Bài giảng Trường điện từ - Chương 2: Trường điện tĩnh

Chương 2:
Trường điện tĩnh

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

1


Nội dung chương 2:
2.1 Luật Coulomb và nguyên lý xếp chồng.
2.2 Thế điện vô hướng.
2.3 Áp dụng luật Gauss cho trường điện tĩnh.
2.4 Phương trình Poisson Laplace .
2.5 Vật liệu trong trường điện tĩnh.
2.6 Năng lượng trường điện (We ).
2.7 Tụ điện và tính điện dung cuả tụ điện.
2.8 Phương pháp ảnh điện .
2.9 Dòng điện không đổi .

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

2


 Giới thiệu trường điện tĩnh:
 Tạo ra bởi các vật mang điện đứng yên và không thay đổi theo
thời gian.

 Mô hình:
Phương trình:

 
 rot E  0


 div D  ρ v

Điều kiện biên:

 E1t  E 2t  0

 D1n  D2n  ρS

Và :

D  εE  εr 0E
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

3


2.1: Luật Coulomb và
nguyên lý xếp chồng:

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

4


a) Trường điện do một điện tích điểm:
Qq
Fe 
aR (Luật Coulomb)
2
4  R
 Q

 q
aR   q E do Q
2
 4  R




E do Q 

Q
4  R

2

q

aR

R



Q

E
aR

aR

R

Q

Trường điện có tính hướng tâm và không đổi trên mặt cầu , tâm tại
vị trí điện tích điểm.
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

5


b) Trường điện do hệ điện tích điểm :
Xác định theo luật xếp chồng :



j 1

Qj
4 R

R1
R2
R3

Q2

n

E

Q1

2
j

aRn

Q3

a Rj

aR3
aR2
aR1

Rn

Qn

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

6


c) Trường điện do điện tích phân bố:
dS
dl

dv

P

Vi phân điện tích :

 L d

dq   S dS
  dV
 V

dq
dq
E

aR  
R
2
3
L,S,V 4  R
L,S,V 4  R
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

7


 Tìm trường điện dùng tích phân vector:
Tích phân chứa hàm vector:
b

 E (t )dt

y
E (t )

t

a

a

E (t )

x
b

Dùng cách nào để tính tích phân như trên ?
b

 E (t )dt

- Kết quả là một vector, và ta xác định các thành phần của nó.

a

E(t )  E1 (t ) x  E2 (t ) y , với các hàmvô hướng E1 ( t ), E2 ( t ) chỉ
Ta viết:
x, y
phụ thuộc vào t, không phụ thuộc các vector đơn vị
.
Sau đó chuyển tích phân về :
b

b

b

 E (t )dt  x  E (t )dt  y  E (t )dt
1

a

a

2

a

Các hàm dưới dấu tích phân lúc nàyCuuDuongThanCong.com
là vô hướng
EM-Ch2

8


 VD 2.1.1: Luật Coulomb & xếp chồng
Đĩa vành khăn, bán kính trong là a, bán
kính ngoài là b, tích điện mặt với mật độ s,
trong môi trường  = 0. Xác định vector
cường độ trường điện tại điểm P trên phần
dương trục Oz ?
Giải
 Chọn hệ tọa độ trụ, vi phân điện tích dq = sdSz = s(rdrd).


s (rdrd )
Vi phân trường điện tại P do dq: dE 
R
3
4  0 R
Vector khoảng cách: R = rar  zaz
R=

r 2  z2

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

9


 VD 2.1.1: Luật Coulomb & xếp chồng (tt)
Đĩa vành khăn, bán kính trong là a, bán
kính ngoài là b, tích điện mặt với mật độ s,
trong môi trường  = 0. Xác định vector
cường độ trường điện tại điểm P trên phần
dương trục Oz ?
Giải
 Trường điện tại P theo xếp chồng:

E
 Do:



ρS
4πε0

2

0

b

2π

a

0

 

d a r  0



 r2 drd ar  rzdrd a z
r z
2

2

E

ρSz
2ε0

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

3





1
a z
2

2



1
b z
2

2

a

z

10


2.2 Thế điện vô hướng:

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

11


a) Tính chất thế của trường điện tĩnh:
 Trong trường điện tĩnh, công trên
đường cong kín luôn bằng 0.




AaBbA













F d l  q  rot E d S 0

AaB

S





Fd l  

AbB

Fd l

 Công thực hiện độc lập với đường đi.
Trường điện tĩnh có tính chất thế.
D  εE,...

E,  ,  , J   E,...





rot E  0 ; E  grad( )





rot E  0 ; E  grad( )





div D  0

div J  0

E1t  E 2t  0; D1n  D 2n  0 E1t  E 2t  0; J1n  J 2n  0
 Chỉ cần thay vị trí của D bằng J trong phương pháp trước.
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

119


 VD 2.9.4: Sự tương tự giữa D và J
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là S, đặt
cách nhau d, điện môi thực có độ dẫn
điện  = const,  = const, nối vào hiệu
thế U = const. Tìm vector mật độ dòng
trong tụ ? Suy ra dòng qua tụ ?
Giải
 Do J = Jx.ax và div(J) = 0 .
Triển khai div trong hệ Cartesian :
Jx = A = const. …
Dòng điện qua tụ:

U S

I
d
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

120


 VD 2.9.5: Sự tương tự giữa  và 
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là A, đặt
cách nhau d, điện môi thực có độ dẫn
điện  = const,  = const. Tìm điện trở
của tụ điện phẳng ?
Giải
Kết quả bài toán TĐ tĩnh:
 Sự tương tự :

ε 

C

;

S
d

CG
S

 Điện dẫn của tụ:

G

 Điện trở của tụ:

1
d
R

G S

d

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

121


d) Định luật Joule:
 Vector mật độ dòng

Công suất tiêu tán dạng nhiệt.

