Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phép tính ma trận và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THU SƢƠNG

PHÉP TÍNH MA TRẬN VÀ
ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng –Năm 2015


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh
Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà
Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép tính ma trận ứng dụng trong lĩnh vực phân tích nhiều
chiều. Nó đề cập đến một số kí hiệu khác nhau mà sử dụng ma trận
và vector để suy ra đạo hàm của mỗi thành phần của biến phụ thuộc
đối với mỗi thành phần của biến độc lập. Các biến độc lập có thể là
một vô hướng, một vector hay một ma trận trong khi biến phụ thuộc
có thể là một trong số chúng cũng được.
Trong toán học ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm của các
phương trình ma trận có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực bao
gồm lý thuyết điều khiển, hỗ trợ máy tính trong mô phỏng những hệ
cỡ lớn thông qua giảm bậc, xử lý ảnh, mô phỏng hệ cơ cưỡng bức.
Nghiệm của phương trình cho ta thông tin về tính ổn định của
phương trình vi phân, phân tích giá trị riêng của ma trận và là công
cụ trong điều khiển những hệ động lực mô tả mà phương trình trạng
thái của nó là một phương trình vi phân đại số. Trong số đó thì
phương trình Sylvester có vai trò quan trọng trong cả toán học lý
thuyết và toán học ứng dụng. Vấn đề đặt ra ở đây là cần tìm lời giải
cho phương trình ma trận nói trên. Có nhiều phương pháp để giải
quyết trong đó không thể không đề cập tới vai trò của phép tích
Kronecker và đạo hàm ma trận.
Ngoài ra để tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phương bé
nhất và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng hay ước
lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận thì phép tính đạo
hàm ma trận được ứng dụng rất nhiều và sử dụng đạo hàm ma trận để
giải quyết các vấn đề trên cũng rất nhanh chóng và mang lại hiệu quả
cao.

2
Với ý tưởng này tác giả đã lựa chọn đề tài “Phép tính ma trận
và ứng dụng”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được bản
chất của phép tính ma trận và ứng dụng của nó trong việc giải
phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình
phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô
hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu: Phép tính ma trận.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Phép tính ma trận ứng dụng giải
phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình
phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô
hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của TS. Phan Đức Tuấn
và các tài liệu tiếng Anh thu thập từ các bài báo khoa học, trang web
và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính ma trận.
Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tập, phân tích, đánh giá,
tổng hợp tư liệu và tiếp cận hệ thống.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Đề tài hệ thống lại các kiến thức cơ bản về tích Kronecker và
đạo hàm ma trận. Đưa ra phương pháp giải quyết các bài toán
phương trình ma trận, tính ma trận xấp xĩ ở bình phương tối thiểu và
tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng
Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn làm

tài liệu tham khảo dành cho sinh viên nghành Toán.


3
6. Bố cục luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham
khảo và ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Phép tính ma trận.
Chương 3. Ứng dụng.
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về ma
trận, định thức, hàm vết (tr) và toán tử vec, hàm mũ ma trận. Trong
đó có một số kí hiệu và một số kết quả mà có ích cho phát triển lý
thuyết của tích Kronecker và đạo hàm ma trận trong các chương tiếp
theo.
1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1.1.1. Một số định nghĩa ma trận
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
1.1.3. Định thức
1.1.4. Ma trận nghịch đảo
1.1.5. Hạng của ma trận
1.1.6. Hệ phƣơng trình tuyến tính
1.2. KHAI TRIỂN CỦA MỘT MA TRẬN
1.3. HÀM VẾT VÀ TOÁN TỬ VEC
1.3.1. Hàm vết (tr)
1.3.2. Toán tử vec
1.3.3. Ma trận hoán vị kết hợp vecX và vecX T
1.4. HÀM MŨ MA TRẬN

4
CHƢƠNG 2
PHÉP TÍNH MA TRẬN
Trong chương này ta tìm hiểu một số phép tính ma trận trong
đó tập trung vào phép tích Kronecker và phép đạo hàm ma trận. Cụ
thể phần 2.1 sau giới thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của
tích Kronecker có kèm theo phần chứng minh cụ thể. Và phần 2.2 thu
thập một số công thức hữu ích về đạo hàm ma trận thường xuất hiện
trong đạo hàm của các phần tử hữu hạn.
2.1. TÍCH KRONECKER
2.1.1. Định nghĩa tích Kronecker
Xét ma trận A   aij 
và ma trận
mn

B  bij 

r s

. Tích

Kronecker của hai ma trận A và B , được kí hiệu là A  B được xác
định như ma trận sau:
a1n B 
 a11 B a12 B
a B a B
a2 n B 
22

A  B   aij B    21
,
(2.1)




amn B 
 am1 B am 2 B
A  B được xem là ma trận cấp (mr  ns). Nó có mn
khối, khối ở vị trí hàng i, cột j là ma trận aij B cấp r  s.

