Các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết và một số bài toán ứng dụng (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ TRÀ MY

CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ LÝ THUYẾT
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS
Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn
thành khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có
niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ
tôi hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã
luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Trà My


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết
và một số bài toán ứng dụng ” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân
cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà
Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của
bất kì khóa luận tốt nghiệp khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận
tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017.
Sinh viên

Trần Thị Trà My


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Nội dung nghiên cứu ..................................................................................... 2
7. Đóng góp đề tài ............................................................................................. 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ
BÀI TẬP ỨNG DỤNG.................................................................................... 3
1.1. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm ........................................... 3
1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. ..................................... 3

1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm ........................................ 4
1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ...................................... 5
1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm ................................. 5
1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ................................... 7
1.3. Một số bài toán ứng dụng........................................................................... 8
CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ............................................................. 13
2.1. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. .......................... 13


2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm. ..................... 13
2.1.2. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. ....................... 14
2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm. ...................... 15
2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm. ................. 15
2.2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm .................... 18
2.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 18
CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI
TOÁN ỨNG DỤNG ...................................................................................... 27
3.1. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm ............................................... 27
3.1.1. Định luật biến thiên động năng của chất điểm...................................... 27
3.1.2. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm. ........................................... 28
3.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ......................................... 30
3.2.1. Định li biến thiên động năng của hệ chất điểm:.................................... 30
3.2.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ...................................... 32
3.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 34
KẾT LUẬN .................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 43


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động
hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian,theo
thời gian. Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn
đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung. Vì vậy cho đến hiện
nay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và xã hội.
Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu
một cách toàn diện các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng
của các lực. Lý thuyết động lực học được xây dựng trên những định luật cơ
bản của động lực học. Chúng là kết quả của hàng loạt các thi nghiệm và quan
sát đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn. Các định lý này phản ánh mối liên hệ
cụ thể khác nhau giữa lực với chuyển động . Trong giai đoạn phát triển hiện
nay của Vật lý học, các định luật bảo toàn cho phép ta hiểu được sâu sắc thêm
nhiều thông tin về chuyển động của vật thể và vận dụng có hiệu quả trong
việc giải các bài toán cơ học phức tạp.
Trong động lực học,việc sử dụng

phương pháp của phần động học

trong các bài toán hệ vật là việc làm hết sức phức tạp. Hơn nữa trong phần lớn
các bài toán động lực học của hệ, vấn đề chính không phải là khảo sát một
cách chi tiết toàn bộ chuyển động của chất điểm thuộc hệ mà chỉ nghiên cứu
các hiện tượng theo từng mặt riêng biệt. Để giải quyết các bài toán như vậy,
việc sử dụng các định luật bảo toàn sẽ làm cho quá trình giải đơn giản và
nhanh chóng hơn.
Chinh vì vậy, tôi đã chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý
thuyết và một số bài toán ứng dụng ”

1

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết.
- Sử dụng các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết để giải một số bài
tập cơ lý thuyết.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung
lượng và định luật bảo toàn cơ năng.
- Áp dụng các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô
men xung lượng và định luật bào toàn cơ năng để giải một số bài tập cơ lý
thuyết.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men
xung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn đó
để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lý lý thuyết
- Phương pháp giải tích.
6. Nội dung nghiên cứu
Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng.
Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng và một số bài tập
ứng dụng.
Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng.
7. Đóng góp đề tài
- Vận dụng các định luật bảo toàn trong cơ li thuyết để giải một số bài
tập về chuyển động phức tạp của vật rắn.
- Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý
thuyết.

2

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI
TOÁN ỨNG DỤNG
1.1. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm.
1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.
a. Xung lượng của chất điểm.
Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc v⃗ của nó được gọi
là
xung lượng P⃗ của chất điểm
P⃗ = mv⃗
(1.1)
b. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.
Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động
nên đạo hàm hai vế của (1.1) theo thời gian t, ta được:

3


dP⃗
dv⃗
= m = mω⃗⃗ ( là gia tốc của chất điểm )
dt →
dt
ω
→
→
Hay P = F

Đây là công thức biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.
Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:
“ Đạo hàm của véc tơ xung lượng theo thời gian t bằng tổng các lực tác
dụng lên chất điểm ”
→
→
P=
F
(1.2)
Trong đó: P⃗ là xung lượng của chất điểm
F⃗ là lực tác dụng lên chất điểm

4


1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm.
Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác
→
dụng lên chất điểm bằng 0, nghĩa là F = 0


→ →
Biểu thức P = F trở thành:
P⃗ = 0
Hay P⃗ =
P⃗
⃗0 = c⃗o⃗n⃗s⃗t
Khi đó xung lượng của chất điểm được bảo toàn.
Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại
mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn.

