Luận án Tiến sĩ Toán học: Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số bài toán biên phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỔ CHÍ MINH

TRẦN MINH THUYẾT

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT
NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT SỐ
BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số
: 1.01.01
Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. TRẦN VÃN TÂN

Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh
2. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh

TP.HỔ CHÍ MINH 2001


MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU...................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ SỐ HẠNG PHI
TUYẾN CHỨA
................................................................................................. 11
1.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 11
1.2. Các ký hiệu và giả thiết ............................................................................................ 12

1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 14
1.4. Nới rộng bài toán ..................................................................................................... 26
CHƢƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT
VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN ............. 32
2.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 32
2.2.Định lý tồn tại và duy nhất ........................................................................................ 33
2.3.Tính ổn định nghiệm ................................................................................................. 50
CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ
TRỌNG LƢỢNG ............................................................................................................... 56
3.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 56
3.2. Các không gian hàm Sobolev có trọng ..................................................................... 56
3.3. Định lý tồn tại và duy nhất ....................................................................................... 63
CHƢƠNG 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN PHI
TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG ............................................... 77
4.1. Giới thiệu ................................................................................................................ 77
4.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm .......................................................................... 78
4.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h → 0+ ............................................................. 82
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................................ 85
CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ......................... 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 88


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là chƣơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong
luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ một chƣơng trình nào khác.

Tác giả luận án

Trần Minh Thuyết

1
Tổng quan

PHẦN MỞ ĐẦU
Trong luận án nay chúng tôi muốn sử dụng các phƣơng pháp của Giải tích hàm phi tuyến
nhƣ : phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu và toán tử đơn điệu, phƣơng pháp
tuyến tính hóa liên hệ với các định lý điểm bất động, phƣơng pháp tiệm cận... nhằm khảo sát
một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Cơ học. Chẳng hạn nhƣ các phƣơng
trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán
mô tả dao động của một màng với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự
va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên một nền cứng; Các phƣơng trình
elliptic mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng trong một chất lỏng,...
Bản luận án ngoài chƣơng mở đầu ra sẽ đƣợc chia thành 4 chƣơng. Trong chƣơng 1 - 2
chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và các công cụ hỗ trợ để khảo sát các bài toán liên
quan đến phƣơng trình sóng và cũng với các công cụ trên ở các chƣơng 3-4 dành cho việc
khảo sát bài toán biên phi tuyến có số hạng kỳ dị.
■ Trong chƣơng 1, chúng tôi khảo sát bài toán

trong đó
ra ngoài biên

R n là một tập mở bị chận có biên

đủ trơn,

là pháp tuyến đơn vị hƣớng

là hằng số cho trƣớc, B,f,F,u0 , u 1 là các hàm cho trƣớc. Các giả thiết

đặt ra cho các hàm nay sẽ


2
Tổng quan
đƣợc chỉ ra sau. Trong phƣơng trình (0.1) số hạng phi tuyến B( ‖

‖ )2 phụ thuộc vào

và thỏa điều kiện
B là hàm liên tục xác định trên R + = [0,+∞);

(0.6)

Trong trƣờng hợp một chiều n = 1, Ω = (0, L), phƣơng trình (0.1) đƣợc tổng
quát hóa từ phƣơng trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi
(xem Caƣier [9] ).

ở đây u là độ võng,

là khối lƣợng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi dây ở trạng

thái ban đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu.
Khi f = 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phƣơng trình (0.1) đã đƣợc nghiên cứu bởi nhiều
tác giả ; Xem : Aassila [4, 5, 6], Ebihara, Medeiros và Miranda [15], Pohozaev [36], Yamada
[38] và các tài liệu tham khảo ở đó.
Bài toán (0.1),(0.2), (0.4) với = 0, số hạng f = f(u,ut) (tuyến tính hay phi tuyến) cũng đƣợc
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng cụ thể khác nhau. Chẳng hạn nhƣ: K.
Nishihara [31], [32], [33] với f = f(ut) = ut ,

0 là hằng số cho trƣớc; Medeiros [28] đã
nghiên cứu


3
Tổng quan

bài toán (0.1), (0.2), (0.4) với f = f(u) = u2 , Ω là một tập mở bị chận của R3. Hosoya &
Yamada đã xét trong [16] với f = f(u) = | | u, và trong [17] với f = f( u , u t ) = δ | |
trong đó δ > 0, α ≥ 0
l à các hằng số cho trƣớc.
Trong [14], Dmitriyeva đã xét bài toán 2 chiều ( n = 2 ) , (0.1), (0.2), (0.4) và

