Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 3: Đông học

TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

CHƯƠNG

I. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT
1. Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883)
⎧
d2x
dx
⎧
=
a
⎪ x
⎪u x = dt
dt 2
⎪
⎧x = x(x0 , y0 , z0 , t)
r ⎪
r
r
⎪
r
r
r dr
dy
⎪
⎪
r du d 2 r
d2y
⎪
u = ⇔ ⎨u y =

r = f (r0 , t) ⇔ ⎨y = x(x0 , y0 , z0 , t)
a=
=
⇔ ⎨a y =
dt
dt
dt dt 2
dt 2
⎪
⎪
⎪z = x(x , y , z , t)
0
0 0
⎩
⎪
dz
⎪
2
⎪a z = d z
⎪uz = dt
⎩
⎪⎩
dt 2
Quỹ đạo
z

¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển
động chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b
2. Phương pháp Euler

r(x, y, z)
y
r0(x0, y0, z0)

(L. Euler, nhà toán học người Thụy Só, 1707-1783)

⎧u x = u x ( x, y, z, t )
r r
⎪
u = u ( x, y, z, t ) ⇔ ⎨u y = u y ( x, y, z, t )
⎪
⎩u z = u z ( x, y, z, t )
dx
dy
dz
=
=
¾Phương trình đường dòng:
ux
uy
uz

x

Các đường dòng tại thời điểm t

(x,y,z)
ĐỘNG HỌC 1

TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

Ví dụ 1a: ux=3x2; uy=-6xy;

uz=0

Thiết lập phương trình đường dòng:

dx
dy
=
2
3x
− 6 xy
Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải:
2 xdx
dy
2dx
dy
=
⇔
=
2
x
−y
x
−y

Tích phân hai vế:

∫

2dx
=
x

dy

∫ −y

⇔ 2 ln( x ) = − ln( y ) + ln C ⇔ x 2 y = C

Vậy phương trình đường dòng có dạng: x 2 y = C
Ví dụ 1b:

ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y);
dx
dy
=
x y + 2x
− ( xy 2 + 2 y )

Thiết lập phương trình đường dòng:

2

Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y về
cùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán này
sau trong chương thế lưu
II. CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG

ống dòng
dA

1. Đường dòng, dòng nguyên tố

P

2. Diện tích mặt cắt ướt A,
Chu vi ướt P,
Bán kính thủy lực R=A/P

A
Dòng có áp

3. Lưu lượng Q,
Vận tốc trung bình m/ cắt
ướt V:

Q=
V=

A

Dòng không
áp

Dòng tia

u

∫ u dA = ∫ udA

Abất kỳ

n

Abatky

A

Am / c.uot

Q
A

Nhận xét: Lưu lượng chính là thể tích
của biểu đồ phân bố vận tốc :
ĐỘNG HỌC 2

Am/c ướtø

Biểu đồ phân bố vận tốc


TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

III. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG:
1. Theo ma sát nhớt:

Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát

Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát -Re =

Fquantinh
Fmasat

Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) - rối (Re>2300)
2. Theo thời gian:

ổn đònh-không ổn đònh.

3 Theo không gian:

đều-không đều.

4 Theo tính nén được: số Mach M=u/a
a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất
dưới âm thanh (M<1)
ngang âm thanh (M=1)
trên âm thanh (M>1)
siêu âm thanh (M>>1)
¾Thí nghiệm Reynolds

IV. GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT :
•Theo Euler:

du x ∂u x
∂u
∂u
∂u
=

+ ux x + uy x + uz x
dt
∂y
∂z
∂t
∂x
du
∂u
∂u
∂u
∂u
a y = y = y + ux y + uy y + uz y
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
du
∂u z
∂u
∂u
∂u
az = z =
+ ux z + uy z + uz z
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
{

14444244443

ax =

t.ph.cục - bộ

thành phần đối lưu

•Theo Lagrange:

r
r
r
r
du
∂u
u = u (x 0 , y0 , z0 , t) ⇒ a =
=
dt
∂t

ĐỘNG HỌC 3


TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

V. PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT:
Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) và
M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có:

