Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Cơ học kỹ thuật: Phân tích động lực học của khung dầm FGM chịu tải trọng động đất bằng phương pháp phần tử hữu hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
-------------------

NGUYỄN QUANG HUÂN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Ngành: Cơ kỹ thuật
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 8520101.01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT

Hà Nội – Năm 2018


1
MỞ ĐẦU

1.

Tổng quan

Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM) được
các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần đầu tiên ở Sendai vào năm 1984 có khả
năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau như hàng không
vũ trụ, đóng tàu, ô tô, quốc phòng, xây dựng, sản xuất đồ gia dụng... FGM có thể
xem như là một loại vật liệu composite mới, thường được tạo từ gốm và kim loại,

với tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc vài
hướng không gian mong muốn. Do sự thay đổi liên tục của vật liệu thành phần,
các tính chất hữu hiệu của FGM là hàm liên tục của các biến không gian, vì thế
FGM không có các nhược điểm thường gặp trong vật liệu composite truyền thống
như sự tập trung ứng suất, tách lớp... và có khả năng ứng dụng trong các môi
trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, tính mài mòn và ăn mòn của a-xít. Trên quan
điểm động lực học, sự kết hợp các ưu điểm về độ bền cao, tỷ trọng thấp của gốm
với độ dai và khả năng chịu va đập tốt của kim loại giúp cho FGM có tiềm năng
là vật liệu kết cấu chịu tải trọng động nói chung và tải trọng động đất nói riêng.
Các kết quả về phân tích dao động của kết cấu FGM đã chỉ ra rằng ứng xử
động lực học của kết cấu FGM được cải thiện đáng kể so với kết cấu truyền thống
làm từ các vật liệu thuần nhất [8, 13]. Với khả năng chịu được nhiệt độ cao, vật
liệu FGM được sử dụng rộng rãi để làm các phần tử kết cấu trong ngành công
nghiệp hạt nhân [9], nơi mà các kết cấu chịu kích động của động đất luôn là vấn
đề đặt ra và được sự quan tâm của các nhà khoa học.
Trong nhiều tình huống thực tế, các tải trọng cơ và nhiệt có thể thay đổi
theo nhiều phương khác nhau của kết cấu [12], vì thế việc phát triển các vật liệu
có cơ tính biến đổi theo các hướng khác nhau là nhu cầu của thực tế, có ý nghĩa
khoa học, giúp cho việc tối ưu hóa kết cấu. Nghiên cứu ứng xử cơ học của dầm
làm từ vật liệu FGM có cơ tính biến đổi theo hai chiều (dầm 2D-FGM), chiều cao
và chiều dài dầm, đã được một số tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần
đây, điển hình là các tài liệu [14, 15, 16]. Tuy nhiên, phần lớn các nghiên cứu về
ứng xử của dầm 2D-FGM mới chỉ dừng lại ở phân tích dao động tự do hay mất
ổn định của dầm. Một số nghiên cứu đã đề cập tới ứng xử động lực học của dầm,


2
tuy nhiên các tính chất của vật liệu được giả định tuân theo quy luật hàm số Euler,
trường hợp đơn giản nhất của quy luật phân bố vật liệu FGM.
2.

Định hướng và nội dung nghiên cứu

Từ các phân tích nêu trên ta thấy rằng, nghiên cứu ứng xử động lực học của
dầm 2D-FGM với các tính chất vật liệu tuân theo quy luật hàm số lũy thừa vẫn
chưa được xét đến. Liên quan đến kết cấu khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng
động đất, theo hiểu biết của tác giả, hiện chưa có nghiên cứu nào về bài toán này.
Vì lý do này, việc đánh giá ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu đến đáp ứng động
lực học của khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất mà Luận văn này quan
tâm nghiên cứu có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Trong Luận văn này, các khung dầm giả định được tạo thành từ vật liệu
FGM có cơ tính biến đổi theo hai chiều, tức là tính chất vật liệu của khung, dầm
FGM được biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo quy luật hàm lũy
thừa. Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất
được sử dụng kết hợp với phương pháp tích phân trực tiếp NewMark để tính toán
đáp ứng động lực học của kết cấu. Các đáp ứng động của kết cấu bao gồm sự phụ
thuộc của chuyển vị, vận tốc và gia tốc theo thời gian dưới tác động của trận động
đất El Centro được nghiên cứu. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới đáp ứng
động lực học của các kết cấu được tính toán và đánh giá.
Từ định hướng nghiên cứu nêu trên, luận văn sẽ tiến hành thực hiện các
nhiệm vụ cụ thể sau đây:
1) Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu ứng xử động lực học của
khung, dầm FGM chịu tải trọng động đất.
2) Tìm hiểu và ứng dụng phương pháp tích phân trực tiếp trong phân tích kết
cấu chịu tải trọng động đất.
3) Phát triển chương trình tính toán dựa trên mô hình phần tử hữu hạn và thuật
toán nói trên và ứng dụng để tính toán đáp ứng động lực học cho một số
khung, dầm 2D-FGM cụ thể. Trên cơ sở kết quả số nhận được rút ra các nhận
xét về ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới đáp ứng động lực học của kết
cấu khung, dầm 2D-FGM.

