Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài toán hình học không gian

MỤC LỤC ............................................................................................................01
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 02
A. Phần mở đầu....................................................................................................03 
I.     Lý do chọn đề tài .................................................................. .…………. .....03      
II.    Mục đích nghiên cứu……………………………………………... ……  ... 04      
III.  Phương pháp nghiên cứu………………………………………….................04      
IV. Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài ..................................05
V.   Dự kiến kết quả đạt...........................................................................................06 
          
B. Phần nội dung...................................................................................................07
I    Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
1.   Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ…………………………… 07
2.   Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản…………………………………………07
3.   Các dạng bài tập cơ bản ……………………………........................................07
II.  Các bài tập minh họa..........................................................................................09
1.   Dành cho học sinh trung bình khá.....................................................................09
2.   Dành cho học sinh khá giỏi...............................................................................12
III. Bài tập tham khảo............................................................................................ 15
IV. Kết quả..............................................................................................................15
V.  Giải pháp mới.................................................................................................. 16
VI. Thực tiễn giảng dạy..........................................................................................16
VII. Kết luận ........................................................................................ .................17      


TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1]  Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp 2007, NXB Đại học Sư phạm.
[2] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học phẳng, NXB Giáo 
Dục.
[3] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học không gian, NXB 
Giáo Dục.
[4] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ , NXB Giáo Dục.

[5] Tạp chí toán học nhà trường ­ tháng 7/ 2015.
[6] B. I. Acgunop­ M.B.Ban, Hình học sơ cấp 1977, NXB Giáo Dục.
[7] Lê Thiếu Tráng , Luận văn tiến sĩ , Vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm 
phát triển năng lực toán học cho học sinh khá giỏi trong dạy học nội dung vec tơ 
trong trường phổ thông ­ 2015.
                                 


A.

Phần mở đầu

I­ Lí do ch
 
ọn đề tài :   
    
     1.Về mặt lý luận
        Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2015: Phương pháp giáo dục cần phải bồi 
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, 
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. 
        Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ 
năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực. Góp phần phát triển 
năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Góp phần hình thành và 
phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có 
ý chí và thói quen tự học thường xuyêncho học sinh. Tạo cơ sở để học sinh tiếp 
tục học cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc 
sống lao động.    
            “ Sử dụng phương pháp vectơ trong giải bài toán hình học không gian ” là 
một cách nghiên cứu  giải bài tập hình học bằng  phương pháp vectơ là sự tổng 
hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như : quan sát, ghi nhớ, óc tưởng 

tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh 
hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra 
một cách tốt nhất. 
          Đáp ứng yêu cầu “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý 
thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.Một điểm đổi 
mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm 
trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các 
em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. sức cần thiết.
    2.Về mặt thực tiễn
        Trong chương trình hình học ở THPT, khi dạy giải bài tập toán nói chung , 
giải bài tập toán bằng công cụ vectơ nói riêng học sinh thường gặp những khó 
khăn trong việc trả lời các câu hỏi sau:
 ­ Làm thế nào để phát hiện công cụ thích hợp cho việc giải bài toán đã cho ?


 ­ Dựa vào cơ sở nào để lưạ chọn đúng các kiến thức đã biết để giải bài toán đa 
cho ?
 ­ Biến đổi bài toán như thế nào để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc ?
 ­ Có những dạng bài toán nào có thể lựa chọn công cụ vec tơ để giải ?
Việc chỉ ra các căn cứ để phát hiện hướng giải đúng bài toán hình học phổ thông 
bằng phương pháp vec tơ sẽ giúp người học có tư duy trong việc hệ thống hóa các 
dạng toán, giải được các bài toán hình học một cách đơn giải hơn mà việc giải nó 
bằng phương pháp tổng hợp thì công kềnh và hình vẽ thì phức tạp.Ngoài ra 
phương pháp này còn giúp giáo viên và học sinh trong hoạt động giảng dạy và học 
tập môn hình học đạt hiệu quả cao hơn.
       Ở sách giáo khoa chương trình hiện nay, phần vec tơ trong không hian được 
trình bày kĩ, khuyến khích được học sinh học và sử dụng phương pháp vec tơ vào 
giải bài tập hơn chương trình cũ. Song ngay cả ở sách giáo khoa, sách bài tập và cả 
các tài liệu tham khảo cũng chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cho từng phần 
mà chỉ đưa ra một số ví dụ rồi giải. Do đó học sinh chưa khai thác sâu được 

