Giao thoa song co

Giao thoa sóng cơ học

A Lý thuyết
1. Hiện tợng giao thoa
+ Một thanh thép ở hai đầu gắn hai hòn bi
nhỏ đặt chạm mặt nớc yên lặng. Cho thanh
dao động, hai hòn bi ở A và B tạo ra trên
mặt nớc hai hệ sóng lan truyền theo những
hình tròn đồng tâm. Hai hệ thống đờng tròn
mở rộng dần ra và đan trộn vào nhau trên
mặt nớc.
+ Khi hình ảnh sóng đà ổn định, chúng ta ổn định, chúng ta
phân biệt đợc trên mặt nớc một nhóm
những đờng cong tại đó biên độ dao động
cực đại (gọi là những gợn lồi), và xem kẽ
giữa chúng là một nhóm những đờng cong
khác tại đó mặt nớc không dao động (gọi là
những gợn lõm). Những đờng sóng này đứng yên tại chỗ, mà
không truyền đi trên mặt nớc
+ Hiện tợng đó gọi là hiện tợng giao thoa hai sóng.
2. Lí thuyết giao thoa
a) Các định nghĩa
Nguồn kết hợp: Hai nguồn sóng phát ra hai sóng cùng tần số
và cùng pha hoặc có hiệu số pha không đổi theo thời gian gọi
là hai nguồn kết hợp. VD: A, B trong thí nghiệm là hai nguồn
kết hợp.
Sóng kết hợp: là sóng do các nguồn kết hợp phát ra.
b) Giải thích
+ Giả sử phơng trình
dao động của các
nguồn kết hợp đó

cùng là: u a 0 sin t .
+ Dao động tại M do hai nguồn A, B gửi tới lần lợt là:

2d 1


u1M a1M sin  t 





2d 2 

u
 a 2 M sin  t 

2M






+

§é lƯch pha
2
 
 d 2  d1

của

hai

dao

động

này

bằng:



+ Dao động tổng hợp tại M là: u M u1M u 2 M là tổng hợp 2
dao động điều hoà cùng phơng cùng tần số. Biên độ dao
2
động tổng hợp phụ thuộc vào độ lệch pha 
 d 2  d1 



2
 d 2  d1  2n

 d 2  d1 n  n  Z ), thì chúng tăng cờng lẫn nhau, biên độ dao động cực đại. Quỹ tích những
điểm này là những đờng hypecbol tạo thành gợn lồi trên mặt nớc.
+ Tại những điểm mà hai sóng tới từ A và B cïng pha víi nhau (  

1


+ Tại những điểm mà hai sóng tới từ A và B ngợc pha nhau (

2
d 2  d1   2n  1


1

 d 2  d1  n     n  Z ), chúng triệt tiêu lẫn nhau, biên độ dao động cực tiểu. Quỹ tích những
2

điểm này cũng là những đờng hypecbol tạo thành gợn lõm không dao động trên mặt nớc.
c) Định nghĩa hiện tợng giao thoa
+ Giao thoa là sự tổng hợp của hai hay nhiều sóng kết hợp trong không gian, trong đó có những chỗ
cố định mà biên độ sóng đợc tăng cờng hoặc bị giảm bớt.
+ Hiện tợng giao thoa là một đặc trng quan trọng của các quá trình cơ học nói riêng và sóng nói
chung.

B Bài tập
Dạng 1: Điểm dao động cực đại và điểm dao động cực tiểu
+ Phơng trình dao động tại hai nguồn kết hợp S1 và S 2 lần lợt là:

u1 a1 sin t 1 

u 2  a 2 sin  t  2

+ Xét tại M cách hai nguồn S1 và S 2 lần lợt là d 1 và d 2 .

+ Phơng trình dao động tại M do S1 và S 2 gửi tới lần lợt là:
+ Độ lệch pha của hai dao động đó là:


2d 1 


u1M a1M sin  t   1 





2d 2 

u
 a 2 M sin  t   2 

2M






2
 d 1  d 2    1 2


+ Dao động tổng hợp tại M: u M u1M  u 2 M

a) Dao ®éng tỉng hợp luôn luôn dao động với biên độ cực đại nếu hai dao động thành phần dao động
2
cùng pha: k .2 , hay
 d1  d 2    1   2  k.2



 d1  d 2 

1   2
  k  k  Z
2

b) Dao động tổng hợp luôn luôn dao động với biên độ cực tiểu nếu hai dao động thành phần dao
2
động ngợc pha: 2k 1 , hay
 d1  d 2    1   2   2k  1



1   2
1

   k    k  Z 
2
2

Trêng hợp đặc biệt 1 2 hoặc 1  2  k .2 (hai nguån dao ®éng cïng pha)
+ Điểm M là vị trí của vân cực đại nÕu: d1  d 2 k (b»ng mét sè nguyªn lần bớc sóng)
d1 d 2

1

+ Điểm M là vị trí của vân cực tiểu nếu: d1 d 2  k    (b»ng mét sè bán nguyên lần bớc sóng)
2


2


+ Đờng trung trực của S1 S 2 là một vân cực đại ứng với k 0 (vân cực đại bậc không!) (xem hình).
Hệ quả 1: Muốn biết tại điểm M có hiệu khoảng cách đến hai nguồn là: MS1 MS 2 d , thuộc vân
cực đại hay vân cùc tiÓu, ta xÐt tØ sè

d



:

+ NÕu b»ng mét sè nguyên thì điểm M thuộc vân cực đại.
+ Nếu bằng một số bán nguyên thì điểm M thuộc vân cực tiểu.
Hệ quả 2: Nếu hai điểm M và M ' nằm trên hai vân giao thoa cùng loại bậc k và bậc k ' thì ta
MS MS
k

có thể viết:
. Sau đó, nếu biết k và k ' cùng là số nguyên thì các vân đó là
k '
M ' S M ' S

vân cực đại còn nếu cùng là số bán nguyên thì các vân đó là vân cực tiểu.
1

2

1

2

1. Bài toán mẫu
Bài 1: Tại hai điểm A và B trên mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng dao động theo phơng



thẳng đứng với các phơng trình lần lợt là u1 a1 sin 30t   cm  vµ u 2 a 2 sin 30t cm . Vận
2

tốc truyền sóng trên mặt chÊt láng lµ v 60  cm / s  . Khi đó trên mặt chất lỏng xuất hiện các gợn
lồi và gợn lõm hình hypebol xen kẽ nhau. Một điểm M trên mặt chất lỏng cách các nguồn A và B
lần lợt là d 1 và d 2 . Hỏi điểm M nằm trên gợn lồi hay gợn lõm? Xét các trờng hợp sau đây: 1)
d1 d 2 ; 2) d1  d 2 3,5  cm  ; 3) d 1  d 2 4,5  cm  .
Bài 2: Tại hai điểm S1 và S 2 trên mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng dao động theo phơng


thẳng đứng với các phơng trình lần lợt là u1 a1 sin  50t   vµ u 2 a 2 sin  50t    . VËn tốc
2

truyền sóng trên mặt chất lỏng là v 100 cm / s . Khi đó trên mặt chất lỏng xuất hiện các gợn lồi
và gợn lõm hình hypebol xen kẽ nhau. Một điểm M trên mặt chất lỏng cách các nguồn S1 và S 2
lần lợt là d 1 và d 2 . Chọn phơng án đúng:

A. Đờng trung trực của S1 S 2 thuộc gợn lồi
B. Đờng trung trực của S1 S 2 thuộc gợn lõm
C. Để M là một điểm nằm trên vân cực đại (gợn låi) th× d1  d 2 4k  1  cm
D. Để M là một điểm nằm trên vân cùc tiĨu th× d1  d 2 4k  1  cm 

kZ

kZ

Gi¶i:
+ Bíc sãng:  vT v

2
2
100  cm / s .
4  cm 

50  rad / s



+ Dao động tại M do nguồn S1 gửi tới: u1M a1M sin  50t 

 2d1 


2
 



2d 2

+ Dao động tại M do nguồn S 2 gửi tíi: u 2 M a 2 M sin  50t   

 

2
+ §é lƯch pha cđa hai dao ®éng ®ã lµ:  
 d1  d 2 

2
a) Khi điểm M nằm trên đờng trung trực của S1 S 2 thì d1 d 2 do đó, ®é lÖch pha b»ng:
 