2.1.2. Một số tính chất và quy tắc cho tích Kronecker
Tính chất 2.1.
A  ( B)   ( A  B) (  là đại lượng vô hướng).
Tính chất 2.2.
(i) ( A  B)  C  A  C  B  C,

(2.3)

(ii) A  ( B  C )  A  B  A  C.

(2.4)

Tính chất 2.3.

A  ( B  C )  ( A  B)  C.

(2.2)

(2.5)


5
Tính chất 2.4.
Tính chất 2.5.

( A  B)T  AT  BT .

(2.6)

Tính chất 2.6. Cho các ma trận A cấp (m  n), B cấp (r  s),
C cấp (n  p), D cấp ( s  t ).

( A  B)(C  D)  AC  BD.

(2.7)

Tính chất 2.7. Cho A là ma trận cấp (m  m) và B là ma trận
cấp (n  n), trong đó A, B không suy biến.
( A  B)1  A1  B1.

(2.8)

Tính chất 2.8. Cho hai ma trận A và B cùng cấp (n  n)
vec( AXB)  ( BT  A)vecX .

Tính chất 2.9. Nếu i  và

 xi 

(2.9)

là các giá trị riêng và các

vector riêng tương ứng của ma trận A cấp (n  n) . Nếu

 y  là các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng của
j

(m  m) .



Khi đó, A  B có các giá trị riêng i  j







  và
j

B cấp

và vector riêng

tương ứng xi  y j .

Tính chất 2.10.

A  B  U1 ( B  A)U 2

(2.10)

trong đó U1 và U 2 là các ma trận hoán vị.
Tính chất 2.11. Cho hai ma trận A   aij  và B  bij 
nn
mm
A B  A

m

n

B ,

(2.11)

trong đó: A là định thức của A.
Tính chất 2.12. Nếu là f hàm giải tích, A   aij 
và tồn
nn
tại f ( A). Khi đó:
f ( I m  A)  I m  f ( A),

(2.12)

f ( A  I m )  f ( A)  I m .

(2.13)

Trường hợp riêng: Nếu ta cho f ( z )  e . Khi đó:
z


6
e Im  A  I m  e A ,

(2.14)

e AIm  e A  I m .

(2.15)

2.1.3. Định nghĩa tổng Kronecker
Xét ma trận A   aij  và ma trận B  bij 
nn

mm

. Tổng

Kronecker của hai ma trận A và B , được kí hiệu là A  B được xác
định bằng biểu thức:
A  B  A  I m  I n  B.

 

(2.16)

Tính chất 2.13. Nếu i  và  j là các giá trị riêng tương ứng

của A cấp (n  n) và B cấp (m  m).





Khi đó, i   j là các giá trị riêng của A  B.
Tính chất 2.14. Cho A là ma trận cấp (n  n) và B là ma trận
cấp (m  m)
exp( A  B)  expA  expB.

(2.17)

2.2. ĐẠO HÀM MA TRẬN
2.2.1. Đạo hàm của một ma trận
Cho ma trận A(t )   aij (t )  , đạo hàm của ma trận A đối với
mn

biến vô hướng t , kí hiệu:

d
hay A(t ) được định
A(t ) hay dA
dt
dt

nghĩa như một ma trận
d
d

A(t )   aij (t )  .
dt
dt


Tính chất 2.15. Cho các ma trận A(t ) và B(t ) , ta có:
d
dA
dB
 AB  B  A .
dt
dt
dt
Ví dụ 2.4. Cho C  A  B. Chứng minh rằng:
dC dA
dB

 B  A
,
dt
dt
dt

(2.18)

(2.19)

(2.20)

trong đó: các ma trận A và B là hàm của t (t là biến vô hướng).