3
Chương 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
1.1.

Quá trình phát triển các phương pháp

Trong những năm cuối thế kỷ XIX - đầu của thế kỷ XX, sau các trận động
ở Nobi (Nhật Bản – 1891) và San Francisco (1906), hai nhà khoa học Nhật Bản
là Omori và Sano đã đề xuất lý thuyết tính toán tĩnh để xác định tải trọng động đất
lên kết cấu công trình. Theo phương pháp này, toàn bộ công trình xây dựng được
xem như một vật thể cứng tuyệt đối đặt trên nền đất. Khi có động đất xảy ra, các
đặc trưng như chuyển vị ngang, vận tốc và gia tốc tại bất kỳ vị trí nào trên công
trình cũng bằng các đặc trưng dao động nền tại chân công trình. Với giả thiết này,
tải trọng động đất lên công trình được xác định theo biểu thức [4]:
x
F  Ms x0,max  0,max Q  Ks Q
(1.1)
g
trong đó: M và Q lần lượt là khối lượng và trọng lượng của kết cấu công trình
x0,max : gia tốc cực đại của nền đất dưới chân công trình.
g: gia tốc trọng trường.
Ks: hệ số địa chấn.
Năm 1920, nhà khoa học Nhật Mononobe đã đề nghị đưa các tính chất biến
dạng của kết cấu vào trong tính toán tác động động đất. Ông xem kết cấu như một
hệ có một bậc tự do dao động không có lực cản và giả thiết trong thời gian xảy ra
động đất, nền đất chuyển động theo quy luật điều hòa sau [4]:

x0 (t )  x0,max sin(t )

(1.2)

Trong phương pháp của mình, Mononobe chỉ xét tới phần dao động cưỡng bức
của hệ kết cấu và đã thu được hệ số khuyếch đại động có dạng sau [4]:

 

1
T2
1 2
T0

(1.3)

trong đó: T, T0 lần lượt là chu kỳ dao động của kết cấu và chu kỳ dao động của
nền đất (T0 có giá trị từ 0.8s ~ 1s).
Trên cơ sở hệ số động đất này, tác động động đất lớn nhất lên hệ kết cấu được xác
định theo biểu thức [4]:


4

F   Ms x0,max  

x0,max
g

Q   Ks Q

(1.4)

Tuy nhiên Mononobe đã bỏ qua lực cản, chưa xét đến lực động đất sẽ tăng thêm
khi có tác dụng của dao động tự do và dao động cưỡng bức, phạm vi áp dụng cũng
cho kết cấu có 1 bậc tự do nhưng chưa giải quyết được sự phân bố động đất theo
chiều cao công trình (tức kết cấu có nhiều bậc tự do).
Năm 1927, nhà khoa học Nga Zavriev đã đưa ra các yếu tố quan trọng trong
dao động tự nhiên trong giai đoạn khởi đầu của tác động động đất [4]. Zavriev đã
đặt nền móng đầu tiên cho cơ sở lý thuyết động lực học trong tính toán tác động
động đất.
Năm 1934, nhà khoa học Mỹ Biot đã đề xuất phương pháp tính tải trọng
động đất bằng cách dùng các số liệu dao động nền đất thực ghi lại được khi động
đất xảy ra.
Năm 1949, Housner và Kahn đã đưa ra được cách xác định phổ gia tốc bằng
thiết bị tương tự điện.
1.2.

Một số phương pháp tính toán

Phương pháp tính toán tĩnh tương đương
Phương pháp tính toán tĩnh tương đương (còn gọi là phương pháp lực ngang
tương đương) là phương pháp tính toán đơn giản nhất trong số các phương pháp
được dùng để xác định phản ứng của kết cấu chịu tác động động đất. Phương pháp
này giả định rằng kết cấu làm việc đàn hồi tuyến tính, còn tính phi tuyến hình học
được xem xét tới một cách gián tiếp. Các tải trọng ngang tác động lên chiều cao
công trình được xem là tương đương với tác động động đất và được tổ hợp với
các tải trọng đứng (lực trọng trường).
Phương pháp này thường được sử dụng để thiết kế các công trình tương
đối đều đặn có chu kỳ cơ bản bằng khoảng 1.5 - 2s. Đối với các công trình có hình

dạng không đều đặn hoặc có chu kỳ dài cần sử dụng các phương pháp động chính
xác hơn như phân tích dạng hoặc phân tích lịch sử phản ứng không đàn hồi.
1.2.1.

Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến
Trong phương pháp này, sự phân bố giả định lực quán tính ngang được dựa
trên giả thiết cho rằng phản ứng của công trình được kiểm soát bởi một dạng dao
động duy nhất và hình dạng của dao động này giữ nguyên không đổi trong suốt
thời gian phản ứng. Thông thường, dạng dao động cơ bản được chọn là dạng phản
ứng trội của hệ nhiều bậc tự do động, ảnh hưởng của các dạng dao động khác được
1.2.2.


5
xem là nhỏ và được bỏ qua. Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến với phân bố tải
trọng ngang như vậy được gọi là phương pháp tính toán đẩy dần quy ước và
thường được dùng để tính toán phản ứng của các công trình có chiều cao thấp và
trung bình. Do tính đơn giản và khả năng xác định với độ chính xác chấp nhận
được
Phương pháp phân tích dạng dao động và phổ phản ứng
Phản ứng của kết cấu có nhiều bậc tự do chịu tác động động đất có thể được
tính toán bằng cách phân tích hệ kết cấu thành nhiều hệ kết cấu có một bậc tự do
tương đương. Tính toán phản ứng mỗi hệ tương đương theo thời gian và sau đó
cộng đại số các phản ứng lại để được phản ứng của kết cấu ban đầu. Phương pháp
này được gọi là phương pháp phân tích dạng. Nếu việc tính toán chỉ nhằm xác
định các đại lượng phản ứng lớn nhất thì tác động động đất sẽ được cho dưới dạng
phổ phản ứng và kết quả tính toán theo phương pháp tích phân dạng dao động sẽ
là phản ứng lớn nhất của hệ kết cấu. Phương pháp tính toán này có tên gọi là
phương pháp phổ phản ứng. Phương pháp tích phân dạng dao động cũng như
phương pháp phổ phản ứng có những nhược điểm sau:(i) Phụ thuộc vào việc tách