2



 d1 

d2  


  k 2

nên đờng trung trực của S1 S 2 không thuộc gợn lồi hay gợn
2
2 2k 1

lõm.

b) Để M là một điểm nằm trên vân cực đại (gợn lồi) thì k .2

3

k Z


2
 d1  d 2    k .2  d1  d 2 k  1   d1  d 2 4k  1  cm  (1)

2
4
c) Để M là một điểm nằm trên vân cực tiểu (gợn lõm) thì 2k 1. k  Z 


1
1
2
 d1  d 2     2k  1.  d1  d 2  k       d1  d 2 4k  1  cm  (2)
2
4

2

§S: a) Kh«ng; b) d1  d 2 4k  1  cm  ; c) d 1  d 2 4k  1  cm   k  Z 
Bµi 3: Trên mặt nớc có hai nguồn phát sóng kết hợp S1 và S 2 cách nhau 10 cm , dao động theo

các phơng trình lần lợt là: u1 a1 sin  50t     cm ; u 2 a 2 sin  50t   cm . Khi đó trên mặt n2

ớc xuất hiện các vân cực đại và vân cực tiểu. Vận tốc truyền sóng của các nguồn trên mặt n ớc là
v 100 cm / s .
1) Một điểm M trên mặt nớc cách các nguồn S1 và S 2 lần lợt là d 1 và d 2 . Xác định điều kiện để
M nằm trên gợn lồi? Gợn lõm? Vẽ sơ lợc các đờng cực đại và các ®êng cùc tiĨu
2) Hai ®iĨm P, Q thc hƯ v©n giao thoa có hiệu khoảng cách đến hai nguồn là PS 1  PS 2 5  cm  ,

QS1  QS 2 7  cm  . Hái c¸c điểm P, Q nằm trên đờng dao động cực đại hay cực tiểu? là đờng thứ
bao nhiêu và về phía nào so với đờng trung trực của S1 S 2 ?
Giải:

2
2
100.
4 cm

50
+ Giả sử M là một điểm trên mặt nớc nằm trong hệ vân giao thoa và cách các nguồn S1 và S 2 lần
lợt là d 1 và d 2 .
+ Bớc sóng: vT v



+ Phơng trình dao động tại M do S1 gửi tới: u1M a1M sin 50t

+ Phơng trình dao ®éng t¹i M do S 2 gưi tíi: u 2 M a 2 M sin  50t 



+ §é lƯch pha của hai dao động đó là:

2d 1 

 

 2d 2 


2
 

2
 d1  d 2

2

+ Dao động tổng hợp tại M: u M u1M u 2 M
Dao động tổng hợp đó có biên độ cực đại nếu hai dao động thành phần dao động cùng pha, tức là:
2
k .2 , hay
 d1  d 2    k .2  d1  d 2  1   k 4k  1  cm  k  Z  (1) (các đờng

2
4
cong nét liền trên hình vẽ)

Dao động tổng hợp đó có biên độ cực tiểu nếu hai dao động thành phần dao động ngợc pha, tức là:
2
2k  1 , hay
 d1  d 2     2k  1  d1  d 2  3   k 4k  3  cm k Z (2) (các đ
2
4
ờng cong nét đứt trên hình vẽ)
a) Nếu điểm P nằm trên vân cực đại thì nó phải thoả mà ổn định, chúng tan điều kiện (1), tức là phải có điều kiÖn
sau: d1  d 2 4k  1  cm   5 4k  1  k 1 : là một số nguyên nên P nằm trên đờng cực đại và là
đờng thứ hai kể từ trung trực của ®o¹n S1 S 2 vỊ phÝa S 2
4


b) Nếu điểm Q nằm trên vân cực đại thì nó phải thoả m à ổn định, chúng tan điều kiện (1), tức là phải có điều kiện
sau: d1 d 2 4k  1  cm   7 4k  1  k 1,5  Z : kh«ng phải là một số nguyên nên Q không thể
nằm trên đờng cực đại.

+ Nếu điểm P nằm trên vân cực tiểu thì nó phải thoả mà ổn định, chúng tan điều kiện (2), tức là phải có điều kiện
sau: d 1  d 2 4k  3  cm   7 4k  3  k 1 : lµ một số nguyên nên Q nằm trên đờng cực tiểu và là
đờng thứ hai kể từ trung trực của đoạn S1 S 2 về phía S 2
ĐS: P nằm trên đờng cực đại và là đờng thứ hai kể từ trung trực của đoạn S1 S 2 về phía S 2 ; Q
nằm trên đờng cực tiểu và là đờng thứ hai kể từ trung trực của đoạn S1 S 2 vỊ phÝa S 2
Bµi 4: Trong mét thÝ nghiƯm giao thoa trên mặt nớc, hai nguồn kết hợp A và B dao động theo
phơng thẳng đứng, cùng pha, cùng tần số f 20 Hz tác động lên mặt nớc tại hai điểm A và B. Tại
một điểm M trên mặt nớc cách A một khoảng d1 25 cm và cách B một khoảng d 2 20,5 cm ,
sóng có biên độ cực đại. Giữa M và đờng trung trực của AB có hai dà ổn định, chúng tay các cực đại khác. Tính vận tốc
truyền sóng trên mặt nớc.
Giải:
+ Giả sử phơng trình dao động tại hai nguồn kết hợp A và B là: u1 u 2 a sin t
+ Dao động tại M do các nguồn A, B gửi tới lần lợt là:

+ Độ lệch pha của hai dao động đó là:  


2d 1 


u1M  a1M sin  t 





2d 2 

u
 a 2 M sin  t 

2M






2
 d1 d 2


+ Nếu M là một điểm nằm trên vân cực đại (gợn lồi) thì k .2 

 d1  d 2 k  k  Z  (1)

5

2
 d1  d 2  k .2



+ Tõ (1) ta nhËn thÊy ®êng trung trùc  d1 d 2 là một vân cực đại ứng với k 0 . Mà giữa M và đờng trung trực của AB có hai dà ổn định, chúng tay các cực đại khác nên dà ổn định, chúng tay cực đại đi qua M ứng với k 3 (xem
hình vẽ dới).

+ Thay k 3 vào (1) tính đợc bớc sãng:  

d 1  d 2 25  20,5

1,5  cm 
k
3

+ Suy ra vËn tèc truyÒn sãng: v f 1,5.20 30  cm / s 
§S: v 30 cm / s

2. Bài toán tự luyện
Bài 5: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nớc, hai nguồn kết hợp A, B dao động cùng
pha cùng tần số f 16 Hz . Tại một điểm M trên mặt nớc cách các nguồn A, B những khoảng lần lợt là d1 30 cm ; d 2 25,5  cm  , sãng cã biên độ cực đại. Giữa M và đờng trung trực của AB có hai
dà ổn định, chúng tay các cực đại khác. Tính vận tốc truyền sóng trên mặt nớc.
ĐS: v 24  m / s 
Bµi 6: Trong mét thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nớc, hai nguồn kết hợp A, B dao động cùng
pha cùng tần số f 13 Hz . Tại một điểm M trên mặt nớc cách các nguồn A, B những khoảng lần lợt là d1 19 cm ; d 2 21 cm , sóng có biên độ cực đại. Giữa M và đờng trung trực của AB không có

cực đại nào khác. Tính vận tốc truyền sóng trên mặt nớc.
ĐS: v 26 cm / s
Dạng 2: Số điểm dao động cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng
a) Số điểm dao động cực đại trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng S1 S 2
+ Giả sử điểm M nằm trên S1 S 2 thuộc vân cực đại, ta có hệ phơng trình:
d 1 d 2  s1 s 2
  2
s s
  2
 s1 s 2

 1
k  1 2  1


1   2



2

2
  k  
d 1  d 2 
s
s



2

k
2

d  1 2  1

1


s
s

d

d

s
s

2
4
2

1 2
1
2
1 2


+ Tõ ®ã tính ra có bao nhiêu giá trị nguyên của k thì có bấy nhiêu điểm dao động cực đại, và vị trí
(đối với nguồn S1 ) các điểm cực đại tÝnh theo c«ng thøc: d1 

