối chất rắn.
+ GV: Dùng Matlab để mô phỏng khối chất rắn và hướng dẫn SV thực hiện việc tính thể tích:
Chia R thành 4 hình vuông và diện tích của mỗi hình vuông là ∆S = 1; qua biên của 4
hình vuông ấy dựng 4 hình hộp chữ nhật. Trong mỗi hình vuông Rij ta chọn điểm lấy mẫu để tính
thể tích hình hộp chữ nhật tương ứng là các điểm (xij , yij ) nằm ở góc trên bên phải (hình 1).
+ GV: yêu cầu SV tính tổng thể tích của bốn hình hộp chữ nhật
2

2

f (xij , yij )∆S = f (1, 1).1 + f (1, 2).1 + f (2, 1).1 + f (2, 2).1 = 34

Vn =
i=1 j=1

+ GV: Bây giờ ta chia R lần lượt thành 16; 64; 256 hình vuông, tức ta tăng m và n (m là số
chia đoạn [0, 2] trên Ox, n là số chia đoạn [0, 2] trên Oy) và làm tương tự như trên ta sẽ có các hình
ảnh (hình 2). GV cho SV nhận xét.
SV: Nếu tăng số lượng hình vuông, tức tăng số lượng hình hộp chữ nhật thì tổng thể tích
của các khối hộp chữ nhật đó sẽ xấp sỉ bằng thể tích của khối chất rắn đã cho (Vn ≈ V ).
117

Lê Bá Phương

Hình 1

Hình 2
+ GV: Khi tăng m và n lên thì sự sai khác giữa V và Vn càng nhỏ. Do đó thể tích V của khối
chất rắn đã cho được coi là giới hạn của Vn khi m, n → ∞. Yêu cầu SV tính thể tích V :
V = lim Vn = lim f (xij , yij )∆S = 48
m,n→∞

m,n→∞

+ GV: Bây giờ ta xét bài toán tổng quát: Cho S là một vật thể hình trụ nằm trên hình chữ
nhật R = [a, b] × [c, d] ở trong mặt phẳng Oxy và dưới mặt cong có phương trình z = f (x, y),
mặt bên là mặt trụ có đường sinh song song với Oz và tựa trên biên của R (hình 3).
Giả thiết rằng hàm z = f (x, y) xác định, liên tục
và không âm trên miền R, tính thể tích V của vật thể S.
+ GV: Yêu cầu SV tính ra nháp, sau đó GV hướng
dẫn dùng Matlab để diễn giải và chính xác hóa lời giải
cho SV.
Đầu tiên, chia hình chữ nhật R thành các hình
chữ nhật nhỏ. Chúng ta thực hiện điều này bằng cách

chia đoạn [a, b] thành m đoạn con [xi−1 , xi ] cùng độ dài
∆x = (b − a)/m và chia đoạn [c, d] thành n đoạn con
cùng độ dài ∆y = (d − c)/n. Bằng cách vẽ các đường
thẳng song song với các trục tọa độ đi qua các mút của
Hình 3
các đoạn con, ta có dạng của các hình chữ nhật nhỏ
Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ], tất cả có cùng diện tích
∆S = ∆x∆y (hình 4).
118


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

Nếu trên mỗi Rij ta chọn một điểm
ngẫu nhiên x∗ij , yij∗ thì chúng ta có thể xấp
xỉ phần của S nằm trên mỗi Rij bởi một khối
hộp chữ nhật với đáy là Rij và chiều cao là
f x∗ij , yij∗ (hình 5). Thể tích hình hộp này
bằng chiều cao của nó nhân với diện tích
đáy f x∗ij , yij∗ ∆S. Nếu ta làm như thế cho
tất cả hình chữ nhật và cộng các thể tích của
các hình hộp tương ứng, ta nhận được giá trị
xấp xỉ với thể tích của S:
m

V ≈

n

i=1 j=1

Hình 4
f x∗ij , yij∗ ∆S (hình 6)

Hình 5

Hình 6

Tổng kép này có nghĩa là với mỗi hình chữ nhật con, chúng ta tính giá trị của f tại điểm đã
chọn rồi nhân với diện tích của hình chữ nhật con, rồi cộng vào kết quả.
Bằng trực giác ta thấy rằng, xấp xỉ trên trở nên tốt hơn khi m và n càng lớn và vì vậy
m