 Mật độ công suất tiêu tán:

p  J.E  σE  J /σ [W/m ]
2

2

3

 Công suất tiêu tán trong thể tích V :

P   p.dV   σE .dV [W]
2

V

V

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

122


e) Điện trở và tính giá trị điện trở :
I
+
Uab

Giá trị điện trở:

R
G

U ab
R 
()
I

Giá trị điện dẫn: G 

1
 conductance[S or
R

]

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

123


 Tính giá trị điện trở :
i.

Chọn hệ tọa độ.

ii. Giả sử Uab = hiệu thế điện đặt lên môi trường dẫn .
iii. Xác định vector mật độ dòng trong môi trường dẫn .
iv. Xác định dòng qua môi trường dẫn:

I   J.dS
S

(dS hướng theo
chiều giảm thế)

Uab
v. Tính: R 
()
I
2
U ab
P
 2 ()
 Có thể tính qua công suất: R 
P
I
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

124


 VD 2.9.6: Tính giá trị điện trở của cáp
Tìm điện trở trên đơn vị dài của cáp
đồng trục, cách điện là điện môi thực
có ,  = const.
Giải
 Đặt lõi và vỏ cáp dưới hiệu thế U.

Thế điện  = (r) là nghiệm ptrình Laplace:

U

[  ln r  ln b]
ln(b/a)


J

U 1
ln(b/a) r

ar

I

  A ln r  B

 
U 1
E
ar 
ar
r
ln(b/a) r


U 1
ln(b/a) r

.2 r (do L = 1m)

Điện trở đơn vị của cáp:
CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

ln(b/a)
R0 
2π
125


 VD 2.9.7: Tính điện trở của tụ phẳng
Tụ phẳng, điện môi thực, tìm :




a) Vectơ J , E trong điện môi thực ?
b) Điện trở cách điện của tụ Rcđ ?
c) Công suất tổn hao nhiệt trong điện môi?



Giaûi
a) Nghiệm ptrình Laplace:

   xU

U
d



U
E  ax
d
U. 
J
ax
d



CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

126


VD 2.9.7: Tính điện trở của tụ phẳng (tt)
b) Có: Irò 

U S
S J d S  J x .S  d




U d
R cd  
Iro  S


c) Công suất tổn hao nhiệt:

PJ   J E dV    E2 dV
V

V

 U2
 U 2S
PJ  2  dV 
d V
d
Nhận xét:

U2
PJ 
R cd

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

127

 VD 2.9.8: Tính điện trở thanh dẫn
Tìm điện trở giữa hai điểm 1-2 , biết ¼ vành
khuyên vật dẫn có  = 3,3.107 (S/m) ; a = 5
(cm) ; b = 10 (cm) ; bề dày h = 2 (mm) ; dòng
điện I = 200 (A). Tìm mật độ dòng (và Jmax) ,
Rab và công suất tổn hao ?
Giaûi
 Do tính đối xứng:









J  J a  & div J  0


1 
(J )   0

r  


J  const


E

J





a

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

128


 VD 2.9.8: Tính điện trở thanh dẫn (tt)
2





Có: U12  E d l 
1

 /2

J

  rd 
0

J .r 

 2

2 U12
J 
 .r

2 U12 dr
2 U12 h b
I   J .dr.dz 
dz 
ln


 a r 0

a
S
b

I
J 
r.h.ln(b/a)
 Mặt khác:

R 12  U12 / I 

h



I
J (max) 
a.h.ln(b/a)


2 h ln(b/a)

PJ  R 12 I

2

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

129


 VD 2.9.9: Tính điện trở cách điện
Tụ điện trụ, điện môi thực có độ dẫn
điện  = k0/r2 (k0 = const),  = const,
nối vào nguồn DC có U = const.
a) Xác định vector cường độ trường điện trong điện môi ?
b) Điện trở cách điện trên đơn vị chiều dài cáp ?

Giải
a) Do tính đối xứng:

J  Jr a r (hệ trụ)

 Theo ptrình trường điện tĩnh miền có dòng: divJ  0


1 
(rJ r )   0

r  


Jr 

A
r



J r  Ar 
E  ar  ar

k0

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

130


 VD 2.9.9: Tính điện trở cách điện (tt)
 Theo định nghĩa hiệu thế điện: U 

A  b2  a 2
2k 0 U

E  b2  a 2 a r
2Ur

b Ar
a k0



dr  2kA (b 2  a 2 )
0

J  b2 0a 2 1r a r
2k U

b) Dòng rò qua tiết diện cách điện trên đơn vị chiều dài cáp :

I   JdS  
S

R

2

0

U
I



1m 2k U 1
0
2
2
0 b a r



(rd dz )  b2 a 2 2
2k 0 U

b2  a 2
4πk 0

CuuDuongThanCong.com

EM-Ch2

131