Một chú thích về nghiệm dương của một bài toán ba điểm biên

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

MỘT CHÚ THÍCH VỀ NGHIỆM DƯƠNG
CỦA MỘT BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN
Lê Thị Phương Ngọc *

1.

Giới thiệu
Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên ba điểm sau :
x // (t )  f (t , x(t )), 0  t  1,

(1.1)

x / (0)  0, x(1)  x( ),

(1.2)

trong đó  ,  (0,1) và hàm số f cho trước thoả một số điều kiện thích hợp.
Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho các bài toán giá trị biên ba
điểm đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, xem [1 - 4] và các tài liệu tham
khảo trong đó.
Trong trường hợp   1, bài toán giá trị biên ba điểm (1.1) - (1.2) đã được
X. Han [2] nghiên cứu. Dựa trên phương pháp và các kỹ thuật được sử dụng
trong [2], chúng tôi đã nêu được các điều kiện để bài toán (1.1) - (1.2) tồn tại một
nghiệm hoặc hai nghiệm dương. Hơn nữa, tính compact của tập nghiệm dương
cũng được nghiên cứu.
Xét không gian Banach C[0,1] với chuẩn x  max x(t ) và không gian
t[ 0 ,1]

Banach C 2 [0,1] với chuẩn x

2

 max

x

, x / , x //

.

Chúng tôi thành lập các giả thiết sau đây :

( H1 )  ,  (0,1),   ( 0, ) sao cho  cos   cos   0.
2
( H 2 ) f :[0,1]  [0,  ) 

là hàm liên tục và thoả điều kiện :

g (t , x)  f (t , x)   2 x  0, (t , x)  [0,1]  [0,).

Khi đó, bài toán (1.1) - (1.2) tương đương với bài toán :
*

ThS. Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang

29

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Định

nghĩa

Lê Thị Phương Ngọc

x // (t )   2 x(t )  g (t , x(t )), 0  t  1,

(1.3)

x / ( 0)  0, x(1)   x( ).

(1.4)

toán

tử

tuyến

L : D ( L)  C 2 [0, 1]  C[0, 1]

tính



bởi



Lx  x //   2 x, với x  D(L), trong đó D( L)  x  C 2[0,1] : x / (0)  0, x(1)  x( ) .

Điều kiện ( H1 ) bảo đảm toán tử L khả nghịch, vì vậy bài toán (1.3) - (1.4)
được viết lại thành một phương trình tích phân tương đương. Khi đó, ta có thể
chứng minh (1.1) - (1.2) tồn tại nghiệm dương, bằng cách áp dụng định lí điểm
bất động trên một nón sau đây của Guo - Krasnoselskii :
Định lí 1.1. (Xem [2]) Cho X là không gian Banach và K  X là một nón. Giả
sử 1 ,  2 là hai tập con mở, bị chặn của X với 0  1 , 1   2 và giả sử
A : K  ( 2 \ 1 )  K là toán tử hoàn toàn liên tục thoả mãn một trong hai điều

kiện sau :
(i ) Au  u , u  K  1 , và Au  u , u  K   2 ,

hoặc
(ii) Au  u , u  K  1 , và Au  u , u  K   2 .

Khi đó toán tử A có điểm bất động thuộc K  ( 2 \ 1 ).
Bài báo gồm 4 mục. Trong mục 2, chúng tôi trình bày các bổ đề cần thiết
cho chứng minh các định lí chính ở mục 3. Trong mục 4, chúng tôi xét tính
compact của tập các nghiệm dương.
2.

Các bổ đề
Xét bài toán biên ba điểm :
x // (t )   2 x(t )  h(t ), 0  t  1,

(2.1)

x / ( 0)  0, x(1)   x( ).

(2.2)

Bổ đề 2.1. Giả sử ( H1 ) đúng. Khi đó :
(i) Với mỗi h  C[0, 1], bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất
30


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

1

x(t )   G (t , s ) h( s )ds  (Th )(t ), 0  t  1,

(2.3)

0

ở đây
 1 sin  (t  s ), 0  s  t  1,
G (t , s )   
0,
0  t  s  1,


(2.4)

sin  (1  s)   sin  (  s ), 0  s    1
cos  t

 ( cos   cos  ) sin  (1  s),
0    s  1.