Trong đó

trong đó
ε > 0 là hằng số. Trong trƣờng hợp nay, bài toán (0.1),(0.2), (0.3') ,(0.4) mô tả dao động phi
tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh.
Trong [36], Pohozaev đã xét phƣơng trình hyperbolic á tuyến tính sau đây:

t r o n g đó hà trong đó hàm số B thỏa điều kiện sau đây mạnh hơn (0.6), (0.7):

Trong [26] Long và các tác giả khác đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
phƣơng trình sau

trong đó λ > 0, s > 0, 0 < α < 1 là các hằng số cho trƣớc.
Bằng sự tổng quát hóa của [14], [26], chúng tôi đã xét trong {1} phƣơng trình sau:


4

Tổng quan

Trong chƣơng nay chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và phƣơng pháp compact
yếu kết hợp với phƣơng pháp toán tử đơn điệu để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài toán (0.1) - (0.4) đối với điều kiện (0.6), (0.7). Sau đó một số dạng cụ thể cho số hạng
phi tuyến f(u,ut)cũng đƣợc xem xét. Kết quả này đã tổng quát hóa tƣơng đối kết quả tƣơng tự
trong [14], [26],[36] và đƣợc công bô"trong {1}.
Phần cuối của chƣơng nẩy, chúng tôi khảo sát bài toán giá trị biên và điều kiện đầu sau

Ta chú ý rằng bài toán (0.1) - (0.4) là trƣờng hợp riêng của bài toán trong (0.14) - (0.19) khi
trong đó

lấy p = 2.
vẫn với phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự cùng với sự điều chỉnh thích hợp trong bƣớc
đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu đƣợc kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán (0.14) - (0.19) đối với các điều

kiện (0.6), (0.7). Kết quả nay đã tổng quát hóa tƣơng đối kết quả tƣơng tự trong {1},
[14], [26], [36].
■ Trong chƣơng 2, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm (u,P) thỏa


5
Tổng quan

trong đó u0,u1, f là các hàm cho trƣớc thỏa một số điều kiện nào đó sẽ đƣợc chỉ ra sau đó, ẩn hàm u(x,t)
và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa phƣơng trình tích phân phi tuyến sau đây:

trong đó g, H, k là các hàm cho trƣớc.
Trong [3], Áng và Alain Phạm đã thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài

toán (0.20) - (0.23) với u 0 , u 1 ,P là các hàm cho trƣớc và

Tổng quát hóa kết quả trong [3], Long và Alain Phạm [12], [13], [18], [19] đã xét bài toán
(0.20), (0.22), (0.23) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại x= 0 có dạng sau đây

mà số hạng phi tuyến f(u,ut)chứa trƣờng hợp (0.25) nhƣ là một trƣờng hợp riêng.
Chẳng hạn bài toán (0.20), (0.22), (0.23) và (0.26) đã đƣợc nghiên


6
Tổng quan
cứu ứng với các trƣờng hợp k

0, H(s) = hs, với h > 0 [18]; k 0 [12], [13]; H(s) = hs, với h > 0
[17].
Trong trƣờng hợp H(s) = hs, với h > 0 , b à i toán (0.20) - (0.24) đƣợc thành lập từ bài toán (0.20)
- (0.23) ở đó, ẩn hàm u(x,t)và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân
thƣờng nhƣ sau

trong đó ω > 0, h ≥ 0,P0 ,P1 là các hằng số cho trƣớc ( [1], [19] ).
Trong [1], N.T.An and N.D.Triều đã nghiên cứu một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán (0.20)-(0.23),
(0.27) và (0.28) với u 0 = u1 = P0 = 0 và với f ( u , u t ) tuyến tính, nghĩa là, f ( u . u t ) = Ku + λ u t trong
đó K,λ. là các hằng số dƣơng cho trƣớc. Trong trƣờng hợp sau nay, bài toán (0.20) -(0.23),(0.27) và
(028) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa
trên một nền cứng.
Trong trƣờng hợp f ( u , u t ) = |

|

bài toán (0.20) - (0.23), (0.27) và (0.28) mô

tả

sự va chạm giữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề
mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt.
Từ (0.27), (0.28) ta biểu diễn P(t) theo Po,P1,ω,h,utt(0,t) và sau khi tích phân từng phần, ta đƣợc

trong đó


7
Tổng quan

Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (0.21) bởi

Khi đó, ta đƣa bài toán (0.20) - (0.23), (0.27) và (0.28) về bài toán (0.20) -(0.23),
(0.29) - (0.31) hay (0.20), (0.22), (0.23), (0.30) - (0.32).
Trong [8], Bergounioux, Long, Alain đã nghiên cứu bài toán (0.20), (0.21),
(0.23), (0.24), với giả thiết