6

s1 s 2  1   2
k


2
4
2


+ Từ đó suy ra, khoảng cách giữa hai điểm cực đại liên tiếp đo dọc theo S1 S 2 là / 2 (khi thay k
bằng hai giá trị nguyên liên tiếp k và k 1 )
b) Số điểm dao động cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai nguồn sóng S1 S 2
+ Giả sử điểm M nằm trên S1 S 2 thuộc vân cực tiểu, ta có hệ phơng trình:
s1 s 2
1 2
s s
1   2
1

d 1  d 2  s1 s 2
k    1 2 
  
2
2

2




1   2
1



   k    
d 1  d 2 
1


2
2

 k  


s
s



2


1
2
1
2

 s1 s 2  d 1  d 2  s1 s 2
d 1




2
4
2


+ Từ đó tính ra có bao nhiêu giá trị nguyên của k thì có bấy nhiêu điểm dao động cực tiểu, và vị trí
(đối với nguồn S1 ) các điểm cực tiểu tính theo công thức:

1

k 
s s   2
2
d1  1 2  1

2
4
2
+ Từ đó suy ra, khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu liên tiếp đo dọc theo S1 S 2 là / 2 (khi thay k
bằng hai giá trị nguyên liên tiếp k và k 1 )
+ Khoảng cách từ điểm cực đại đến điểm cực tiểu gần nhất đo dọc theo S1 S 2 là /4.
c) Trờng hợp điểm M nằm trên đờng thẳng CD
+ Hoàn toàn tơng tự, chỉ có điều kiện ràng buộc không phải là  s1 s 2  d 1  d 2 s1 s 2 mà đợc thay
bởi:

CS1 CS 2  d1  d 2  DS1  DS 2
+ Giả sử điểm M nằm trên CD thuộc vân cực ®¹i, ta cã hƯ:
1   2

  k
d 1  d 2 
2


CS 1  CS 2  d 1  d 2  DS 1  DS 2
 CS 1  CS 2 

1   2
  k DS1 DS 2
2

+ Giả sử điểm M nằm trên CD thuộc vân cực tiểu, ta có
hệ:
1  2

  k
 
d 1  d 2 
 CS1  CS 2  1 2   k  DS1  DS 2
2

2
CS1  CS 2  d1 d 2 DS1 DS 2

1. Bài toán mẫu
Bài 1: (ĐH Cần Thơ 2001) Tại hai điểm O1 và O2 trên mặt chất lỏng cách nhau 11 cm có hai
nguồn phát sóng kết hợp dao động theo phơng trình: x1 x 2 2 sin 10t cm . Vận tốc truyền sóng
trên mặt chÊt láng v 20  cm / s  .
1) Xác định độ lệch pha của hai sóng truyền tới điểm M trên bề mặt chất lỏng mà khoảng cách đến
hai nguồn lần lợt là: d1 14 cm , d 2 15 cm .
2) Xác định vị trí các cực tiểu giao thoa trên đoạn O1O2 .
Giải:
2
2
+ Bớcc sóng: vT v.
20.
4 cm

10
+ Dao động thành phần tại M do O1, O2 gửi đến lần lợt lµ:

7


2d 1 

  cm 
 x1M  a1M sin  10t 





2


d

2 
x

a
sin
10

t


  cm 
2M
2M







+ Độ lệch pha của dao động x 2 M so víi x1M lµ:  

2
 d1  d 2 .


2

14 15
4
2
2) Dao động tổng hợp t¹i M: u M u1M  u 2 M . Dao động tổng hợp tại M cực tiểu nếu hai dao động
2
thành phần dao động cùng pha, tức là: k .2 , hay
 d1  d 2   2k  1.  k  Z 

1) Thay sè d1 14  cm , d 2 15  cm vào biểu thức trên ta đợc:

d1  d 2 4k  2  cm  (1)
+ Nếu M ở trên đờng nối O1O2 thì có thêm ®iỊu kiƯn rµng bc:
+ Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:


d
d 1


Z
k


d
d 1

11 


2

4k


11
d1

d

2





2

d 1  d 2 O1O 2 11  cm 

 O1O 2  d 1  d 2  O1O 2


cm

(2)



cm 
 11

2

 11  4k  2  11
 3,25  k  2,25
k  3;  2;  1; 0; 1; 2


 k  Z
 k  Z
 
d 1 6,5  2k  cm  3
d 6,5  2k  cm 
d 6,5  2 k  cm
 1
 1

+ Thay c¸c gi¸ trị của k vào công thức (1) ta tính đợc khoảng cách từ các điểm cực tiểu đến O1 :
+ Víi k  3  d 1 0,5  cm 
+ Víi k  2  d 1 2,5  cm 
+ Víi k  1  d1 4,5  cm
+ Víi k 0  d1 6,5  cm 
+ Víi k 1  d1 8,5  cm 
+ Víi k 2  d 1 10,5  cm 
§S: 1)  


, 2) d 2 6,5  2k  cm   k -3, - 2, - 1, 0, 1, 2
2

Bài 2: (ĐH Quốc gia HN - 2000) Hai đầu A và B ( AB 6,5 cm ) của một dây thép nhỏ hình chữ U
đợc chạm nhẹ vào mặt nớc. Cho dây thép dao động điều hoà theo phơng vuông góc với mặt nớc với
tần số f 80  Hz  . BiÕt vËn tèc truyÒn sãng v 32  cm / s  .
1) Trªn mặt nớc thấy các gợn sóng hình gì? Giải thích hiện tợng (không cần tính toán).
2) Tìm số gợn lồi và vị trí của chúng trên đoạn AB.
Giải:
1) Trên mặt nớc thấy các gợn sóng hình:
+ Một đờng thẳng trùng với đờng trung trực của đoạn thẳng
AB, hai bên đờng thẳng đó là các đờng hypecbol gợn lồi trên
mặt nớc (đờng nét liền) và xen giữa chúng là các đờng hypecbol
mà tại đó không dao động (đờng nét đứt) (xem hình vẽ).
Giải thích: Hai sóng do hai nguồn A, B tạo ra là hai sóng kết
hợp (vì chúng dao động cùng phơng cùng tần số và cùng pha),
do đó có hiện tợng giao thoa trong vùng hai sóng giao nhau.
Tại những điểm mà hai sóng tới từ A và B cùng pha với nhau
thì chúng tăng cờng lẫn nhau, biên độ dao động cực đại. Quỹ
tích những điểm này là những đờng hypecbol tạo thành gợn lồi
trên mặt nớc. Còn tại những điểm mà hai sóng tới từ A và B
ngợc pha nhau, chúng triệt tiêu nhau, biên độ dao động cực
tiểu (bằng không). Quỹ tích những điểm này cũng là những đờng hypecbol tạo thành gợn lõm không dao động trên mặt nớc.
2) Tần số góc: 2f 160  rad / s 
v 32  cm / s 
0,4  cm
+ Bíc sãng:   
f
80  Hz
+ Giả sử phơng trình dao động của các nguồn A, B là:
+ Dao động tại M do các nguồn A, B gửi tới lần lợt là:

8

u A

u B

a1 sin 160t
 a 2 sin 160t


2d 1 


u1M  a1M sin  160t 





2

d

2 
u

a
sin
160

t




2M
2M







+ Dao động tổng hợp tại M: u M u1M u 2 M cực đại nếu hai dao động thành phần u 2 M và u1M
2
dao động cùng pha, tøc lµ:  k .2 , hay
 d1  d 2  k .2  d1  d 2 k 0,4k  cm  k  Z 



(1)
+ NÕu ®iĨm M là một điểm dao động cực đại (gợn lồi) ở trên đờng nối AB thì ngoài phải thoả mà ổn định, chúng tan
AB 6,5 cm
d d
điều kiện (1) còn có thêm điều kiện ràng buộc: 
 AB
 AB  d  d
1

2

1

+


Do

®ã,

 6,5  0,4 k  6,5


k  Z
d
 1 3, 25  0, 2k  cm



ta

cã

hÖ:

2


d 2
d 1


 d 2
d 1

6,5 


 cm 
 cm

0, 4 k
6,5
d1



d

2



k



Z

6,5

 16, 25  k  16, 25


k  Z
d
 1 3,25  0,2 k  cm 

16; 15; 14; 13; 12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0
k  

d 1 3, 25  0, 2 k  cm 

+ Cã tất cả 33 giá trị của k nên số điểm gợn lồi trên đoạn AB là 33.
+ Khoảng cách từ các gợn lồi (dao động cực đại) đó đến A tÝnh theo c«ng thøc: d1 3,25  0,2k  cm 
, víi k 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 .
ĐS: Có 33 gợn lồi.
Bài 3: Hai nguồn sóng cơ O1 và O2 cách nhau 20 cm dao động theo phơng trình

x1 4 sin 4t cm , x 2 4 sin 4t  cm  , lan trun trong m«i trêng víi vËn tèc v 12  cm / s . Coi
biên độ sóng không đổi khi truyền đi từ các nguồn.
1) Tìm số điểm dao động cực tiểu trên đoạn thẳng O1O2 và tính khoảng cách từ các điểm đó đến
O1 .
2) Tìm số điểm dao động cực đại trên đoạn thẳng O1O2 và tính khoảng cách từ các điểm đó đến
O1 .
Giải:
2
2
+ Bớc sóng:  vT v.
12.
6  cm 

4

2d 1 

  cm  .
 

