Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Ag-Mg và các bài tập áp dụng

       I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

      
          Bất đẳng thức là một vấn đề khó trong toán học, đặc biệt là học sinh 
THPT. Đối với nhiều trường THPT trong tỉnh, có thể nói rằng bài toán bất 
đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nh÷ng 
bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại 
học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hướng ra đề chung của Bộ GD – ĐT. 
         Riêng đối với trường THPT DTNT Tỉnh để học sinh không sợ học phần 
bất  đẳng thức đã là một vấn đề đối với giáo viên .Vì vậy tìm ra phương pháp 
giúp học sinh không những có hứng thú với các bài toán về bất đẳng thức đơn 
giản mà còn   làm được các bài bất đẳng thức trong các kỳ thi tuyển sinh Đại 
học, các kỳ thi học sinh giỏi, tôi viết chuyên đề " BẤT ĐẲNG THỨC AG­MG 
VÀ CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG'' m ột trong những bất đẳng thức cổ điển nhất , 
dễ chứng minh nhưng cũng có nhiều áp dụng nhất không chỉ ở những bài toán 
đơn giản  mà còn ở những bài toán khó .
         Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp 
các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra 
một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo 
nền  tang cho cac h
̉
́ ọc sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự đông viên, giup đ
̣
́ ỡ 
cua Ban Giam hiêu, đông nghiêp trong tô Toan tr
̉
́
̣
̀
̣
̉

́ ường THPT DTNT Tỉnh . Tôi 
đã  manh dan vi
̣
̣
ết chuyên đề này. 
    II.THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
     
       1. Thuận lợi
­   Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập .
­  Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự 
học và yêu thich môn hoc.
́
̣
­  Có sự khích lệ  từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên 
đề. 
­ Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến 

cuả đồng nghiệp.
    2. Khó khăn
1


­  Đa sô hoc sinh h
́ ̣
ọc yêu ph
́ ần bất đằng thức. Có tư tưởng sợ học phần 
này. 
            ­ Gi áo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài 
     3. Số liệu thống kê
Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến bất đằng thức, số lượng 

học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
Không 
Nhận biết, 
nhận
nhưng không 
 
biết  biết  vận dụng
được
Số lượng
Tỉ lệ ( %)

44
66,7

8
22,2

Nhận biết và 
biết vận 
dụng ,chưa 
giải được 
hoàn chỉnh
4
9,9

Nhận biết và 
biết vận dụng 
, giải được 
bài hoàn chỉnh
1

1.1

       III.  NỘI DUNG 
      1.Cơ sở lý luận
1. Cho hai số dương a, b. Ta có:   .
                            Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi  a = b.
2. Cho ba số dương a, b, c . Ta có :   .
3. Với hai số dương a, b. Ta có : 
                                                   
                                                   .
                             Dấu  “ = “ xảy ra khi và chỉ khi  a = b.
4. Tổng quát: Cho  và .
Khi đó :  với .
2


     2 . Nôi dung
̣
 
BÀI TẬP 1:   Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c. Ta có:

                                      .
Giải:
       Ap dụng bất đẳng thức AM – GM  cho ba số a, b, c . Ta có:
                      
                            .
                           
                             Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Tổng quát:     ; .
                            

                     Dấu  “ = “ xảy ra khi và chỉ khi .
BÀI TẬP 2:    Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c. Ta có:

                                .

Giải:
   Ta có: 
               
                 
            
                 .
               
                  .
                 
                  Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
BÀI TẬP 3:   Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c , d . Ta có:

                               .
Giải:
            Đặt: S = .
                   

3


                   M=.
                   
                   N= .
          Ta có :
              M+N=4.    Áp dụng bất đẳng thức AM­GM thì:

               
              M+S= .
               N+S=  .
              
               M+N+2S8 S2.
                
                   Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c = d.
BÀI TẬP 4:    Cho   (1)

Giải

BÀI TẬP 5 :    Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz=1, chứng minh: 

                      .
Giải:
           Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số. Ta có:
                          .
Tương tự, ta có:
.
                Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
BÀI TẬP 6:    Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c >0, ta có:

                        
4


Giải:
            Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM cho vế trái:
            .
Mặt khác:

                            .
       
        =.

= .        Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c .
BÀI TẬP 7:  Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam 

giác.CMR 
 a)  .   
 b) 
Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM  ta có:
   
b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

⇒  
Dấu “ = ” xảy ra cho cả  a) và b) khi và chỉ khi  đều : a = b = c
( p là nữa chu vi của  ABC: )
 BÀI TẬP 8 : Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
                    ;          x>0
Phân tích:
                   .

5


                   .
Giải:
         Ta có:
                    .

 là hàm một biến và .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là: .
BÀI TẬP 9: Chứng minh rằng : Với mọi x, y, z >0, ta có:

                             .
Giải:
            Ta có: .
                       Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
BÀI TẬP 10: Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c, d >0, ta có:

                      
                        .

Giải:
               Ta có: VT = 
                               
                               
                               .
                              .
                             Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =d.

6


BÀI TẬP 11: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3. Chứng 

minh:
                              .

