Bài thuyết trình Quang học: Bài tập Matlab

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
C KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VẬT LÝ ỨNG DỤNG
CHUYÊN NGHÀNH: QUANG HỌC


BÀI TẬP MATLAB

HV: LÊ PHÚC QUÝ
TRẦN THỊ THỦY
M THỊ HỒNG HẠNH


Sơ lược lý thuyết ma trận

lý thuyết

Giới thiệu
Năm 1857, nhà toán học Cayley đã phát minh ra ma trận.
Những năm 1920 Heisenberg áp dụng ma trận vào cơ học lượng tử.
Và sau đó, được ứng dụng nhiều để tính toán trong quang học

Giả sử chúng ta có cặp phương trình tuyến tính:
U = Ax + By
V = Cx + Dy
Trong đó: A, B, C, D là các hằng số đã biết.
x và y là các biến.
Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình trên dưới dạng ma trận như sau:
U
V

A B
C D

x
y

Trong đó, mỗi nhóm kí hiệu [] gọi là ma trận.
U
V

và

A B
C D

x
y

ma trận cột

: ma trận 2 dòng 2 cột hay còn gọi là ma trận hạng 2


lý thuyết

Các phép tính trên ma trận
* Phép nhân ma trận
Giả sử ta có hai ma trận

P Q

R T

M

và

N

A B
C D

Khi đó tích hai ma trận được tính như sau:

MN

P Q A B
R T C D

PA QC
RA TC

PB QD
RB TD

Tổng quát:
A
B

aij
bij

n n

n

C

A.B

cij

n n

trong đó

cij

n n

Điều kiện: số dòng ma trận M phải bằng số cột ma trận N
Chú ý : M.N # N.M

aik .bkj
k 1


Các phép tính trên ma trận

lý thuyết

* Tích của nhiều ma trận
Ví dụ:

L

1 3
4 2

M

2 1
3 1

Tích của các ma trận
chỉ có tính kết hợp
chứ không có tính giaohoán.

4 2
1 3

N

tích của ma trận L, M, N ta có thể tính theo hai cách:
L(MN) hoặc (LM)N
MN

L MN

LM

LM N

2 1 4 2
3 1 1 3

2.4 1.1 2.2 1.3
3.4 1.1 3.2 1.3

1 3 9 7
4 2 13 9

1 3 2 1
4 2 3 1

11 4 4 2
14 6 1 3

9 7
13 9

1.9 3.13 1.7 3.9
4.9 2.13 4.7 2.9

1.2 3.3 1.1 3.1
4.2 2.3 4.1 2.1

48 34
62 46

11 4

14 6

11.4 4.1 11.2 4.3
14.4 6.1 14.2 6.3

48 34
62 46


Các phép tính trên ma trận

lý thuyết

* Phép cộng và phép trừ ma trận
Điều kiện: số dòng và số cột bằng nhau
Cho 2 ma trận M và N
 tổng và hiệu của chúng được tính bằng cách cộng và trừ các cặp tương ứng của phần tử
ma trận.

Nếu P = M + N thì Pjk = Mjk + Njk.

Ví dụ:

P

M

MN

P Q

R T

P Q
R T

N

A B
C D

A B
C D

P A Q B
R C T D


Phương pháp ma trận trong quang học gần trục

lý thuyết

Khi sử dụng ma trận để mô tả dạng hình học của ảnh qua những hệ thống thấu kính đặt trên
cùng một trục quang học phải thỏa mãn hai điều kiện xấp xỉ sau:
•Xem ánh sáng là các tia riêng lẻ chứ không phải là các mặt sóng.
•Chỉ xét những tia gần trục, những tia này gần như song song với trục  sử dụng xấp xỉ bậc
nhất cho hàm sin và hàm tan các góc hợp bởi các tia này và trục.
1. Ma trận truyền tia
Một tia sáng  các mặt khúc xạ sẽ đặc trưng bởi 2
thông số là tọa độ và góc mà nó tạo với trục Oz.

Mặt phẳng vuông góc với trục Oz gọi là mặt phẳng
quy chiếu (Reference Plane – RP).
Tại mặt phẳng quy chiếu, mỗi tia được đặc trưng bởi
độ cao y và góc V tạo với trục Oz.