2d 2 

+ Dao ®éng ngn O2 gưi tíi M: x 2 M 4 sin  4 t 
  cm 
 

2
+ §é lƯch pha cđa hai dao động thành phần đó là:
d1 d 2 .

+ Dao động tổng hợp tại M: x M  x1M  x 2 M
+ Dao ®éng ngn O1 gưi tíi M: x1M 4 sin  4 t

+ Dao động tổng hợp đó cực đại nếu hai dao động thành phần dao động cùng pha, tức lµ:
2
 k .2 , hay
 d1  d 2  k .2  d1  d 2 k 6k  cm   k  Z  (1)



+ Dao ®éng tổng hợp đó cực tiểu (không dao động) nếu hai dao động thành phần dao động ng ợc pha,
tức là:
2
 2k  1 , hay

 d1  d 2   2k  1  d1  d 2 k  1  6k  3  cm  k Z (2)

2
1) Nếu điểm M là một điểm không dao động ở trên đờng nối O1O2 thì ngoài phải thoả mà ổn định, chúng tan điều
kiện (2) còn có thêm điều kiện ràng buộc:

d 1 d 2 O1O2  20  cm 

 O1O2  d 1  d 2  O1O 2

9

.


+


Do

®ã,

 20  6 k  3  20


k  Z
d
 1 11,5  3k  cm 



ta

cã


d 2
6 k  3  cm 
d 1

 d 2
 20  cm 
d 1

20  d 1

d 2
 20


hÖ:

k

 Z

 3,83  k  2,83

k  Z
d

 1 11,5  3k  cm 

k   3;  2;  1; 0; 1; 2

d 1 11,5  3k  cm 

: Có tất cả 6 giá trị của k.

+ Vậy số điểm không dao động là: 6.
+ Khoảng cách từ các ®iĨm kh«ng dao ®éng ®Õn O 1 tÝnh theo c«ng thøc: d 1 11,5  3k  cm  , víi
k  3,  2,  1, 0, 1, 2

2) Hoàn toàn tơng tự, nếu điểm M là một điểm dao động cực đại ở trên đ ờng nối O1O2 thì ngoài
phải thoả mà ổn định, chúng tan điều kiện (1) còn có thêm điều kiện ràng buộc:
+ Do đó, ta cã hÖ:



d 2
6 k
 cm k
d 1

 d 2
 20  cm 
d 1

20  d 1

d 2

 20


k   3;  2;  1; 0; 1; 2; 3

d 1 10  3k  cm 



d 1  d 2 O1O2  20  cm 

 O1O2  d 1  d 2  O1O 2
Z


 20  6 k  20


k  Z

d 1 10  3k  cm 

.

 3,33  k  3,33

k  Z

d 1 10  3k  cm 

: Cã tÊt c¶ 7 giá trị của k.

+ Vậy số điểm dao động cực đại là: 7.
+ Khoảng cách từ các điểm dao động cực đại đến O 1 tính theo công thức: d1 10  3k  cm  , víi
k 0, 1, 2, 3 .
ĐS: 1) Số điểm không dao động là 6. Khoảng cách từ các điểm không dao động ®Õn O 1 tÝnh theo c«ng
thøc: d1 11,5  3k  cm  , víi k  3,  2,  1, 0, 1, 2 ; 2) Sè ®iĨm dao động cực đại là 7. Khoảng
cách từ các điểm không dao động đến O 1 tính theo công thức: d1 10  3k  cm , víi
k 0, 1, 2, 3 ;
Bài 4: Trong môi trờng vật chất đàn hồi có hai nguồn sóng kết hợp A, B dao động theo phơng trình
u A a1 sin t  1   cm 

u B  a 2 sin  t   2   cm 

Chøng minh khoảng cách giữa hai vân cực đại liên tiếp (hoặc hai vân cực tiểu liên tiếp) đo dọc theo
đoạn thẳng AB bằng nửa bớc sóng.
Giải
+ Giả sử M là một điểm trên mặt nớc nằm trong hệ vân giao thoa và cách các nguồn A và B lần lợt là d 1 và d 2 .
+ Phơng trình dao động tại M do A, B gửi tới lần lợt lµ:


2d 1 


u1M a1M sin  t   1 






2

d

2 
u

a
sin

t





2M
2M
2






2
 d 1  d 2    1   2 

 u 2 M . Dao động tổng hợp đó có biên độ cực đại nếu hai dao

+ Độ lệch pha của hai dao động đó là:
+ Dao động tổng hợp tại M: u M u1M

động thành phần dao động cùng pha, tức là:

2
d1  d 2    1   2  k .2  d1  d 2 k   1   2    k Z (1)

2
+ Nếu M là một điểm cực đại trên AB thì ta có hệ:

d1

1   2    k  Z 

d 1  d 2 k 
2


d

d

AB
2
 1

AB k  1 2

(1)

2
2
4

+ Vậy, khoảng cách từ các điểm cực đại trên AB đến nguồn A tính theo công thức (1). Từ đó suy ra,
khoảng cách giữa hai điểm dao động cực đại liên tiếp trên AB b»ng nưa bíc sãng  / 2 .

10


+ Chứng minh tơng tự, khoảng cách giữa hai điểm dao động cực tiểu liên tiếp trên AB bằng nửa b íc
sãng  / 2 .
Bµi 5: Trong thÝ nghiƯm giao thoa sóng, ngời ta tạo ra trên mặt nớc hai nguån sãng A, B c¸ch nhau
3  cm  dao động với phơng trình u A u B a sin 100t  cm  . Mét hƯ v©n giao thoa xuất hiện gồm
một vân cực đại là trung trực của đoạn AB và 14 vân cực đại dạng hypecbol mỗi bên. Biết khoảng
cách giữa hai vân cực đại ngoài cùng đo dọc theo đoạn thẳng AB là 2,8 cm . Tính vận tốc truyền
pha dao động trên mặt nớc.
Giải
+ Giả sử M là một điểm trên mặt nớc nằm trong hệ vân giao thoa và cách các nguồn A và B lần lợt là d 1 và d 2 .



2d1






2d 2

+ Phơng trình dao động tại M do A gửi tới: u1M a1M sin 100t
+ Phơng trình dao động tại M do B gưi tíi: u 2 M a 2 M sin  100t 

2
 d1  d 2 

 u 2 M . Dao động tổng hợp đó cực đại nếu hai dao động thành

+ Độ lệch pha của hai dao động đó là:
+ Dao động tổng hợp tại M: u M u1M

phần dao động cùng pha, tức lµ:
2
 k .2 , hay
 d1  d 2  k .2  d1  d 2 k  k Z (1)



1) Nếu M là một điểm cực đại trên AB thì ta có hệ:

d 1 d 2 k k  Z
AB
k
 d1 



2
2
d 1  d 2 AB

(1)

+ Vậy, khoảng cách từ các điểm cực đại trên AB đến nguồn A tính theo công thức (1). Suy ra,
khoảng cách giữa hai điểm dao động cực đại liên tiếp trên AB bằng nửa bớc sóng / 2 .
2) Vì đờng trung trực của đoạn AB là một vân cực đại và mỗi bên có 14 vân cực đại nên có tất cả 29
điểm dao động cực đại trên đoạn AB. Mà giữa 29 điểm cực đại có 28 khoảng / 2 nên ta có:

28


2,8  cm    0,2  cm  .
2

+ Vận tốc truyền pha dao động trên mặt nớc là v f  .