V =

lim

n

m,n→∞ i=1 j=1

f x∗ij , yij∗ ∆S. Nếu tồn tại giới hạn lim

m

n

m,n→∞ i=1 j=1

f x∗ij , yij∗ ∆S, thì giới

hạn ấy được gọi là tích phân hai lớp của hàm z = f (x, y) trong miền R, kí hiệu là

f (x, y)dxdy.
R

Như vậy

m

f (x, y)dxdy =
R

lim

n

m,n→∞ i=1 j=1

f x∗ij , yij∗ ∆S,

và f (x, y) gọi là hàm số dưới dấu tích phân; x, y gọi là các biến số tích phân; R gọi là miền lấy
tích phân.
Ví dụ 2: Ứng dụng phương trình vi phân phân tích mạch điện

Khi dạy ứng dụng của phương trình vi phân để giải bài toán phân tích mạnh điện (đối với
nghề điện), GV và SV sử dụng phần mềm Matlab, Maple để hỗ trợ giải và biểu diễn nghiệm của
phương trình vi phân (đặc biệt là khi cần tính toán, biểu diễn phức tạp). Nhờ vậy, SV nắm vững
công cụ toán học, biết cách khai thác phần mềm để hỗ trợ giải những bài toán nghề nghiệp.
Cách thức tiến hành như sau:
119


Lê Bá Phương

+ GV đưa ra bài toán: Cho mạch điện như hình vẽ
(hình 7). Hỏi điện áp vc trên tụ điện trong mạch thay đổi

như thế nào nếu: R = 0, 5; C = 1; V (t) = sin 2πt.
+ Hướng dẫn SV giải bài toán:
Theo kiến thức chuyên ngành, điện áp vc trên tụ
điện trong mạch được xác định bởi phương trình vi phân
V (t) − vc
′
. Với R là điện trở, C là điện dung,
sau: vc =
RC
V(t) là nguồn điện áp đầu vào.

Hình 7

′

Thay số, ta có vc = −2vc + 2 sin 2πt. Giải phương trình vi phân này (dùng Maple) ta thu
được nghiệm vc = e−2t 2e2t sin (2πt) dt.
Từ nghiệm này ta thấy rằng nghiệm có sự dao
động, song không dễ để dự đoán được nghiệm dao động
như thế nào, tức không dễ để dự đoán được điện áp vc
thay đổi như thế nào nếu nguồn V (t) tuần hoàn theo chu
kì thời gian. Lưu ý rằng, nguồn điện áp V (t) = sin 2πt
dao động trong khoảng từ −1 đến 1 trên mỗi một đơn
vị thời gian, đồ thị của hàm điện áp đầu vào V (t) =

sin(2πt) (hình 8).
Hình 8
Chú ý rằng: Về mặt ý nghĩa hình học thì mỗi
nghiệm của phương trình vi phân sẽ xác định một đường
cong, gọi là đường cong tích phân của phương trình. Và
thực chất việc giải phương trình vi phân chính là tìm tất
cả các đường cong tích phân của nó. Tuy nhiên, việc biểu
diễn hàm vc bằng hình ảnh không hề dễ dàng, vì vậy cần
đến sự hỗ trợ của Maple.
Dùng Maple ta vẽ ngay được đồ thị của vc =
e−2t 2e2t sin (2πt) dt (hình 9). Từ đó dễ dàng quan sát
Hình 9

và dự đoán sự thay đổi điện áp vc . Trên đồ thị này, ta thấy
rằng nghiệm (các đường cong tích phân) có sự dao động, chúng tiến lại gần nhau và xấp xỉ với một
nghiệm đơn duy nhất. Điều này về mặt kĩ thuật điện có nghĩa là điện áp vc trên tụ điện sẽ dần ổn
định trong khoảng thời gian đủ dài.
Ví dụ 3: Ứng dụng đường cong Lissajous nghiên cứu quỹ đạo chuyển động của con
lắc
Dạy ứng dụng Giải tích trong giải bài toán thực hành chế tạo cơ khí, GV và SV sử dụng
Matlab vẽ những đường cong thường gặp, cho dưới dạng tham số. Ở ví dụ này là đường cong
Lissajous biểu diễn quỹ đạo dao động của con lắc. Nhờ hiểu bản chất toán học, cùng với việc sử
dụng chức năng vẽ đường cong cho dưới dạng tham số của Matlab mà SV có thể dễ dàng vẽ chúng
với tất cả các trường hợp cụ thể, từ đó hình dung trực quan các quỹ đạo chuyển động của con lắc,
áp dụng hiệu quả trong thiết kế cơ khí.

Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán: Cho một con lắc di động qua lại, quỹ đạo sinh ra được gọi là “đường
x = cos nt
, với n là hằng số.
cong Lissajous” và phương trình tham số của quỹ đạo này là
y = sin t
Hãy biểu diễn quỹ đạo chuyển động của con lắc khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ đó hãy nhận xét quỹ
120


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

đạo có tính chất như thế nào khi n là một số lẻ và khi n là một số chẵn?
+ GV hướng dẫn SV dùng phần mềm Matlab để vẽ từng đường cong khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Quan sát các hình ảnh, ta thấy rằng khi n chẵn thì đồ thị “Lissajous” là đường cong không
kín, khi n lẻ thì đồ thị “Lissajous” là đường cong kín (hình 10)

Hình 10
Trong cả 2 trường hợp thì đồ thị đều đối xứng qua trục Ox. Nhưng khi lẻ thì nó có dạng
hình “đồng hồ cát”, nhận cả Ox và Oy làm trục đối xứng, và có tâm đối xứng là O(0, 0). Đặc biệt,
khi n = 1 thì đồ thị “Lissajous” là đường tròn đơn vị tâm (0, 0) bán kính 1.
Ví dụ 4: Ứng dụng đường thân khai của đường tròn trong chế tạo con lắc đồng hồ và
bánh răng khớp nối
Tương tự như trên, khi dạy ứng dụng Giải tích để giải bài toán thực tiễn nghề nghiệp, GV

và SV sử dụng Matlab vẽ đường thân khai của đường tròn biểu diễn một số tình huống trong thực
hành thiết kế chế tạo con lắc đồng hồ và các bánh răng khớp nối trong cơ khí. Điều đó rất có ý
nghĩa khi kĩ sư cần phải lựa chọn phương án thiết kế tối ưu, thể hiện ở ý nghĩa thực tiễn sau:
Đường thân khai của một đường tròn được nghiên cứu bởi Huygens khi ông tìm cách chế
tạo ra những chiếc đồng hồ chính xác. Huyghens phát minh ra bộ phận đáng chú ý là cái hồi - giúp
điều chỉnh tốc độ của đồng hồ. Ông cũng chế tạo ra các má cycloid giúp hệ thống treo quả lắc hoạt
động hiệu quả hơn, đảm bảo cho chuyển động đều của quả lắc bất chấp biên độ lớn của dao động.
Nhờ việc phát minh ra con lắc và những định luật chuyển động của con lắc, đồng hồ đã trở thành
đối tượng nghiên cứu và là điểm xuất phát của nhiều bộ phận máy móc cơ khí.
Một ứng dụng nổi tiếng khác của đường thân khai là chế tạo các bánh răng thân khai, điều
này giúp cho các bánh răng đạt được độ ăn khớp tốt nhất (hình 11). Người đầu tiên đề xuất ý tưởng
này là nhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler (1707 - 1783). Ngày nay, người ta đã tìm ra nhiều loại

bánh răng mới, như bánh răng Novikov, . . . (thật ra bánh răng chỉ cần thõa mãn định lí ăn khớp
trong kĩ thuật thì trên lí thuyết đã có thể sử dụng). Tuy nhiên, bánh răng thân khai vẫn được sử
dụng phổ biến do độ bền, hiệu suất cao và dễ chế tạo.
121


Lê Bá Phương

Hình 11
Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán 1: Một sợi dây kim loại (có đàn hồi) quấn quanh một lõi cứng hình
tròn. Khi sợi dây được tháo ra, quỹ đạo điểm cuối của sợi dây tạo thành một đường gọi là đường

thân khai của đường tròn. giả sử lõi hình tròn có bán kính 1 chứng minh, khi đó phương trình tham
x = cos t + t sin t
. Trong đó là số đo (tính theo radian) của góc
số của đường thân khai này là
y = sin t − t cos t
tạo bởi phần dương trục với bán kính đi qua điểm tiếp tuyến của sợi dây với hình tròn.
a) Sử dụng chương trình đồ họa để chắc chắn rằng
các phương trình tham số trên cho ta đồ thị giống với
hình đã cho.
dy
tại t = π tính theo
b) Chứng tỏ rằng giá trị

dx
công thức phù hợp với đồ thị biểu diễn.
+ GV hướng dẫn SV sử dụng Matlab để vẽ, ta có
hình 12 (đồ thị là đường màu xanh dương):
dx
dy
Ta có
= t cos t,
= t sin t
dt
dt
dy /