phương pháp này nên chủ yế giải bài tập hình bằng phương pháp thông thường mà 
phương pháp này đòi hỏi phải có tư duy , trí tưởng tượng cao và hình vẽ phức tạp. 
Trong khi nhiều bài toán hình học không gian nếu giải bằng phương pháp vec tơ thì 
lời giải sẽ ngắn gọn và hình vẽ không phức tạp.
       Mặt khác các đề thi đại học cao đẳng hằng năm đáp án cho bài hình không gian 
không đưa ra cách giải bằng phương pháp vec tơ. Điều đó làm cho giáo viên và học 
sinh ít chú trọng cũng như chưa thấy được tính ưu việt của phương pháp này.
      Việc sử dụng thành thạo phương pháp véc tơ giúp học sinh có thể làm nhanh 
một số bài tập rèn luyện và phát triển tư duy lôgic toán, giúp học sinh lớp 11 có 
tiền đề tốt để học phương pháp tọa độ trong hình học giải tích lớp 12, phù hợp với 
xu thế học và thi hiện nay.
     3.Về cá nhân
        Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện 
vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT. Như chúng ta đã biết, Toán là khoa hoc 
tư duy  trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vì 
mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban 
đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương 
pháp cho học sinh sau này. 
       Một mặt khác toán học còn có tính thực triễn. Các kiến thức toán học đều bắt 
đầu từ cuộc sống. Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong 
cuộc sống. Dạy học toán học ở trung học là  hoàn thiện những gì vốn có trong học 
sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng 
ngôn ngữ và các kí hiệu toán học. Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những 
kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong 


việc học toán trong cuộc sống sau này. Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát 
huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán.
          Vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là ‘‘Kinh nghiệm hướng dẫn học 
sinh sử dụng phương pháp vec tơ giải bài toán hình học không gian’’.

II­ Mục đích nghiên cứu.
       Nghiên cứu luận văn người học nắm được các căn cứ lựa chọn công cụ thích 
hợp, lựa chọn đúng kiến thức đã học để vận dụng giải bài tập hình học bằng công 
cụ vectơ. Ngoài ra còn giúp người học phân dạng được các bài tập , mối liên hệ 
giữa bài tập này với bài tập kia.
III­ Đối tượng nghiên cứu
  Véc tơ trong không gian và các phép toán, các bài tập hình học trong không gian
III­ Phương pháp nghiên cứu
       Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề 
ra trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
1.  Phương pháp nghiên cứu  lý luận 
 ­ Nghiên cứu tài liệu.
 ­ Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
 ­ Nghiên cứu một số quan điểm, tư tưởng sáng tạo.
 
   2.Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập
­ Nghiên cứu các bài toán khai thác về tri thức cội nguồn.
­ Nghiên cứu các bài toán có cấu trúc tương tự.
 IV­ Thực trạng trước khi thưc hiện các giải pháp của đề tài     
1.  Thuận lợi 

              ­   Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập .
­   Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả  năng sáng tạo, tự 
học và yêu thich môn hoc.
́
̣


­  Có sự khích lệ  từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề. 
­ Được sự  động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến 

cuả đồng nghiệp.

    2. Khó khăn
­  Đa sô hoc sinh h
́ ̣
ọc yêu hình h
́
ọc đặc biệt là phần vec tơ. Có tư tưởng sợ 
học phần này. 
            ­ Giáo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài 
2.  Số liệu thống kê 

Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến véc tơ và vận dụng phương 
pháp véc tơ để giải, số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
Mức độ  

Không 

Nhận   biết  Nhận   biết   và   biết  Nhận biết và vận 

nhận   biết  nhưng   không  vận   dụng,   chưa  dụng , giải được 
được

biết vận dụng giải   được   hoàn  bài tập hoàn chỉnh
chỉnh

Số lượng
Tỉ lệ

44

8

4

1

66,7

22,2

9,9

1,1

V­ Dự kiến kết quả đạt được.
        Nghiên cứu các căn cứ để định hướng đúng hướng giải các bài toán hình học 
phổ thông nhờ công cụ vec tơ nhằm giúp học sinh pháp hiện , huy động đúng đã 
học, các bài tập đã biết cách giải vào việc giải các bài tập mới.
        Đưa ra một số dạng bài tập và cách nhận biết hướng giải bài tập đó, các hệ 
thống bài tập có liên quan.
    
                                          
                                          


B.