Mặt khác :
(ii)

0  G (t , s )  M , (t , s )  [0,1]  [0,1],


ở đây M  1 sin  1 



1
 cos   cos 

(2.5)


  0.


(iii) T : C[0, 1]  C[0, 1] là toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục;
(iv) Với mỗi h  C[0,1], nếu h(t )  0, t  [0,1] thì (Th)(t )  0, t [0,1].
Chứng minh.
(i) Giải (2.1) bằng phương pháp biến thiên hằng số, kết hợp điều kiện biên

(2.2), ta suy ra
1

x(t )   G (t , s ) h( s )ds, 0  t  1,
0

là nghiệm duy nhất của bài toán (2.1) - (2.2).
(ii) Từ ( H1 ), (2.4) và chú ý đến các bất đẳng thức :
sin  (t  s )  0, 0  s  t  1,

sin  (1  s )  0, 0  s  1,
0   sin  (  s )  sin  (  s )  sin  (1  s ), 0  s    1,

ta suy ra được G (t , s )  0, (t , s )  [0,1]. Tương tự, (t , s )  [0,1],
G (t , s )  1 sin  


sin  (1  s )
sin 
 1 sin  
 M.

 ( cos   cos  )
 ( cos   cos  )

31


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Lê Thị Phương Ngọc

(iii) Rõ ràng T là toán tử tuyến tính liên tục.
Tiếp theo, ta giả sử  là tập con bị chặn của C[0,1].
Từ tính chất bị chặn của hàm G (t , s ) trên [0, 1], như ở (ii) ta suy ra T () bị
chặn đều.
Mặt khác, do tính liên tục đều của hàm G trên [0,1]  [0,1], ta có T () đẳng
liên tục.
Áp dụng định lí Ascoli - Arzela, ta có T () compact tương đối trong
C[0,1]. Suy ra T là toán tử hoàn toàn liên tục.

Cuối cùng (iv) được suy ra dễ dàng từ tính chất G (t , s )  0, (t , s )  [0,1].
Bổ đề 2.1 được chứng minh.
Bổ đề 2.2. Giả sử ( H1 ) đúng và giả sử thêm tg 

sin 
. Khi đó :
  cos 

G (t , s)  M 0 , (t , s )  [0, 1]  [ 0,  ],

ở đây M 0 

cos 
sin  (1   )   sin    0.
 ( cos   cos  )

Chứng minh. (t , s ) [0,1]  [0, ],
cos t
sin  (1  s)   sin  (  s) 

 ( cos   cos  )
cos 

sin  (1   )   sin    M 0 .
 ( cos   cos  )

G (t , s ) 

Do ( H1 ) và tg 

sin 
, ta nhận được
  cos 

G (t , s )  M 0  0, (t , s)  [0,1]  [0, ].

Bổ đề 2.2 được chứng minh.
Bổ đề 2.3. Tồn tại một hàm số liên tục  : [0, 1]  [0,  ) và một hằng số
c  (0,1) sao cho
c( s )  G (t , s )  ( s ), t , s [0, 1].

32


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

Chứng minh.
Đặt

 ( s )  1  s , H (t , s)   (s )  G (t , s ).

Bước 1. Ta chứng minh nếu hằng số   0 được chọn đủ lớn thì
H (t , s) s t  0, H (t , s ) s  t  0, (t , s )  [0,1]  [0,1].

Trường hợp 1. s  [0,  ].
1a) Với mọi s  t ,
cos  t
sin  (1  s)   sin  (  s) 
 ( cos   cos  )
1

sin  ,
 ( cos   cos  )

G (t , s) 

nên
sin 
 ( cos   cos  )
sin 
  (1   ) 
.
 ( cos   cos  )

H (t , s ) st   (1  s ) 

Nếu ta chọn    1 

sin 
thì H (t , s) s t  0.
 (1   )( cos   cos  )

1b) Với mọi s  t ,
1
sin 
sin  (t  s ) 

 ( cos   cos  )
1
sin 
  (1   )  sin  
.

