Cái hay của một bài toán

suy nghĩ mới
từ một bài toán
quen thuộc
Phan duy nghĩa
(P. Hiệu trởng Trờng tiểu học Sơn Long,
Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
RONG nhiều cuốn sách tham khảo
toán tiểu học có đề cập đến bài toán
sau: "Cho hình tam giác ABC.
Trên AB, BC lần lợt lấy các điểm D, E sao
cho AB = 3AD; BC = 4BE. Nối A với E, C
với D. AE cắt CD tại M. Tính tỉ số
ME
MA
"
T
Nghiên cứu kĩ bài toán này các bạn sẽ thấy
có nhiều điều thú vị sau:
Thứ nhất, bài toán có nhiều cách giải
Sau đây xin trình bày các cách giải đó:
Cách 1.
Nối B với M. Vì AB = 3AD nên AD =
2
1
BD.
Hai tam giác ACD và DCB có đáy AD và DB,
chung chiều cao hạ từ C tới AB nên S
ACD
=
2
1

S
DCB
. Mặt khác, hai tam giác này có chung
đáy CD nên từ tỉ số diện tích trên, ta suy ra tỉ
số các chiều cao tơng ứng AH =
2
1
BI (1). Vì
BC = 4BE nên BC =
3
4
EC. Hai tam giác
BMC và EMC có đáy BC và EC, chung chiều
cao hạ từ M tới BC nên S
BMC
=
3
4
S
EMC
. Mặt
khác, hai tam giác này có chung đáy MC nên
từ tỉ số diện tích ở trên suy ra tỉ số các chiều
cao tơng ứng là: BI =
3
4
EK (2). Từ (1) và
(2), ta có: AH =
2
1

BI =
2
1
x
3
4
EK =
3
2
EK.
Hai tam giác MAC và MEC có chung cạnh
đáy MC, từ tỉ số các chiều cao AH =
3
2
EK
suy ra S
MAC
=
3
2
S
MEC
. Hai tam giác này có
chung chiều cao hạ từ C tới AE nên đáy
MA =
3
2
ME. Vậy
ME
MA

=
3
2
.
Cách 2.
Nối B với M ta có: Hai tam giác MBC và
MEC có đáy BC =
3
4
EC và có chung chiều
cao hạ từ M xuống BC, suy ra: S
MBC
=
3
4
S
MEC
. Hai tam giác ACD và CBD có đáy
AD =
2
1
BD và có chung chiều cao hạ từ C
xuống AB, suy ra: S
ACD
=
2
1
S
BCD
. Hai tam

giác ACD và BCD có chung đáy CD nên
chiều cao hạ từ A xuống CD bằng
2
1
chiều
cao hạ từ B xuống CD. Hai tam giác BMC
và AMC có chung cạnh MC và có chiều cao
gấp đôi nhau, suy ra: S
AMC
=
2
1
S
BMC
. Mặt
khác, hai tam giác ACM và MCE có chung
chiều cao hạ từ C xuống AE, suy ra:
MA S
AMC
S
AMC
x S
BMC
ME S
MEC
S
MEC
x S
BMC

ME
MA
=
2
1
x
3
4
=
3
2
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 3.
Nối B với M (nh hình vẽ). Ta có: S
ACE
=
S
ABE
x 3. Vì đáy EC = 3BE. Mà hai hình tam
giác ACE và ABE chung đáy AE nên chiều
cao hạ từ C xuống AE gấp 3 lần chiều cao hạ
từ B xuống AE. S
ABM
= S

ADM
x 3 (1). Vì
chúng chung chiều cao hạ từ M xuống AB và
có AB = 3AD.
S
ACM
= S
ABM
x 3 (2). Vì chung đáy AM và
có chiều cao gấp 3 lần nhau. Từ (1) và (2), ta
có: S
ACM
= S
ADM
x 9. Coi S
ADM
là 1 phần thì
S
ACD
là 10 phần. Hay: S
ACD
= S
ADM
x 10.
Mà: S
ACD
=
3
1
S

ABC
. Vì đáy AD =
3
1
AB và
có chung chiều cao hạ từ C tới AB. Nên: S
ABC
= S
ADM
x 10 x 3 = S
ADM
x 30. Mặt khác, ta
có: S
ABM
+ S
ACM
= S
ADM
x 3 + S
ADM
x 9 =
S
ADM
x 12. Suy ra: S
BCM
= S
ADM
x (30 - 12 )
= S
ADM

x 18 và S
BME
= S
BCM
: 4 = S
ADM
x 18
: 4 = S
ADM
x 4,5.
S
ABM
MA S
ADM
x 3 2
S
BME
ME S
ADM
x 4,5 3
Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 4.
Nối B với M. Lập luận nh cách 3, ta có: S
ABM