Hình 12
dy
dt
⇒
= tan t
= dx
/dt
dx
dy
= tan π = 0. Tức là hệ số góc
Với t = π thì
dx

của tiếp tuyến đồ thị hàm y(x) tại t = π bằng 0. Dựa
vào hình vẽ (hình 13), ta thấy tiếp tuyến này nằm ngang
(đường thẳng trên cùng màu tím).
+ GV đưa ra bài toán 2: Hình 14 biểu thị một hình
lò xo. Hãy viết phương trình tham số cho đường lò xo
Hình 13
trên. Sau đó dùng Matlab để vẽ đồ thị và kiểm tra lại
xem có đúng với hình ảnh đã cho hay không. Từ đó tìm các điểm (x; y) của đồ thị mà tại đó tiếp
tuyến có phương thẳng đứng hoặc nằm ngang, hoặc tại những điểm mà đồ thị cắt chính nó.
- Hướng dẫnSV sử dụng kiến thức chuyên ngành và Giải tích toán học, ta có phương trình
x(t) = t + 1 sin 2πt
tham số cần tìm là

2
y(t) = 3 + 2 cos 2πt
122


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

Hình 14

Hình 15

- Sau đó dùng Matlab vẽ đường có phương trình tham số trên ta được đồ thị này (hình 15)

giống với đường lò xo đã cho (hình 14).
- Bằng công cụ Giải tích cùng với quan sát hình vẽ, ta thấy:
dx
= 0 ⇔ 1 + π cos 2πt = 0
+ Tại những điểm mà đồ thị có phương thẳng đứng thì
dt
1
1
arccos −
+ k, k ∈ Z. Từ đó các điểm mà đồ thị có phương thẳng đứng là
⇒t=
2π

π
1
1
1
1
2
(x; y) =
arccos(− ) + k +
sin arc cos(− ); 3 −
,k ∈ Z
2π
π

2π
π
π
k
dy
= 0 ⇔ −4π sin 2πt = 0 ⇒ t =
+ Tại những điểm đồ thị có phương nằm ngang thì
dt
2
k
k
Từ đó các điểm mà đồ thị có phương nằm ngang là (x; y) =

; 3 + 2(−1) , k ∈ Z
2
1
+ Dựa vào đồ thị, ta thấy các điểm mà đồ thị cắt chính nó có hoành độ x = + k , k ∈ Z,
2
1
1
từ đó thay vào phương trình của x ta được + k = t + sin 2πt.
2
2
+ Với mỗi giá trị k, dùng khảo sát hàm số, ta
chứng tỏ được rằng phương trình trên có 3 nghiệm phân

biệt. Hình bên dưới minh họa cho trường hợp k = 0.
1
+ Phương trình trên có nghiệm t = + k ứng
2
với điểm thấp nhất của đồ thị nên ta loại điểm này (chú ý
rằng theo đồ thị, điểm đồ thị đi qua hai lần phải là điểm
nằm giữa). Do vậy, ta chỉ cần tìm một nghiệm phương
1
trình khác với ( + k).
2
+ Quan sát thấy các điểm đồ thị qua hai lần có thể
thu được bằng cách tịnh tiến một điểm bất kì trong các

Hình 16
điểm đó qua phải hoặc trái một đơn vị (hình 16). Như
vậy ta chỉ cần tìm nghiệm ứng với trường hợp k = 0 rồi
tịnh tiến các điểm đó. Dùng máy tính ta tính được một nghiệm khác là t ≈ 0.132. Từ đó suy ra tập
1
+ l; 4.353 , l ∈ Z
điểm cần tìm là (x; y) =
2
Ví dụ 5: Ứng dụng đường cong Cycloid trong thực hành thiết kế chế tạo cơ khí
Trong nhiều chuyển động cơ học có quỹ đạo tròn, đường cong Cycloid xuất hiện khá nhiều.
123

Lê Bá Phương

Chẳng hạn, chuyển động của một điểm trên vành bánh xe khi xe đang chạy, hay chuyển động của
quả tạ khi một vận động viên ném tạ xích khi tạ đang bay (vẫn quy ước nếu đường ném của anh ta
là đường thẳng), chuyển động của một chấm nhỏ trên trái bóng tròn khi nó đang lăn (lưu ý ở đây
chỉ tính khi nó lăn chứ không trượt), chuyển động của một chấm nhỏ trên cuộn len khi nó đang lăn
(không trượt)... Khi đó, về mặt toán học, đường cong được vạch ra bởi điểm P nằm trên một đường
tròn, hay còn gọi là đường biên của một hình tròn khi hình tròn ấy lăn trên một đường thẳng, được
gọi là một đường cong Cycloid (hình 17).