một cách nhân tạo các dạng dao động. (ii) Phải tổ hợp các kết quả tính toán ở các
dạng dao động lại theo nguyên tắc cộng tác dụng nên chỉ giới hạn ở giai đoạn làm
việc đàn hồi tuyến tính của vật liệu. (iii) Không áp dụng được cho một số hệ kết
cấu không sử dụng được kỹ thuật phân tích dạng. (iv)Không cho các chỉ dẫn chính
xác về sự hình thành khớp dẻo ở một số cấu kiện.
1.2.3.

Phương pháp tích phân trực tiếp phương trình chuyển động
Phương pháp tích phân trực tiếp theo thời gian xác định các giá trị gần đúng
của nghiệm đối với một tập hợp các giá trị thời gian T được lựa chọn. Có thể
tóm tắt nguyên tắc của phương pháp này như sau: (i) giả thiết các hàm mô tả sự
biến thiên của chuyển vị, vận tốc và gia tốc trong một khoảng thời gian và (ii) các
phương trình chuyển động không phải thỏa mãn ở tất cả ở mọi thời gian T mà
chỉ trong khoảng thời gian không đổi Δt. Khoảng thời gian này được gọi là bước
thời gian. Điều này cũng có nghĩa rằng điều kiện cân bằng tĩnh của các lực quán
tính, lực cản và lực đàn hồi với tải trọng tác động sẽ xảy ra ở nhiều bước thời gian
Δt, 2Δt, …, nΔt, …. Ở mỗi bước thời gian, phương trình chuyển động được giải
với các điều kiện ban đầu là chuyển vị, vận tốc được xác định ở bước trước đó.
Phương pháp tích phân trực tiếp theo thời gian có thể áp dụng cho các hệ kết cấu
tuyến tính lẫn phi tuyến nên có thể xem là phương pháp tổng quát duy nhất tính
toán phản ứng động của các hệ kết cấu chịu tải trọng bất kỳ.
1.2.4.


6
Chương 2
XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN
ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG, DẦM 2D-FGM
CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
2.1.

Dầm 2D-FGM

Hình 2.1 minh họa dầm 2D-FGM với chiều dài L, chiều rộng b và chiều cao
h trong hệ tọa độ Đề-các (x, z). Hệ tọa độ (x, z) được chọn sao cho trục x trùng với
mặt giữa của dầm, trục z vuông góc với mặt giữa và hướng lên trên.

0
Hình 2.1. Mô hình dầm 2D-FGM
Dầm được giả định được tạo thành từ bốn vật liệu thành phần, cụ thể là gốm
1, gốm 2, kim loại 1 và kim loại 2. Tỉ lệ thể tích của các vật liệu thành phần phân
bố theo quy luật hàm lũy thừa như sau:
nz
nx
  x nx 
 z 1  x 
1

,
V


    c2 
  
 h 2  L
  L  
  z 1 nz    x nx 
  z 1 nz   x nx
Vm1  1      1     , Vm 2  1       
  h 2     L  

  h 2    L 

 z 1
Vc1    
h 2

nz

(2.1)

trong đó Vc1, Vc2, Vm1, Vm2 lần lượt là tỉ phần thể tích của vật liệu gốm 1, gốm 2,
kim loại 1 và kim loại 2; L và h tương ứng là chiều dài và chiều cao của dầm; nz
và nx là các tham số vật liệu.
Các tính chất hữu hiệu (P) của dầm (mô-đun đàn hồi, mật độ khối, …) có
thể được đánh giá theo mô hình Voigt:
(2.2)
P=Vc1Pc1 + Vc2Pc2 + Vm1Pm1 + Vm2Pm2
trong đó Pc1, Pc2, Pm1, Pm2 biểu thị các tính chất của vật liệu gốm 1, gốm 2, kim
loại 1, kim loại 2. Thay phương trình (2.1) vào phương trình (2.2) ta được:


7
nz
nx
nz
nx

 z 1   x   
 z 1   x 
P( x, z )  ( Pc1  Pm1 )     1      ( Pc 2  Pm 2 )       (2.3)

 h 2     L   
 h 2    L 


2.2.

Các phương trình cơ bản

Xét một phần tử dầm có chiều dài l, trong hệ tọa độ (x, z). Trục x được chọn
trùng mặt giữa của dầm. Dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, chuyển vị dọc trục
và chuyển vị ngang của một điểm bất kì trên dầm được cho bởi:

u ( x, z, t )  u0 ( x, t )  z  ( x, t)
w( x,z, t )  w0 ( x, t )

(2.5)

trong đó t là biến thời gian, u0 ( x, t ), w0 ( x, t ) tương ứng là chuyển vị dọc trục và
chuyển vị theo phương ngang của một điểm bất kì trên mặt giữa của dầm;  ( x, z )
là góc quay của thiết diện ngang của dầm. Biến dạng dọc trục (  xx ) và biến dạng
trượt (  xz ) thu được từ phương trình (2.5) có dạng:

u0 ( x, t )
w ( x, t )
 ( x, t )
z
,  xz  0
  ( x, t )
x
x

x
Theo định luật Hook, ứng suất dọc trục và ứng suất trượt được xác định:

 xx 

 xx  E( x, z) xx ,  xz   G( x, z) xz

(2.6)

(2.7)

trong đó E ( x, z) và G( x, z) tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hữu
hiệu của dầm, ψ là hệ số hiệu chỉnh trượt và chọn bằng 5/6 cho mặt cắt hình chữ
nhật.
Năng lượng biến dạng đàn hồi (U) và động năng (T) có dạng:

U

L

1
 A11u,2x  2 A12u, x, x  A22,2x   A33( w, x   )2 dx
2 0 

(2.8)

L

1
T    I11 (u 2  w2 )  2 I12u  I 22 2 dx

20

(2.9)

Trong đó Aij là các độ cứng; Iij là các mô-men khối lượng và chúng được định
nghĩa trong phương trình theo công thức:

( A11 , A12 , A22 )   E ( x, z )(1, z , z 2 )dA ,
A

A33   G ( x, z )dA
A

(2.10)


8
và

( I11 , I12 , I 22 )    ( x, z )(1, z, z 2 )dA

(2.11)

A

Thay biểu thức các tính chất hiệu dụng ở phương trình (2.3) vào phương trình
(2.10), ta có thể viết lại các độ cứng Aij theo dạng
n

x

x
A11  A11c1m1  ( A11c1m1  A11c 2 m 2 )   ,
L

n

A12  A

 (A

A

x
x
)  ,
L

A22  A

 (A

A

x
x
)  ,
L

c1m1
12

c1m1
12

c 2m 2
12

n

c1m1
22

c1m1
22

c 2m 2
22

x
A33  A33c1m1  ( A33c1m1  A33c 2 m 2 )  
L

(2.12)

nx

c1m1
trong đó A11c1m1 , A12c1m1 , A22
và A33c1m1 là các độ cứng sinh ra bởi cặp vật liệu gốm 1
c 2m2

và kim loại 1; A11c 2 m 2 , A12c 2 m 2 , A22
và A33c 2 m 2 là các độ cứng được sinh ra bởi cặp

vật liệu gốm 2 và kim loại 2.
Tương tự như các độ cứng Aijc1m1 và Aijc 2 m 2 , các mô-men khối lượng cũng có
thể được viết lại như sau:

x
I11  I11c1m1  ( I11c1m1  I11c 2 m 2 )  
L

nx

x
I12  I12c1m1  ( I12c1m1  I12c 2 m 2 )  
L
I 22  I

c1m1
22

 (I

c1m1
22

I

c 2m 2
22

nx

x
) 
L

(2.14)
nx

trong đó I ijc1m1 và I ijc 2 m 2 tương ứng là các mô-men khối lượng sinh ra bởi cặp vật
liệu gốm 1, kim loại 1 và gốm 2, kim loại 2. Các biểu thức hiển của I ijc1m1 và I ijc 2 m 2
cũng có dạng tương tự như (2.13).
2.3.

Chuyển vị nút và nội suy

Phần tử dầm 2 nút, mỗi nút gồm 3 bậc tự do với chiều dài l. Véc-tơ chuyển
vị nút cho một phần tử khởi tạo (i, j) bao gồm các thành phần


9

d  ui

wi i

uj  j

wj 

T

(2.15)

trong đó chỉ số trên ‘T ’ được sử dụng để chỉ chuyển vị của một véc-tơ hay một
ma trận; ui , wi và i tương ứng là chuyển vị dọc trục, chuyển vị theo phương
ngang và góc xoay tại nút thứ i; u j , w j và i tương ứng là chuyển vị dọc trục,
chuyển vị theo phương ngang và góc xoay tại nút thứ j.
Chuyển vị dọc trục u(x), chuyển vị theo phương ngang w(x) và góc xoay θ(x) cho
phần tử của dầm được nội suy qua hàm dạng như sau
(2.16)
u  N d, w  N d,   N d
0

u

0

w



trong đó

N u   N u1 N u 2 N u 3 N u 4 N u 5 N u 6 
N w   N w1 N w2 N w3 N w4 N w5 N w6 

(2.17)

N   N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 
tương ứng là ma trận các hàm nội suy (hàm dạng) cho các chuyển vị dọc trục
u0 ( x, t ) , chuyển vị theo phương ngang w0 ( x, t ) và góc xoay  ( x, t ) . Các hàm nội
suy tuyến tính được dùng để nội suy chuyển vị dọc trục u0 ( x, t ) và hàm nội suy
Kosmatka được sử dụng cho chuyển vị theo phương ngang w0 ( x, t ) và  ( x, t ) .
2.4.

Ma trận độ cứng

Sử dụng phép nội suy trên ta có thể viết được biểu thức cho năng lượng
biến dạng cho một phần tử dầm Ue, dưới dạng sau đây:

Ue 

l

1
 A11u,2x  2 A12u, x, x  A22,2x   A33 ( w, x   )2 dx
2 0 
l

1
 dT  [NTu,x A11Nu,x  2NTu,x A12 N,x  NT,x A22 N,x
2 0
 (N w,x  N )T  A33 (N w,x  N )]dxd

(2.21)

1
 dT (k uu +k u  k  k  )d

2
1
= dT kd
2
Trong một trường hợp tổng quát, khi phần tử nghiêng so với trục ngang của
hệ tọa độ tổng quát một góc α, các ma trận độ cứng phần tử được biểu diễn:


10
[k g ]  [S]T [k ][S]

(2.24)

trong đó [k ] là ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng quát, [S] là ma trận
quay, có dạng sau
g

 cos  sin 
  sin  cos 

 0
0
S
0
 0
 0
0

0
 0

0
0
0
0 
0
0
0
0 
1
0
0
0
(2.25)

0 cos  sin  0 
0  sin  cos  0 

0
0
0
1 
Ma trận độ cứng tổng thể được xác định thông qua các ma trận độ cứng
phần tử như sau:
K

nELE

 [k

g

]e

(2.26)

e1

2.5.

Ma trận khối lượng

Có nhiều loại ma trận khối lượng khác nhau có thể sử dụng trong phân tích
động lực học kết cấu. Tuy nhiên trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng ma trận
khối lượng nhất quán, là ma trận xây dựng dựa trên các hàm nội suy cho trường
chuyển vị (2.15). Với trường chuyển vị này, ta có thể viết biểu thức động năng
cho phần tử dầm dưới dạng sau:
l

Te 

1
[I11 (u 2 +w2 )  2I12u  I 22 ]dx

20
l

1
 dT  [NTu I11Nu  NTw I11N w  2NTu I12 N  N T I 22 N )]dxd
2 0

(2.27)

1
1
 dT (muu  m ww  mu  m )d  dT md
2
2
Khi phần tử nằm nghiêng so với trục ngang của hệ tọa độ tổng quát một góc
α, ma trận khối lượng phần tử có dạng
[m g ]  [S]T [m][S]

(2.30)

trong đó [m ] là ma trận khối lượng phần tử trong hệ tọa độ tổng quát, [S] là ma
trận quay được định nghĩa trong phương trình (2.25).
Từ phương trình (2.30), ma trận khối lượng tổng thể được xác định thông
qua việc nối ghép:
g


11
M

nELE

 [m

g

]e

(2.31)

e1

2.6.

Phương pháp tích phân trực tiếp

Phương trình chuyển động cho phân tích kết cấu chịu tải trọng động đất
theo phương pháp phần tử hữu hạn có thể được viết dưới dạng [6]:
MD + CD + KD = -MID g

(2.32)

trong đó: D là véc-tơ chuyển vị nút tổng thể, D  D / t là véc-tơ vận tốc nút
tổng thể, D  2 D / t 2 là véc-tơ gia tốc nút tổng thể, C là ma trận cản được hình
thành từ tổ hợp tuyến tính của ma trận khối lượng tổng thể (2.31) và ma trận độ
cứng tổng thể (2.26):

C  M   K

(2.33)

trong đó  và  tương ứng là hệ số cản tỉ lệ với khối lượng và độ cứng, chúng
được tính từ tỉ số cản tới hạn và tần số tự nhiên của kết cấu như sau:

  2

12
2
,
1  2
1  2

(2.34)

Một tỉ lệ cản   0.02 được giả định cho kết cấu 2D-FGM. Vế phải của (2.32)
xác định ngoại lực do chuyển động nền, trong đó D g là véc-tơ chuyển động nền
và I là véc-tơ hệ số ảnh hưởng, có giá trị 1 cho các phần tử tương ứng với bậc tự
do theo hướng chuyển động nền và có giá trị 0 cho các bậc tự do khác. Một bảng
số liệu của gia tốc nền trong 20 giây đầu tiên của trận động đất El Centro xảy ra
tại miền Nam California năm 1940 [6] được minh họa trong Hình 2.3.
Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark được sử dụng rộng rãi trong việc
tính toán đáp ứng động của kết cấu. Trong đó xấp xỉ sai phân hữu hạn được dùng
để thay thế cho các đạo hàm riêng ở (2.35), tức thay thế D và D bằng sai phân
của chuyển vị nút D tại các thời điểm khác nhau. Ý tưởng trung tâm của phương
pháp này là phân chia tổng thời gian ΔT thành các bước thời gian nhỏ Δt. Các đáp
ứng động học của kết cấu được tính theo thời gian Δt, 2Δt, 3Δt, ... nΔt ... Các
phương trình của chuyển động tại một thời điểm mới (n + 1)Δt là:
MDn 1  CD n 1 KDn 1  MID g ( n 1)

(2.35)


12
Đối với phân tích tuyến tính, ma trận độ cứng K là không thay đổi từ thời
gian dừng kế tiếp. Tuy nhiên, để phân tích phi tuyến, K là một hàm của chuyển vị
D.

Có nhiều cách khác nhau có thể được sử dụng để tính toán các đáp ứng
động học tại thời điểm (n + 1) Δt, trong đó họ phương pháp tích phân trực tiếp
Newmark là rất phổ biến và được cho bởi [7]
t 2
[(1  2 )Dn  2 Dn 1 ]
2
Dn 1  Dn  t[(1   )Dn   Dn 1
Dn 1  Dn  tDn 

(2.36)

trong đó β và γ là các hằng số do người phân tích lựa chọn để kiểm soát tính hội
tụ và độ chính xác của thuật toán số.
Bằng việc giải hệ phương trình (2.36), thu được:

Dn 1 



 


(Dn 1  Dn )    1 Dn  t 
 1  Dn
t


 2


 1

1
Dn 1 
(D  Dn  tDn )  
 1  Dn
t 2 n1
2



Thay phương trình (2.37) vào phương trình (2.35), thu được:

 1
 1
 
1
K ef Dn 1  MIDg( n 1)  M 
Dn 
Dn  
 1 Dn 
2
t
 t
 2
 
 


 

 
C 
Dn   1 Dn  t 
 1 Dn 

 2
 
 t  
K ef 

trong đó :

1

M
CK ,
2
t
t

(2.37)

(2.38)

(2.39)

Với các giá trị khác nhau của β và γ sẽ thu được các phương pháp tích phân trực
tiếp khác nhau dùng trong phân tích động lực học kết cấu như:
1
 Phương pháp vi phân trung tâm:   0,  

2
1
1
 Phương pháp gia tốc tuyến tính:   ,  
6
2
1
1
 Phương pháp gia tốc trung bình:   ,  
4
2


13

1
1
 Phương pháp Fox-Goodwin:   ,  
2
2
và trong Luận văn này, tác giả lựa chọn sử dụng phương pháp gia tốc trung bình
vì phương pháp này ổn định không điều kiện.
Phương trình (2.39) cùng với phương trình (2.37) hoàn toàn xác định chuyển vị
nút, vận tốc và gia tốc tại thời gian mới (n  1)t . Lưu ý rằng các ma trận độ cứng
hiệu dụng không thể là một ma trận đường chéo bởi vì nó có chứa các ma trận độ
cứng K.
0.4

Ground acceleration (g)

0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4

0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 2.3. Gia tốc nền ghi nhận được của trận động đất El Centro


14
Chương 3
TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN
Một chương trình tính dựa trên phần tử được mô tả và phương pháp gia tốc
trung bình được phát triển và sử dụng để phân tích một số kết cấu khung, dầm 2DFGM như trong hình 3.1. Số liệu của các vật liệu thành phần sử dụng trong Luận
văn này được cho trong bảng 3.1. Các dầm và khung xem xét trong Luận văn được
giả thiết chịu ảnh hưởng của gia tốc nền của trận động đất El Centro như trong
hình 2.3.
3.1.

Kiểm tra chương trình tính toán

Để đảm bảo tính chính xác của các phần tử được phát triển cũng như chương
trình tính toán số được xây dựng dựa trên phương pháp tích phân số Newmark,
tác giả tiến hành kiểm chứng chương trình tính. Bằng cách cho tham số vật liệu nx
= 0 và nz = n, phần tử dầm 2D-FGM quay trở về phần tử FGM thông thường.

Hình 3.1. Kết cấu khung, dầm 2D-FGM được nghiên cứu
Bảng 3.1. Tính chất vật liệu thành phần cho khung, dầm 2D-FGM
Vai trò

E (GPa)

 (kg/m3 )

v

Steel

Kim loại 1

210

7800

0.3

Aluminum

Kim loại 2

70

2702

0.23

Alumina

Gốm 1

390

3960

0.3

Zirconia

Gốm 2

200

5700

0.3

Vật liệu

Đầu tiên, một cột FGM, ngàm chặt một đầu và một đầu tự do như thể hiện
trong hình 3.1(a) được tác giả phân tích. Chiều cao của cột là 20 m, kích thước


15
của mặt cắt thiết diện ngang của nó là b = h = 0.2 m. Hai mươi phần tử được sử
dụng để rời rạc hóa cột FGM.
Bảng 3.2. So sánh tần số và phản ứng của cột thép
Nguồn

f
(Hz)

max(uL)
(m)

min(uL)
(m)

max(v
L)
(m/s)

min(vL)
(m/s)

ANSYS

0.4245

0.45031

-0.4519

1.6133

Luận văn

0.4245

0.4326

-0.4396

1.6086

max(aL)
(m/s2)

min(aL)
(m/s2)

-1.5354

12.704

-13.095

-1.5498

13.9556

-14.400

0.5
0.4
0.3
0.2
u (m)

0.1
0

-0.1
-0.2
-0.3

n = 0.5
n=5
fure steel

-0.4
-0.5
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.2. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh cột
Trong bảng 3.2, tần số cơ bản, các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chuyển
vị tương đối, vận tốc và gia tốc tuyệt đối ở điểm trên cùng của cột thép được so
sánh với các kết quả thu được bằng cách sử dụng phần mềm ANSYS 15 để mô
phỏng. Như đã thấy từ bảng 3.2, các kết quả số thu được trong việc tính toán phù
hợp so với việc mô phỏng bằng phần mềm ANSYS.
Hình 3.2 và hình 3.3 minh họa chuyển vị tương đối và vận tốc ở đầu cột
FGM cho các giá trị khác nhau của các tham số vật liệu n. Như đã thấy rõ từ các
kết quả số thu được, tham số vật liệu n cao sẽ ảnh hưởng đến phản ứng địa chấn
của cột. Cả chuyển vị theo phương ngang và vận tốc tại đỉnh cột với tham số n
thấp hơn là thấp hơn đáng kể so với cột có tham số vật n cao hơn. Kết quả số thu
được cũng chỉ ra rằng, cột FGM có đáp ứng động lực học tốt hơn nhiều so với cột
được làm từ vật liệu thép thuần nhất.


16
2
1.5
1

v (m/s)

0.5
0

-0.5
-1
n = 0.5
n=5
fure steel

-1.5
-2
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.3. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh cột
Các kết quả thu được khi phân tích cột FGM và khung giản đơn FGM hoàn
toàn trùng khớp với các kết quả trong [17].
3.2.

Cột 2D-FGM

Cột 2D-FGM được ngàm chặt một đầu, một đầu tự do trong hình 3.1(a).
Cột có kích thước thiết diện ngang b = h = 0.2 m và chiều dài L=10 m. Mười phần
tử đã được sử dụng để rời rạc hóa cột 2D-FGM.
0.1

u (m)

0.05

0

-0.05
nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-0.1
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.8. Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian
tại đỉnh cột (nz = 0.5)
Hình 3.8 và 3.9 thể hiện chuyển vị ngang tương đối, vận tốc của cột 2D-FGM ứng
với trường hợp tham số nz cố định. Hình 3.11, 3.12 biểu thị chuyển vị ngang tương
đối, vận tốc và gia tốc của cột 2D-FGM ứng với trường hợp tham số nx cố định.
Như đã thấy rõ từ các kết quả số thu được, hai tham số vật liệu nz và nx có ảnh
hưởng lớn đến phản ứng địa chấn của cột 2D-FGM. Cụ thể, khi nz cố định, các giá


17
1.5
1

v (m/s)

0.5
0

-0.5
-1

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-1.5
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.9. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh cột (nz=0.5)
0.15
0.1

u (m)

0.05
0

-0.05
-0.1

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
-0.15
0

2

4

6

8

10

Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.11. Chuyển vị ngang theo thời gian tại đỉnh cột (nx=0.5).
1.5
1

v (m/s)

0.5
0

-0.5
-1

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
-1.5
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.12. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh cột (nx=0.5)
trị của đáp ứng động lực học ở đỉnh cột ứng với tham số nx lớn hơn là thấp hơn.
Còn khi tham số vật liệu nx cố định, cả chuyển vị ngang tương đối, vận tốc ở đỉnh


18
cột có xu hướng tăng khi tham số nz tăng. Các kết quả thu được có thể giải thích
bởi sự gia tăng của hàm lượng vật liệu kim loại khi tham số vật liệu nz tăng lên.

Điều đó dẫn đến các độ cứng được định nghĩa trong (2.10) giảm đi. Do vậy các
kết quả đáp ứng động lực học của cột sẽ giảm khi tham số nz tăng lên. Lập luận
tương tự được sử dụng để giải thích ảnh hưởng của tham số vật liệu nx đối với các
giá trị đáp ứng động lực học khi tham số nz cố định.
3.3.

Khung giản đơn

Một khung giản đơn 2D-FGM trong hình 3.1(b) được phân tích. Khung
được cấu tạo từ ba phần tử dầm 2D-FGM với chiều dài 5 m, kích thước của mặt
cắt ngang là b = h = 0.25 m.
Ảnh hưởng của các tham số vật liệu đối với các giá trị đáp ứng động lực học của
khung giản đơn được minh họa trong các hình 3.14, 3.15, 3.17 và 3.18. Với tham
số vật liệu nz cố định, hình 3.14 và 3.15 cho thấy sự giảm của chuyển vị ngang,
vận tốc tại đỉnh A của khung khi giá trị tham số vật liệu nx tăng. Mặt khác, hình
3.17, 3.18 cho thấy sự tăng của chuyển vị ngang tương đối, vận tốc và gia tốc khi
tham số nx cho trước và nz tăng. Sự giảmcủa các giá trị đáp ứng động lực học khi
tăng nx có thể được giải thích bằng sự gia tăng hàm lượng gốm 1, như có thể nhìn
thấy ở công thức (2.1). Do mô-đun đàn hồi của vật liệu gốm 1 như trong bảng 1,
cao hơn nhiều so với mô-đun đàn hồi của vật liệu gốm 2. Kết quả là độ cứng được
định nghĩa theo phương trình (2.10) cao hơn trong trường hợp khung kết hợp với
tham số vật liệu nx cao. Do vậy đáp ứng động lực học thấp hơn là kết quả của
khung có tham số vật liệu nx cao hơn. Lập luận tương tự có thể được sử dụng để
giải thích ảnh hưởng của tham số nz đối với các đáp ứng động lực học của khung
khi cố định tham số nx.
-3

4

x 10

3
2

u (m)

1
0
-1
-2
-3
-4
0

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.14. Chuyển vị ngang tương đối tại đỉnh A của khung (nz=0.5)


19
0.2
0.15
0.1

v (m/s)

0.05
0

-0.05
-0.1
-0.15

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)

-0.2
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.15. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (nz=0.5)
-3

4

x 10

3
2

u (m)

1
0
-1
-2
-3
-4
0

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.17. Chuyển vị ngang tương đối tại đỉnh A của khung (nx=0.5)
0.2
0.15
0.1

v (m/s)

0.05
0

-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.18. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (nx=0.5)
3.4.

Khung nhiều tầng

Khung 2D-FGM nhiều tầng thể hiện trong hình 3.1(c) được xem xét. Phần
khung được hình thành từ mười hai dầm có cùng chiều dài và kích thước mặt cắt
ngang, L = 5 m, b = h = 0.25 m.

20
0.4
0.3
0.2

v (m/s)

0.1
0

-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
2

4

6

8

10

Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.21. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nz=0.5)
10

a (m/s2)

5

0

-5
nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-10
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.22. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nz=0.5)
0.03
0.02

u (m)

0.01
0

-0.01

-0.02

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
-0.03
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.23. Chuyển vị ngang tương đối tại đỉnh B của khung (nx=0.5)
Hình 3.20 và 3.22 cho thấy vận tốc và gia tốc theo thời gian tại đỉnh B, góc trên
bên trái của khung. Các giá trị đáp ứng động lực học của khung đa tầng là khác so
với cột và khung giản đơn 2D-FGM. Với giá trị tham số nz cho trước, vận tốc và


21
gia tốc tại đỉnh B của khung nhiều tầng thậm chí còn tăng khi tham số nx tăng lên.
Ảnh hưởng của tham số vật liệu nz đến các đáp ứng động lực học của khung nhiều
tầng trong trường hợp tham số nx cho trước cũng khác so với khung giản đơn. Biên
độ lớn nhất của chuyển vị theo phương ngang và vận tốc tại đỉnh B của khung
không có sự sai khác nhiều giữa hai trường hợp tham số nz=0.2 và nz=3. Do đó,
có thể thấy rằng phản ứng địa chấn của khung dầm 2D-FGM không chỉ phụ thuộc
vào tham số vật liệu nz và nx mà còn phụ thuộc vào cấu hình thực của kết cấu.
0.4
0.3
0.2

v (m/s)

0.1
0

-0.1
-0.2
-0.3

nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)

-0.4
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.24. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (nx=0.5)
3.5.

Khung bất đối xứng

Cuối cùng, một khung bất đối xứng mô tả trong hình 3.1(d) được xem xét.
Phần khung được hình thành từ hai cột với chiều dài của cột dọc là L=20 m, kích
thước thiết diện ngang b = h = 0.25 m và khoảng cách giữa hai chân cột là L/4 =
5 m. Mười phần tử, năm cho mỗi cột được sử dụng trong phân tích khung.
-4

6

x 10

4

u (m)

2
0
-2
-4

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.26. Chuyển vị ngang tương đối tại đỉnh C của khung (nz=0.5)


22
0.01

v (m/s)

0.005

0

-0.005

nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-0.01
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.27. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nz=0.5)
1

a (m/s2)

0.5

0

-0.5
nx = 0.2
nx = 3

(nz = 0.5)
-1
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.28. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nz=0.5)
0.01

v (m/s)

0.005

0

-0.005
nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
-0.01
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.30. Vận tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nx=0.5)
Hình 3.26 và 3.27 thể hiện chuyển vị theo phương ngang và vận tốc của khung
bất đối xứng. Có thể thấy rằng, trong trường hợp với tham số nz cho trước, sự giảm
của các đáp ứng động lực học tại đỉnh C của khung bất đối xứng khi tham số nx


23
tăng lên. Ngược lại, đối với trường hợp tham số nx cho trước, dễ nhận thấy sự tăng
của các đáp ứng động lực học tại đỉnh C của khung khi tham số nz tăng lên. Đáng
ngạc nhiên, các đáp ứng động lực học của khung bất đối xứng là tốt hơn nhiều so
với khung nhiều tầng, trong khi nó chỉ được hình thành từ hai cột. Biên độ của sự
dịch chuyển, vận tốc và gia tốc ở phía trên, đỉnh C của khung bất đối xứng là thấp
hơn nhiều so với khung 2D-FGM nhiều tầng. Các số liệu tính toán một lần nữa
cho thấy rằng đáp ứng động lực học của khung 2D-FGM không chỉ phụ thuộc
vào các tham số vật liệu nz, nx mà còn phụ thuộc nhiều vào cấu hình thực của
khung.

1

a (m/s2)

0.5

0

-0.5
nz = 0.2
nz = 3

(nx = 0.5)
-1
0

2

4

6

8

10
Time (s)

12

14

16

18

20

Hình 3.31. Gia tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (nx=0.5)


24

KẾT LUẬN
Luận văn trình bày phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích địa chấn
của kết cấu khung, dầm 2D-FGM. Tính chất của vật liệu được giả định thay đổi
theo cả chiều cao và chiều dài của dầm, theo quy luật hàm lũy thừa. Phần tử dầm
2 nút, mỗi nút 3 bậc tự do, sử dụng các hàm dạng Kosmatka để nội suy chuyển vị
theo phương ngang và góc xoay của thiết diện ngang dùng trong phân tích được
xây dựng trong Luận văn. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng được thiết lập
từ các biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi và động năng của phần tử. Đáp ứng
động lực học của kết cấu dưới tác động của trận động đất El Centro được tính toán
với sự trợ giúp của phương pháp tích phân trực tiếp Newmark. Khung 2D-FGM
với các dạng hình học khác nhau đã được phân tích và ảnh hưởng của tham số vật
liệu đối với ứng xử động lực học của khung đã được tính toán và thảo luận. Kết
quả phân tích số nhận được trong Luận văn có thể tóm lược dưới đây:
1) Phần tử dầm 2D-FGM và thuật toán số xây dựng trong Luận văn đủ tin
cậy và hiệu quả trong việc tính toán đáp ứng động lực học của khung, dầm
2D-FGM chịu tải trọng động đất.
2) Hai tham số vật liệu xác định sự phân bố của vật liệu theo chiều cao và
chiều dài của dầm có ảnh hưởng khác nhau đến đáp ứng động lực học của

khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất. Chuyển vị ngang, vận tốc
và gia tốc của kết cấu khung, dầm 2D-FGM không chỉ phụ thuộc vào hai
tham số vật liệu nz và nx mà còn phụ thuộc nhiều vào cấu hình thực của
kết cấu.
Như đã nói trong phần mở đầu, nghiên cứu ứng xử động đất của kết cấu
FGM nói chung và khung, dầm 2D-FGM thực hiện trong Luận văn nói riêng mới
chỉ là những nghiên cứu ban đầu về ứng xử động đất của kết cấu làm từ vật liệu
có cơ tính biến thiên. Để hiểu rõ hơn về ứng xử của kết cấu làm từ loại vật liệu
mới này dưới tác động của tải trọng động đất, vì thế rất cần các nghiên cứu tiếp
theo.