100
0,2.
10  cm / s 
2
2

§S: 2) v 10  cm / s 
Bµi 6: Trong mét môi trờng vật chất đàn hồi có hai nguồn S1 , S 2 c¸ch nhau 9,5  cm  ph¸t dao
động cùng phơng, cùng tần số f 100 Hz , cùng biên độ dao động và có pha lệch nhau không đổi

theo thời gian. Khi đó tại vùng giữa S1 , S 2 ngời ta quan sát thấy xuất hiện 10 vân dao động cực
đại và những vân này cắt đoạn S1 , S 2 thành 11 đoạn mà hai đoạn gần các nguồn chỉ dài bằng một
phần t các đoạn còn lại. Tính bớc sóng và vận tốc truyền sóng trong môi trờng đó.
Giải:
+ Theo lí thuyết giao thoa, khoảng cách giữa hai điểm dao động cực đại liên tiếp trên S1 S 2 bằng
nửa bớc sóng / 2 .
+ Giữa 10 điểm dao động cực đại liên tiếp trên S1 S 2 có 9 khoảng bằng nhau và bằng / 2 .
+ Hai đoạn gần các nguồn chỉ dài bằng một phần t các đoạn còn lại, tức là bằng / 8

11


+ Do ®ã, ta cã: 9.

8S S


8.9,5
 2.  S1 S 2    1 2 
2  cm 
2
8
38
38

+ VËn tèc truyÒn sãng: v f 200  cm / s  2  m / s 
§S:  2  cm ; v 2  m / s
Bài 7: Trên mặt nớc có hai nguồn kết hợp A và B dao động theo phơng thẳng đứng với phơng

trình lần lợt là u1 a1 sin 40t   cm  , u 2 a 2 sin 40t    cm  . Hai nguån ®ã, tác động lên
6
2


mặt nớc tại hai điểm A và B c¸ch nhau 18  cm  . BiÕt vËn tèc truyền sóng trên mặt nớc
v 120 cm / s .
1) Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn AB.
2) Gọi C và D là hai điểm trên mặt nớc sao cho ABCD là hình vuông. Tính số điểm dao động với
biên độ cực tiểu trên đoạn CD.
Giải:
2
2
+ Bớc sóng: vT v.
120.
6 cm

40
+ Xét điểm M nhận đợc đồng thời sóng do hai nguồn gửi tới và cách hai nguồn A và B lần lợt là
d1 , d 2 .

2d1


cm
6

2d 2

+ Dao động tại M do ngn B gưi tíi: u 2 M a 2 M sin 40t  
  cm 
2
 

2
+ Độ lệch pha của hai dao động đó là: 
 d1  d 2   

3
+ Dao ®éng t¹i M do ngn A gưi tíi: u1M a1M sin 40t

+ Nếu M là một điểm nằm trên vân cực đại (gợn lồi) thì k .2

2
d1  d 2    k .2

3

1
  d1  d 2 6k  1  cm   k  Z  (1)
6
+ NÕu M lµ mét điểm nằm trên vân cực tiểu (gợn lõm) thì phải cã ®iỊu kiƯn   2k  1.
 d1  d 2 k 

1
1
2

 d1  d 2     2k  1.  d1  d 2  k       d1  d 2 6k  2  cm  k  Z (2)
2
6

3

1) Do M nằm trên đoạn AB nên phải có điều kiện ràng buộc nh sau AB  d1  d 2  AB
  8  cm  d1  d 2  8  cm . Hơn nữa, nếu M là một điểm cực đại thì nó phải thoả m à ổn định, chúng tan ®iỊu kiƯn
(1). Do ®ã ta cã hƯ:
 18  cm  d  d  18  cm  18  6k  1  18  2,83  k  3,17


 k  2;  1; 0; 1; 2; 3 Có 6 giá trị nguyên của k, tức là có 6 điểm dao động với biên độ

k Z
d  d 6k  1  cm  k Z k Z
cực đại trên đoạn AB.
2) Vì M nằm trên đoạn CD nên phải có điều kiƯn rµng bc DA  DB  d1  d 2  CA  CB . Thay sè
 DA CB 18  cm 

th× 18  18 2  d1  d 2  18 2  18 . H¬n
2 cm
DB CA 18
nữa, nếu M là một điểm cực tiểu thì nó phải thoả mà ổn định, chóng tan ®iỊu kiƯn (2).
 18
2  18  d  d
 18
2  18
+ Do ®ã ta cã hƯ: 
6k  2  cm   k  Z 

d  d


1

1

2

2





1

1

2

2

 3,31  6 k  2  3,31

k  Z

 1,58  k  0,91
 
 k 1; 0

k Z

: Có 2 giá
trị nguyên của k, tức là có 2 điểm dao động với biên độ cực tiểu trên
đoạn AB.
ĐS: 1) 6 điểm; 2) 2 điểm


2. Bài toán tự luyện
12


Bài 8: (Đại học Hàng hải - 98) Trong môi trờng vật chất đàn hồi, có hai nguồn kết hợp S1 , S 2 gièng
hƯt nhau c¸ch nhau 5  cm . Nếu sóng do hai nguồn này tạo ra cã bíc sãng  2  cm  th× trên đoạn
S1 , S 2 có thể quan sát đợc bao nhiêu cực đại giao thoa (không kể hai vị trÝ S1 , S 2 cđa hai ngn).
NÕu tÇn sè dao động của mỗi nguồn giảm đi hai lần (vận tốc truyền sóng không đổi) thì kết quả sẽ thế
nào?
ĐS: Quan sát đợc 5 cực đại giao thoa. Nếu tần số dao động của mỗi nguồn giảm đi hai lần thì chỉ
quan sát đợc 3 cực đại giao thoa.
Bài 9: Mũi nhọn của một âm thoa chạm nhẹ vào mặt nớc mặt nớc yên lặng rất rộng, âm thoa dao
động víi tÇn sè f 440  Hz  . Coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Bỏ qua mọi ma sát.
1) Gợn sóng do âm thoa tạo ra trên mặt nớc có hình gì? Khoảng cách giữa hai ngọn sóng liên tiếp là
2 mm . Xác định vận tốc truyền sóng trên mặt nớc.
2) Gắn vào một trong hai nhánh của âm thoa một mẫu dây thép nhỏ đợc uốn thành hình chữ U có
khối lợng không đáng kể. Đặt âm thoa sao cho hai đầu mẫu thép chạm nhẹ vào mặt nớc rồi cho âm
thoa dao động thì gợn sóng trên mặt nớc hình gì? Cho biết khoảng cách giữa hai đầu nhánh chữ U là
AB 4 cm , tính số gợn sóng quan sát đợc trên đoạn thẳng AB.
3) Gọi M1, M2 là hai điểm trên mặt nớc sao cho khoảng cách đến hai nguồn A, B thoả mà ổn định, chúng tan:
M 1 A  M 1 B  3,5  cm, M 2 A  M 2 B  3,4 cm . Trạng thái dao động của hai điểm đó so với
trạng thái dao động tại hai đầu nhánh chữ U có gì đáng chú ý?

4) Nếu tần số dao động của âm thoa tăng p lần (vận tốc truyền sóng không đổi) thì số gợn lồi và gợn
lõm trên đoạn AB là bao nhiêu?
ĐS: 1) Các đờng tròn đồng tâm, có tâm tại điểm nhọn tiếp xúc víi mỈt níc. VËn tèc trun sãng
v 0,88  m / s ; 2) Các gợn sóng hình hypecbol có tiêu điểm tại A và B. Có 39 gợn lồi 3) M 1 là
điểm đứng yên, M 2 dao động ngợc pha với nguồn và có biên độ cực đại (gấp đôi biên độ dao động
của các nguồn); 4) Có tất cả 40 p 1 gợn lồi.