trong đó K,λ,K1,λ1 là các hằng số không âm cho trƣớc. Bài toán (0.20), (0.21), (0.23),
(0.24), (0.22'),(0.33) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt
tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính ở bề mặt, các
ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt.
Chƣơng nay đƣợc chia thành hai phần.
Trong phần 1, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán
(0.20) - (0.24). Chứng minh dựa vào phƣơng pháp Galerkin kết hợp với các đánh giá
tiên nghiệm, các kỹ thuật về tính compact và sự hội tụ yếu. Khó khăn chính gặp phải
trong bài toán nay là điều kiện biên tại x = 0. Ta chú ý rằng phƣơng pháp tuyến tính
hóa đã sử dụng trong các bài báo [11],[20],[35] không dùng đƣợc trong [3], [8], [10],
[12], [13], [18].

8
Tổng quan

Trong phần 2, chúng tôi chứng minh nghiệm (u,P) của bài toán ổn định đối với
các hàm g, H và k .Các kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả
trong [1], [3], [8], [12], [13], [18], [19], [27] và đƣợc công bố trong {4}.
■ Trong chƣơng 3, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến sau :

trong đó γ > 0, p ≥ 2 là các hằng số cho trƣớc, f,F,h là các hàm số cho trƣớc và M :
(0,1] x R → R thỏa điều kiện Caratheodory và đơn điệu tăng theo biến thứ hai.
Trong trƣờng hợp γ = 0, bài toán (0.34),(0.36) và
u(0) = 0,

(0.37)

liên hệ với bài toán uốn một thanh đàn hồi phi tuyến có khối lƣợng riêng

đƣợc

nhúng trong một chất lỏng khối lƣợng riêng γ1 mà Tucsnak [37] đã thiết lập trong
trƣờng hợp f(x,u) - F(x) = [

]sinu, trong đó là một hằng

số dƣơng, g(x), G(x) là các hàm cho trƣớc có ý nghĩa cơ học nào đó, u(x) là góc giữa
tiếp tuyến với thanh ở trạng thái bị uốn tại điểm của thanh có hoành độ cong x và trục
thẳng đứng Oy. Trong trƣờng hợp g(x) là hằng số,M(x,u') = M(u')chỉ phụ thuộc vào
u ', đơn điệu tăng và đủ trơn, Tucsnak [37] đã nghiên cứu sự phân nhánh của các

9
Tổng quan
Phƣơng trình tích phân tƣơng đƣơng với (0.34), (0.36),(0.37) phụ thuộc vào tham số λ

.

trong đo' h1 > 0, h 2 là các hằng số cho trƣớc.
Trong [23], [24], Long, Ortiz, Alain đã nghiên cứu phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến sau

Trong [23] các tác giả đã chứng minh phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến (0.39) liên kết với điều
kiện biên u(0) = 1, u(+∞ ) = 0 có vô số nghiệm. Ngoài ra bằng kỹ thuật điểm bất động các tác giả
trong [24] đã chứng minh rằng phƣơng trình (0.39) liên kết với điều kiện Cauchy: u(0) = 1, u'(0) =
có duy nhất nghiệm
hai của nó tiến về zêrô khi x

]

[

]

[ sao cho nghiệm u và các đạo hàm cấp một và cấp

.

Trong phần nay, chúng tôi dùng phƣơng pháp Galerkin và compact trong các không gian hàm
Sobolev có trọng thích hợp để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.Kết quả thu đƣợc ở đây
đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [22],[23],[24],[29],[37] và đƣợc công bố trong {2}, {5},

{6}.
■ Trong chƣơng 4, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến (0.34),(0.35) và


10
Tổng quan

trong đó các hằng s ố γ > 0 , p > 2 , h > 0 , g và các hàm số f, F đƣợc cho trƣớc.
Ở chƣơng nầy, bài toán biên phi tuyến ở chƣơng III đƣợc xét với các hàm M(x,u')
và h(u) đặc biệt. Bài toán (0.34), (0.35), (0.40), (0.41) tƣơng ứng với p = 2 đã đƣợc
nghiên cứu bởi Nghĩa, Long [29]. Trong phần nay, tƣơng tự nhƣ trong chƣơng III,
chúng tôi thiết lập các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong các không gian
hàm Sobolev có trọng. Tuy nhiên, các giả thiết trên bài toán lần nay nằm ngoài lớp các
giả thiết đã đƣợc đƣa vào chƣơng trƣớc và trong bài báo {2}. Điều nay cho phép chúng
ta nới rộng lớp các bài toán đƣợc xét thuộc dạng (0.34)-(0.36). Chúng tôi cũng nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u h phụ thuộc vào h khi h → 0 + . Chúng tôi đã
chứng tỏ rằng hàm số h h → |uh(l)| liên tục và không tăng trên (0,+∞).Kết quả thu đƣợc
ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong {2}, [22], [23], [24], [29] và đƣợc
công bố trong {3}.


11
Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến

CHƯƠNG 1: KHẢO SÁT BÀI TOÁN HYPERBOLIC PHI TUYẾN CÓ
SỐ HẠNG PHI TUYẾN CHỨA ‖ ‖
1.1. Giới thiệu
Trong chƣơng nầy, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và điều kiện đầu nhƣ sau

trong đó

R n là một tập mở bị chận có biên Γ =

đủ trơn, V là pháp tuyến đơn vị hƣớng ra

ngoài biên ∂Ω.; T,γ là các hằng số dƣơng cho trƣớc; B,f,F,u0,u1 là các hàm cho trƣớc. Các giả
thiết đặt ra cho các hàm nay sẽ
đƣợc chỉ ra sau. Trong phƣơng trình (1.1), số hạng phi tuyến B ‖

‖2) phụ thuộc vào

và thỏa điều kiện
B là hàm liên tục xác định trên R + = [0,+∞);

Trong chƣơng nay chúng tôi sử dụng phƣơng pháp Galerkin và phƣơng pháp compact yếu kết hợp
với một toán tử đơn điệu để nghiên cứu sự tồn


12
Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến

tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1) - (1.4) với các giả thiết (1.6), (1.7). Sau đó xét
một số dạng cụ thể của số hạng phi tuyến f(u,ut). Kết quả chƣơng nay tổng quát hóa
tƣơng đối kết quả trong [14], [26], [36] và đƣợc công bố trong {1}.
Phần cuối của chƣơng đề cập đến việc mở rộng bài toán mà bài toán (1.1) - (1.4) là một
trƣờng hợp riêng ứng với p = 2.

1.2. Các ký hiệu và giả thiết
Chúng ta sử dụng các ký hiệu sau :

Ta ký hiệu <.,. > để chỉ tích vô hƣớng trong L2 hay cặp tích đối ngẫu giữa một phiếm hàm tuyến
tính liên tục với một phần tử của không gian hàm. Ký hiệu || . || để chỉ chuẩn trong L2 và ký hiệu
|| . || X để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X. Ta gọi X' là không gian đối ngẫu của X.
Ta ký hiệu bởi Lp(0,T;X), 1 ≤ p ≤ ∞, là không gian Banach các hàm u : (0,T) → X đo đƣợc,
sao cho

và


13
Chương 1: Khảo sát bài toán hyperbolic phi tuyến
(H3) B : R + = [0,+∞ ) → R thỏa các điều kiện sau:
(i) B liên tục,
(ii) tồn tại hai hằng số dƣơng λQ và D0 sao cho

(H4) f: R 2 → R thỏa các điều kiện sau:
(i) f liên tục,
(ii) f không giảm đối với biến thứ hai, nghĩa là,

(iii) tồn tại hai hằng số dƣơng λ1 và D1 sao cho

trong đó C là hằng số dƣơng và các hằng số còn lại thỏa các điều kiện sau đây phụ
thuộc vào n.
(4i) f(u,v) bị chận bởi đa thức:

(H5) Với mỗi tập con bị chận M của

xL2 tồn tại hằng số kM > 0 sao cho:

14
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

(H6) với mỗi r > 0 tồn tại hằng số Dr > 0 sao cho:

Ta cũng dùng các ký hiệu u(t), ut(t)=u'(t), utt(t) = u''(t) để lần lƣợt chỉ u(x,t),

1.3. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng γ = 1.

Định lý 1.1

Giả sử có các giả thiết ( H 1 ) - ( H 4 ) . Khi đó bài toán (1.1)—(1.4) có ít nhất một
nghiệm u sao cho
Hơn nữa, nếu có các giả thiết (H5 ), (H6 ), thì nghiệm u duy nhất.
Chú thích 1.1

Bài báo [26] đã khảo sát bài toán (1.1) - (1.4) trong trƣờng hợp f(u,ut) = | |
, 0 < β < 1 và hàm
B xác định liên tục không âm trên [0,+ ∞). Ta cũng chú ý rằng điều kiện (H 3 ,(ii)) không đòi hỏi hàm
B không âm trên [0,+∞). Nhƣ vậy kết quả thu đƣợc trong [26] là một trƣờng hợp riêng của định lý
1.1.
Một số tác giả khác nhƣ Nishihara trong [31] - [33], Medeiros trong [28], Hosoya & Yamada
trong [17] đã xét B là hàm thuộc lớp C1(R+) và B ≥ Bo > 0 với lớp hàm f kém tổng quát hơn.


15
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Chú thích 1.2.
Chú ý rằng định lý 1.1 vẫn còn đúng nếu thay thế giả thiết (H3, ii) bởi:

(

) Tồn tại các hằng số dƣơng

0,

D0 và r, 0 < r < 1 sao cho

Chứng minh định lý 1.1.
Chứng minh bao gồm nhiều bƣớc.
Bước 1. xấp xỉ Galerkin
Giả sử {wj} là một cơ sở đếm đƣợc của

Trong đó cmj(t) thỏa hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến

Trong đó


16
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

Từ giả thiết của định lý, hệ (1.10), (1.11) có nghiệm um(t) trên khoảng 0 ≤ t ≤ Tm với T m
(0,T) nào đó. Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy T m = T với mọi m.
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm
Nhân mỗi phƣơng trình trong (1.10) với
(t) sau đó lấy tổng theo j, ta đƣợc

Lấy tích phân (1.14) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có

Trong đó

Sử dụng giả thiết về tính đơn điệu (H4,(ii)) của f đối với biến thứ hai, ta có

Trong đó


17
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

Khi đó ta suy ra, từ (1.17), (1.18), rằng

Tƣơng tự, từ (H3,(ii)) ta cũng thu đƣợc

Để đánh giá số hạng ∫ ̂ (

)

chúng ta cần đến bổ đề sau

Ta suy ra từ (1.15), (1.19) và (1.20) rằng

Bổ đề 1.1.
Với giả thiết (H4,(4i)), đặt ̂
ds, ta có toán tử Nemytsky ̂
∫
tập bị chận của Hq thành tập bị chận của L1.
Chứng minh bổ đề 1.1.

Từ giả thiết (H4 ,(4i)), ta có

biến mọi


18
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Suy ra

Từ (1.23) suy ra

Do đó ̂

biến mọi tập bị chận trong

thành tập bị chận trong L1.

Từ giả thiết (H4,(4i)), suy ra

Từ đây kết hợp với (1.23) ta có ̂
chận trong L1

biến mọi tập bị chận trong

Bổ đề 1.1 đƣợc chứng minh hoàn tất.
Từ (1.12), (1.13), sử dụng giả thiết (H3, (i)) và bổ đề 1.1, ta thu đƣợc

Do đó, từ (1.21), (1.24) ta thu đƣợc

thành tập bị

19
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

trong đó

và MT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T.

Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (1.25) rằng

Vậy ta có thể lấy T m = T với mọi m và do đó

Sử dụng (1.28), (1.29) và (H4,(4i)) ta đƣợc

ta có
Mặt khác, từ bất đẳng thức

do đó

Bước 3. Qua giới hạn.
Từ (1.28), (1.29) và (1.30), ta suy ra rằng tồn tại một dãy con {um } ,vẫn ký hiệu là {um},
sao cho


20
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính

Dùng bổ đề về tính compact của Lions (xem [27], định lý 5.1, trang 58), ta có
thể suy từ (1.34), (1.35) rằng tồn tại một dãy con, vẫn ký hiệu là {u m}, sao cho:
Do định lý Riesz-Fischer, từ (1.37) ta có thể lấy ra một dãy con, vẫn ký hiệu là {um},
sao cho

Vì B liên tục, ta có
rong đó

Kết hợp (1.33) và (1.40) với bổ đề 1.3 trong [27] (trang 12 ), ta có

Qua giới hạn trong (1.10) nhờ vào (1.34)- (1.36) và (1.41) ta có


21
Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính
Vậy u(0) = uo

u’(0) = u1
Khi đó, để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) – (1.4), ta chỉ cần chứng minh χ =
f(u,u’)
B â y g i ờ t a x é t bổ đ ề s a u đ â y
Bổ đề 1.2.
Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau:

Khỉ đó ta có

Hơn nữa, nếu u0 =u1 = 0 thì (1.46) xảy ra đằng thức.
Chứng minh của bổ đề 1.2 có thể tìm trong [26].
Bây giờ ta trở lại việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán ( 1 . 1 ) -(1.4).
Ta suy từ (1.10), (1.11) rằng