∂u x
∂u x
∂u x
dx +
dy +
dz
∂z
∂x
∂y
∂u y
∂u y
∂u y
= uy +
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
∂u z
∂u z
∂u z
= uz +
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

u x1 = u x +
u y1
u z1

vận tốc chuyển
động tònh tiến

vận tốc biến
dạng dài

vận tốc biến dạng góc
và vận tốc quay

¾Đònh lý Hemholtz
1. Tònh tiến
Chuyển

Vận tốc ωr = 1 Rotur =
2
quay:

2. Quay

động

3. Biến dạng
Biến dạng góc

ε zy = ε yz

⎞
⎟⎟
⎠

ε

ε xz = ε zx

1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞
= ⎜
+
⎟
2 ⎝ ∂z
∂x ⎠

ε

1
2

⎛ ∂u y ∂u x
⎜⎜
+
∂y
⎝ ∂x

r
k ⎞⎟
∂ ⎟
∂z ⎟

u z ⎟⎠

Suất biến dạng dài

1
=
2

ε xy = ε yx =

r
j
∂
∂y
uy

Biến dạng dài

Suất biến dạng góc
⎛ ∂u z ∂u y
⎜⎜
+
∂z
⎝ ∂y

r
⎛ i
⎜
1⎜ ∂
2 ⎜ ∂x

⎜u
⎝ x

⎞
⎟⎟
⎠

ε

xx

yy

zz

∂u x
=
∂x

=

∂u

y

∂y

∂u z
=
∂z

ĐỘNG HỌC 4

ωx =

1 ⎛ ∂uz ∂u y ⎞
⎜
⎟
−
∂z ⎟⎠
2 ⎜⎝ ∂y

ωy =

1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞
−
⎜
⎟
∂x ⎠
2 ⎝ ∂z

ωz =

1 ⎛ ∂u y ∂u x ⎞
⎜
⎟
−
∂y ⎟⎠
2 ⎜⎝ ∂x

TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

•Chuyển động quay của phần tử lưu chất:
⎛ ∂ux
⎞
∂u
dy∆t − y dx∆t ⎟
⎜
α +β 1
1 ⎜ ∂y
⎟
ω=−
=−
+ ∂x
⎟
dx
2 ∆t
2∆t ⎜ dy
⎜
⎟
⎝
⎠
1 ⎛ ∂u y ∂ux ⎞ 1
⎟ = rotuz
= ⎜⎜
−
2 ⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ 2

x

ux∆t

∂ux/∂ydy∆
t
α
β

dy

+

∂uy/∂xdx∆
t
uy∆t

dx

Ví dụ 2:

r
rot ( u ) = 0

chuyển động không quay (thế)

r
rot (u ) ≠ 0

chuyển động quay

Xác đònh đường dòng của một dòng chảy có : ux = 2y và uy = 4x

dx dy
=
ux u y
dx dy
=
2 y 4x
4 xdx = 2 ydy
2 xdx = ydy

⎛ x2 ⎞ y2
+C
2⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ 2⎠ 2
2x2 − y2 = C

ĐỘNG HỌC 5

y


TS. Nguyeón Thũ Baỷy - ẹHBK tp HCM -Baứi Giaỷng CLC

FLUID MECHANICS - CASE STUDY

Example. 3:
In a testing facility, the inlet and outlet velocities of a
nozzle along the center line are measured to be 10 m/s
and 50 m/s, respectively. Technician John is asked to
provide a customer with the velocity and acceleration
distribution of the fluid in the nozzle. The length of the

nozzle is 0.5 m, as shown in the figure.
Derive the equations for the velocity and acceleration.
What is the local acceleration of the fluid entering and
exiting the nozzle?

Assume that the flow is one-dimensional, and it varies linearly along the
centerline in the nozzle.

