đề thi học sinh giỏi quốc gia

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN -Bảng A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,5 điểm).
a) Cho A=
4 3 2
2 16 2 15k k k k+ − − +
với
k Z
∈
. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho
16.
b) Cho 2 số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn
tìm được số nguyên c sao cho
2 2 2
a b c+ +
là số chính phương.
Câu 2 (5,5 điểm).
a) Giải phương trình:
2
2 1 16 2x x x− − + =
b) Cho
,x y
thoả mãn:
3 2
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y y

x x y y

+ − + =


+ − =


Tính Q =
2 2
x y+
Câu 3 (3,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
1 1 1 1 1 1
3 3 3
a b b c c a
   
+ + + + + +
 ÷ ÷ ÷
   
Trong đó các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện
3
2
a b c+ + ≤
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB VÀ CD vuông góc với nhau.E là một
điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt
OD tại N.
a) Chứng minh rằng: AM.ED =
2

OM.EA.
b) Xác định vị trí điểm E để tổng
OM ON
AM DN
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1,5 điểm).
Cho tam giác ABC, lấy điểm
1
C
thuộc cạnh AB,
1
A
thuộc cạnh BC,
1
B
thuộc cạnh
CA. Biết rằng độ dài đoạn thẳng
1 1 1
AA , ,BB CC
không lớn hơn 1.
Chứng minh rằng:
1
3
ABC
S ≤
(
ABC
S
là diện tích tam giác ABC).

- - - - -Hết- - - - -