7
2.2.2. Đạo hàm của các vector
 x1 
 y1 
x 
y 
2

Cho các vector x 
và y   2  . Khi đó ta có đạo hàm các
 
 
 
 
 xn 
 ym 
vector như sau:
(i) Đạo hàm của vector y đối với vector x là ma trận cấp (n  m)
 y1
 x
 1
 y
y  1
 x

x  2

 y1
 x
 n

y2
x1
y 2
x2
y2
xn

ym 
x1 

ym 

x2  .


ym 
x n 

(2.21)

(ii) Đạo hàm của một đại lượng vô hướng y đối với một vector x
 y 
 x 
 1

 y 
y 

 x2  .
(2.22)
x 




 y 
 xn 
(iii) Đạo hàm của một vector y đối với một đại lượng vô hướng x


8
 y1 
 x 


y2 

y 
 x  .

x 


 ym 



 x 

(2.23)

2.2.3. Jacobian của phép biến đổi một biến
2.2.4. Đạo hàm của một ma trận đối với một trong các phần
tử của nó và ngƣợc lại
Ta xét ma trận X   xij 

mn

.

Đạo hàm của ma trận X đối với một trong các phần tử của nó
xrs là:
X
(2.24)
 Ers ,
xrs
trong đó: Ers là ma trận cơ sở cùng cấp với X , r  1, m ; s  1, n.
Từ đó, suy ra
X T
 E T rs .
xrs

(2.25)

Bây giờ, ta xét dạng tích các ma trận sau:
Y  AXB




trong đó: X   xij  ; B  bij  nq ; A   aij  ; Y   yij  .
l q
l m
mn

Lúc này ta cần tìm

yij
Y
và
( xrs và yij lần lượt là phần tử
X
xrs

đặc trưng của X và Y).
yij

 AT Eij BT .
X
( Eij là ma trận cơ sở cấp (l  q) cùng cấp với Y ) .

(2.26)


9
Y
 AErs B.

xrs

(2.27)

( Ers là ma trận cơ sở cấp (m  n) cùng cấp với ma trận X ).
2.2.5. Đạo hàm hàm vô hƣớng của ma trận đối với ma trận
Cho ma trận X   xij 
và y  f ( X ) là hàm vô hướng của
mn

X . Đạo hàm của y đối với X được xác định là ma trận cấp (m  n)

như sau:
 y
 x
 11
 y
y 
 x21
X 


 y
 xm1

y
x12

y 
x1n 


y
y 
 y 
x22
x2 n   

x
  ij 

y
y 
xm 2
x mn 
trong đó: Eij là ma trận cơ sở cấp (m  n).

E

ij

i, j

y
,
xij

(2.28)

2.2.6. Đạo hàm của hàm vô hƣớng vết (tr) đối với ma trận.
Cho ma trận X   xij  , Y là ma trận vuông và hàm trY .

mn

Khi đó đạo hàm của hàm trY đối với ma trận X được viết như sau:
 (trY ) 
  (trY )  (trY )
 x
x12
x1n 
 11

  (trY )  (trY )
 (trY ) 
 (trY ) 
x22
x2 n  .
(2.29)
  x21
X




 (trY ) 
  (trY )  (trY )
 xm1
xm 2
xmn 
 (trY )  (trY ) 

Hay

(2.30)
,
X
 xrs 


10
trong đó: vế phải của (2.30) là ma trận có cấp (m  n), xrs là các

 r  1, m ; s  1, n.

phần tử ở vị trí hàng r, cột s của ma trận X
Ví dụ 2.8. Hãy ước lượng

 (trY )
.
X

a) Y  AT X

d) Y  X T X

b) Y  X T A

e) Y  U T XX T .

c) Y  U T XT
2.2.7. Xác định đạo hàm của vecY

vecX

cho phƣơng trình

phức tạp hơn
2.2.8. Trạng thái ma trận chuyển tiếp
Ma trận chuyển tiếp là khái niệm quan trọng trong lý thuyết điều
khiển và phân tích không gian trạng thái của hệ bất kỳ.
Trước tiên ta xét nghiệm của phương trình ma trận trạng thái
thuần nhất được cho bởi:

X (t )  AX (t ) ,

(2.31)

với điều kiện ban đầu X (0)  X 0 ,
trong đó: A là ma trận cấp (n  n).
X (t )  e At X 0 .