Dạng 3: Viết phơng trình dao động tổng hợp
+ Phơng trình dao động tại hai nguồn kết hợp S1 và S 2 lần lợt là:

u1 a sin t  1 

u 2  a sin  t  2

+ Đối với bài toán thuộc loại này cần phải cho biết sự phụ thuộc biên độ sóng vào khoảng cách.
Thông thờng, coi biên độ sóng không đổi, tức là a1M a 2 M a
+ Đặc biệt, khi cho biên độ sóng không đổi và a1 a 2 a th×


2d 1 


u1M  a sin  t   1 





2d 2 


u
 a sin  t  2

2M





+ Dao động tổng hợp tại M lµ:

  d 1  d 2   1   2  
   d 1  d 2   1   2  

u M u 1M  u 2M 2a cos

sin t 




2

2




   d 1  d 2   1 2

2



+ Biên độ dao động tổng hợp: AM 2a cos

1. Bài toán mẫu
Bài 1: Trong thí nghiệm giao thoa sóng, ngời ta tạo ra trên mặt nớc hai nguồn sóng A và B dao
động điều hoà theo phơng vuông góc với mặt nớc với phơng tr×nh:


 

u A 5 sin  10t  6 




 

u
5 sin  10t 

B

2 



 cm 
 cm 

BiÕt vËn tèc truyÒn sãng v 10  cm / s ; biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Xác định biên độ dao
động tổng hợp tại điểm M trên mặt nớc cách A một khoảng d 1 9 cm và cách B một khoảng

d 2 8  cm  .
Gi¶i:
13


+ Bíc sãng:  vT v.

2
2
10  cm / s .
2  cm

10  rad / s 

+ Dao ®éng tại M do các nguồn A, B gửi tới lần lợt là:


2d 1


cm
u1M 5 sin 10t  6 






2d 2 


u
5 sin  10t 

 cm
2M

2





+ Dao động tổng hợp tại M là: u M u1M  u 2 M

   d1  d 2  
   d1  d 2    
u M 10 cos 
  sin  160t  
  cm 

6 
3




   d1  d 2   
   9 8
+ Biên độ dao động tổng hỵp: AM 10 cos
  10 cos 
  5 cm

6
2
6


ĐS: AM 5 cm
Bài 2: (ĐH Nông nghiệp I - 2001) Hai nguồn sóng cơ O1 và O2 cách nhau 20 cm dao động theo
phơng trình x1 x 2 4 sin 4t cm  , lan trun trong m«i trêng víi vËn tèc v 12  cm / s  . Coi biên
độ sóng không đổi khi truyền đi từ các nguồn. Xét các điểm M trên đoạn thẳng nối O1 và O2 . Tính
biên độ dao động tổng hợp tại các điểm cách O1 lần lợt là: d 1 9,5 cm ; d 1 10,75  cm  ;

d1 11  cm  .
Gi¶i:
+ Bíc sãng:  vT v.

2
2
12.
6  cm 

4

2d 1 

  cm  .
 

2d 2 

4 sin  4 t 
  cm 
 


+ Dao ®éng ngn O1 gưi tíi M: x1M 4 sin  4 t 
+ Dao ®éng ngn O2 gưi tíi M: x 2 M

+ Dao động tổng hợp tại M lµ: x M  x1M  x 2 M 8 cos

  d 2  d1  
  d1  d 2  
sin 4t 






 cm .

+ Mµ d 1  d 2 20  cm   d 2 d1 20 2d1
+ Biên độ dao động tổng hợp tại M là: A 8 cos

d 2  d1 
 10  d1 
8 cos
 cm 

3

+ Thay d 1 9,5  cm  th× biên độ dao động tổng hợp tại M: A 4 3  cm 
+ Thay d 1 10,75  cm thì biên độ dao động tổng hợp tại M: A 4 2  cm 
+ Thay d1 11  cm thì biên độ dao động tổng hợp tại M: A 4  cm 
§S: A 4 3  cm  ; A 4 2  cm  ; A 4 cm .
Bài 3: (Đề tuyển sinh đại học - 2004) Tại hai điểm S1 và S 2 cách nhau 10 cm trên mặt chất
lỏng có hai nguồn phát sóng dao động theo phơng thẳng đứng với các phơng trình lần lợt là
u1 0,2 sin 50t  cm  vµ u 2 0,2 sin  50t     cm  . VËn tèc truyền sóng trên mặt chất lỏng là
v 0,5 m / s . Coi biên độ sóng không đổi.
1) Tìm phơng trình dao động tổng hợp tại điểm M trên mặt chất lỏng cách các nguồn S1 và S 2
những đoạn tơng ứng là d 1 , d 2 .
2) Xác định số điểm có biên độ dao động cực đại trên đoạn thẳng S1 S 2 .
Giải:
14


+ Dao động tại hai nguồn S1 , S 2 lần lợt là: u1 0,2 sin 50t cm vµ u 2 0,2 sin  50t    cm .
+ Các dao động tại M, do hai nguồn gửi tới lần lợt là:

2d1
2d 2

u1M 0,2 sin  50t 
  cm , u 2 M 0,2 sin  50t   
  cm




+ Dao động tại M là tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng ph ơng cùng tần số. Biên độ dao động
2
tổng hợp phụ thuộc vào độ lệch pha của các dao động nói trên: 
 d 2  d1   


1


+ §iĨm M có biên độ cực đại nếu: n 2 , hay d 2  d1  n    2n  1  cm   n  Z
2


1) Dao động tổng hợp tại M:

d 2  d1  
   d 2  d1   

u M u1M  u 2 M 0,4 cos
  sin  50t  
  cm

2

2




2  rad 
2
50  cm / s 
2  cm 
+ Trong ®ã, bíc sãng  vT v

50  rad / s
2) Giả sử M là một điểm dao động với biên độ cực đại trên đờng nối S1 S 2 thì ngoài phải thoả mà ổn định, chóng tan

1

®iỊu kiƯn d 2  d1  n    2n  1  cm   n Z còn có thêm điều kiện ràng buộc nh sau:
2


 S 1 S 2  d 2  d 1  S1 S 2
+ Do ®ã, ta cã hÖ:

d 1  d 2  2 n  1  cm  n  Z

 10  d 1  d 2  10

 10  2n  1  10
 5,5  n  4,5
 

 
n  Z
n  Z

 n  5;  4;  3;  2;  1; 0; 1; 2; 3; 4 : có 10 giá trị của n nghĩa là có 10 điểm dao động với

biên độ dao động cực đại trên ®o¹n S1 S 2 .

   d 2  d1  
   d 2  d1   

  sin  50t  
  cm  ; 2) 10

2
2





§S: 1) u M 0,4 cos 

2. Bài toán tự luyện
Bài 4: Một sợi dây thép nhỏ uốn thành hình chữ U (hai nhánh của nó cách nhau 8 cm ) đợc gắn
vào đầu một lá thép nằm ngang và đợc đặt cho hai đầu S1 , S 2 của sợi dây thép chạm nhẹ vào mặt
nớc. Cho lá thép rung với tần số f 100 Hz , biên độ dao động của S1 , S 2 lµ 0,4  mm  . Khi đó
trên mặt nớc tại vùng giữa S1 , S 2 ngời ta quan sát thấy xuất hiện 5 gợn lồi và những gợn này cắt
đoạn S1 , S 2 thành 6 đoạn mà hai đoạn đầu chỉ dài bằng một nửa các đoạn còn lại.
a) Tính bớc sóng và vận tốc truyền sóng trên mặt nớc.

b) Viết phơng trình dao động tại M trên mặt nớc cách S1 , S 2 lần lợt d1 8 cm , d 2 8,8  cm  .
c) NÕu b©y giê ta uốn sợi dây sao cho khoảng cách giữa hai nhánh chữ U giảm đi chỉ còn bằng
4 cm thì quan sát thấy bao nhiêu gợn lồi trong khoảng giữa S1 , S 2 .
ĐS: a) 3,2 cm , v 320  cm / s  ; b) u M 0,4 2 sin  200t  8,4 mm ; c) 3 gợn lồi.
Bài 5: (ĐH S phạm TP. HCM - 2000) Trong thí nghiệm giao thoa sóng, ngời ta tạo ra trên mặt nớc
hai nguồn sóng A và B dao động điều hoà theo phơng vuông góc với mặt nớc với phơng trình:
u A u B 5 sin 10t  cm  . BiÕt vËn tèc truyÒn sãng v 20  cm / s ; biên độ sóng không đổi khi
truyền đi.
a) Viết phơng trình dao động tổng hợp tại điểm M trên mặt nớc cách A một khoảng d1 7,2 cm và
cách B một khoảng d 2 8,2 cm . Nhận xét về dao động này.