Hình 17

Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán: Giả sử hình tròn này có bán kính r và lăn trên trục x. Đặt một vị trí
của P làm điểm gốc, hãy tìm phương trình tham số cho đường cong Cycloid này.
+ GV: Chọn θ là tham số để chỉ góc quay của
đường tròn (với θ = 0 khi P đang ở vị trí điểm gốc).
Đặt tọa độ của P là P (x, y). Để có được phương trình
tham số cho đường Cycloid này ta quy về việc biểu diễn
x và y theo θ (hình 18).
- Giả sử đường tròn này đã quay một góc có giá
trị θ radian. Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, nên
khoảng cách mà nó đã lăn được từ vị trí điểm gốc là:
|OT | = arcP T = rθ. Do đó, tâm của đường tròn là

C (rθ, r).
- Mặt khác, ta có: x = |OT | − |P Q| = rθ −
r sin θ = r(θ − sin θ)
Hình 18
y = |T C| − |QC| = r − r cos θ = r(1 − cos θ)
Do đó, phương trình tham số của đường Cycloid là

x = r(q − sin q)
y = r(1 − cos q)

với q ∈ R.

Mỗi cung của đường Cycloid bắt nguồn từ việc quay một vòng tròn và được mô tả bởi góc
quay θ với 0 ≤ θ ≤ 2π. Mặc dù những phương trình tham số ở trên thu được từ việc xem xét
trường hợp0 ≤ θ ≤ π/2 , nhưng chúng vẫn còn đúng với các giá trị góc quay θ khác (hình 19).

Hình 19
+ GV: Như vậy, khi viết được phương trình tham số của đường Cycloid, ta có thể ứng dụng
vào thực tiễn như thế nào?
124


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

Hình 20
Trong những chiếc đồng hồ quả lắc, khi con lắc dao động tới biên, trong thực tế sợi dây
không còn là đường thẳng, nhưng là hình ảnh của một cung của Cycloid (hình 20). Đương nhiên
tùy theo vị trí của biên là bên trái hay bên phải mà cung Cycloid ấy có hướng khác nhau, hoặc
ngay cả quỹ đạo của con lắc ấy, cũng là một cung Cycloid.
Ngoài ra về mặt toán học vẫn còn những điều khá thú vị có liên quan đến Cycloid, về cung
của Cycloid, về phần diện tích bên dưới của đường Cycloid và giới hạn bởi trục x, ... Chẳng hạn
độ dài một cung của đường Cycloid gấp 4 lần chu vi đường tròn quay (điều này được Christopher
Wren chứng minh năm 1658). Và các đường cong khác có liên quan đến Cycloid. Ví dụ như khi
điểm ta xét không nằm trên đường tròn, nhưng nằm trên một đường tròn ảo khác có bán kính lớn
hơn, ta sẽ thu được đường cong này. Cũng tương tự với trường hợp đường tròn ảo có bán kính nhỏ
hơn ta lại có được một đường cong khác.

Ví dụ 6: Sử dụng Matlab, Maple để vẽ những đường cong phức tạp trong thực hành
thiết kế chế tạo thiết bị cơ khí và điện.
Trong thực tế thiết kế, chế tạo cơ khí, nhiều tình huống cần nghiên cứu các đường cong
phức tạp, việc biểu diễn các đường này trong không gian gặp khó khăn hơn vẽ các đường cong
phẳng, nhất là khi vẽ bằng tay. Để đảm bảo độ chính xác và trực quan, giúp dễ dàng hình dung
cũng như tìm hiểu đặc tính của chúng... GV hướng dẫn SV sử dụng phần mềm Matlab, Maple hỗ
trợ.
Cách thức tiến hành như sau:
a) Đường xoắn ốc hình xuyến (toroidal spiral)