Phân tích:

           Nếu ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM thì:
                         ?
                              Nên không thể dùng cách này.
Giải:
         Ta có:      
              
         Vì : .
               Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =1. 
BÀI TẬP 12:  Chứng minh rằng  :  

Giải
Ta biến đổi BĐT như sau: 
⇔     
⇔     
⇔     
⇔     
⇔     

BÀI TẬP 13: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn: a+b+c+d=4.

Chứng minh rằng :         
Giải:
       Ta có:       .
       Tương tự : VT.
7


                       Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =d=1.
BÀI TẬP 14:      Cho a, b, c, d là bốn số dương thỏa mãn : a+b+c+d=4.

Chứng minh rằng : 
              .
Giải:
            Ta có: 
        
                       VT 

BÀI TẬP 15:        Cho     Tìm GTNN của 

Giải

Mặt khác . Vậy 
Dấu “=” xảy ra . 
      VI. B ÀI T ẬP ÁP D ỤNG 
 Bài1: .  Chứng minh rằng  : 
 
Bài 2: Chứng minh rằng  : 
Bài 3: . Chứng minh rằng: 
Bài 4:  Cho  là các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng:
Bài 5: Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR
                          
Bài 6 . : Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam 
giác.CMR
                 
Bài 7.   Cho: 
    
     V. KẾT QỦA
8

Chuyên đê này đã đ
̀
ược thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy 10NC và  
Luyên thi Đai hoc trong hai năm gân đây. Trong quá trình h
̣
̣
̣
̀
ọc chuyên đê này,
̀
 
học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng  khi gặp các bài toán liên quan, tạo  
cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở  ra cho học sinh cách nhìn 
nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền   tang cho
̉
 
học sinh tự học, tự nghiên cứu.
Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề:
Không 
Nhận biết, 
nhận
nhưng không 
 
biết  biết  vận dụng
được
Số lượng
Tỉ lệ ( %)

4

7.1

10
17,5

Nhận biết và 
biết vận 
dụng ,chưa 
giải được hoàn 
chỉnh
22
38,6

Nhận biết và 
biết vận dụng , 
giải được bài 
hoàn chỉnh
21
36,8

       
      VI. GIẢI PHÁP MỚI
Dang toán 
̣
trong bất đẳng thức nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi 
bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt  
các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề 
này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy 
sự  sáng tạo. Đê đat kêt qua cao  h
̉ ̣

́
̉
ọc sinh cần  luyên tâp nhiêu, có thêm nhi
̣
̣
̀
ề u 
thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.
       VII. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY

1. Quá trình áp dụng

9


Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số  năm, tôi 
đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số 
bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải.
2. Hiệu quả sau khi sử dụng
Sau khi học sinh học xong chuyên đề  này học sinh thấy tự  tin hơn, hứng  
thú hơn, tạo cho hoc sinh ni
̣
ềm đam mê, yêu thích môn toán, mở  ra một cách  
nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang
̉  
cho học sinh tự học  va t
̀ ự nghiên cứu. 
3. Bài học kinh nghiệm
Từ  thực tế  giảng dạy chuyên đề  này, một kinh nghiệm được rút ra là  
trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ  bản, biêt v

́ ận dụng linh 
hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề  mở rộng, nâng cao, khắc  
sâu kiến thức một cách hợp ly v
́ ới các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng  
năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.
Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó  
hình thành kỹ  năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp  
nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy  cua h
̉ ọc sinh.
       VII. KẾT LUẬN      

  
           Bất đẳng thức AM – GM là bất đẳng thức rất quen thuộc ở phổ thông 
nhưng để sử dụng được nó không phải là điều đơn giản. Có những bài ta phải 
dùng AM – GM xuôi và phải chọn được hệ số nhưng có những bài lại phải 
dùng ngược.
         Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM mà tôi thấy 
hay và đã sắp xếp lại. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên việc sưu tầm, tổng 
hợp và sắp xếp chưa được hoàn thiện. Rất mong được thầy giáo và các bạn 
đồng nghiệp ghóp ý.
                       Tôi xin chân thành cảm ơn!
    

IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
10


1. Bất đẳng thức, định lý và áp dụng. Tác giả: Nguyễn Văn Mậu. Nhà xuất bản 
Giaó Dục.
2. Bai tâp đ

̀ ̣ ại số lớp 10.
3. Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai­ NXB Ha Nôi năm 2002
́ ̣
́
̉
̉
̀ ̣
4. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo­NXB Giáo Dục năm 2009

      Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2015
          
                                                                         Người thực hiện

                                                                    T ạ Th ị Th úy Chinh

MỤC LỤC
Số TT
1

Mục Lục

Trang
1
11


I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2
3
4

5
6
7
8
9

II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC 
GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 

1
2

III. NỘI DUNG
IV. B ÀI T ẬP ÁP D ỤNG

10
11

V. KẾT QỦA
VI. GIẢI PHÁP MỚI
VII. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
VIII. KẾT LUẬN      
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO:

11
12
13
13

       

12


13