 ( cos   cos  )

H (t , s ) s  t   (1  s) 

Nếu ta chọn    2 

M
sin  
1

1 
1    (1   )   cos   cos 


 thì H (t , s ) s t  0.



Trường hợp 2. s  [ ,1].
2a) Với mọi s  t ,
G (t , s ) 

cos t
1
sin  (1  s ) 
 (1  s ),
 ( cos   cos  )
 ( cos   cos  )

33


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Lê Thị Phương Ngọc

nên
H (t , s ) s  t   (1  s ) 

Nếu ta chọn    3 


1 s
1
 (1  s )  
 cos   cos 

 cos   cos 


1
thì H (t , s ) s t  0.
 cos   cos 

2b) Với mọi s  t ,
1
sin  (1  s )
sin  (t  s ) 

 ( cos   cos  )
(1  s )
  (1  s )  (1  s ) 
 cos   cos 

H (t , s ) st   (1  s ) 


1
 (1  s )   1 
 cos   cos 


Nếu ta chọn    4  1 


.


1
thì H (t , s ) s t  0.
 cos   cos 

Chú ý rằng 1   2 ,  3   4 . Từ đó, với *  max 2 ,  4  ta có :
 *  (s )  G (t , s ), (t , s )  [0,1].

Đặt  (s )   * (s ). Thế thì
G (t , s )   (s ), (t , s )  [0,1].

Bước 2. Ta chứng minh nếu hằng số   0 được chọn đủ bé thì
H (t , s ) s t  0, H (t , s ) s  t  0, (t , s )  [0,1]  [ 0,1].

Trường hợp 1. s  [0,  ].
1a) Với mọi s  t ,
cos  t
sin  (1  s)   sin  (  s)
 ( cos   cos  )
(1   ) cos 

sin  (1  s )
 ( cos   cos  )
(1   ) cos 

sin  (1   ),
 ( cos   cos  )

G (t , s ) 

34


.



Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

nên
(1   ) cos  sin  (1   )
 ( cos   cos  )
(1   ) cos  sin  (1   )

.
 ( cos   cos  )

H (t , s ) st   (1  s ) 

Nếu ta chọn    5 

(1   ) cos  sin  (1   )
thì H (t , s ) s t  0.
 ( cos   cos  )

1b) Với mọi s  t ,
1
1   cos  sin  (1   )

sin  (t  s ) 

 ( cos   cos  )
1   cos  sin  (1   )

   5.
 ( cos   cos  )

H (t , s ) s  t   (1  s ) 

Nếu ta chọn    5 thì H (t , s ) s t  0.
Trường hợp 2. s  [ ,1].
Nếu s  1, hiển nhiên G (t , s)  0,  (s )  0. Khi đó H (t , s )  0.
Nếu s  [ ,1) thì :
2a) Với mọi s  t ,
G (t , s ) 

cos  t
sin  (1  s ),
 ( cos   cos  )

nên
H (t , s ) s  t   (1  s ) 

cos  sin  (1  s )
 ( cos   cos  )


cos 
sin  (1  s ) 

.
 (1  s )  
 cos   cos   (1  s ) 


Vì hàm g ( z ) 

sin  (1  s ) sin  (1   )
sin z
giảm trên (0,  ] nên

, do đó
 (1  s )
 (1   )
z


cos 
sin  (1   ) 
.
H (t , s ) st  (1  s )  
 cos   cos   (1   ) 


35


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Nếu ta chọn    6 

Lê Thị Phương Ngọc

cos  sin  (1   )
thì H (t , s ) s t  0.
(1   )  ( cos   cos  )

2b) Với mọi s  t ,
1
cos  sin  (1  s )
sin  (t  s ) 

 ( cos   cos  )
cos  sin  (1   )
  (1  s ) 
 (1   )( cos   cos  )
 (1  s )   6 .

H (t , s ) s  t   (1  s ) 

Nếu ta chọn    6 thì H (t , s ) s t  0.
Từ đó, với 0  *  min  5 ,  6  ta có :
 * ( s)  G (t , s )   *  ( s), (t , s )  [0,1].

Đặt c 

*
. Thế thì 0  c  1 và ta thu được :
*
c( s )  G(t , s)  ( s ), (t , s )  [0,1].