(2.32)

Như vậy phương trình này cung cấp hệ thức giữa trạng thái ban
đầu X (0)  X 0 tại t0  0 và trạng thái X (t ) tại bất kỳ thời điểm t.
Sự chuyển đổi từ trạng thái X 0 đến X (t ) được thực hiện bởi hàm
mũ ma trận e At . Do đó hàm ma trận này được gọi là trạng thái ma
trận chuyển tiếp và được ký hiệu bởi  (t ).
Khi đó
Tính chất 2.16.

 (t )  e At .

 (0)  I ,
 1 (t )   (t ),
 (t1  t2 )   (t2 ) (t1 )


11
Ngoài ra trạng thái ma trận chuyển tiếp luôn luôn thỏa mãn hệ
thức sau:
 (t )  A(t ) (t )



 (t , t )  I .

CHƢƠNG 3
ỨNG DỤNG
3.1. ỨNG DỤNG TÍCH KRONECKER
Trong phần này xét một số ứng dụng của tích Kronecker trong
việc giải một số dạng phương trình ma trận trong đó đặt biệt có
phương trình ma trận Sylvester. Từ phương trình tổng quát này ta có
thể giải một số phương trình ma trận dạng tương tự.
3.1.1. Nghiệm của AX + XB  C
Xác định điều kiện để phương trình Sylvester
AX + XB  C,

(3.1)

có nghiệm duy nhất.
Trong đó A : là ma trận cấp (n  n); B là ma trận cấp ( m  m );
C là ma trận cấp (n  m).

Phương pháp giải.
Ta sử dụng toán tử vec trên (3.1) :
vec( AX + XB) = vecC
 (I  A)vecX + (BT  I )vecX = vecC
 ( BT  A)vecX  vecC.

Khi đó ta viết phương trình (3.1) về dạng:
Gx  c,

(theo (2.9))
(theo (2.16))
(3.2)


12
T
T

G  B  A  B  I n  I m  A
trong đó: 

 x  vecX ; c  vecC

Gọi i là các giá trị riêng của A

 j là các giá trị riêng của B cũng là giá trị riêng của BT .





Theo Tính chất 2.13 thì các giá trị riêng của G là: i   j .
Phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất:

 G không suy biến.
 Tất cả các giá riêng của G khác 0.
 i   j  0 (tất cả i và j ).





Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (3.1) có
nghiệm duy nhất:
 A và (-B) không có giá trị riêng chung.

Ngược lại, A và (-B) có chung các giá trị riêng. Khi đó tồn tại
nghiệm phụ thuộc vào hạng của ma trận mở rộng G c .

Nếu rank G c  rank G  khi đó nghiệm tồn tại, ngược lại hệ

phương trình
AX + XB  C

là không phù hợp.
Ví dụ 3.1. Tìm nghiệm của phương trình AX  XB  C. Cho
biết:
1 1
(a) A  

 ;
0 2 
1 1
(b) A  
;
0 2 

 3
B
1
 3
B
0

Giải.
x
Ta kí hiệu X   1
 x2

x3 
.
x4 

4
;
0 
4
;
1

1
C
 2
0
C
2

3
.
2 
5
.
9 


13
Khi đó

x  vecX   x1

x2

x3

x4  .
T

(a) Các giá trị riêng của A :   1;   2 .
Các giá trị riêng của B :   1;   4.
Nhận thấy A và  B không có giá trị riêng chung.

Ta viết phương trình về dạng (3.2):
Gx  c

G  B  A  BT  I 2  I 2  A

trong đó: 

 x  vecX ; c  vecC
 2 1 1 0 
 0 1 0 1 
.
Ta có G  
 4 0 1 1


0 4 0 2
T

cT   vecC   1 2 3 2.
T

 2 1
 0 1

4 0

0 4

1 0   x1   1 
0 1   x2   2 

Khi đó

1 1  x3   3 
   
0 2   x4   2 
 1
2 x1  x2  x3

 x2
+ x4  2

 

 x3  x4 = 3
4 x1

4x2
+ 2x4  2.
0 2 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất X  
.
1 1

 x1 = 0

 x2  1

 x3 = 2
 x4  1.