15


b) Một điểm N trên mặt nớc có hiệu khoảng cách đến hai nguồn A và B thoả mà ổn ®Þnh, chóng tan
AN  BN 10  cm  . Hỏi điểm này nằm trên đờng dao động cực đại hay đờng đứng yên? là đờng thứ
bao nhiêu và về phía nào so với đờng trung trực của AB?
ĐS: a) u M 5 2 sin 10t  3,85   cm . Nhận xét điểm này dao động điều hoà cùng tần số với hai
nguồn nhng biên độ gấp 2 lần. b) N nằm trên đờng đứng yên thứ 3 kĨ tõ trung trùc cđa AB vµ vỊ
phÝa A.
Bµi 6: Trong thÝ nghiƯm giao thoa sãng, ngêi ta t¹o ra trên mặt nớc hai nguồn sóng A, B cách nhau
một khoảng 30 cm , dao động theo phơng thẳng đứng với các phơng trình lần lợt là:



u A 5 sin  10t    cm  , u B 5 sin 10t  cm  . Coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Biết vËn
4

tèc truyÒn sãng v 40  cm / s  .
1) Thành lập phơng trình dao động tại M trên mặt nớc cách A, B lần lợt d 1 và d 2 .

2) Xác định vị trí các điểm dao động với biên độ cực đại và những điểm đứng yên.
3) Xác định số điểm dao động với biên độ cực đại và số điểm đứng yên trên đoạn thẳng AB.
4) Trung điểm I của đoạn AB có phải là điểm dao động với biên độ cực đại hay không? Xác định biên
độ dao động đó.
ĐS: 1) u M 10 cos

  d1  d 2    
  d1  d 2   
sin  10t 
   cm  (d1 , d 2 tÝnh theo cm) ; 2) Vị trí
8
8
8


điểm dao động với biên ®é cùc ®¹i: d1  d 2 8k  1  cm  k  Z  , VÞ trÝ các điểm đứng yên:

d1 d 2 8k 3  cm  víi k  Z  ; 3) 7 điểm dao động cực đại, 8 điểm đứng yên; 4) Không phải là
điểm dao động với biên độ cực đại, AI 5 2 2 cm .
Bài 7: (ĐH DL Thăng Long - 96) Trên mặt nớc rộng vô hạn có hai nguồn sóng kết hợp S1 , S 2 cách
nhau một khoảng l. Chúng phát ra hai sóng cùng phơng trình u 0 A0 sin t cm ; sóng không tắt
dần và có bớc sóng . Gọi M là điểm trên mặt nớc cách S1 , S 2 lần lợt d1 và d2.
1) Viết các phơng trình dao động tại M do S1 , S 2 truyền đến. Từ đó tổng hợp thành phơng trình
dao động quan sát đợc ở M.
2) Xác định vị trí các điểm dao động với biên độ cực đại và những điểm dao động với biên độ cực tiểu
trên mặt nớc.
3) Cho S1 S 2 10,75 . Gọi H là trung điểm của S1 S 2 . Chọn H làm mốc, hà ổn định, chúng tay xác định toạ độ các
bụng và các nút trên đoạn S1 S 2 .
4) Cã bao nhiªu bơng sãng, nót sãng trªn S1 S 2 . Bản thân S1 và S 2 là bụng sóng hay nút sóng
của sóng tổng hợp?

ĐS: 1) u M 2 A0 cos

  d1  d 2  
  d1  d 2  
sin  t
; 2) Vị trí điểm dao động với biên độ cực đại:







1
2

d1 d 2 k với k Z , Vị trí các điểm đứng yªn: d1  d 2  k     víi k  Z  ; 3) Chän chiỊu dơng
1

từ S1 đến S 2 . Vị trí các ®iĨm nót lµ x  k  
2 2

x k


2

k Z ,

và vị trí các điểm bụng là

k  Z  ; 4) Cã 21 bơng vµ 22 nút. S1 và S2 không phải là các điểm bụng hoặc các điểm nút.

Dạng 4: Xác định điều kiện để dao động tổng hợp tại M cùng pha, ngợc pha với các nguồn
+ Phơng trình dao động tại hai nguồn kết hợp S1 và S 2 lần lợt là:

16

u1  a sin  t   1 

u 2  a sin  t   2 


+ Đối với bài toán thuộc loại này cần phải cho biết sự phụ thuộc biên độ sóng vào khoảng cách.
Thông thờng, coi biên độ sóng không đổi, tức là a1M a 2 M a
+ Đặc biệt, khi cho biên độ sóng không đổi và a1 a 2 a thì


2d 1 


u1M  a sin  t   1





2

d

2
u

a
sin

t





2M
2






+ Dao động tổng hợp tại M là:

d 1  d 2   1   2  
   d 1  d 2   1   2  

u M u 1M  u 2M 2a cos

sin t 





2

2




   d 1  d 2   1   2



2



+ Biên độ dao động tổng hợp: AM 2a cos

+ Độ lệch pha dao động của dao động tổng hợp tại M so với nguồn S1 và lµ:

  d 1  d 2   1   2 


  M  pha u1   pha u M   1 

2

   pha u   pha u        d1  d 2    1   2 

1
M
1
 M

2

  d1  d 2 
0

  d1  d 2 
NÕu cos
0


NÕu cos

+ Chú ý: Nếu M nằm trên đờng trung trực của S1 S 2 thì d1 d 2 d và có điều kiện ràng buộc sau
đây d

S1 S 2
2

1. Bài toán mẫu
Bài 1: Hai nguồn kết hợp S1 , S 2 cách nhau một khoảng là 50 mm đều dao động theo phơng
trình u a sin 200t mm trên mặt nớc. Biết vận tốc truyền sóng trên mặt nớc v 0,8 m / s và
biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Hỏi điểm gần nhất dao động cùng pha với nguồn trên đờng
trung trực của S1 S 2 cách nguồn S1 bao nhiêu?
Giải:
2

2
+ Bíc sãng:  vT v.
0,8.
0,008  m  8  mm

200
+ Xét tại một điểm bất kì P ở trên bề mặt thuỷ ngân và cách các nguồn S1 , S 2 lần lợt là d 1 , d 2 .
+ Dao động tại P do S1 và S 2 gửi tới lần lợt là:


2d 1

mm
u1P  a sin  200t 





2

d

2 
u

a
sin
200


t


  mm 
2P






+ Dao động tổng hợp tại P là: u P u1P  u 2 P 2a cos

  d1  d 2  
  d1  d 2  
sin  200t 
  mm 






(d1  d 2 ) 1  0


2d
+ Do ®ã, ®é lƯch pha dao ®éng của điểm P với các nguồn là P  d1  d 2  
.



+ §iĨm P dao ®éng cïng pha víi c¸c ngn khi:  P 2k  d k 8k  mm   k  Z .
SS
+ Vì P nằm trên đờng trung trực nên cần có điều kiện: d 1 2 8k 25 k 3,125 , vì k chỉ
2
nhận giá trị nguyên nên giá trị nhỏ nhất của nó là k min 4  d min 4.8 32  mm .
+ Vì P nằm trên trung trực của S1 S 2  d1 d 2 d  cos

17


+ Điểm gần nhất dao động cùng pha với nguồn trên đờng trung trực của S1 S 2 cách nguồn S1 một
khoảng là 32 mm
ĐS: 32 mm .
Câu
10
Hai
nguồn
dao
động
theo
các
phơng
trình
S1 , S 2

u1 a sin 200t mm ; u 2  a sin 200t  mm  trên mặt thoáng của thủy ngân. Xét về một phía ®êng trung trùc cđa S1S 2 ta thÊy v©n bËc k ®i qua ®iĨm M cã hiƯu sè MS1  MS 2 12 mm và
vân bậc k 3 (cùng loại với vân k) đi qua điểm M' cã M' S1  M' S 2 36  mm . Tìm vận tốc truyền
sóng trên mặt thuỷ ngân, các vân là cực đại hay cực tiểu.
A. 25cm/s, cực tiểu