CASE STUDY SOLUTION
For the center streamline, the velocity of the fluid is one-dimensional
and linear:
u = ax + b

where a and b are constants.

Based on the experimental measurements, u is 10 m/s when x is zero
(inlet) while u is 50 m/s when x is 0.5 m (outlet). Hence, it can be
determined that the constants a and b are 80 and 10, respectively. The
velocity distribution is thus given by
u = (80x + 10) m/s
The acceleration of the fluid is given by (use the fact that v = w = 0
for 1-D flow):

The local accelerations of the fluid at the inlet and outlet are then determined to be 800
m/s2 and 4,000 m/s2, respectively.

ẹONG HOẽC 6


TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

VI ĐỊNH LÝ VẬN TẢI REYNOLDS- PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT
1. Thể tích kiểm soát, và đại lượng nghiên cứu:
Xét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động. W có diện tích bao
quanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển
động qua không gian này. Đại lượng X của lưu chất trong không gian W
CV
được tính bằng:
A

X = ∫∫∫ kρdW
W

W

W: thể tích kiểm soát

u
dw

X : Đại lượng cần nghiên cứu
k : Đại lượng đơn vò ( đại lượng X trên 1 đơn vò khối lượng)
Ví dụ: X là khối lượng:

k=1 ;

r
X là động lượng: k = u
X là động năng:

k=u2/2

X = ∫∫∫ ρdW
v
X =

;X=

W

v

∫∫∫ u ρ dW
W

∫∫∫
W

u2
ρ dW
2

. Đònh lý vận tải Reynolds- phương pháp thể tích kiểm soát:
¾Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W
Diện tích
dX ∂X
=
+ kρu n dA
Diện tích
A2

dt
∂t W A∫∫
A1
C
A
B
n
n
Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích

kiểm soát W.
Tại t+∆t: lưu chất từ W chuyển động
W1
đến và chiếm khoảng không gian W1.
W
t +∆t
t +∆t
t
t
XW1 −XW
(XB
+ XC
) − (XA
+ XB
)
∆X
Xt +∆t −Xt
dX
= lim
= lim

= lim
= lim
∆t
∆t
∆t
dt ∆t →0 ∆t ∆t →0
∆t →0
∆t →0
t + ∆t
t + ∆t
t
t
t + ∆t
X t + ∆t − XA
(X B
+ XA
) − (X A
+ XB
)
+ lim C
∆t
∆t
∆t →0
∆t →0

= lim

t + ∆t
t + ∆t
X tW+ ∆t − X tW

XC
− XA
= lim
+ lim
∆t
∆t
∆t →0
∆t →0

∂X
=
∂t

W

∂X
∂t

W

=

+ lim

∆ t ∫∫ k ρ u n dA + ∆ t ∫∫ k ρ u n dA
A2

+

∫∫ k ρ u

A1

∆t

∆t→ 0

n

dA

A

ĐỘNG HỌC 7


TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

dX ∂X
+ kρu n dA
=
dt
∂t W A∫∫

VII ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TTKS
1. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC

dX
=0
dt

X là khối lượng: theo đ. luật bảo toàn khối lượng:
dX
=
dt

Hay
:

∂ ∫∫∫ ρ dW
W

+

∂t

=
∫∫ ρ u n d A b .d .Gauss
∫∫∫
A

W

∂ρ
dW +
∂t

∫∫∫ div ( ρ u ) dW

=0

W

∂ρ
+ div (ρ u ) = 0 : dạng vi phân của ptr liên tục
∂t

•Nếu ρ=const→ ptr vi phân liên tục của lưu chất không nén được:

div ( u ) = 0 ⇔

∂u x ∂u y ∂u z
+
+
=0
∂y
∂x
∂z

ƒDòng nguyên tố chuyển động ổn đònh: → ptr liên tục của dòng nguyên tố
chuyển động ổn đònh:
dA1