(b) Các giá trị riêng của A :   1;   2 .
Các giá trị riêng của B :   1;   3.
Nhận thấy A và  B có giá trị riêng chung (  1).
Ta viết phương trình về dạng (3.2):


14
Gx  c,
 2 1 0 0 
 0 1 0 1 
.
G
 4 0 0 1


0 4 0 1

cT   vecC   0 2 5 9.
T

 2 1
 0 1

4 0

0 4

0 0   x1   0 
0 0   x2   2 
Khi đó


0 1  x3   5 
   
0 1   x4   9 
Nhận thấy r G   r G c  3 (< số ẩn).

Mà G là ma trận suy biến.
Do đó hệ có ít nhất một nghiệm tồn tại
 x1 = 1
2 x1  x2  0


 x2  2

 x2  2



 x4 = 1

 x4 =  1

 x3   ,   R.
x4  1
 x3  0
  0
 
Chọn 
  1
 x3  1.

Vậy hệ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:
1 0
1 1
và X 2  
X1  

.
 2 1
 2 1
3.1.2. Nghiệm của AX  XA   X
Xác định điều kiện để phương trình
AX  XA   X ,
có một nghiệm không tầm thường.
Trong đó: A là ma trận cấp (n  n).

(3.3)


15
Phương pháp giải. Ta sử dụng toán tử vec trên (3.3):
Khi đó ta viết phương trình (3.3) về dạng:
Hx   x,

(3.4)

H  I  A  A  I

trong đó: 


 x  vecX .
T

Phương trình (3.4) có một nghiệm không tầm thường:
  I  H  0,  là giá trị riêng của H .





Theo Tính chất 2.13 các giá trị riêng của H là (i   j ) ,
trong đó i là các giá trị riêng của A.
Do đó phương trình đã cho có một nghiệm không tầm thường:
   i   j .
Ví dụ 3.2. Xác định nghiệm của phương trình AX  XA   X .
1 0
Cho A  
 và   2.
 2 3
3.1.3. Nghiệm của X  AX + XB;

Giải phương trình
X  AX + XB;

X (0) = C.

X (0) = C,

(3.5)

trong đó A(n  n), B(m  m), X (n  m).
Phương pháp giải.
Trước tiên ta nhắc lại công thức nghiệm của phương trình vi
phân ma trận dạng
x  Ax, x(0) = c

(3.6)

x  exp( At )c.

(3.7)

là:
Ta sử dụng toán tử vec trên (3.5), ta được:
x  Gx, x(0) = c,

(3.8)


16
T
T

G  B  A  I m  A  B  I n
trong đó: 

 x  vecX , c  vecC.

Theo (3.6) và (3.7) thì nghiệm của (3.8) là:
x  exp(Gt )c






vecX  exp  I m  A  BT  I n t  vecC


T
= exp  I m  A)t  ( B  I n t  vecC


T
= exp( I m  A)t  exp( B  I n )t  vecC.



Theo (2.14) và (2.15):

vecX   I m  exp( At ) exp( BT t )  I n  vecC.

(3.9)

Ngoài ra, ta chứng minh được:
vecAB  ( BT  I )vecA

(3.10)

vecAB  ( I  A)vecB.

(3.11)

Theo (3.10):

 exp(B t )  I  vecC  vec C exp(B t ) .
T

T

n

Mà exp( BT t )   exp( Bt ).


 exp(B t )  I  vecC  vec C exp(Bt ).
T

n

(3.12)

Thay (3.12) vào (3.9) :
vecX   I m  exp( At ) vec C exp( Bt ).
Sử dụng (3.11), ta tìm được:
vecX  vec exp( At )C exp( Bt ).
Vậy

X  exp( At )C exp( Bt ).

Ví dụ 3.3. Tìm nghiệm của phương trình
X  AX + XB ; X (C )  0.
1 1
1 0 
 2 0
Cho A  
; B
; C


.
0 2 
0 1
 1 1

(3.13)


17
Giải.
Nghiệm của phương trình đã cho có dạng:
X  exp( At )C exp( Bt ).

 et
* Tính được expAt  
 0

et  e 2 t 
;
e2t 

 et 0 
exp( Bt )  e Bt  
.
t
 0 e 

Vậy

 e2t  e3t 1  et 
X 
.
3t
et 
 e

3.1.4. Tìm ma trận chuyển tiếp kết hợp với phƣơng trình
X = AX + XB.
Cho A và B lần lượt là các ma trận cấp (n  n) và (m  m).
Phương pháp giải.
Trước tiên, ta xét phương trình ma trận trạng thái thuần nhất
X  A(t ) X
Ma trận chuyển tiếp là 1 (t , ) hay 1 , có hai tính chất sau:

1 (t , )  A(t )1 (t , )


1 (t , t )  I .

