Đơn vị đo lường của các biến và kết quả phân tích hồi quy quan hệ giữa các biến

Đơn vị đo lờng của các biến
v kết quả phân tích hồi quy quan hệ giữa các biến
TS. Đặng Quảng

Kỹ

thuật phân tích hồi quy quan hệ
giữa các biến không đề cập đến đơn vị đo
lờng của các biến. Nh vậy, phải chăng
đơn vị đo lờng không có ảnh hởng gì đến
kết quả phân tích? Bài viết này sẽ trả lời câu
hỏi đặt ra.
Để cho đơn giản việc suy luận, xét
trờng hợp hồi quy tuyến tính. Có hai đặc
tính cần đợc nghiên cứu là X và Y. Giả sử
hai đặc tính này có phân bố chuẩn hoặc gần
chuẩn. Từ tổng thể rút ngẫu nhiên ra một
mẫu gồm n cá thể và thống kê lại giá trị hai
đặc tính X và Y cho từng cá thể. Theo đơn vị
đo lờng ban đầu đợc dùng, nhận đợc tập
hợp n cặp giá trị (xi0, yi0) i - số hiệu cá thể và
i=1,2,n, còn 0 - đơn vị đo lờng xuất phát.
Dùng phơng pháp bình phơng tối thiểu,
các hệ số của đờng hồi quy tuyến tính
y 0 = a0x0 + b0 đợc xác định nh sau:
a0

x i 0 x 0 y i 0 y 0
x i 0 x 0

ở đây x 0

2

, b0 = y 0 a 0 x 0

y i 0
x i 0
; y0
n
n

Các trờng hợp thay đổi đơn vị đo lờng
1. Trờng hợp 1: Chuyển đơn vị đo
lờng của biến X từ x0 sang x với x = x0,
0<>
< 1. Còn đối với biến Y vẫn giữ nguyên
đơn vị đo lờng xuất phát y0. Với đơn vị đo
lờng mới (x, y0) các hệ số của đờng hồi
quy mới y a x b đợc xác định nh
sau:

a



x i x y i 0 y 0
x i x 0

2

x i 0 x y i 0 y 0

vậy a =

x i 0 x 0

2

2

=

1
a0


x i
1
a0 , ở đây x
x 0

n

b y a x y 0

1
a 0 x 0


y 0 a 0 x 0 b0

Vậy b = b0
y a x b

1
a 0 x 0 b 0


a0 x 0 b0 y 0

Vậy y y 0
Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn
vị đo lờng:
x0 x = x0 và y = y0
y 0 y y 0
Nh vậy, với trờng hợp 1, số đo của
biến Y đợc xác định ở đờng hồi quy mới
y a x b cũng giống nh ở đờng hồi
quy xuất phát y 0 a0 x 0 b0 . Điều này về
mặt hình học có nghĩa rằng, đờng hồi quy
mới chính là kết quả tịnh tiến của đờng hồi
quy xuất phát dọc theo trục hoành của toạ
độ (x0, y0) với tỷ lệ tịnh tiến . Hãy xem hình
1 để minh hoạ những ý đã nói trên.

Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005 - Trang 19


Hình 1
x8

x8

y0

x7

x5

x6
x7

x5

x4

x3

x8

x6

x6

x3

x2

x1

x1
( <1)

x4

x3

x2

x2

x7

x5

x4

x1

( =1)

( >1)
x0

0
2. Trờng hợp 2: Chuyển đơn vị đo
lờng của biến Y từ y0 sang y với y = y0,
0 < >
1. Còn đối với biến X vẫn giữ
<

nguyên đơn vị đo lờng xuất phát x0. Với
đơn vị đo lờng mới (x0, y) các hệ số của
đờng hồi quy mới y a x b đợc xác
định nh sau:
a


x i 0 x 0 y i y
x i 0 x 0

2

x i 0 x y i 0 y 0
x i 0 x 0

2

= a0,

Nh vậy, với trờng hợp 2, số đo của
biến Y đợc xác định ở đờng hồi quy mới
y a x b bằng lần so với ở đờng hồi
quy xuất phát y 0 a0 x 0 b0 . Điều này về
mặt hình học có nghĩa rằng, đờng hồi quy
mới chính là kết quả tịnh tiến của đờng hồi
quy xuất phát theo trục tung của toạ độ (x0,
y0) với tỷ lệ tịnh tiến . Hãy xem hình 2 minh
hoạ những ý đã nói trên.
Hình 2:

x8

y0

x7

x6

y i
y 0
n
Vậy a = a0

ở đây y

x5

( >1)