Hình 21

Hình 22

Đường cong (hình 21) được vẽ bởi phần mềm Matlab mô tả đường cong với phương trình
tham số x = (4 + sin 20t) cos ty = (4 + sin 20t) sin tz = cos 20t.
Nó được gọi là một xoắn ốc hình xuyến (toroidal spiral) bởi vì nó nằm trên một hình xuyến.
b) Đường trefoil knot (được gọi là cây chia ba thắt nút)
Đường cong này (được mô tả trong hình 22) có phương trình
x = (2 + cos 1.5t) cos ty = (2 + cos 1.5t) sin tz = sin 1.5t
Chú ý: Ngay cả khi một đường cong không gian được vẽ bởi máy tính, ảo giác quang học
125

Lê Bá Phương

cũng gây khó khăn để hình dung và nhận ra đường cong thực sự như thế nào? Điều này đặc biệt
đúng đối với đường cong ở hình 22. Ví dụ tiếp theo cho thấy GV có thể làm thế nào để khắc phục
vấn đề này với sự trợ giúp của phần mềm Matlab.
c) Đường xoắn bậc 3 (twisted cubic)
Đường cong với phương trình véc tơ r(t) =< t, t2 , t3 > được gọi là xoắn bậc 3 (twisted
cubic). GV sử dụng Matlab để vẽ đường cong được cho bởi phương trình tham số x = t; y =
t2 ; z = t3 (với t ∈ [−2; 2]). Bằng cách sử dụng lệnh hàm plot3(), hoặc lệnh hàm ezplot3(), ta thu
được hình 23(a), nhưng thật khó để nhìn thấy bản chất thật sự của đường cong từ mỗi hình vẽ đó.
Tuy nhiên, hầu hết các chương trình đồ họa ba chiều trên máy tính cho phép người dùng đặt
đường cong hoặc mặt cong trong một hộp thay vì hiển thị các trục tọa độ. Nhờ vậy, nếu nắm vững

công cụ Matlab, GV có thể giúp cho SV quan sát, thấy rõ bản chất, đặc tính cũng như hình ảnh
thực tế của đường twisted cubic bằng cách:
Cách 1: GV sử dụng chức năng "đặt đường cong" trong một hộp như hình 23, phần (b), ta
sẽ có một hình ảnh rõ ràng hơn về các đường cong: Có thể thấy rằng nó leo lên từ một góc dưới
của hộp tới góc trên gần chúng ta nhất, đặc biệt là đường cong vừa xoắn vừa leo.
Chúng ta nhận được nhiều đặc tính của đường cong khi chúng ta quan sát nó từ nhiều điểm
khác nhau. Phần (c) cho thấy kết quả của quay hộp để nhận được một điểm nhìn khác. Phần (d),
(e) và (f) nhận được khi chúng ta nhìn thẳng vào mặt của hộp. Đặc biệt, phần (d) cho thấy nhìn
trực tiếp từ trên hộp. Nó là hình chiếu của đường cong trên mặt phẳng xy, một parabol có phương
trình y = x2 . Phần (e) cho thấy chiếu trên mặt phẳng xz. Đấy chính là lí do tại sao đường cong
được gọi là xoắn bậc 3.

Hình 23. Các góc nhìn của đường xoắn bậc 3 (twisted cubic)
Cách 2: Một cách khác để biểu diễn những đường cong phức tạp là khai thác chức năng vẽ
đường cong trong không gian trên một mặt cong.
Biểu diễn đường xoắn bậc 3 (twisted cubic) trong nằm trên mặt trụ parabol y = x2 bằng
cách loại bỏ tham số t từ hai phương trình tham số đầu tiên, x = t và y = t2 . Ta có hình 24 mô
tả cả mặt trụ và đường xoắn bậc 3, khi đó ta thấy rằng đường cong di chuyển lên trên dọc theo bề
mặt của hình trụ.
126


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

Hình 24

Hình 25

Cách 3: Để mô tả các đường xoắn bậc 3 một cách trực quan (đặc biệt là trong những trường
hợp vật thể, đối tượng thực tế kỹ thuật), ta nhận ra rằng nó cũng nằm trên mặt trụ z = x3 . Vì vậy,
nó có thể được xem như là giao tuyến của các mặt trụ y = x2 và z = x3 . Sử dụng chức năng vẽ
giao của hai mặt đó trong Matlab, ta thu được hình ảnh của đường twisted cubic ở hình 25.
d) Đường cycloid và trochoid trong không gian biểu diễn quỹ đạo của hạt tích điện dương
trong điện trường và từ trường trực giao.
Để biết quỹ đạo chuyển động của một hạt tích điện dương trong điện trường và từ trường
trực giao E và B, nhờ sử dụng Matlab, ta có thể vẽ được đường đi của các hạt này. Tuỳ thuộc vào

vận tốc ban đầu, quỹ đạo đó hoặc là một đường cong không gian có hình chiếu trên mặt phẳng
nằm ngang là cycloid - hình 26(a), hoặc một đường cong có hình chiếu là trochoid - hình 26(b).
Hình 27 cho thấy đường cong của hình 26(b) được đưa ra bởi các lệnh tubeplot trong Maple.