(3.14)

Nếu A là ma trận không đổi, ta dễ dàng chỉ ra rằng:
1  exp( At )  e At .
Tương tự, ta xét phương trình X  XB(t )
 XT  BT (t ) X T .

Khi đó ma trận chuyển tiếp 2 (t , ) có tính chất là:
(3.15)
2  BT 2 .
Bây giờ, ta kí hiệu  là ma trận chuyển tiếp đối với phương
trình
X = AX + XB.


18
Ta viết phương trình đã cho về dạng:
x  Gx
trong đó: G  I m  A  B  I n  BT  A; x  vecX .
T

Xác định ma trận chuyển tiếp  như sau:

  eGt  e( B

T

 A) t

   e B t  e At
T

(theo (2.17))

  (t , )  2 (t , )  1 (t, ).

(3.16)

Để cho đơn giản ta kí hiệu thay  cho  (t , ).
Suy ra
 (t , )  2  1  2  1

(theo (2.20))

 ( B 2 )  1  2  ( A1 ) (theo (3.14) và (3.15))
T

 ( BT 2 )  ( I1 )  ( I2 )  ( A1 ) (do  (t , t )  I  1 )
 ( BT  I )(2  1 )  ( I  A)(2  1 ) (theo (2.7))
 ( BT  I )  ( I  A)  2  1 .

(3.17)
  G .
Ngoài ra  (t , t )  2 (t , t )  1 (t, t )  I  I  I .
(3.18)
Qua (3.17) và (3.18) chứng tỏ rằng  là ma trận chuyển tiếp
Do đó

đối với
X = AX + XB.

Ví dụ 3.4. Tìm ma trận chuyển tiếp đối với phương trình:

X = AX + XB.
(3.19)
1 1
1 0 
Cho A  
và B  

.
0 2 
0 1
3.1.5. Nghiệm của phƣơng trình AXB  C
3.2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM MA TRẬN
3.2.1. Các vấn đề về bình phƣơng bé nhất và tối ƣu hóa đƣợc
ràng buộc trong các biến vô hƣớng.


19
a. Phương pháp bình phương bé nhất áp dụng cho quan hệ
tuyến tính giữa x và y.
b. Phương pháp nhân tử Lagrange
3.2.2. Tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phƣơng bé
nhất và tối ƣu hóa đƣợc ràng buộc.
Ta biểu diễn phần dư (hay độ lệch) ở dạng của ma trận E như
sau:
E  A X,
trong đó: E  eij  ; A   aij  ; X   xij  .

(3.20)

Khi đó, tổng bình phương các phần dư là:

S  trET E.

(3.21)

Tiêu chuẩn của phương pháp bình phương bé nhất là tổng ở
(3.21) nhỏ nhất.
Bài toán tối ưu được ràng buộc khi đó đưa về dạng tìm ma trận
X mà hàm ma trận vô hướng
S  f (X )

nhỏ nhất tùy thuộc các ràng buộc trên X ở dạng:
G( X )  0

(3.22)

(Đây còn được gọi là phương trình ràng buộc),
trong đó: G   gij  , s, r phụ thuộc vào số lượng các ràng buộc
r s

gij .

Đối với trường hợp vô hướng, nhân tử Lagrange ở dạng hàm ma
trận bổ trợ (hàm Lagrange) f * ( X ).
Mỗi ràng buộc g ij được kết hợp với một tham số (nhân tử
Lagrange) kí hiệu ij .
m

Từ đó

n

m

n

  g   (U
ij ij

j 1 i 1

j 1 i 1

T

) ji gij  trU T G (U    ij  ).
r s


20
Vậy hàm ma trận bổ trợ có thể viết như sau:
f (X )  f (X ) 
ij gij



 f  ( X )  trET E + trU T G.

(3.23)

Cuối cùng, để tìm X tối ưu, ta giải hệ phương trình sau:

 f  ( X )
0

(3.24)
 X
G ( X )  0.

Bây giờ ta xét bài toán với các ràng buộc cụ thể như sau: Cho
ma trận không suy biến A   aij  . Xác định ma trận X   xij  mà
nn
bình phương bé nhất xấp xỉ đến A.
(a) Khi X là ma trận đối xứng
(b) Khi X là ma trận trực giao.
Phương pháp giải.
(a) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là:
E  A  X  ET  AT  X T .