Bổ đề 2.3 được chứng minh.
Đặt
K 0  x  C[0,1] : x(t )  0, t  [0,1],

và với mọi x  K 0 , đặt Fx(t )  g (t , x(t )), t  [0,1].
Khi đó, toán tử F : K 0  K 0 hoàn toàn được xác định và liên tục.
Đặt A  T  F . Khi đó A  T  F : K 0  K 0 là toán tử hoàn toàn liên tục. Rõ
ràng mỗi điểm bất động của A chính là một nghiệm dương của bài toán (1.1) (1.2) và ngược lại. Đặt
K  x  C[0,1] : x(t )  c || x ||, t  [0,1].

Dễ dàng chứng minh rằng K  K 0 và K là nón dương trên C[0,1]. Hơn nữa
Bổ đề 2.4. A( K )  T  F ( K )  K .
Chứng minh. Với mọi x  C[0,1], x  0, ta có :

36


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

1

1

( Ax)(t )  T ( F ( x))(t )   G (t , s ) g ( s, x( s)) ds  c   ( s) g ( s, x( s ))ds, t  [0,1],
0

0

1

1

|| Ax || max  G (t , s ) g (s , x( s ))ds   ( s ) g ( s, x(s ))ds, t  [0,1].
t[0, 1] 0

0

Nên ( Ax)(t )  c || Ax ||, t [0,1].
Bổ đề 2.4 được chứng minh.
3.

Sự tồn tại nghiệm dương

Trong mục này, ta sẽ xét A  T  F : K  K . Từ các bổ đề trên, sự tồn tại
một nghiệm dương, hai nghiệm dương đã nghiên cứu trong [2] cũng đúng trong
trường hợp mở rộng này. Chứng minh các kết quả sau đây được thực hiện tương
tự như trong [2].
Giả sử
f 0  lim sup max

f (t , x)
f (t , x)
, f 0  lim inf
min
,

t[ 0 , 1]

x0
x
x

f   lim sup max

f (t , x)
f (t , x)
, f   lim inf min
.
x


t

[
0
,
1
]
x
x

x0 

x  

t[ 0 , 1]

t[ 0, 1]

Định lí 3.1. Giả sử ( H1 ), ( H 2 ) đúng và tg 

sin 
. Giả sử một trong hai
  cos 

trường hợp sau xảy ra :
(i) f 0    2 , f   , hoặc
(ii) f 0  , f     2 .
Khi đó bài toán (1. 1) - (1.2) có ít nhất một nghiệm dương.
Bổ sung các giả thiết sau đây :
( H 3 ) f 0  , f   , và tồn tại   0 sao cho

max

f (t , x)  (   2 ) ,

0  t 1, c  x  

ở đây   0 được chọn sao cho M  1.
37


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Lê Thị Phương Ngọc

( H 4 ) f 0    2 , f     2 và tồn tại   0 sao cho
min

f (t , x)  (   c 2 ) ,

0  t 1, c  x  

ở đây   0 được chọn sao cho M 0   1.
Định lí 3.2. Giả sử ( H1 ), ( H 2 ) đúng và tg 

sin 
. Giả sử thêm ( H 3 ) hoặc
  cos 

( H 4 ) đúng.

Khi đó bài toán (1. 1) - (1.2) có ít nhất hai nghiệm dương.
4.

Tính compact của tập hợp các nghiệm dương

Định lí 4.1. Giả sử ( H1 ), ( H 2 ) đúng và tg 

sin 
. Giả sử thêm :
  cos 

f 0  , f     2 .

Khi đó tập hợp các nghiệm dương của bài toán (1. 1) - (1.2) khác rỗng và
compact.
Chứng minh.

Đặt
  x  K 0 : x  Ax.

Như vậy,  chính là tập các nghiệm dương của bài toán (1.1) - (1.2). Áp
dụng định lí 3.1, ta có  khác rỗng. Ta sẽ chứng minh  là tập compact.
Bước 1.  là tập hợp bị chặn đều.
Chọn m  0 sao cho  * m  1. Từ giả thiết ta suy ra
R  0 : y  R  f (t , y )  (   2  m) y, t  [0,1].

Với mọi x  , với mỗi s  [0,1] tuỳ ý, có hai trường hợp xảy ra :
x( s )  R hoặc x (s )  R.

Nếu x( s )  R thì

38


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

f ( s, x( s ))  (   2  m) x( s),

suy ra
g ( s, x(s ))  mx(s ).

Nếu x( s )  R thì
g ( s, x( s))   ,

ở đây  là giá trị lớn nhất của g trên [0,1]  [0, R].

Suy ra với mọi x  , ta luôn có
g ( s, x( s ))  mx( s )   , s  [0,1].

Thế thì x  , t  [0,1], chú ý rằng  (s )   * (1  s )   *, s  [0,1] ta thu
được
1

1

0

0

x(t )   G (t , s ) g ( s , x( s ))ds    ( s )mx( s )   ds   * ( m || x ||   ),

vì vậy
|| x ||  * m || x ||   *  , x  ,

do đó
|| x ||

 *
, x  .
1  * m

Nghĩa là  là tập hợp bị chặn đều.
Bước 2.  là tập compact tương đối.
Vì A  T  F : K 0  K 0 là toán tử hoàn toàn liên tục,   K 0 bị chặn đều
nên A() là tập compact tương đối. Ta lại có   A() nên  là tập compact
tương đối.

Bước 3.  là tập đóng.
Giả sử {x n }   và xn  xˆ, khi n  .
Khi đó

39


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Lê Thị Phương Ngọc

max | x n (t )  xˆ (t ) |  0.
t[ 0 , 1]

Suy ra t  [0,1],
1

1

| xˆ (t )   G (t , s ) g ( s, xˆ( s ))ds | | xˆ (t )  xn (t ) |  | xn (t )   G (t , s ) g ( s, xn (s ))ds |
0

0
1

1

 |  G (t , s ) g ( s, xn ( s ))ds   G (t , s ) g ( s, xˆ ( s))ds |
0

0
1

 | xˆ (t )  xn (t ) |   | G (t , s ) g ( s, xn (s ))  G (t , s ) g ( s, xˆ ( s)) | ds,
0

bởi tính liên tục của g ,
1

| xˆ (t )   G (t , s ) g ( s, xˆ ( s ))ds |  0, khi n  .
0

Từ đó
1

xˆ (t )   G (t , s ) g (s, xˆ ( s ))ds |, t  [0,1].
0

Nghĩa là  là tập đóng. Định lí 4.1 được chứng minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Y. Chen, B. Yan, L. Zhang, 2007, Positive solutions for singular three-point
boundary-value problems with sign changing nonlinearities depending on x’,
Electronic J. Differential Equations, (63) (2007) 1–9.
[2]. X. Han, 2007, Positive solutions for a three-point boundary value problem at
resonance, J. Math. Anal. Appl. 336, 556–568.
[3]. R. Ma, 1999, Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value
problem, Electronic J. Differential Equations 1999 (34) 1–8.
[4]. Yong-Ping Sun, 2004, Nontrivial solution for a three-point boundary-value
problem, Electronic J. Differential Equations, 2004 (111) 1-10.

40


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM

Số 12 năm 2007

Tóm tắt
Một chú thích về nghiệm dương của một bài toán ba điểm biên
Bài báo sử dụng định lí điểm bất động Guo - Krasnoselskii trên một
nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán giá trị biên ba
điểm sau :

 x // (t )  f (t , x(t )), 0  t  1,
 /
 x (0)  0, x(1)   x( ),
trong đó  ,  (0, 1) và f thoả một số điều kiện thích hợp. Ngoài ra, sự tồn
tại hai nghiệm dương phân biệt và tính compact của tập nghiệm dương của
bài toán cũng được nghiên cứu.

Abstract
Note on the positive solutions for a three-point boundary value problem
In this paper, we consider the three-point boundary value problem

 x // (t )  f (t , x(t )), 0  t  1,
 /
 x (0)  0, x(1)   x( ),
where  ,  (0, 1) and f  C ([0,1]  [0, ), IR) is given. Under some suitable
assumptions on the function f , we prove the existence and multiplicity of
positive solutions of the problem. Furthermore, the paper shows that the

positive solutions set of the problem is compact. The main tool is the Guo Krasnoselskii's fixed point theorem in cones.

41