= 3 (phần); S
ABC
= 30 (phần). Suy ra: S
ABE
=
4
1
S
ABC
=
2
15
(phần). Vậy: S
BME
=
2
15
- 3 =
2
9
(phần). Hai tam giác ABM và BME có
chung chiều cao hạ từ B xuống AE, nên suy
ra tỉ số hai cạnh đáy là:
ME
MA
= 3 :
2
9
=
3

2
.
Cách 5.
Nối B với M. Lập luận nh cách 3, ta có:
S
ABC
= 30 (phần). S
ACM
= 9 (phần).
S
AEC
=
4
3
S
ABC
=
2
45
(phần).
Suy ra: S
CME
=
2
45
- 9 =
2
27
(phần).
Hai tam giác CMA và CME có chung

chiều cao hạ từ C xuống AE, nên suy ra:
ME
MA
= 9 :
2
27
=
3
2
.
Cách 6.
Nối E với D. Hai tam giác ACD và ABC có
AD =
3
1
AB và có chung chiều cao hạ từ C
tới AB nên S
ACD
=
3
1
S
ABC
(1). Tơng tự với
hai tam giác AED và AEB, ta có: S
AED
=
3
1
S

AEB
(2). Hai tam giác AEB và ABC có BE
=
4
1
BC và có chung chiều cao hạ từ A tới
BC nên S
ABE
=
4
1
S
ABC
(3). Từ đây ta có:
S
ABE
=
3
1
S
AEC
(4). Từ (2) và (3), ta có:
S
AED
=
12
1
S
ABC
(5). Từ (2) và (4), ta có:

S
AED
=
9
1
S
AEC
. Hai tam giác AED và AEC
có chung đáy AE suy ra tỉ số các chiều cao
DP =
9
1
CQ. Hai tam giác AMD và ACM có
chung cạnh đáy AM, từ tỉ số các chiều cao ở
trên, suy ra: S
AMD
=
9
1
S
ACM
. Tổng diện tích
hai tam giác này là diện tích tam giác ACD
và bằng
3
1
S
ABC
theo (1). Nên S
AMD

=
30
1
S
ABC
(6). Từ (5) và (6), ta có: S
AMD
=
30
12
S
AED
=
5
2
S
AED
. Hai tam giác này có chung
chiều cao DP, suy ra tỉ số hai cạnh đáy là MA
=
5
2
AE. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 7.

Nối E với D. Hai tam giác CBD và CAB có
chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có BD
=
3
2
AB, nên suy ra: S
CBD
=
3
2
S
CAB
(1). Hai
tam giác DBC và DEC có chung chiều cao hạ
từ D xuống BC và có EC =
4
3
BC, nên suy ra:
S
DEC
=
4
3
S
DBC
(2). Từ (1) và (2), ta có: S
DEC
=
4
3

S
DBC
=
4
3
x
3
2
S
CAB
=
2
1
S
CAB
(3). Mặt
khác, ta có: Hai tam giác CAD và CAB có
chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có AD
=
3
1
AB, nên suy ra: S
CAD
=
3
1
S
CAB
(4). Từ
(3) và (4), ta có: S

DEC
=
2
3
S
CAD
. Hai tam
giác DEC và CAD có chung cạnh CD nên từ
tỉ số diện tích trên ta suy ra tỉ số hai chiều cao
là: EH =
2
3
AI. Hai tam giác AMC và EMC
có chung cạnh MC và có tỉ số chiều cao EH =
2
3
AI , nên suy ra: S
EMC
=
2
3
S
AMC
. Hai
tam giác này có chung chiều cao hạ từ C
xuống AE nên từ tỉ số diện tích trên ta suy
ra tỉ số hai cạnh đáy là:
MA
ME
=

2
3
. Hay:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 8.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có:
S
AEC
=
4
3
S
ABC
(1). S
ACM
=
30
9
S
ABC
(2).
Từ (1) và (2), ta có: S
AEC
=
4

3
x
9
30
S
ACM
=
2
5
S
ACM
. Hai tam giác CAE và CAM có
chung chiều cao hạ từ C xuống AE nên từ tỉ
số diện tích ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy là:
AM
AE
=
2
5
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 9.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có:
S
AEC

=
4
3
S
ABC
(1).
S
DEC
=
4
3
S
BCD
=
4
3
x
3
2
S
CAB
=
2
1
S
CAB
(2). Từ (1) và (2), ta có: S
AEC
=
2

3
S
DEC
.
Mặt khác, ta có: S
EDM
=
9
1
S
EMC
. Suy ra:
S
DEC
=
9
10
S
EMC
. Ta có:
AE S
CAE
S
CAE
x S
EDC
ME S
EMC
S
EMC

x S
EDC
=
2
3
x
9
10
=
3
5
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 10.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S
AEC
=
4
3
S
ABC
. S
ACD
=
3

1
S
ABC
. Suy ra: S
AEC
=
4
9
S
ACD
. Mặt khác, ta có: S
CAM
= 9S
DAM
.
Suy ra: S
ACD
=
9
10
S
CAM
. Ta có:
AE S
AEC
S
AEC
x S
ACD
MA S