Hình 26

3.

Hình 27

Kết luận

Để giảng dạy TCC gắn với thực tiễn đào tạo nghề nghiệp cho SV trường ĐHCN cần có
những biện pháp nhiều mặt. Trong đó, GV nắm vững và khai thác hợp lí phương tiện công nghệ
thông tin, nói riêng là máy tính với những phần mềm toán học chuyên dùng (Matlab, Maple, ...)
không những hỗ trợ SV nhận thức tốt môn Toán, mà còn giúp cho họ vận dụng toán học vào giải
quyết những tình huống bài toán trong thực tế học nghề một cách thuận lợi và đạt được hiệu quả
tốt hơn. Từ đó góp phần tạo ra ý thức chủ động, thói quen và kĩ năng vận dụng môn Toán vào thực
hành học nghề ngay từ khi học tập ở trường đại học và sau đó áp dụng vào thực tiễn nghề nghiệp.

127


Lê Bá Phương

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Đỗ Văn Dũng, Nguyễn Bá Hải, Nguyễn Anh Tuấn, 2012. Đa phương tiện trong dạy học tích
cực môn học "Nhập môn ngành Công nghệ kĩ thuật ô tô". Kỷ yếu Hội thảo "Công nghệ thông
tin trong giáo dục Việt Nam: Tích hợp hay chuyển đổi", Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam
- VVOB. Nxb Đại học Sư phạm.
[2] Phạm Huy Điển (chủ biên), 2000. Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple.
Nxb Khoa học và Kĩ thuật.
[3] Phạm Minh Hoàng, 2008. Maple và các bài toán ứng dụng. Nxb Khoa học và Kỹ thuật
[4] Nguyễn Bá Kim, 2015. Phương dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm.

[5] Đào Thái Lai, 2002. Ứng dụng công nghệ thông tin và những vấn đề cần xem xét đổi mới
trong hệ thống phương pháp dạy học môn Toán. Tạp chí Giáo dục, Số 9.
[6] Lê Bá Phương, 2014. Thực trạng dạy học Toán cao cấp ở trường Đại học Công nghiệp nhìn
từ yêu cầu tăng cường liên hệ với thực tiễn nghề nghiệp. Tạp chí Quản lí Giáo dục Số 67/2014,
Học viện Quản lí Giáo dục - Bộ Giáo dục và Đào tạo, trang 39-44.
[7] Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa, 2006. Phương pháp phần tử hữu hạn (Lí thuyết, bài tập
chương trình Matlab). Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[8] Nguyễn Anh Tuấn, Lê Bá Phương, 2014. Tăng cường liên hệ với thực tiễn nghề nghiệp trong
dạy học Toán cơ bản cho sinh viên Trường Đại học Công nghiệp. Tạp chí Khoa học, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội - Volume 59, số 1/2014. Trang 3-11.
[9] PISA 2003 PS for tomorrows world (2004), OECD PUBLICATIONS, 2 rue André-Pascal,
PARIS CEDEX 16, PRINTED IN FRANCE (962004131P1) ISBN 92-64-00642-7 - No.

53833.
[10] Tran Vui, 2000. Using mathematics investigations to enhance students critical and creative
thinking. SEAMEO RECSAM - Penang, Malaysia.
[11] />[12] />ABSTRACT
Using mathematical software to support the teaching of advanced mathematics
for students engaged in practical vocational training at the Hanoi University of Industry
This article looks at the use of mathematical software in teaching Advanced Mathematics
to students engaged in practical vocational training at the University of Industry. The author made
use of Matlab and Maple software to teach calculus to electronics and mechanics students at the
Hanoi University of Industry. Examples are presented to show how Maple and Matlab software
does help students grasp and solve practical problems in their field.
Keywords: Using mathematical software, advanced mathematics teaching associated with

practical vocational training.

128