 Phần nội dung 

I – Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
 Quy trình giải bài toán bằng phương pháp véc tơ 
 Bước 1: Lựa chọn hệ véc tơ gốc : 
 ­ Thường là 3 véc tơ cùng điểm đầu và không đồng phẳng.
 ­ Ưu tiên chọn các véc tơ đã biết độ dài, biết góc giữa chúng.
 Bước 2: Chuyển các giả thiết, kết luận hình học của bài toán sang ngôn ngữ vec 
tơ và biểu diễn các vec tơ liên quan theo hệ vec tơ gốc.
1)

2)

 Các dạng hình học chuyển đổi cơ bản 

Giả thiết hình học
M là trung điểm của đoạn thẳng 
AB

Ngôn ngữ vec tơ (có thể)


G là trọng tâm tam giác ABC

G là trọng tâm tứ diện ABCD

 Các dạng bài tập cơ bản 
Bài toán 1: Chứng minh hai đường thẳng song song:
 Để chứng minh đường thẳng AB // CD , ta chứng minh :     
Bài toán 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:
 Để chứng minh đường thẳng AB // (MNP) , ta chứng minh :

3)

Bài toán 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh có hai đường 
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia (thực hiện bài 
toán 2 hai lần)
Bài toán 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
 Để chứng minh đường thẳng ab ta chứng minh , trong đó  lần lượt là vec tơ chỉ 
phương của a và b.
Bài toán 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Để chứng minh  ta chứng minh 
 Bài toán 6 :    Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh có hai đường 
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia (thực hiện bài 
toán 5 hai lần) 
Bài toán 7: Các bài toán về góc
*) Gọi  là góc giữa hai đường thăng  a và b.  lần lượt là hai vec tơ chỉ phương của a 
và b. Khi đó : 
*) Gọi  là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). 
Cách1: Ta đưa bài toán về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a’ là 
hình chiếu của a lên (P). Sau đó thực hiện bài toán 7
 Cách2:  Ta đưa về xác định góc giữa đường thẳng a và đường thẳng trong dó b là 
đường thẳng vuông góc với (P) 
 Chú ý : ( trong đó  lần lượt là véc tơ chỉ phương của a và b)
*): Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).  lần lượt là hai véc tơ nằm trên hai 
đường thẳng vuông góc với (P) và (Q).  . 
 Khi đó : 
Bài toán 8: Xác định khoảng cách ( từ một điểm tói motjomawtj phẳng, hai đường 
thẳng chéo nhau) : ta đưa bài toán về tính khoảng cách giữa hai diểm 


 Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi (trong đó tr là bộ ba vec tơ 

gốc đã chọn và đã biết ,  ,  
 Ta tính được    

II ­ Các bài tập minh họa:
1 )Dành cho học sinh trung bình khá¸
Ví dụ 1
 Cho tứ diện . Gọi  là trọng tâm 

tam giác .  là điểm nằm trên đoạn 
 CD sao cho  
 Chứng minh :  

 Giải:  
Đặt : 
Vì  nên 

 
Gọi  là trung điểm của , khi đó :
       
       
       . 

Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng 
điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận 
hình học sang ngôn ngữ vectơ như sau: 
Vì  nên 
   

Ví dụ2 ( Bài tập 4 SGK Hình Học 11 trang 9)

 Cho hình hộp  . Gọi   lần lượt là trung điểm của  và . Gọi  lần lượt là trọng tâm 
của các tứ diện  vµ .
Chưng minh : .
Giải:  
Đặt : 
 là trọng tâm của tứ diện  nên
 
 là trọng tâm của tứ diện  nên


Ta có: 
                  
 
 Nhận xét :Nếu không sử dụng phương pháp vec tơ trong bài toán này thì việc vẽ 
hình để xá định được trọng tâm của hai tứ diện phải vẽ nhiều đường và đương 
nhiên việc chứng minh cũng vậy
Ở ví dụ này ta chọn hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thiết , kết luận hình học sang ngôn ngữ vectơ như sau
 là trọng tâm tứ diện  nên     
 là trọng tâm tứ diện  nên             
 V í d
  ụ 3 
 Cho hình hộp . Gọi  lần lượt là trung điểm của . Chứng minh: 

 

Giải: 
Đặt : 
 Ta có  , 

 (1)
, 
 (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra 
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đứng  có tất cả các cạnh đều bằng .  là trung 
điểm của .
 Chứng minh 
Giải:  
Đặt : 
Vì  là lăng trụ tam giác đứng 
nên ta có: 
, 

Ví dụ 5:

Cho hình chóp  có . Gọi  lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh .
Giải:  
Ta có: 


Khi đó:

Ví dụ  6:

Cho hình chóp  có đáy là tam giác đều cạnh bằng .  và 
. Gọi  lần lượt là trung điểm của. Tính góc giữa hai đường thẳng  và .
Giải:
Đặt : 
Ta có : 
 vµ 

Gọi  là góc của hai đường thẳng  và , thì

2) Dành cho học sinh khá giỏi
Ví dụ1
 Cho hình chóp tam giác đều có  đáy  là hình vuông cạnh .  là điểm đối xứng của  

qua trung điểm của .  lần lượt là trung điểm của  vµ . Chứng minh .
                                 
Giải:  
Gọi . Khi đó 
Đặt : 
Ta có : 

Ví dụ 2:  

Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh . Tam giác  đều và nằm trong mặt phẳng 
vuông góc với đáy. Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh: 
  Giải:  
Gọi  là trung điểm của 
Đặt: 
Ta có: 


Ví dụ 3:
 Cho hình chóp ó đáy  là hình chữ nhật , ,  = .