CAM
S
CAM
x S
ACD
=
4
9
x
9
10
=
2
5
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 11.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S
AMD
=
9
1
S
ACM
. Suy ra: S

AMD
=
10
1
S
CAD
.
S
CAD
=
3
1
S
ABC
; S
EAD
=
12
1
S
ABC
. Suy ra:
S
CAD
= 4 S
EAD
. Ta có:
MA S
AMD
S

AMD
x S
CAD
AE S
EAD
S
EAD
x S
CAD
=
10
1
x 4 =
5
2
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 12.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có:
S
EDM
=
9
1
S

EMC
. Suy ra: S
EDM
=
10
1
S
DEC
.
S
DEC
=
2
1
S
CAB
; S
DAE
=
12
1
S
ABC
. Suy ra:
S
DEC
= 6S
DAE
. Ta có:
ME S

EDM
S
EDM
x S
DEC

AE S
DAE
S
DAE
x S
DEC
=
10
1
x 6 =
5
3
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 13 .
Kẻ ER song song với DC. Nối R với C, nối
E với D. Hai tam giác RCE và RDE có
chung cạnh đáy RE, các chiều cao hạ từ D
và C bằng nhau (do RE song song với DC)

nên S
RCE
= S
RDE
(1). Hai tam giác BRE và
BRC có BE =
4
1
BC và có chung chiều cao
hạ từ R tới BC nên S
BRE
=
4
1
S
BRC
. Do (1)
nên S
BRC
= S
BED
do đó S
BRE
=
4
1
S
BED
. Hai
tam giác này có đáy cùng nằm trên cạnh AB

và chung chiều cao hạ từ E tới AB, suy ra
BR =
4
1
BD. Mặt khác: AB = 3AD nên nếu
chia AB ra 6 phần bằng nhau thì AD là 2
phần và BD là 4 phần. Vậy BR là 1 phần và
RD là 3 phần, AR là 5 phần. Hai tam giác
MAD và MAR có chung chiều cao hạ từ M
tới AR và có AD =
5
2
AR nên S
MDA
=
5
2
S
MAR
. Nối R với M, do DM song song với
RE nên S
MDR
= S
DME
. Suy ra: S
MAR
= S
ADE
.
Vậy: S

MDA
=
5
2
S
ADE
.
Lập luận nh trên ta có:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 14.

Nối B với M, D với E (nh hình vẽ). Lập luận
nh cách 3, ta có: S
ABC
= 30 (phần). S
ABE
=
4
1
S
ABC
=
2
15
(phần). Hai tam giác EAD và

EAB có chung chiều cao hạ từ E xuống AB
và có AD =
3
1
AB, nên suy ra:
S
EAD
=
3
1
S
EAB
=
2
5
(phần).
Vậy: S
DME
=
2
5
- 1 =
2
3
(phần). Hai tam
giác DAM và DME có chung chiều cao hạ từ
D xuống AE nên ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy
là:
ME
MA

= 1 :
2
3
=
3
2
.
Thứ hai, bài toán vừa giải ở trên là một tr-
ờng hợp của bài toán tổng quát sau: "Trên
các cạnh AC và AB của hình tam giác ABC
lấy các điểm M và N. Nối B với M, C với N.
BM và CN cắt nhau tại O.
Hãy tính
OM
OB
nếu biết
AN
BN
= m và
AM
CM
= n ".
Giải:
Nối A với O ta có: Hai tam giác AOC và
MOC có chung chiều cao hạ từ C xuống AC
nên suy ra:
S
AOC
AC AM + MC
S

MOC
MC MC
= 1 +
MC
AM
= 1 +
n
1
.
Hai tam giác BNC và ANC có chung chiều
cao hạ từ C xuống AB và có
AN
BN
= m nên
suy ra : S
BNC
= m x S
ANC
. Hai tam giác
BNC và ANC có chung đáy NC nên từ tỉ số
diện tích trên suy ra chiều cao hạ từ B tới
NC bằng m lần chiều cao hạ từ A tới NC.
Hai tam giác BOC và AOC có chung cạnh
OC và có tỉ số chiều cao bằng m nên suy ra:
S
BOC
= m x S
AOC
. Hai tam giác BOC và
MOC có chung chiều cao hạ từ C xuống

BM nên suy ra:
OB S
BOC
S
BOC
x S
AOC
OM S
MOC
S
MOC
x S
AOC

OB S
BOC
S
AOC
OM S
AOC
S
MOC
Vậy:
OM
OB
= m x (1 +
n
1
)
- Nh vậy bài toán đã giải ở trên là một tr-

ờng hợp của bài toán tổng quát khi m =
2
1
và n = 3.
- Đặc biệt nếu m = n = 1 thì
OM
OB
= 2.
Đây là một trong những tính chất của ba đ-
ờng trung tuyến trong tam giác.
Thứ ba, qua bài toán tổng quát trên ta
thấy đợc mối quan hệ giữa các tỉ số
AN
BN
,