x4

x3

b y a x y 0 a 0 x 0

x8

x2

( y 0 a 0 x 0 ) b0

x1

Vậy b = b0
y a x b a 0 x 0 b 0
( a 0 x 0 b 0 ) y 0

x7

x6

( =1)
x4

x5
x3

Vậy y y 0

x8

x2

Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn
vị đo lờng:

x5

x =x0 và y0 y = y0 và

x7

x6

x1

x4

( <1)

x3

y 0 y y 0

x2
0

Trang 20 - Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005

x1

x0


3. Trờng hợp 3: Đối với cả hai biến X
và Y, đơn vị đo lờng xuất phát (x0, y0)
chuyển sang đơn vị đo lờng mới (x, y) với
cùng tỷ lệ chuyển ; 0 < >
< 1, tức là x0 x
= x0; y0y = y0. Với đơn vị đo lờng mới

(x, y) các hệ số của đờng hồi quy mới
y a x b đợc xác định nh sau:
a



y a x b a 0 x 0 b0
( a 0 x 0 b0 ) y 0

Vậy y y 0
Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn
vị đo lờng:
x0 x =x0 và y0 y = y0 và

x i x y i y
x i x

y 0 y y 0

2

2 x i 0 x y i 0 y 0
x i 0 x

2

2

ở đây x

= a0,

y i
x i
x 0 , y
y 0
n
n

Vậy a = a0
b y a x y 0 a 0 x 0
( y 0 a 0 x 0 ) b0

Vậy b = b0

Nh vậy, với trờng hợp 3, số đo của
biến Y đợc xác định ở đờng hồi quy mới
y a x b bằng lần so với ở đờng hồi
quy xuất phát y 0 a0 x 0 b0 . Điều này về
mặt hình học có nghĩa rằng, đoạn hồi quy
mới chính là kết quả tịnh tiến dọc theo đờng
hồi quy có chứa đoạn hồi quy xuất phát với
tỷ lệ tịnh tiến là . Hãy xem hình 3 để minh
hoạ những ý đã nói trên.

Hình 3
y0

x8

x6

x7

x5
x3
x8

x6

x6
x5

x1

x4
x2

( =1)

x7

x4

x3
x1

x8

( >1)

x7

x5
x3

x1

x4
x2

x2

( <1)
x0

0
4. Trờng hợp 4: Đối với cả hai biến X
và Y, đơn vị đo lờng xuất phát (x0, y0) chuyển
sang đơn vị đo lờng mới (x, y) với tỷ lệ
chuyển tơng ứng , tức là x0 x = x0;
y0y = y0, . Với đơn vị đo lờng mới

(x, y) các hệ số của đờng hồi quy mới
y a x b đợc xác định nh sau:
a

x i x y i y
x i x

2

Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005 - Trang 21




b

x i 0 x y i 0 y 0

x0 x = x0 và y0 y = y0

x i 0 x

2

2



= a0, vậy a a0



y a x y 0 a 0 x 0

y 0 a 0 x 0 ( y 0 a 0 x 0 ) b 0

Vậy b = b0

a 0 x 0 b 0


y a x b

a 0 x 0 b0 ( a 0 x 0 b0 ) y 0

Vậy y y 0
Tóm tắt tác động của việc thay đổi đơn
vị đo lờng:
y0

y 0 y y 0

Nh vậy, với trờng hợp 4, số đo của
biến Y đợc xác định ở đờng hồi quy mới
y a x b bằng lần so với ở đờng
hồi quy xuất phát y 0 a0 x 0 b0 . Điều này
về mặt hình học có nghĩa rằng, đờng hồi
quy mới chính là kết quả tịnh tiến của
đờng hồi quy xuất phát vừa dọc theo theo
trục hoành vừa dọc theo theo trục tung của
toạ độ (x0, y0) với tỷ lệ tịnh tiến tơng ứng là
, . Hãy xem hình 4 để minh hoạ những ý
đã nói trên.

Hình 4:
y0

x5
x4

x3

x4

x3
x1

(<1, >1)

x7

x5

x7
(>1, >1)

x2

x1

x8

x6

x8

x6

x2
x6

x8

x6

x7

x5

x4

(=1, =1)

x2
x8

x6
x6
x4

x3

x8
x7

x5

0

x1

x2

x1

x1

x3

x4

x3

x7

x5
(=1, =1)

x8

x7

x5
(>1, <1)

x2
x0

5. Kết luận chung: Với bốn trờng hợp
đã xét, các đờng hồi quy đều có cùng độ
nghiêng với đờng hồi quy xuất phát. Nh

x4

x3

(<1, <1)

0

x1

x2

x0

vậy về bản chất, đơn vị đo lờng không có
ảnh hởng gì đến kết quả phân tích hồi quy
quan hệ giữa các biến

Trang 22 - Thông tin Khoa học Thống kê số 5/2005