Lượng giác ( nâng cao)

CH 1
PHNG TRèNH LNG GIC
i.lý thuyết
1.Giá trị l ơng giác của góc l ợng giác

a.Các định nghĩa :
sin

=
OK
cos

=
OH
tan

=
AT
cot

=
BU
b. Tính chất
i> sin (

+ k2

) = sin

cos (

+ k2

) = cos

; k

Z
tan (

+ k

) = tan

cot (

+ k

) = cot

; k

Z
ii> với


ta có : - 1

sin

1 ; - 1

cos



1
iii> cos
2

+ sin
2

= 1 tan

.cot

= 1
1 + tan
2

=

2
cos
1
( cos

0 ) 1 + cot
2

=

2
sin
1
( sin



0 )
c. Dấu các hàm số l ợng giác :

d. bảng hàm số
của cung l ợng giác
đặc biệt




Chú ý :
+ > sin

= 0

= k

; k

Z
+ > sin

= 1


=

/2 + k2

; k

Z
+> sin

= - 1



= -

/2 + k2

; k

Z

+ > cos

= 0



=

/2 + k

; k

Z
+> cos

= 1



= k2

; k

Z

+> cos

= - 1

=

+ k2

; k

Z

2. giá trị l ơng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc phần t Số đo của góc sin

cos

tan

cot


I 0 <

<

/2
+ + + +
II

/2 <

<


+ - - -
III

<

< 3

/2
- - + +
IV
3

/2 <

< 2

- + - -
i>Cung đối nhau : cos ( -

) = cos

sin ( -

) = - sin

tan ( -

) = - tan

cot ( -

) = - cot

ii> Cung hơn kém

: sin (

+

) = - sin

cos(

+

) = - cos


tan(

+

) = tan

cot(

+

) = cot


iii> Cung bù nhau : sin (

-

) = sin

cos (

-

) = - cos


tan(

-

) = - tan

cot(

-

) = - cot

iv> Cung phụ nhau : sin (

/2 -

) = cos

cos (

/2 -

) = sin


tan (

/2 -

) = cot

cot(

/2 -

) = tan


v> Cung hơn kém

/2 : sin (

/2 +

) = cos

cos (

/2 +

) = - sin


tan (

/2 +

) = - cot

cot(

/2 +

) = - cot


3Công thức l ợng giác
a. Công thức cộng :
cos( x y ) = cosx.cosy + sinx.siny
cos( x + y ) = cosx.cosy sinx.siny
sin( x y ) = sinx.cosy cosx.siny
sin( x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

tan( x y ) =
yx
yx
tan.tan1
tantan
+


tan( x + y ) =
yx
yx
tan.tan1
tantan

+

b. Công thức nhân đôi :
sin 2x = 2sinx.cosx ( 7) công thức nhân 3 :
cos 2x = cos
2
x sin
2
x ( 8 ) sin3x = 3sinx 4sin
3
x
tan 2x =
x
x
2
tan1

tan2

( 9 ) cos3x = 4cos
3
x 3cosx
ii> Công thức hạ bậc : sin
2
x =
2
2cos1 x


cos
2
x =
2
2cos1 x
+
tan
2
x =
x
x
2cos1
2cos1
+


iii> Công thức tính theo t = tan x/2 : đặt t = tanx/2 khi đó ta có các công thức biểu diễn sau:
sin x =

2
1
2
t
t
+
cos x =
2
2
1
1
t
t
+

tan x =
2
1
2
t
t


c. Công thức biến đổi tích thành tổng và ng ợc lại
i> Công thức biến đổi tích thành tổng

cosx.cosy =
2
1
[ cos ( x - y ) + cos ( x + y ) ]

sinx.siny =
2
1
[ cos ( x - y ) - cos ( x + y ) ] sinx.cosy =
2
1
[ sin( x - y ) + sin ( x + y ) ]
ii> Công thức biến đổi tổng thành tích :
cosx + cosy = 2cos
2
yx
+
. cos
2
yx

cosx - cosy = - 2sin
2
yx
+
. sin
2
yx


sinx + siny = 2sin
2
yx
+
. cos

2
yx

sinx - siny = 2cos
2
yx
+
. sin
2
yx


tanx + tany =
yx
yx
cos.cos
)sin(
+
tanx - tany =
yx
yx
cos.cos
)sin(


Chú ý một số công thức sau :
sinx + cosx =
2
.sin( x +

/4 )
sinx - cosx =
2
.sin( x -

/4 )
cosx + sinx =
2
.cos( x -

/4 )
cosx - sinx =
2
.cos( x +

/4 )
II. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sinα = a.
2. Phương trình cosx = a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± α + k2π, k ∈ , với cosα = a.
3. Phương trình tanx = a
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠
2
π
+kπ, k ∈ .
Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a

4. Phương trình cotx = a
Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ .
Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈  với cotα = a.
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
1. Phương trình đưa về phương trình tích:
Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x +
3
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
Giải
Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0
Ta biến đổi 3tan2xcot3x +
3
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
⇒ 3tan2xcot3x +
3
tan2x – 3
3
cot3x – 3 = 0
⇒ tan2x (3cot3x +
3
) -
3
(3cot3x +
3
) = 0
⇒ (3cot3x +
3
) (tan2x -
3
) = 0

⇒
2
3
3
cot 3
3
3
3
tan 2 3
3
x k
x
x k
x
π
π
π
π


= +

= −

⇒



= +
=




(k ∈ )
⇒
2
9 3
6 2
x k
x k
π π
π π

= +



= +


(k ∈ )
Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:
x =
2
9 3
k
π π
+
và x =
6 2

k
π π
+
, k ∈ 
Bài 2: Giải phương trình:
1 tan
2 sin
1 cot
x
x
x
+
=
+
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1.
(Loại do điều kiện)
Ta biến đổi phương trình đã cho:
1 tan cos sin sin
2 sin . 2 sin
1 cot cos sin cos
x x x x
x x
x x x x
+ +
= ⇒ =
+ +
⇒
sin
2 sin

cos
x
x
x
=
⇒ sinx
1
2 0
cos x
 
− =
 ÷
 
⇒
sin 0
2
cos
2
x
x
=



=


⇒ x = ±
2
4

k
π
π
+
, k∈ 
Giá trị x = -
2
4
k
π
π
+
, k∈  bị loại do điều kiện cot x ≠ -1.
Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x =
2
4
k
π
π
+
, k∈ .
Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0,2π)
Giải:
Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0.
Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒
sin8 2sin 4
0
cos3 cos5 cos4
x x
x x x

− =
⇒
2sin 4 cos4 2sin 4
0
cos3 cos5 cos4
x x x
x x x
− =
⇒ 2sin4x
2
cos 4 cos3 cos5
0
cos3 cos 4 cos5
x x x
x x x
 
−
=
 ÷
 
⇒ 2sin4xsin
2
x = 0 ⇒
sin 4 0
sin 0
x
x
=



=

⇒
4
4
4
x k
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
π

=
=


⇒ ⇒ =


=

=

(k ∈ )
Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:

1 2 3 4 5
3 5 7
; ; ; ;
4 4 4 4
x x x x x
π π π π
π
= = = = =
2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác.
Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x)
Giải:
Ta có: 1 + sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x)
= 2[(cos
2
x + sin
2
x)
2
– 2sin
2
xcos
2

x]
= 2
2
1
1 sin 2
2
x
 
−
 ÷
 
= 2 – sin
2
2x
Vậy ta được phương trình sin
2
2x + sin2x -1 = 0
Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình:
t
2
+ t – 1 = 0 ⇒ t =
1 5
2
− ±
. Giá trị
1 5
2
− −
< -1 nên bị loại.
Với t =

1 5
2
− +
ta có phương trình sin2x =
1 5
2
− +
Phương trình này có nghiệm: x=
1 1 5
arcsin
2 2
k
π
 
− +
+
 ÷
 ÷
 
, k ∈ 
Và x =
1 1 5
arcsin
2 2 2
k
π
π
 
− +
− +

 ÷
 ÷
 
, k ∈ 
Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 5: Giải phương trình sin
2
x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
Giải:
Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0
Chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được:
tan
2
x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan
2
x)
⇒ tan
3
x – tan
2
x = 5tanx – 3 – 2 tan
2
x
⇒ tan
3
x + tan
2
x – 5tanx + 3 = 0

Đặt t = tanx ta được phương trình.
t
3
+ t
2
– 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t
2
+ 2t – 3) = 0 ⇔
1
3
t
t
=


= −

Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm
4
x k
π
π
= +
, k ∈ 
Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kπ, k ∈ 
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =
4
k
π

π
+
, x = arctan(-3) + kπ, k ∈ 
Bài 6: Giải phương trình:
3 3
2 3 1 3 1
sin cos sin 2 sin cos
3 2 2 3
x x x x x
 
 
−
+ = + −
 
 ÷
 ÷
 
 
 
Giải
Ta biến đổi phương trình đã cho:
3 3
2 3 1 3 3 2
sin cos 2sin cos sin cos
3 2 6
x x x x x x
 
− −
+ − +
 

 
=0
⇔
3 2 2 3 2 2
2 2
sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 0
3 3
x x x x x x x x x x
   
− + + + − =
 ÷  ÷
   
⇔
2 2
2
sin 3 sin cos cos (sin cos ) 0
3
x x x x x x
 
− + + =
 ÷
 
⇔
2 2
sin cos 0 (1)
2
sin 3 sin cos cos 0 (2)
3
x x
x x x x

+ =



− + =

• Giải phương trình (1) ta được: x =
3
4
π
+kπ, k ∈ 
• Giải phương trình (2): sin
2
x -
3
sinxcosx +
2
3
cos
2
x = 0
Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình.
Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos
2
x, ta được:
tan
2
x -
2
3 tan 0

3
x + =
Giải phương trình, ta được: x =
6
k
π
π
+
và x = arctan
2 3
3
+ kπ, k ∈ 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
x =
3
,
4 6
k x k
π π
π π
+ = +
và x = arctan
2 3
3
+ kπ, k ∈ 
3. Phương trình asinx + bcosx = c
Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2
3
sinx + cos2x +
3

sin2x + 3 = 0
Giải:
Ta có: 4cosx + 2
3
sinx + cos2x +
3
sin2x + 3 = 0
⇔ 4cosx + 2
3
sinx + 2cos
2
x – 1 + 2
3
sinxcosx + 3 = 0
⇔ 2
3
sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)
2
= 0
⇔ 2(cox +1)(
3
sinx + cosx + 1) = 0
⇔
cos 1 0
3 sin cos 1 0
x
x x
+ =



+ + =

⇔
(2 1)
2
3
x k
x k
π
π
π
= +



= − +

(k ∈ )
Bài 8: Giải phương trình:
2cos
3
x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx +
2
) -
2
(sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0
Giải:
Ta biến đổi phương trình đã cho:
2cos
3

x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx +
2
) -
2
(sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0
⇔
2
(cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos
3
x – sin2xcosx – 2cosx = 0
⇔ (cos2x – sin2x – 1) (
2
+ sinx) + cosx(2cos
2
x – sin2x – 2) = 0
⇔ (cos2x – sin2x – 1) (
2
+ sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0
⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx +
2
) =0
⇔
cos 2 sin 2 1 0
cos sin 2 0
x x
x x
− − =


+ + =


⇔
2
cos 2
4 2
cos 1
4
x
x
π
π

 
+ =

 ÷
 


 
− = −

 ÷
 