∫∫ ρu n dA = 0 ⇔ ρ1u1dA1 = ρ2u 2dA2

u1

A

dA2

u2

•Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra) → ptr liên
tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn đònh dạng khối lượng:

∫

ρ1u1dA1 =

A1

∫

ρ2 u 2dA2 ⇔ M1 = M 2

A2

M1: khối lượng lưu chất vào m/c A1 trong 1 đv t.gian
M2: khối lượng lưu chất ra m/c A2 trong 1 đv t.gian
•Đối với toàn dòng chuyển động ổn đònh (có một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chất
không nén được: → ptr liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén được
chuyển động ổn đònh:

Q1 = Q2

Q = const

hay

•Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c. động ổn đònh,

lưu chất không nén được, tại một nút, ta có: → ptr liên tục tại một nút cho
toàn dòng lưu chất không nén được chuyển động ổn đònh:

Qđến =

Qđi

ĐỘNG HỌC 8


TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

2. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG dX = ∂ X
dt

∂t

+
W

∫∫ k ρ u n dA

A

Khi X là năng lượng của dòng chảy có khối lượng m (ký hiệu là E, bao gồm nội
năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vò năng lẫn áp năng), ta có:
X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ

với Z=z+p/γ

1 2
p
Như vậy, năng lượng của một đơn vò khối lượng lưu chất k bằng:k = e u + u + gz +
2
ρ
trong đó: eu
là nội năng của một đơn vò khối lượng.
1/2u2 là động năng của một đơn vò khối lượng.
gz
là vò năng của một đơn vò khối lượng.
p/ρ
là áp năng của một đơn vò khối lượng.

Đònh luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng
trong một đơn vò thời gian (dE/dt) , bằng suất biến đổi trong một đơn vò thời gian
của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi
công (dW/dt) trong một đơn vò thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối với
môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát):

dE dQ dW
=
−
dt
dt
dt

Như vậy

1
1

dQ dW ∂
p
p
−
= ∫∫∫(eu + u2 + gz + )ρdw+ ∫∫(eu + u2 + gz + )ρundA
2
2
dt dt ∂t w
ρ
ρ
A

Dạng tổng quát
của P. tr NL

3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯNG
Khi X là động lượng:

v
X =

r
k=u

v

∫∫∫ u ρ dW
W

Đònh biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của lưu chất qua thể

tích W (được bao quanh bởi diện tích A) trong một đơn vò thời gian bằng
tổng ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất đó:

dX
= ∑ F ngoạilực
dt
Như vậy, từ kết quả của pp TTKS:

∑F

=
ngoạilực

dX ∂X
+ kρu n dA
=
dt
∂t W A∫∫

∂
(u )ρdw + ∫∫ (u)ρu n dA
∂t ∫∫∫
w
A

ĐỘNG HỌC 9

; ta có:
Dạmg
tổng

quát của p.tr
ĐL


TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

Một dòng chảy ra khỏi ống có vận tốc phân bố dạng như hình
vẽ, với vận tốc lớn nhất xuất hiện ở tâm và có giá trò Umax = 12
cm/s . Tìm vận tốc trung bình của dòng chảy

Ví dụ 4:

dA=2πrdr

Giải:
Tại tâm ống, u=umax; tại thành ống,
u=0.
Ta có trên phương r,; vận tốc dòng
chảy phân bố theo quy luật tuyến tính:

u=

Lưu lượng :

r

Umax
dr

u max

(R − r )
R

u max
2πu max ⎡ Rr 2 r 3 ⎤
πu max R 2
Q=∫
(R − r )2πrdr =
− ⎥ =
⎢
R
R
2
3 ⎦ r =R
3
⎣
0
Q u
V = = max
A
3
R

V = 4cm / s

Ví dụ 5: Lưu chất chuyển động ổn đònh trong đường ống có đường kính D. Ở đầu vào
của đoạn ống, lưu chất chuyển động tầng, vận tốc phân bố theo quy luật :
⎡
r2 ⎤
u1: vận tốc tại tâm ống khi chảy tầng.

u = u1 ⎢1 −
2⎥
r : được tính từ tâm ống (0 ≤ r ≤ D/2)
⎣ (R ) ⎦
Khi lưu chất chuyển động vào sâu trong ống thì chuyển sang chảy rối, với phân
1/ 7
bố vận tốc như sau :
u2: vận tốc tại tâm ống khi chảy rối
⎛y⎞
u = u2⎜ ⎟
y : được tính từ thành ống (0 ≤ y ≤ D/2)
⎝R⎠
Tìm quan hệ giữa u1 và u2
dA=2π r
Giải:
rdr
r
R
Theo phương trình liên tục:
u1
o
u2
o
dr
Q1 = Q2
1

R
⎡ r2 ⎤
⎡y⎤ 7

Q1 = ∫ u1 ⎢1 − 2 ⎥ 2πrdr;
Q 2 = ∫ u 2 ⎢ ⎥ 2π(R − y)dy
⎣R ⎦
⎣ R ⎦
0
0
R
⎡
⎡ r2
r2 ⎤
r4 ⎤
πu1R 2
Q1 = ∫ u1 ⎢1 −
2
π
rdr
2
π
u
=
−
=
1⎢
2⎥
2⎥
2
⎣ 2 4(R ) ⎦ r =R
⎣ (R ) ⎦
0
1

R
⎡ R y 17
⎤
7
⎡ 7 y 8 7 6 7 y15 7 −1 ⎤
y
49
⎡
⎤
⎡
⎤
Q2 = −2πu 2 ⎢∫ R ⎢ ⎥ dy − ∫ y⎢ ⎥ dy⎥ = 2πu 2 ⎢
R 7−
R 7 ⎥ = πu 2 R 2
R⎦
15
60
⎢0 ⎣R ⎦
⎥
⎢⎣ 8
⎥⎦
0 ⎣
⎣
⎦
y =R
49
⇒ u1 = u 2
30
R

ĐỘNG HỌC 10


TS. Nguyễn Thò Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng CLC

Chất lỏng lý ltưởng quay quanh trục thẳng đứng (oz). Giả sử vận tốc
Ví dụ 5: quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghòch với khoảng cách từ trục
quay trên phương bán kính (V=a/r; a>0 là hằng số. Chúng minh rằng
đây là một chuyển động thế. Tìm phương trình các đường dòng
r
Giải:
⎛ ∂u y ∂u x ⎞
rot ( u ) z = 0
chuyển động không quay (thế)
⎜⎜
⎟⎟ = 0
−
∂
∂
x
y
a − y − ay
− ay
⎝
⎠
;
u = u cos(u, ox) =
=
=
x

Suy ra:

r r

r2

x2 + y 2

u

a ⎛ x ⎞ ax
ax
uy = u cos(u, oy) = ⎜ ⎟ = 2 = 2
r⎝r⎠ r
x + y2

y r

∂uy

∂ ⎛ ax ⎞ a(x2 + y 2 ) − ax(2x) a(y 2 − x2 )
⎟=
= 2 2 2;
= ⎜
∂x ∂x ⎜⎝ x2 + y 2 ⎟⎠
( x 2 + y 2 )2
(x + y )

O x

∂ux ∂ ⎛ − ay ⎞ − a(x2 + y 2 ) + ay(2y) a(y 2 − x2 )
⎟=
= 2 2 2
= ⎜
( x 2 + y 2 )2
(x + y )
∂y ∂y ⎜⎝ x2 + y 2 ⎟⎠

∂u y

∂u x
= 0 ⇔ rot ( u ) z = 0
∂x
∂y
Đây là chuyển động Một chuyển động thế trên mặt phẳng xOy

Vậy:

−

Phương trình các đường dòng:

u x dy = u y dx ⇔
⇔ (x 2 + y 2 ) = C

ĐỘNG HỌC 11

ax
− ay

dy = 2
dx
2
2
x +y
x + y2