,  là trung điểm . Chứng minh : .                          
                              
Giải:
Đặt : 

Ta có :  vµ  (1)
 (2)
Từ (1) và (2) 
Ví dụ 4

Cho hình chóp  có đáy là hình thang. , . Cạnh bên  vuông góc với đáy và . Gọi  là 
hình chiếu vuông góc của  lên . Tính khoảng cách từ  đền mặ phẳng .
                                 
Giải
Đặt 
Ta có: 
Gọi  là hình chiếu vuông góc hạ từ  
Lên mặt phẳng 
Khi đó : 

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều  có đáy là hình vuông cạnh .  là điểm đối xứng 

của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của  vµ . TÝnh khoảng cách giữa  
và . 
                                  
Giải:  
Đặt : 
Ta có : 


     
Gọi  là đường vuông góc chung của  và  , ta có:

III  Bài tập tham khảo  :

Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi   lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, 
ABD . Chứng minh rằng  // (BCD).
Bài 2:Cho hình chóp có đáyy là hình thoi cạnh  tâm . , canh bên .  lần lượt là trung 
điểm của . Chứng minh 
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác  có đáy  là hình thang vuông tại  và  , ,, .
a) Tính góc giữa  và .
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và
.
Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của  và G là 
trọng tâm  .
a)
Chứng minh 
b)
 Chứng minh 


Bài 5:Cho tứ diện , có , . Tam giác  vuông tại , các điểm  thuộc  và  thuộc  sao cho . 
Tính độ dài đoạn thẳng  theo  và .
Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 7a , có cạnh SC vuông 
góc với mf (ABC) và SC= 7a.
a)
Tính góc giữa SA và BC.
b)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 7: Cho hình lập phương  có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng  và .
     

IV. Kết quả
Chuyên đê này đã đ

̀
ược thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy 11, 12 và Luyên 
̣
thi Đai hoc trong hai năm gân đây. Trong quá trình h
̣
̣
̀
ọc chuyên đê này, h
̀
ọc sinh thực 
sự thấy tự tin, biết vận dụng  khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm 
đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh 
hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền  tang cho h
̉
ọc sinh tự học, tự nghiên 
cứu.
Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề:
 
Mức độ  

Không 

Nhận   biết  Nhận   biết   và   biết  Nhận biết và vận 

nhận   biết  nhưng   không  vận   dụng,   chưa  dụng , giải được 
được

biết vận dụng giải   được   hoàn  bài tập hoàn chỉnh
chỉnh

Số lượng
Tỉ lệ %

6

9

22

20

10,5

15,9

38,5

35,1

V. Giải pháp mới
Bài tập hình học nói chung và bài tập hình học không gian nói riêng rất đa dạng và 
phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử 
dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. 
Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, 
phát huy sự sáng tạo. Đê đat kêt qua cao  h
̉ ̣ ́
̉
ọc sinh cần  luyên tâp nhiêu, có thêm 
̣ ̣
̀

nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
VI. Thực tiễn giảng dạy


    1. Quá trình áp dụng
      Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ 
thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập 
phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
   2. Hiệu quả sau khi sử dụng
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, 
tạo cho hoc sinh ni
̣
ềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận 
dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang cho h
̉
ọc sinh tự học  
va t
̀ ự nghiên cứu. 
   3. Bài học kinh nghiệm
Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết 
học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biêt v
́ ận dụng linh hoạt các kiến 
thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một 
cách hợp ly v
́ ới các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng 
cho học sinh.
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình 
thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng 
bài tập khác nhau để phát triển tư duy  cua h
̉ ọc sinh.

VII. Kết luận     
  
“ Phương pháp véc tơ giải bài toán hình học không gian ” giúp học sinh có thể giải 
những bài toán phức tạp một cách đơn giản bằng cách sử dụng các phép biến đổi 
véc tơ. Tuy nhiên đây không phải là phương pháp tối ưu cho mọ bài toán. Vì vậy 
khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp vec tơ học sinh cần lưu ý 
lựa chọn, kết hợp các phương pháp khác nhau để tìm được phương án giải tối ưu 
nhất. 
         Trên đây là một số bài toán hình học không gian giả bằng phương pháp vec tơ 
mà tôi thấy hay và đã sắp xếp lại. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên việc sưu tầm, 
tổng hợp và sắp xếp chưa được hoàn thiện. Rất mong được thầy giáo và các bạn 
đồng nghiệp góp ý.
                       Tôi xin chân thành cảm ơn!
    


 Thanh hóa ngày 10 tháng 4 năm 2016

                                                                                   Tạ Thị Thúy Chinh