B. 80 cm/s, cực tiểu
C. 25cm/s, cực đại
D. 80cm/s, cực đại
Bài 2: Hai đầu A và B của một dây thép nhỏ hình chữ U đợc chạm nhẹ vào mặt nớc. Cho dây thép
dao động điều hoà theo phơng vuông góc với mặt nớc với tần số góc 160  rad / s  . Cho biÕt vËn
tèc truyÒn sóng v 32 cm / s và khoảng cách hai nguồn AB 6,5 cm ; biên ®é sãng kh«ng ®ỉi
a 0,5  cm  . Chän pha ban đầu của hai nguồn A, B bằng không.
1) Thiết lập phơng trình dao động tổng hợp tại các điểm M, N trên mặt nớc sao cho các khoảng c¸ch:
MA 6,7  cm  , MB 5  cm  , NA 7,79  cm , NB 5,09  cm .
2) So sánh pha dao động tổng hợp tại M, N và dao động tại hai nguồn A và B.
Giải:
2
2
1) Bớc sóng: v .T v .
32 cm / s  .
0,4  cm 

160
+ Chän pha ban đầu của hai nguồn A, B bằng không nên phơng trình dao động của các nguồn A, B
là: u A u B 0,5 sin 160t  cm  .
+ Dao động tại điểm P do các nguồn A, B gửi tới lần lợt là:


2d 1

cm
u1 P 0,5 sin  160t 






2

d

2 
u

0
,
5
sin
160

t


  cm 
2P






+ Dao động tổng hợp tại M là: u P u1P  u 2 P

u P cos

  d1  d 2  
  d1  d 2  
sin  160t 
  cm





a) Víi ®iĨm M, thay d 1 6,7  cm , d 2 5  cm  th×: u M cos

  6,7  5 
  6,7  5 
sin  160t 
  cm 
0,4
0,4



2
sin 160t  29,25   cm 
2
b) Víi ®iĨm N, thay d1 7,79  cm , d 2 5,09  cm  :
uM 

u N cos

  7,79  5,09
  7,79  5,09 

2

sin  160t 
sin 160t  0,2   cm 
  cm  
0,4
0,4
2



hay

2
sin 160t  0,8   cm 
2
2) So s¸nh pha dao động tổng hợp tại M và dao động tại hai nguồn A và B.
+ So sánh biểu thức của u M và u A ta thấy dao động tại M lệch pha so với dao động tại các nguồn
là 29,25 .
+ So sánh biểu thức của u N và u A ta thấy dao động tại N lệch pha so với dao động tại các nguồn
là 0,8 .
uN

ĐS: 1) u M  2 sin 160t  29,25   cm  , u N  2 sin 160t  0,8   cm  , 2) Dao ®éng tại M, N
2
2
lệch pha so với dao động tại các nguồn lần lợt là 29,25 ; 0,8 .
18

Bài 3: Trên bề mặt của một chất lỏng có hai nguồn phát sóng cơ O1 và O2 phát sóng kết hợp dao
động theo các phơng trình lần lợt là:

u1  4 sin 240t  cm 

u 2  4 sin  240t   

 cm 

. VËn tèc truyền sóng trên mặt

chất lỏng v 60 cm / s . Coi biên độ không đổi khi sóng truyền đi.
a) Viết phơng trình dao động tổng hợp tại điểm M trên mặt thoáng chất lỏng cách O1 , O2 những
đoạn d 1 , d 2 .
b) Xác định vị trí các điểm M có biên độ sóng cực đại và cực tiểu.
c) Xác định những vị trí của M dao động cùng pha với nguồn O1 .
Giải:



a) Sóng t¹i M do O1 trun tíi: u1M 4 sin  240t 





2d1 
  cm 
 

+ Sãng t¹i M do O2 trun tíi: u 2 M 4 sin  240t   


2
+ §é lƯch pha cđa hai sãng ®ã:   
 d1  d 2 


2d 2
cm


+ Dao động tổng hợp tại M lµ:

  d1  d 2   
   d1  d 2    
u M u1  u 2 8 cos
  sin 240t 
   cm

2 

2

+ Víi bíc sãng:  v

2
2
60.
0,5  cm


240

   d1  d 2  
cm

2


+ Biên độ dao động tổng hợp tại M: AM 8 cos

b) Cách 1: Những điểm M có biên độ sóng cực đại ứng với hai dao động u1M và u 2 M cùng pha, tức
là:   

2
 d1  d 2  k .2  d1  d 2  k  1    d1  d 2 0,5k  0,25  cm   k  Z 

2


   d1 d 2
1

2


Cách 2: Những điểm M có biên độ sóng cực đại ứng với AM cực đại, hay: cos

d1 d 2  
   d1  d 2   

 cos
  1 
 k  k  Z   d1  d 2 0,5k  0,25  cm

2

2

+ Quĩ tích M là họ đờng Hypebol có tiêu điểm O1, O2.
Cách 1: Những điểm M có biên ®é sãng cùc tiĨu øng víi hai dao ®éng u1M và u 2 M ngợc pha, tức là:
2

d1  d 2   2k  1  d1  d 2 k  d1  d 2 0,5k cm k Z



Cách 2: Những ®iĨm M cã biªn ®é sãng cùc tiĨu øng víi AM cùc tiÓu, hay:

19


   d1  d 2   
cos
  0

2


  d1  d 2   
   d1  d 2   

 cos
  0 
   k  k  Z   d1  d 2 0,5k  cm

2

2 2

+ Quĩ tích M cũng là họ đờng Hypebol có tiêu ®iĨm O1, O2.
c) Gäi  M lµ ®é lƯch pha của dao động tổng hợp tại M với dao động của nguồn O1 . Điểm M dao
động cùng pha với nguồn O1 nếu M 2k . Để xác định M ta chia thành các trờng hợp sau:

 d1  d 2   
 d  d2  
   0 th×  M  1
.

2

2


Trờng hợp 1: Nếu 8 cos

Do đó, ta có hÖ:

    d1  d 2   
  0
cos 
2




    d1  d 2    k 2
M

2


    d1  d 2   
  0
cos 
2
 

d  d  k  1   : Quü tích là các elíp
1 2 4

 d1  d 2   
 d  d2  
   0 th×  M  1
.

2

2


Trờng hợp 2: Nếu 8 cos

Do đó, ta cã hÖ:

    d1  d 2   
  0
cos 
2





d

d
  1 2    k 2
 M

2

    d1  d 2   
  0
cos 
2
 

1
d  d k : Quỹ tích là các elíp
1 2 4

Quĩ tích là elip có các tiêu điểm là O1 , O2 .

ĐS: a)

u M 8 cos 2  d1  d 2  sin  240t  2  d1  d 2   cm , c) elíp

2. Bài toán tự luyện
Bài 4: Hai nguồn kết hợp S1 , S 2 cách nhau một khoảng là 11 cm đều dao động theo phơng trình
u a sin 20t mm trên mặt nớc. Biết vận tốc truyền sóng trên mặt nớc v 0,4 m / s và biên độ
sóng không đổi khi truyền đi. Hỏi điểm gần nhất dao động ngợc pha với nguồn trên đờng trung trực
của S1 S 2 cách nguồn S1 bao nhiêu?
ĐS: d 1 min 6  cm 
Bµi 5: Trong thÝ nghiƯm giao thoa sóng, ngời ta tạo ra trên mặt nớc hai nguồn sóng A, B dao động với
phơng trình u A u B 5 sin 200t  cm  . Coi biªn độ sóng không đổi khi truyền đi. Một hệ vân giao
thoa xuất hiện gồm một vân cực đại là trung trực của đoạn AB và có 14 vân cực đại dạng hypecbol
phân bố đều ở hai bên. Khoảng cách giữa hai vân cực đại ngoài cùng đo dọc theo đoạn thẳng AB là
3,5 cm .
1) Vận tốc truyền pha dao động trên mặt nớc là bao nhiêu.
2) Hai điểm M, N trên mặt nớc với AM 4 cm, BM 3  cm, AN 4,25  cm; BN 4,5 cm . So
sánh trạng thái dao động của các nguồn với trạng thái dao động của hai điểm M, N.
§S: 1) 50  cm / s  ; 2) M dao động ngợc pha với các nguồn, N không dao động.

Dạng 5: Vị trí hai vân cùng loại đi qua 2 điểm P và P'
+ Phơng trình dao động tại hai nguồn kết hợp S1 và S 2 lần lợt là:
+ Xét tại M cách hai nguồn S1 và S 2 lần lợt là d 1 và d 2 .

20

u1  a1 sin  t   1 

u 2  a 2 sin  t   2 