Phương pháp ma trận trong quang học gần trục

lý thuyết

Khi tia sáng truyền qua hệ thống thấu kính khúc xạ chỉ có 2 quá trình truyền cơ bản:
Truyền qua: tia sáng truyền thẳng qua môi trường đến mặt khúc xạ kế tiếp
chúng ta cần biết độ dày t của môi trường và chiết suất khúc xạ n.
Khúc xạ tại mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau.
Để xác định được độ lệch của tia khúc xạ chúng ta cần biết bán kính cong của mặt khúc xạ
và hai giá trị chiết suất của hai môi trường.
Nếu tia sáng truyền qua mặt phẳng quy chiếu thứ nhất được đặc trưng: y1 và V1
sau đó qua mặt phẳng quy chiếu thứ hai được đặc trưng:

y2 và V2.

Chúng ta có thể biểu diễn y2, V2 theo y1, V1 dưới dạng ma trận như sau:

y2

A B

y1

V2

C D V1


lý thuyết

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
2. Ma trận truyền qua

y2

y1 t

Xét tia sáng truyền qua một môi trường
có chiều dài t và chiết suất n:

Nhân và chia cho n

y2

RP

RQ PQ

y2

TS

SQ tan

y2

y1 t tan

y2

RP

y2

TS SQ tan

y2

y1 t tan(

1

y1 t

1

1

RQ PQ
1
1

)

y1 t

1

1

vì

y2

y2

t
y1
(n. 1 )
n
t
T
, V1 (n. 1 )
n
y1 T V1
1

1

V2

2

1& 2

1 T
0 1

y2
V2

n

2

nv1

0 y1 V1

1 T y1
0 1 V1

hay T

t
n
0 1

1

Ma trận được gọi là ma trận truyền qua

2

lý thuyết

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
3. Ma trận khúc xạ
Xét tia sáng truyền tới một mặt cầu bán kính r phân cách
hai môi trường chiết suất n1 và n2.

y2

y1
i1

y1 0V1
1

i2

1

2

2

1
y1
r
y2
r

Theo ĐL khúc xạ ánh sáng:
n1 sin i1

y1
)
r

n2 (

n1

y1
r

n2

V1 n1

y1
r

V2 n2

n1 (
n1

n2 sin i2

1

V2

n1i1

n2i2
1& 2

1

2

2

y2
)
r
y2
r

n2
y2
r

(n2 n1 )
y1 V1
r

y2
V2

2

1
n2 n1
r

0 y
1
1 V1


lý thuyết

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
3. Ma trận khúc xạ

y2
V2

1
R

n2

0
n1

r

1

1
n2 n1
r

0 y
1
1 V1

gọi là ma trận phản xạ

Quy ước:
r > 0 với mặt cầu lồi.
r < 0 với mặt cầu lõm.
r → ∞, mặt cầu
mặt phẳng,
ma trận R trở thành ma trận đơn vị

ma trận khúc xạ của thấu kính mỏng :

R

1 0
0 1

R

1
1
f

0
1

R

1 0
P 1

Trong đó: f là tiêu cự thấu kính.
Quy ước: f > 0 với thấu kính hội tụ
f < 0 với thấu kính phân kỳ.
Ngoài ra người ta còn dùng khái niệm độ tụ với quy ước dấu tương tự.


lý thuyết

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
4. Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Xét sự truyền ánh sáng qua một hệ thống gồm n mặt khúc xạ

n/2 thấu kính

RP1“ vào” nằm bên trái cách mặt khúc xạ thứ nhất một khoảng d1
RP2 và RP3 lần lượt nằm sát bên trái và bên phải của mặt khúc xạ thứ 1, tiếp tục
RP4 và RP5 nằm sát bên trái và bên phải của mặt khúc xạ thứ 2….
RP2n và RP2n+1 nằm sát bên trái và bên phải mặt khúc xạ thứ n.
RP2n+2 “ra” nằm cách mặt khúc xạ thứ n một khoảng d2.
Tóm lại, hệ thống gồm n mặt khúc xạ sẽ có (2n+2) mặt phẳng quy chiếu.

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục

lý thuyết

4. Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Với hệ thống, gồm n mặt

Có (2n+1) RP

Từ RP1  RP2 : ma trận truyền tia M1

Từ RP2  RP3 : ma trận khúc xạ M2

Từ RP3  RP4 : ma trận truyền tia M3

Từ RP4  RP5 : ma trận khúc xạ M4

Từ RP2n+1  RP2n+2 : ma trận truyền tia M2n+1 Từ RP2n-1 RP2n : ma trận khúc xạ M2n


lý thuyết

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
4. Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Ma trận truyền tia M cho một hệ thống
tích của các ma trận truyền tia

thành phần theo thứ tự ngược chiều truyền của ánh sáng.

ma trận truyền tia qua hệ thấu kính:
Đặt K r

yr
Vr

Kr

1

M r .K r

M

M 2n 1.M 2n ....M 2 M1

Kr

M r 1.K r

1


Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
4. Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Tính tia vào từ ra vào:

Kr

M 2 n 1.K 2 n

2

1

K 2 n 1 = M 2 n .K 2 n
M 2 n 1.( M 2 n .K 2 n )
(M 2 n 1.M 2 n ).( M 2 n 1.K 2 n 1 )
(M 2 n 1.M 2 n .M 2 n 1.M 2 n 2 ....M 3 .M 2 .M 1 ).K1

K 2n
M

2

M .K 1

M 2n 1.M 2n ....M 2 M1

lý thuyết


Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
4. Ma trận truyền tia cho một hệ thống

Tính tia ra từ tia vào:

Kr

1

M r .K r

K1

M r 1.Kr

Kr

1

M 1 1.K 2
M 1 1.( M 2 1.K 3 )
(M 1 1.M 2 1.M 3 1....M 2 n1.M 2 n1 2 ).K1

K1 M 1.K2n
M

1

2

M1 1.M21.M3 1....M2n1 .M2n1

2

lý thuyết

lý thuyết

Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
5. Xác định tính chất của một hệ quang học dựa vào ma trận truyền tia

Giả sử ma trận M đặc trưng cho hệ thống quang học. Khi đó:
Trong đó: (AD – BC) = 1

y2
V2

Để hiểu ý nghĩa của các đại lượng A, B, C, D, chúng ta lần lượt xét các trường
hợp nếu một trong 4 đại lượng bằng 0.

a> Nếu D = 0  V2 = Cy1 + 0V1
 tức là tất cả các tia i từ một điểm ở mặt
phẳng vào đều cho tia
t
ng ra tạo với
trục một góc V2 mà không phụ thuộc vào V1 và
mặt phẳng quy chiếu RP1 được gọi là mặt phẳng
hội tụ đầu tiên của hệ thống.

A B y1
C D V1


Phương pháp ma trận trong quang học gần trục

b> Nếu B = 0  y2 = Ay1 + 0V1
 tất cả các tia ở điểm O tại mặt phẳng quy
chiếu RP1 sẽ truyền qua điểm I ở mặt phẳng quy
chiếu RP2.
Do đó, O và I là các điểm vật và ảnh tương
ứng và A=y2/y1 là độ khuyếch đại của hệ thống.

c> Nếu C = 0  V2 = DV1
chùm tia tới song song đi vào hệ thống với
góc V1 so với trục sẽ rời khỏi hệ thống theo
hướng khác, hướng này họp với trục một góc
V2.
n1. D
1
 Trong đó: n
là độ khuyếch đại góc
2
2
tạo bởi hệ thống.

lý thuyết


Phương pháp ma trận trong quang học gần trục

d> Nếu A = 0  y2 = BV1,
 tất cả các tia song song đi vào hệ thống sẽ hội
tụ tại một điểm trên mặt phẳng quy chiếu RP2 và
RP2 được gọi là mặt phẳng hội tụ thứ hai của hệ

thống.

e> Nếu A = 0 hoặc D = 0 thì từ bt (AD – BC) = 1  BC = -1.
Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì A là nghịch đảo của D.

lý thuyết


Problem2:

BÀI TẬP

Problem2:
Một thanh thủy tinh chiều dài 2.8cm và
chiết suất 1.6 có hai mặt biên là hai
mặt cầu lồi bán kính 2.4cm. Một vật
chiều cao 2cm, đặt trong không khí,
nằm trên trục tọa độ cách mặt cầu trái
của thanh thủy tinh trên một khoảng
8cm. Tìm vị trí và kích thước của ảnh
tạo bởi hệ thống.

Bài giải
Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự:
Môi trường không khí chiết suất n1 → Mặt cầu phân cách bán kính r1 → Môi trường thủy
tinh chiết suất n2 → Mặt cầu phân cách bán kính r2 → Môi trường không khí chiết suất n1.


Problem2:

M

1
0

X
1

1
0

M

X
1

BÀI TẬP

1

0

1 1.6
2.4
0.5625
0.391

1

A B

C D

1
D

1 / 2.56

1 1.6
2.4

0
0.39

0 1 8
1 0 1

Các bước giải

6.25 2.56 X
2.56

0.5625 0.391X
0.391

6.25 2.56X

0

1

6.25
2.56

0.5625 0.391X
0.391

M

2.8
1.6
1

1

6.25 2.56 X
2.56

X

Bước 1: nhập các giá trị đã biết
Bước 2 : viết biểu thức ma trạn
truyền qua hệ thanh thủy tinh
Bước 3 : giải phương trình tìm
vị trí ảnh và chiều cao của ảnh

2.44
h2

0.39 2

0.78


Problem2: BAI TOAN THUAN

BÀI TẬP

% BAI LAP TRINH PROBLEM 2 - BAI TOAN THUAN (CHO VAT TIM ANH)
clc
clear all
% Khai bao bien su dung
syms X2 h2 % vi tri va chieu cao anh
% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET

X1=input('Nhap vao khoang cach giua vat va thanh thuy tinh (cm): ');
h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (cm): ');
r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm): ');
while r1<0
disp('vui long nhap so lon hon 0')
r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm): ');
end
r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm):');
while r2>0
disp('Vui long nhap so nho hon 0')
r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm):');
end
n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');
n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai(thuy tinh):');
L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');

Problem2: BAI TOAN THUAN

BÀI TẬP

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA
M1=[1 X1/n1;0 1];
% Ma tran truyen qua trong khong khi
M2=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r1
M3=[1 L/n2;0 1];
% Ma tran truyen qua trong thanh thuy tinh
M4=[1 0;-(n1-n2)/r2 1]; % Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r2
M5=[1 X2/n1;0 1];
% Ma tran trong khong khi
M=M5*M4*M3*M2*M1;
% Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA ANH
A=M(1,1);
% He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M
B=M(1,2);
% He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M
disp('Anh cach thanh thuy tinh mot khoang la:')
X2=solve(B); % Vat that cho anh that nen giai B = 0
X2=double(X2)% Chuyen ket qua sang so thap phan
disp('Chieu cao cua anh:');
h2=subs(A*h1)% tim h2


Problem2: BAI TOAN THUAN

BÀI TẬP


Problem2: BAI TOAN NGHICH

BÀI TẬP

% BAI LAP TRINH PROBLEM 2 - BAI TOAN NGHICH (CHO ANH TIM VAT)
clc
clear all

% Khai bao 2 bien su dung la vi tri va chieu cao vat
syms X1 h1
% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET
X2=input('Nhap vao khoang cach giua anh va thanh thuy tinh (cm):');
h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (cm):');
r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm):');
while r2<0
disp('nhap so lon hon 0')
r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm):');
end
r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) :');
while r1>0
disp('vui long nhap so nho hon 0')
r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) :');
end
n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');
n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai(thuy tinh):');
L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');

Problem2: BAI TOAN NGHICH

BÀI TẬP

% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA
M1=[1 X2/n2;0 1];
% Ma tran moi truong khong khi
M2=[1 0;-(n1-n2)/r2 1];% Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r2
M3=[1 L/n1;0 1];
% Ma tran truyen qua mtr trong thanh thuy tinh
M4=[1 0;-(n2-n1)/r1 1];% Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r1
M5=[1 X1/n2;0 1];
% Ma tran truyen qua moi truong khong khi
M=M5*M4*M3*M2*M1;
% Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc

% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA VAT
A=M(1,1);
% He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M
B=M(1,2);
% He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M
disp('Vat cach thanh thuy tinh mot khoang la:')
X1=double(solve(B)) % Vat that cho anh that nen giai B = 0
disp('Chieu cao cua vat:');
h1=subs(h2*A) % tim h1