Vi dụ: Nếu Fz = 0 thì Pz bảo toàn Pz = Pz0 = const
Chú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa
thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bảo toàn.
Vi dụ: Giả sử thành phần của lực trên trục ρ trong hệ toạ độ cực bằng 0 nhưng
thành phần của xung lượng trên trục đó lại không bảo toàn. Thật vậy:
mωρ =
Fρ
m(ρ − ρφ2 ) = Fρ
(1.3)
Ta biết Pρ = mρ là thành phần xung lượng trên trục ρ. Do đó (1.3)
có
thể viết dưới dạng:
Pρ − mρφ2 =
Fρ
Như vậy, nếu Fρ = 0 thì Pρ = mρφ2 nghĩa là Pρ vẫn không bảo
toàn. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm được phát biểu
như sau:
“ Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực
tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì xung lượng của chất điểm được bảo toàn. ”
P⃗ = 0 hay P⃗ =
(1.4)
P⃗
⃗0 = c⃗o⃗n⃗s⃗t


1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.
1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm.
Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M1 , M2 , … , MN
Lực tác dụng lên chất điểm của hệ chia thành nội lực và ngoại lực
a) Nội lực: là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau.

Tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :
N
i


→in = ∑
F
F⃗
in
i=1

Trong đó F⃗ini là nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i.
b) Ngoại lực: là lực do các vật thể ở ngoài hệ tương tác lên các chất điểm
trong hệ
Tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :
N

→e
F = ∑i
F⃗ e
i=1

Trong đó F⃗e là ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i.
i

Ký hiệu xung lượng của hệ chất điểm là P⃗ thì theo định nghĩa:
N
N

P⃗ = ∑ P⃗ i =

∑ mi v⃗ i
i=1

Trong đó

i=1

P i  mi
là xung lượng của chất điểm thứ i. Nghĩa là xung lượng
vi

của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của các chất điểm trong hệ.
Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta được:
N
d v⃗
d P⃗
= ∑ mi
dt
dt

i

i=1

d

N

= ∑ m.
dt ω⃗⃗ i=1 i

i

(1)


Trong đó ω⃗⃗

i

là gia tốc của chất điểm thứ i

Lại có:
N
N


∑ mi . ω⃗⃗
∑(F⃗ i

=

i

i=1

+ Fe⃗ i )
(2)

i
n

i=1

Ta có:
N

N

∑ F⃗

= ∑ ∑ F⃗

i
in

i=1
N

N

i=1

j=
1
j≠i

N
N

∑ F⃗

i
in

N

= ∑ ∑ F⃗

i=1

i=1

N

∑ F⃗

i
in

i=1

Do đó:

N

+ ∑ ∑ F⃗

N

j=

1
j
ij

j=
1
j>i

N

= ∑ ∑ F⃗

i=1

ij

i=1

j=
1
j
N

ij

ij + ∑
i=1
j=

1
j
N

∑ F⃗

ji

N
N

∑ F⃗

i
in

i=1

Vậy tổng nội lực của hệ bằng 0.

= ∑ (F⃗

ij

+ F⃗ ji ) = 0

i.j=
1
j

Khi đó, (2) trở thành:
N
N

∑ mi . ω⃗⃗
∑ F⃗ i
i=1

i

=

e

i=1

Thay (3) vào (1) ta được:
N

d
e
P⃗
=∑
dt
F⃗ i
i=1

(3)

d
P⃗
dt

e

=


Hay P⃗ = F⃗
(1.5)

e

Biểu thức (1.5) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất
điểm được phát biểu như sau:
“ Đạo hàm véc tơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng
tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”
P⃗ =
F⃗ e
Trong đó: P⃗ là xung lượng của hệ chất điểm
F⃗

e

là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm

Ý nghĩa: định luật biến thiên xung lượng cho ta biết mối liên hệ giữa
gia tốc, lực và thời gian. Nó giúp ta xác định được một trong ba đại lượng khi

biết hai đại lượng còn lại.
Định luật biến thiên xung lượng còn được áp dụng trong nghiên cứu lý
thuyết va chạm.
1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.
Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục cố
định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của
hệ trên trục đó bảo toàn
e


Vi dụ: Nếu Fz = 0 thìPz = Pz0 = const với Pz0 là thành phần của Pz
điểm ban đầu. ở thời
Trong trường hợp cơ hệ kín là hệ mà trong đó các chất điểm của hệ
không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay F⃗

e

= 0. Từ (1.5) suy

ra:
d
P⃗
= e =0
dt
P⃗ = P⃗ 0 =
c⃗o⃗n⃗s⃗t
Như vậy, đối với hệ kín thì xung lượng của hệ được bảo toàn.
Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:
“ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn ”

P⃗ = P⃗
1.3. Một số bài toán ứng dụng. c⃗o⃗n⃗s⃗t

0

=

(1.6)


Bài 1: Hãy tìm vận tốc sau va chạm đàn hồi tuyệt đối của hai quả cầu giống
nhau, chuyển động gặp nhau với vận tốc v1 và v2.
Giải:
�⃗⃗1

O

�⃗⃗2

x

Hình 1.1

Chọn trục Ox ( như hình vẽ )
Giả sử sau va chạm vận tốc của hai quả cầu là ⃗⃗
v1⃗′ và v⃗ 2′
Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hai quả cầu :
P⃗

trước

= P⃗

sau

mv⃗⃗1 + m

2

⃗⃗′⃗ 1 + mv
⃗ ′2
= mv

⃗⃗′⃗
⃗
→ v⃗⃗1 + v⃗⃗2 = v′1 +
v2

(1)

Chiếu (1) lên Ox, ta được:
v1 − v2 = −v ′1 + v ′ 2
(2)
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai quả cầu:
1
2
m(v⃗⃗1 )

2

1

+
2)

2

2
1

m(

=

2
(v1 )

m

⃗′⃗⃗⃗

1

2

+

2
(v2 )

⃗

m

′

2

(3)

Chiếu (2) lên Ox, ta được:
1

2

1
mv1 +

2
mv2

2

1
2

=

2

2

→ v1 2+ v2 =22 v′1 + 2v
′
Từ (2) và (4), ta có hệ phương trình: 2

1

mv′1 +

2

2

mv′2

(4)


v1 − v2 = −v ′1 +
v′2
{ 2
v + v 22 = v′2 +
v′2
1
1
2

→{

v′1 = v1
v′2 =
v2

Vậy sau va chạm hai quả cầu trao đổi vận tốc cho nhau.
Bài 2: Hai quả cầu đàn hồi tuyệt đối giống nhau va chạm với các vận tốc v
bằng nhau về độ lớn. Trước khi va chạm quả cầu bên trái có vận tốc hướng về
bên phải theo đường nối tâm hai quả cầu, còn quả cầu bên phải có vận tốc hợp
với đường nối tâm một góc α ( hình 1.2 ). Hãy tìm vận tốc của các quả cầu
sau khi va chạm.
�v
O1
O2


Hình 1.2

Giải:

y
v

⃗⃗v
O1

�

x

O2

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Gọi vận tốc của quả cầu thứ nhất và thứ hai trước và sau va chạm lần lượt là
v⃗ 1 , v⃗ 2 ,′ v⃗ 1 ,′ v⃗ 2 .
Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hệ hai quả cầu trước và sau va
chạm:
P⃗

trước

= P⃗

mv⃗⃗1 + m

sau

⃗⃗′⃗ 1 +
= mv
mv2
2

⃗

′

(1)


Chiếu (1) lên Ox:
′
mv1 − mv2 cosα = ′mv1x + mv

2x
′

′


→ v1 − v2 cosα = v1x + v2x
Mà v1 = v2 =
v
→ v − vcosα =′ v1x +′
v2x

Chiếu (1) lên Oy:

(2)

′
′
mv2 sinα = mv
1y + mv2y

Mà v2 =
v
→ vsinα = v1y′′ +
v2y

(3)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho các quả cầu trước và sau va chạm:
1

2

2
1

m(v⃗⃗1 ) +
2)

2

m(

2
1

=

2
(v1 )

m

′⃗⃗
⃗ ⃗

1

2

+

2

⃗

2

′

m (v2 )

2
→ v12 + v222= v′1 +
v′2

→ 2v 2 = v′12 +
v′2
Mà v′21 = v′1x2 + v′1y 2; v′2 =2 v′2x +2v′2y

2

2
2
2
′2
→ 2v 2 = v′
(4)
1x + v′1y + v′2x +
v 2y
′

Giả sử sau va chạm quả cầu thứ nhất bật ngược trở lại. Khi đó v1y = 0,
thay

vào (3), ta được:
v2′
Từ (4):

y

= vsinα

2
2
2
→ 2v 2 = v′
1x + v′2x sin α
+v

2

2

→ v′1x +2v′2x = 2v2 − v2 sin2 α

(5)
′
Kết hợp với (2) → v′1x = v − vcosα − , thay vào (5), ta được phương
v2x
trình:

Suy ra:

v′22x − v(1 + cosα)v2x .′ cosα =2 0
−v