Mà X  X T (Vì X là ma trận đối xứng).
Nên phương trình ràng buộc có dạng:
G( X )  X  X T  0.
Theo (3.23) thì hàm ma trận bổ trợ là:
f  ( X )  tr  AT  X T   A  X   trU T  X  X T  .
Theo (3.24):
f  ( X )  (trAT A)  (trAT X )  (trX T A)



X
X
X

X
T
T
 (trX X ) (trU X )  (trU T X T )



 0.
X
X
X
f  ( X )

 0  A  A  2X U UT  0
X


21
f  ( X )
 2 A  2 X  U  U T  0
X
U T U
 X  A
.
2


(3.25)

T


U T U 
U U T
T
Khi đó X   A 

A

.

2 
2

T

(3.26)

Ta lấy (3.25) + (3.26):
X  X T  A  AT 

 X

U U T U T U

2
2





1
A  AT .
2

Như vậy xấp xỉ A với ma trận đối xứng, ma trận tối ưu theo tiêu
chuẩn bình phương bé nhất là trung bình cộng các phần tử của A và
các phần tử của AT .
(b) Theo (3.20) ta có phần dư theo ma trận E là:
E  A X

 ET  AT  X T .

Mà X T X  I (Vì X là ma trận trực giao).
Nên phương trình ràng buộc có dạng:
G( X )  XX T  I  0.
Theo (3.23) thì hàm ma trận bổ trợ là:
f  ( X )  tr  AT  X T   A  X   trU T  XX T  I 
f  ( X )  trAT A  trAT X  trX T A  trX T X  trU T XX T  trU T I .
Theo (3.24):
f  ( X )  (trAT A) (trAT X ) (trX T A)



X
X
X
X
T

T
T
T
 (trX X )  (trU XX ) (trU I )



 0.
X
X
X


22
f  ( X )
 2 A  2 X  X U  U T   0
X
U  U T 
 X  A X 
.
 2 
Nhân hai vế với X T , ta được:


U  U T 
XT X  XT A XT X 
.
 2 
U  U T 
 I  XT A I 

(do X T X  I ).

2


T
U  U 
 XT A I  
.
 2 

Ta chuyển vị hai vế:
U  U T 
AT X  I  
.
 2 

(3.27)

(3.28)

Từ (3.27) và (3.28), suy ra:
X T A  AT X .

(3.29)

Bây giờ ta giải phương trình (3.29) để tìm X.
Ta lấy vec hai vế (3.29):
vecX T A  vecAT X
 ( AT  I )vecX T  ( I  AT )vecX .

Mà vecX T  UvecX (U là ma trận hoán vị).
Suy ra
( AT  I )UvecX  ( I  AT )vecX
 ( I  AT )  ( AT  I )U  x  0.

(3.30)

Vậy ta đã rút gọn phương trình ma trận thành hệ phương trình
thuần nhất.
Lúc này ta giải (3.30) để tìm nghiệm độc lập tuyến tính và chọn
nghiệm tương ứng để X là ma trận trực giao.


23
 1 2
Ví dụ 3.7. Cho A  
 . Tìm ma trận trực giao X mà bình
 1 1 

phương bé nhất xấp xỉ đến A.
3.2.3. Ƣớc lƣợng Jacobian của một số phép biến đổi
Xét một số bài toán sau:
Bài toán 3.1. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính tổng
quát
Y  AXB,
với A , X , B là các ma trận cấp (n  n), không suy biến.

Giải.

(3.31)

Phương trình (3.31) được viết lại như sau:
y  Px,


 y  vecY ; x = vecX
trong đó 
T

 P  B  A.
y ( Px)
Khi đó

 PT  ( BT  A)T  B  AT
x
x
1
x
và
  BT  AT   B 1  ( AT )1.
y

Vậy ước lượng Jacobian của phép biến đổi trên là:
y
J 
x

J  B

1

n

vecY

vecX

AT

1

 B  AT

n

J B

1

.

(theo (2.11))
n

A

n

.

(3.32)

Bài toán 3.2. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính
Y  AX ,
(3.33)
trong đó: X , Y là các ma trận cấp m  n.
A là ma trận cấp n  n, không suy biến.

Bài toán 3.3. Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính