Chương 1 Giải tích 12 CB

THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

Chương 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ.
Tuần: 01
Ký duyệt
Tiết PPCT: 1, 2.
Ngày soạn: 10/08/2009.
Ngày dạy: 17/08/2009.
A. MỤC TIÊU:
1) Về kiến thức : Nắm được mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số.
Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
2) Về kĩ năng : Biết xét tính đơn điệu của một số hàm số đơn giản. Biết kết hợp nhiều kiến
thức liên quan để giải toán. Giúp học sinh vận dụng một cách thành thạo định lí về điều
kiện đủ của tính đơn điệu để xét chiều biến thiên của hàm số.
3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tính cẩn thận, chính xác trong tính và lập luận.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)
1) Chuẩn bị của hs :
Thước kẻ, compas.
Hs đọc bài này trước ở nhà.
Bài cũ
Làm bài tập trong sgk.
Giấy phim trong, viết lơng.
................................................................
2) Chuẩn bị của gv :
Thước kẻ, compas.
Các hình vẽ.
Các bảng phụ
Bài để phát cho Hs.

Computer, projector.
Câu hỏi trắc nghiệm.
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có u cầu)
Gợi mở, vấn đáp.
Phân tích, tổng hợp.
Phát hiện và giải quyết vấn đề.
Trực quan sinh động.
Hoạt động nhóm.
.................................................................
D. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1) Ơn và kiểm tra kiến thức cũ :
 Yêu cầu HS nhắc lại một số kiến thức cũ ở lớp 10 về hàm số đồng biến, nghịch biến:
⋅ Cho hàm số ƒ xác định trên K (K: khoảng, đoạn, hoặc nửa khoảng)
 ƒ đồng biến trên K nếu: ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ ƒ( x1 ) < ƒ( x2 )
 ƒ nghịch biến trên K nếu: ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ ƒ( x1 ) > ƒ( x2 )
 Từ định nghĩa đó ở ĐS 10 đã khảo sát sự biến thiên của một hàm số đơn giản:
f ( x2 ) − f ( x1 )
>0
 ƒ đồng biến trên K ⇔
x2 − x1
f ( x2 ) − f ( x1 )
<0
 ƒ nghịch biến trên K ⇔
x2 − x1
2) Bài mới :
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
Ghi bảng hoặc trình chiếu
Gv giảng: hàm số đồng 1) Tính đơn điệu và dấu của đạo
biến hay nghịch biến trên

hàm :
khoảng K được gọi là đơn Định lý thuận: Giả sử hàm số ƒ
điệu trên khoảng đó.
có đạo hàm trên khoảng I
Cho Hs nhìn vào đồ thị
⋅ Nếu hàm số ƒ đồng biến trên
Hình 1: hàm số đồng biến
hình 1 và hình 2 sgk để
khoảng I thì f / ( x) ≥ 0 ∀x∈ I.
Gv: Lê Hành Pháp

Trang1


THPT Tân Bình – Bình Dương

π
; 0)
2

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

trả lời tính đơn điệu của
hàm số tương ứng.
Nêu Định lý thuận,
3π
và ( π ;
), hàm số nghịch Định lý đảo và phần chú
2
ý

biến trên khoảng (0; π )
Sau phần chú ý cho ứng
dụng:
⋅ Nếu hàm số ƒ liên tục
trên đoạn [a; b] và có
đạo hàm f / ( x) > 0 ∀x∈
(a; b) thì hàm số đồng
Hình 2: hàm số nghịch biến
biến trên đoạn [a; b].
trên khoảng (–∞; 0) và
⋅ Nếu hàm số ƒ liên tục
đồng biến trên (0; +∞)
trên nửa khoảng (–∞; a]
Ghi Định lý thuận, Định
và có đạo hàm f / ( x) <
lý đảo và phần chú ý.
0 ∀x∈ (–∞; a) thì hàm
Về bổ sung thêm phần
số nghịch biến trên nửa
ứng dụng.
khoảng (–∞; a].
 Vd 2 Chứng minh hàm số
Dặn Hs bổ sung thêm ý
f ( x) = 1 − x 2 nghịch
trên.
biến trên khoảng (0; 1)
Gv trình bày Vd1 và
Giải : Trên khoảng (0; 1)
cho Hs làm Vd 2 .
hàm số xác định và f / ( x) =

−x
< 0 ∀x∈ (0; 1) do
1 − x2
đó hàm số nghịch biến trên
khoảng (0; 1)
 Vd 4 Xét chiều biến thiên Trình bày các bước xét
chiều biến thiên của hàm
của hàm số
số.
1 3
1
2
y = x − 2x + 4x +
Trình bày Vd3 chi tiết
3
3
Giải :
Gọi Hs trình bày Vd 4
⋅ Txđ: D = R
⋅ Sau khi Hs làm Vd 4
/
⋅ y = x 2 – 4x + 4
Vậy:
2
= ( x − 2 ) ≥ 0 ∀x∈ R
⋅ f ( x ) đồng biến trên R
/
y =0⇔x=2
⇔ f ( x) xác định trên R
⋅ Bảng biến thiên:

và f / ( x) ≥ 0 ∀x∈ R.
⋅ f ( x ) đồng biến trên
khoảng (a; b) ⇔ f ( x)
xác định trên khoảng
(a; b) và f / ( x) ≥ 0 ∀x
∈ (a; b).
⋅ Hàm số đồng biến trên
trên mỗi khoảng (–

Gv: Lê Hành Pháp

⋅ Nếu hàm số ƒ nghịch biến trên

khoảng I thì f / ( x) ≤ 0 ∀x∈ I.
Định lý đảo: Giả sử hàm số ƒ có
đạo hàm trên khoảng I
/
⋅ Nếu f ( x) ≥ 0 ∀x∈ I thì hàm số
đồng biến trên khoảng I.
/
⋅ Nếu f ( x) ≤ 0 ∀x∈ I thì hàm số
nghịch biến trên khoảng I.
( f / ( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn
điểm).
Chú ý: Khoảng I có thể thay
bằng đoạn, nửa khoảng, khi đó bổ
sung thêm giả thiết “ hàm số liên
tục trên đoạn, nửa khoảng đó”.
 Vd1 Chứng minh rằng hàm số
f ( x) = 1 − x 2 đồng biến trên

đoạn [–1; 0]
Giải : Hàm số xác định
∀x∈ [–1; 1] nên trên đoạn [–1; 0]
hàm số đã cho liên tục. Ta có
−x
f / ( x) =
> 0 ∀x∈ (–1; 0)
1 − x2
do đó hàm số đồng biến trên đoạn
[–1; 0]
2) Quy tắc xét chiều biến thiên
của hàm số : Gồm các bước:
⋅ Tìm txđ
⋅ Tính đạo hàm
⋅ Bảng biến thiên
⋅ Kết luận về khoảng đồng biến,
nghịch biến.
 Vd3 Xét chiều biến thiên của
x 2 − 3x + 4
hàm số y =
x −3
 Hướng dẫn:
⋅ Txđ: D = R\ {3}
/

4 

⋅ Đạo hàm: y =  x +
÷
x −3


4
x2 − 6x + 5
=
= 1−
,
2
2
( x − 3)
( x − 3)
/

Trang2


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

Phương pháp chung
khoảng (–∞; +∞) hay
y / = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 5
chứng minh bất đẳng
đồng biến trên R.
⋅ Bảng biến thiên:
 Vd5 Chứng minh rằng x thức bằng tính đơn điệu:
⋅ Hàm số f ( x ) liên tục
π
trên đoạn [a; b]
> sinx ∀x∈ (0; ).

2
⋅ f ( x ) có đạo hàm
f ( x) = x – sinx xác
Giải :
f / ( x) > 0 ∀x ∈ (a; b)
định ∀x∈ R nên liên tục
⇔ f ( x) đồng biến trên ⋅ Hàm số đồng biến trên mỗi
π
trên nửa khoảng [0; ) và
đoạn [a; b] ⇒ f ( x) >
khoảng (–∞; 1) và (5; +∞)
2
f ( x) < ƒ(b).
ƒ(a) hoặc
⋅ Hàm số nghịch biến trên mỗi
f / ( x) = 1 – cosx < 0 ∀x∈
⋅ f ( x ) có đạo hàm
khoảng (1; 3) và (3; 5).
π
/
(0; ) do đó hàm số đồng
f ( x) < 0 ∀x ∈ (a; b)
 Vd5 Chứng minh x > sinx ∀x∈
2
⇔ f ( x) nghịch biến
π
π
(0; ).
biến trên [0; )
trên đoạn [a; b] ⇒

2
2
f ( x) < ƒ(a) hoặc f ( x)
π
⇒ f ( x) >ƒ(0) ∀x∈ (0; )
> ƒ(b).
2
⇔ x – sinx > 0 ⇔ x > sinx Hướng dẫn Hs làm
Vd5
π
∀x∈ (0; ).
2
E. CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS làm bài tập 1 sgk.
F. BÀI TẬP SGK :
1) Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số :
a) y = 4 + 3x – x 2
c) y = x 4 – 2 x 2 + 3
1 3
d) y = – x 3 + x 2 – 5.
2
b) y = x + 3 x – 7x – 2
3
 Hướng dẫn:
3
3
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; ), nghịch biến trên khoảng ( ; +∞)
2
2
b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–∞;–7) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (–7; 1)
c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–1; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên mỗi khoảng

(–∞; –1) và (0; 1)
2
2
d) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ), nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞; 0) và ( ; +∞).
3
3
2) Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số :
3x + 1
c) y = x 2 − x − 20
a) y =
1− x
2x
2
d) y = 2
x − 2x
x −9
b) y =
1− x
 Hướng dẫn:
4
/
2
a) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {1}, f ( x) =
( 1− x) ,
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
(–∞; 1) và (1; +∞)
Gv: Lê Hành Pháp

Trang3

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương
/

b) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {1}, f ( x) =

− x2 + 2x − 2

( 1− x)

2

− ( x − 1) − 1
2

=

( 1 − x)

2

, hàm số nghịch biến

trên mỗi khoảng (–∞; 1) và (1; +∞)
c) Hàm số xác định ∀x∈ (–∞; –4] ∪ [5; +∞),
2x − 1
f / ( x) =
, hàm số nghịch

2 x 2 − x − 20
biến trên nửa khoảng (–∞; –4] và đồng
biến trên nửa khoảng [5; +∞)
−2 ( x 2 + 9 )
/
d) D = R \ {–3; 3}, f ( x) =
2 < 0
x2 − 9)
(
∀x∈ D ⇒ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞; –3) (–3; 3) và (3; +∞)
x
3) Chứng minh rằng hàm số y = 2
đồng biến trên khoảng (–1; 1), nghịch biến trên mỗi
x +1
khoảng (–∞; –1) và (1; +∞)
 Hướng dẫn: Hàm số xác định ∀x∈ R,
1( x 2 + 1) − x(2 x)
1 − x2
f / ( x) =
f / ( x) = 0
2
=
2
2 2 ;
( x + 1)
(1+ x )
⇔ x = –1 hoặc x = 1. Theo bảng biến thiên ta
có hàm số đồng biến trên khoảng (–1; 1), nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞; –1) và (1; +∞)
4) Chứng minh rằng hàm số y = 2x − x 2 đồng
biến trên (0; 1), nghịch biến trên (1; 2).

 Hướng dẫn: Hàm số xác định ∀x∈ [0; 2],
1− x
f / ( x) =
, f / ( x) = 0 ⇔ x = 1. Theo
2
2x − x
bảng biến thiên ta có đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).
5) Chứng minh bất đẳng thức sau:
π
π
x3
a) tanx > x ∀x∈ (0;
)
b) tanx > x +
∀x∈ (0; ).
2
2
3
 Hướng dẫn:
π
π
a) f ( x ) = tanx – x xác định ∀x∈ R \ { + k π , k ∈ Z} nên liên tục trên nửa khoảng [0;
)
2
2
1
π
và f / ( x) =
– 1 = tan 2 x > 0 ∀x∈ (0; ) do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng
2

cos x
2
π
π
π
π
[0; ) ⇒ f ( x) > ƒ(0) ∀x∈ (0; ) ⇔ tanx – x > 0 ∀x∈ (0; ) ⇔ tanx > x ∀x∈ (0; )
2
2
2
2
3
π
x
b) f ( x ) = tanx – x –
xác định ∀x∈ R \ { + k π , k ∈ Z} nên liên tục trên nửa khoảng
2
3
π
π
[0; ) và f / ( x) = tan 2 x – x 2 = (tanx – x)(tanx + x) > 0 ∀x∈ (0; )
2
2
Gv: Lê Hành Pháp

Trang4


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

π
π
) ⇒ f ( x) > ƒ(0) ∀x∈ (0; )
2
2
3
3
π
π
x
x
⇔ tanx – x –
> 0 ∀x∈ (0; ) ⇔ tanx > x +
∀x∈ (0; ).
2
2
3
3
G. BÀI TẬP LÀM THÊM :
1) Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
2
a) y = 2 x 3 + 3 x 2 + 1
d) y = x –
b) y = x 3 – 2 x 2 + x + 1
x
4
3
e) y = x – 2 x 2 – 5

c) y = x +
x
f) y = 4 − x 2
 Hướng dẫn:
/
/
a) Hàm số xác định ∀x∈ R. y = 6 x 2 + 6x, y = 0
⇔ x = 0 hoặc x = –1. Hàm số đồng biến trên
mỗi khoảng (–∞; –1) và (0; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 0).
b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
1
(–∞; ) và (1; +∞), nghịch biến trên
3
1
khoảng ( ; 1).
3
3 x2 − 3
/
/
c) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {0}, y = 1 − 2 =
, y = 0 ⇔ x = – 3 hoặc x = 3 .
2
x
x
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–∞; – 3 ) và ( 3 ; +∞). Hàm số nghịch biến trên
mỗi khoảng (– 3 ; 0) và (0; 3 ).
x2 + 2
/
d) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {0}. y =

> 0 ∀x∈
x2
R \ {0}. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–∞; 0)
và (0; +∞)
e) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–1; 0) và (1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞; –1) và (0; 1).
−x
/
f) Hàm số xác định trên đoạn [–2; 2]; y =
, y /= 0
2
4− x
⇔ x = 0. Hàm số đồng biến trên khoảng (–2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2)
2) Chứng minh rằng:
x−2
a) Hàm số y =
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
x+2
− x2 − 2x + 3
b) Hàm số y =
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
x +1
 Hướng dẫn:
/
4 
4

/
a) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {2}; y =  1 −
> 0 ∀x ≠ 2 do đó hàm số

÷ =1+
( x − 2) 2
 x−2
đồng biến trên mỗi khoảng (–∞; –2) và (–2; +∞)
do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0;

Gv: Lê Hành Pháp

Trang5


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương

/

4 
4

b) Hàm số xác định ∀x ∈ R \ {–1}; y =  − x − 1 +
÷ = −1 −
2 < 0 ∀x ≠ –1 do đó
x +1

( x + 1)
/

hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞).
3) Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R:

a) f ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 17x + 4
b) f ( x ) = x 3 + x – cosx – 4
 Hướng dẫn:
/
a) Hàm số xác định ∀x∈ R, f ( x) = 3 x 2 – 12x + 17 > 0 ∀x∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R
/
b) Hàm số xác định ∀x∈ R, f ( x) = 3 x 2 + 1 + sinx > 0 ∀x∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R
π
4) Chứng minh rằng sinx + tanx > 2x ∀x∈ (0;
)
2
 Hướng dẫn: f ( x ) = sinx + tanx – 2x xác định ∀x∈ R nên liên tục trên nửa khoảng [0;
1
1
π
π
π
) và f / ( x) = cosx +
– 2 > cos 2 x +
– 2 > 0 ∀x∈ (0; ) (vì ∀x∈ (0; ) cosx
2
2
cos x
cos x
2
2
2
1
π
< 1 ⇒ cosx > cos 2 x và cos 2 x +

> 2) do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0; )
2
cos x
2
π
π
⇒ f ( x) > ƒ(0) ∀x∈ (0; ) ⇔ sinx + tanx – 2x > 0 ⇔ sinx + tanx > 2x ∀x∈ (0; )
2
2
5) Tìm m để hàm số.
a) y = x 3 – 3 x 2 + (m – 2)x + 7 đồng biến trên R;
b) y = x 3 + 3 x 2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên khoảng (–1; 1);
1
c) y = – x 3 + (m – 1) x 2 + (m + 3)x + 4 đồng biến trên khoảng (0; 3).
3
 Hướng dẫn:
/
a) Hàm số xác định ∀x ∈ R, để hàm số đồng biến trên R ⇔ f ( x) = 3 x 2 – 6x + m – 2 ≥ 0 ∀x
⇔ ∆’ = 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5.
b) Hàm số xác định ∀x ∈ R, để hàm số đồng biến trên khoảng (–1; 1)
 f '(−1) ≤ 0
/
⇔ f ( x) = 3 x 2 + 6x + m + 1≤ 0 ∀x∈ (–1; 1) ⇔ x1 ≤ –1 < 1 ≤ x2 ⇔ 
⇔
 f '(1) ≤ 0
3 − 6 + m + 1 ≤ 0
m ≤ 2
⇔
⇔ m ≤ –10.


3 + 6 + m + 1 ≤ 0
m ≤ −10
c) Hàm số xác định ∀x ∈ R, để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3)

−1 f '(0) ≤ 0
/
⇔ f ( x) = – x 2 + 2(m – 1)x + m + 3 ≥ 0 ∀x∈ (0; 3) ⇔ x1 ≤ 0 < 3 ≤ x2 ⇔ 
⇔
−1 f '(3) ≤ 0
m ≥ −3
m + 3 ≥ 0
12

⇔
.

12 ⇔ m ≥
7
7 m − 12 ≥ 0
m ≥ 7


Gv: Lê Hành Pháp

Trang6


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Tuần: 02
Tiết PPCT: 3, 4, 5.
Ngày soạn: 10/08/2009.
Ngày dạy: 24/08/2009.

Ký duyệt

A. MỤC TIÊU:
1) Về kiến thức : Hiểu khái niệm cực đại, cực tiểu, biết phân biệt với khái niệm lớn nhất và
nhỏ nhất. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu. Sử dụng thành thạo các
điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
2) Về kĩ năng : Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số thông qua hai quy tắc 1 và 2.
3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy, tính cẩn thận, chính xác trong tính tốn, lập luận.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)
1) Chuẩn bị của hs :
Thước kẻ, compas.
Hs đọc bài này trước ở nhà.
Bài cũ
.....................................................................
Giấy phim trong, viết lông.
.....................................................................
2) Chuẩn bị của gv :
Thước kẻ, compas.
Các hình vẽ.
Các bảng phụ
Bài để phát cho hs
Computer, projector.
Câu hỏi trắc nghiệm.

C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có u cầu)
Gợi mở, vấn đáp.
Phân tích, tổng hợp.
Phát hiện và giải quyết vấn đề.
.....................................................................
Hoạt động nhóm.
.....................................................................
D. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1) Ơn và kiểm tra kiến thức cũ :
 Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng I.
π
 Chứng minh tanx > x ∀x∈ (0;
).
2
2) Bài mới :
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
Ghi bảng hoặc trình chiếu
1) Khái niệm cực đại, cực tiểu:
Gv vẽ đồ thị hàm số y Giả sử hàm số ƒ xác định và liên tục
= x 3 – 3x + 1 cho Hs trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b).
nhận xét điểm cực đại,  x0 được gọi là một điểm cực đại
cực tiểu của đồ thị hàm của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng
số trên khoảng (–2; 2)
(a; b) chứa x0 và ƒ( x0 ) > f ( x) ∀x∈
Gv trình bày khái niệm
(a; b) \ { x0 }. Khi đó ƒ( x0 ) là giá trị
cực đại, cực tiểu, cực trị.
cực đại của ƒ.
Gv chú ý:

x
Điểm cực đại và cực  0 được gọi là một điểm cực tiểu
tiểu x0 được gọi chung là của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa x0 và ƒ( x0 ) < f ( x) ∀x∈
Hs nhìn đồ thị trả lời điểm cực trị của hàm số
(a; b) \ { x0 }. Khi đó ƒ( x0 ) là giá trị
cực tiểu của ƒ.
Hệ số góc của các tiếp Dùng đồ thị để giải 2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực
Gv: Lê Hành Pháp

Trang7


THPT Tân Bình – Bình Dương

tuyến này bằng khơng.
 Vì hệ số góc của tiếp
tuyến bằng giá trị đạo
hàm của hàm số nên giá
trị đạo hàm của hàm số
đó bằng khơng.
Chứng minh hàm số y
= |x| khơng có đạo hàm
tại x = 0
Giải: ∆y = ƒ( x0 +∆x) –
∆y
ƒ( x0 ) = |∆x| ⇒
=
∆x
∆x  1 ( ∆x > 0)

=
∆x −1 (∆x < 0)
∆y
= −1
Do đó lim−
∆x → 0 ∆x
∆y
lim+
=1
∆x → 0 ∆x
∆y
lim
⇒ ∆x→ 0
không tồn tại
∆x
⇒ hàm số y = |x| khơng
có đạo hàm tại x = 0
⋅ Khi x < 0 ⇒ y = –x ⇒
y / = –1 < 0
⋅ Khi x > 0 ⇒ y = x ⇒
y/ = 1 > 0
⋅ Qua điểm x = 0, đạo
hàm đổi dấu từ âm
sang dương nên hàm
số có cực tiểu tại điểm
x = 0.
Học sinh thảo luận
nhóm, rút ra các bước tìm
cực đại cực tiểu.

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

thích
trị:
Tiếp tuyến tại các điểm Định lý 1: Nếu hàm số ƒ có đạo
cực trị song song với trục hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại
hồnh.
điểm đó thì f / ( x0 ) = 0.
3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực
trị :
Định lý 2: Giả sử hàm số y =
f ( x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa
điểm x0 và có đạo hàm trên khoảng
(a; x0 ) và ( x0 ; b). Khi đó:
/
⋅ Nếu qua x0 đạo hàm f ( x) đổi
dấu từ âm sang dương tức là
f / ( x) < 0 ∀x∈ (a; x0 ) và f / ( x) >
Trình bày định lý 2
0 ∀x∈ ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực
GV cho Hs ghi bảng
tiểu tại điểm x0 .
xét dấu đạo hàm (cấp 1)
/
⋅ Nếu qua x0 đạo hàm f ( x) đổi
dấu từ dương sang âm tức là
f / ( x) > 0 ∀x∈ (a; x0 ) và f / ( x) <
Làm Vd1
0 ∀x∈ ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực
đại tại điểm x0 .

2x − 1
Hs làm hoạt động 4 sgk
 Vd1 Tìm cực trị hs y =
Chứng minh hàm số y = |
x+3
x| khơng có đạo hàm
Giải: Txđ : D = R \ {–3}
/
7 
7

/
y = 2−
> 0 ∀x ≠
÷=
x + 3  ( x + 3) 2

–3 ⇒ hàm số đồng biến trên D nên
khơng có cực trị.

Giáo viên đặt vấn đề: 4) Quy tắc tìm cực trị :
Để tìm điểm cực trị ta tìm a) Quy tắc 1:
trong số các điểm mà tại ⋅ Tìm f / ( x)
đó có đạo hàm bằng ⋅ Tìm các điểm x (i = 1,2,…) tại đó
i
Học sinh ghi quy tắc 1; không, nhưng vấn đề là
đạo hàm ƒ’( xi ) = 0 hoặc hàm số
điểm nào sẽ điểm cực trị?
liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
Gv u cầu học sinh

/
/
nhắc lại định lý 2 và sau ⋅ Xét dấu f ( x) . Nếu f ( x) đổi dấu
Học sinh đọc bài tập và đó, thảo luận nhóm suy ra
khi x qua xi thì hàm số đạt cực trị
nghiên cứu.
các bước tìm cực đại, cực
tại điểm xi .
Học sinh lên bảng trình tiểu của hàm số.
bày bài giải:
Gv tổng kết lại và
thông báo quy tắc 1.
⋅ TXĐ: D = R \ {0}
b) Quy tắc 2:
Gv cũng cố quy tắc 1 Định lý 3: Giả sử hàm số ƒ có đạo
⋅ Ta có:
Gv: Lê Hành Pháp

Trang8


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

thông qua bài tập:
hàm cấp 1 trên (a; b), f / ( x0 ) = 0 ∀
Tìm cực trị của hàm số: x
//
0 ∈ (a; b) và f ( x0 ) ≠ 0.

4
//
f ( x) = x + − 3
⋅ Nếu f ( x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực
x
đại tại điểm x0 .
Gv gọi học sinh lên
bảng trình bày và theo ⋅ Nếu f // ( x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực
dõi từng bước giải của
tiểu tại điểm x0 .
học sinh.
Quy tắc 2:
Trình bày Định lý 3
/
⋅ Tìm f ( x)
Cho Hs trả lời quy tắc2
⋅ Tìm các nghiệm xi (i = 1,2, …)
Vậy hàm số đạt cực đại Gv nhận xét quy tắc 2
của phương trình f / ( x) = 0
tại x = –2, giá trị cực đại để tìm cực trị hàm số.
là –7; hàm số đạt cực tiểu Ưu điểm: Khi khơng ⋅ Tính f // ( x) và f // ( xi )
tại x = 2, giá trị cực tiểu cần lập đến sự biến thiên ⋅ Nếu f // ( x ) < 0 thì hàm số đạt cực
i
thì làm cách này nhanh.
là 1.
đại tại điểm xi
Hs nhẩm thuộc Định lý Thường vận dụng cho
các hàm có chứa hàm số ⋅ Nếu f // ( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực
3
Hs thảo luận đưa ra lượng giác.

tiểu tại điểm xi .
Nhược điểm: Không áp
quy tắc 2.
dụng được qui tắc 2 cho  Vd 2 Tìm cực trị của hàm số
hàm số ƒ không liên tục y = 2sin2x – 3.
Hs làm Vd3 : Cho hàm
tại x0 hoặc hàm số có Giải: f / ( x) = 4cos2x; f / ( x) = 0 ⇔
số y = – x 3 + m x 2 – 4. Tìm f // ( x )
π
π
0 = 0
cos2x = 0 ⇔ x = + k (k∈Z)
m để hàm số đạt cực đại
Cho Hs làm lại BT:
4
2
tại điểm x = 2, yC§ = 0.
//
Tìm cực trị của hàm số: f ( x) = –8sin2x,
Giải :
4
 π kπ  −8 (k = 2n)
f ( x) = x + − 3
f / ( x) = –3 x 2 + 2mx;
f //  +
÷= 
x
//
 4 2   8 ( k = 2n + 1)
f ( x) = –6x + 2m

Giải:TXĐ: D = R \ {0}
⋅ Hàm số đạt cực đại tại các điểm
⋅ Hàm số đạt cực đại tại
4 x2 − 4
/
π
⋅ f ( x) = 1 − 2 =
điểm x = 2, yC§ = 0
x = + n π , yC§ = –1
x
x2
4
khi:
f / ( x) = 0 ⇔ x = 2, x = -2 ⋅ Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
 f / (2) = 0
4.2 x 8
//
π
π
 //
= 3
⋅ f ( x) =
x = + (2n + 1) , yCT = – 5.
4
x
x
 f (2) < 0 ⇔
4
2
//

 f (2) = 0
 f (2) = 1> 0 hàm số

đạt cực tiểu tại x = 2, giá
m = 3
trị cực tiểu là 1
⇔m=3

m<6

 f // (−2) = –1< 0 hàm số
đạt cực đại tại x = –2, giá
trị cực đại là –7
E. CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS làm bài tập 4, 5, 6 sgk.
F. BÀI TẬP SGK:
1) Áp dụng quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau :
1
a) y = 2 x 3 + 3 x 2 – 36x – 10
c) y = x +
b) y = x 4 + 2 x 2 – 3
x
4 x2 − 4
f ( x) = 1 − 2 =
x
x2
f / ( x) = 0 ⇔
x = 2 hoặc x = –2
⋅ Bảng biến thiên:
/

Gv: Lê Hành Pháp

Trang9


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương
d) y = x 3 ( 1 − x )

2

e) y =

x2 − x + 1 .

 Hướng dẫn:
/
/
a) y = 6 x 2 + 6x – 36, y = 0 ⇔ x = 2, x = –3
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –3, yC§ = 71
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, yCT = –54.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, y CT = –3
1
/
c) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {0}, y = 1 − 2 =
x
2
x −1 /
, y = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 1

x2
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yC§
= –2 đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 2.
2
/
d) y = 3 x 2 ( 1 − x ) – x 3 .2(1 – x) =
/
x 2 (1 – x)(3 – 5x), y = 0 ⇔ x = 0 ∪ x =
3
3
108
∪ x = 1.Hàm số đạt cực đại tại điểm x = , yC§ =
đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0
5
5
3125
1
3
e) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = , yCT =
2
2
2) Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau :
c) y = sinx + cosx
a) y = x 4 – 2 x 2 + 1
d) y = x 5 – x 3 – 2x + 1
b) y = sin2x – x
 Hướng dẫn:
a) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, y C§ = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = ±1, y CT = 0
π
1

/
/
//
b) y = 2cos2x – 1, y = 0 ⇔ cos2x =
⇔ x = ± + kπ (k∈ Z), y = –4sin2x
6
2
π
π
// π
 y ( +kπ)= –4sin( +k2π) = –2 3 < 0 ⇒ Hsố đạt cực đại tại các điểm x =
+ kπ
6
3
6
π
π
π
//
 y (– +kπ)= –4sin(– +k2π) = 2 3 > 0 ⇒ Hsố đạt cực tiểu tại các điểm x = – +
6
3
6
kπ
π

x = − x + k 2π

π
2

/
/
c) y = cosx – sinx, y = 0 ⇔ sinx = cosx ⇔ sinx = sin( – x) ⇔ 
2
 x = π − π + x + k 2π


2
π
π
//
⇔ x = + kπ (k∈ Z), y = –(sinx + cosx) = – 2 sin(x + )
4
4
π
// π
 k chẵn: y ( + kπ) = – 2 < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại các điểm x =
+ 2lπ
4
4
π
// π
 k lẻ: y ( + kπ) = 2 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x =
+ (2l + 1)π
4
4
d) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, y CT = –1. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, y C§ = 3

Gv: Lê Hành Pháp

Trang10


THPT Tân Bình – Bình Dương
3) Chứng minh rằng hàm số y =

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

| x | khơng có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại

điểm đó.


∆y
=
∆x

| ∆x |
,
∆x
| ∆x |
1
∆y
∆x
1
= lim− −
= −∞ , lim+
= lim+
= lim+
= +∞

∆x → 0
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆x
| ∆x |
∆x ∆x→ 0 ∆x

Hướng dẫn: Txđ: D = R, ∆y = ƒ( x0 + ∆x) – ƒ( x0 ) = | ∆x | ,

∆y
= lim−
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆y
lim
không tồn tại hay hàm số y = | x | không có đạo hàm tại x = 0
∆x → 0 ∆x
−1
/
⋅ Khi x < 0 ⇒ y = ⇒ y =
<0
2 −x
1
/
⋅ Khi x > 0 ⇒ y = x ⇒ y =
>0
2 x
Qua điểm x = 0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số có cực tiểu tại điểm x = 0.
4) Chứng minh rằng hàm số y = x 3 – m x 2 – 2x + 1 ln có một điểm cực đại và một điểm
cực tiểu với mọi giá trị của tham số m.

/
 Hướng dẫn: y = 3 x 2 – 2mx – 2. Phương trình 3 x 2 – 2mx – 2 = 0 ln có hai nghiệm vì
/
∆’= m 2 + 6 > 0 ∀m và y đổi dấu khi qua hai nghiệm đó. Vậy hàm số ln có một điểm cực
đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của tham số m.
5
5) Tìm a, b để các cực trị của hàm số y = a 2 x 3 + 2a x 2 – 9x + b đều là những số dương và
3
5
x0 = − là điểm cực đại.
9
−9
1 //
/
/
 Hướng dẫn: y = 5 a 2 x 2 + 4ax – 9, y = 0 ⇔ x =
hoặc x = , y = 10 a 2 x + 4a
5a
a
−9
1
−9
324
1
−16
y // ( ) = –14a, y // ( ) = 14a, y( ) =
+ b, y( ) =
+b
5a
a

5a
25a
a
3a
 a > 0:
−9
−9
324
// −9
 y (
) = –14a < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x =
và yC§ = y( ) =
+ b.
5a
5a
5a
25a
1
1
−16
// 1
 y ( ) = 14a > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x =
và yCT = y( ) =
+b
a
a
a
3a
 −9 −5
 5a = 9

81


a=

 324

25
+b > 0⇒ 
 Thoả điều kiện khi: 
 25a
b > 400

 −16
243
+b>0 
 3a

 a < 0:
−9
−9
324
// −9
 y (
) = –14a > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x =
và yCT = y( ) =
+ b.
5a
5a
5a

25a
lim−

Gv: Lê Hành Pháp

Trang11


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

1
1
1
−16
y // ( ) = 14a > 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = và yC§ = y( ) =
+b
a
a
a
3a
 1 −5
a = 9
−9


a=

 324


5
+b > 0⇒ 
 Thoả điều kiện khi: 
 25a
b > 36

 −16
5
+b>0 
 3a

x 2 + mx + 1
6) Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y =
đạt cực đại tại x = 2.
x+m
/
2
1 
1
/ 
 Hướng dẫn:Txđ: D = R \ {–m}, y =  x +
, y // =
3
÷ =1−
2
x+m
( x + m)

( x + m)



m ≠ −2
2 ∈ D
2 ≠ −m

 /
 2
  m = −1
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi:  y (2) = 0 ⇔ m + 4m + 3 = 0 ⇔  
⇔m=3
 y // (2) < 0
2 + m < 0
  m = −3


 m < −2

G. BÀI TẬP LÀM THÊM :
1) Tìm cực trị của các hàm số sau:
1
x 5 x3
a) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 3x – 1
d) f ( x ) =
− +2
3
5 3
2
1
b) f ( x ) = x 3 – x 2 + 2x – 10

f ( x) = x − 3x + 3
e)
3
x −1
1
x+3
c) f ( x ) = x +
f) f ( x ) =
x
2x − 1
 Hướng dẫn:
/
/
//
a) f ( x) = x 2 + 4x + 3, f ( x) = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = –3; f ( x) = 2x + 4.
−7
//
 f (−1) = 2 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = –1, y CT =
3
//
 f (−3) = –2 < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại điểm x = –3, y C§ = –1.
b) f ( x) = x 2 – 2x + 2 > 0 ∀x∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R, khơng có cực trị.
/

c) Hàm số xác định ∀x ∈ R \ {0};

1
2
x2 − 1 /
, f ( x) = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 1; f // ( x) = 3

2 =
x
x
x2
//
f (−1) = –2 < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yC§ = –2
f // (1) = 2 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT = 2

f / ( x) = 1 –


/

d) f ( x) = x 4 – x 2 = x 2 ( x 2 – 1),

f / ( x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = –1 hoặc x = 1
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yC§ =
Gv: Lê Hành Pháp

32
28
, đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT =
15
15
Trang12


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

e) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, y C§ = –3, Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, y CT = 1.

−7
1
}, f / ( x) =
2 < 0 ∀x∈ D ⇒ hàm số nghịch biến trên D ⇒ hàm số
( 2 x − 1)
2
khơng có cực trị.
2) Tìm cực trị của các hàm số sau:
c) y = x – sin2x + 2
a) y = x 4 − x 2
d) y = 3 – 2cosx – cos2x.
b) y = 8 − x 2
 Hướng dẫn:
a) Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [–2; 2],
4 − 2 x2
/
y =
∀x∈ (–2; 2), y / = 0 ⇔ x = – 2
2
4− x
hoặc x = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = – 2 , yCT = –2, đạt cực đại tại điểm x = 2 , yC§ = 2.
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, y C§ = 2 2
π
1
/
/

//
c) y = 1 – 2cos2x, y = 0 ⇔ cos2x =
⇔x=±
+ k π , k∈ Z; y = 4sin2x
6
2
π
π
 π

//
 y (–
+ k π ) = 4sin  − + k 2π ÷= 4sin(– ) = –2 3 < 0. Hàm số đạt cực đại tại
6
3
 3

π
π
3
các điểm x = – + k π , k∈ Z và yC§ = – + k π +
+2
6
6
2
π
π

// π
 y (

+ k π ) = 4sin  + k 2π ÷= 4sin = 2 3 > 0. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
6
3
3

π
π
3
x=
+ k π , k∈ Z và yCT = + k π –
+ 2.
6
6
2
sin x = 0
/
/
d) y = 2sinx + 2sin2x, y = 0 ⇔ (1 + 2cosx)sinx = 0 ⇔ 
⇔
 cos x = −1

2
 x = kπ

( k ∈ Z ) ; y // = 2cosx + 4cos2x
2π
x = ±
+ k 2π
3


 y // (kπ) = 2coskπ + 4cos2kπ = 2cosπ + 4 > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x =
kπ, yCT = 2 – 2coskπ.
2π
2π
4π
2π
2π
2π
//
 y (±
+ k2π) = 2cos
+ 4cos
= 2cos
+ 4cos(–
+ 2π) = 5cos
= –3<
3
3
3
3
3
3
2π
2π
4π
0. Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = ±
+ k2π (k∈Z), yC§ = 3 – 2cos
– cos
3
3

3
2π
3 9
= 3 – 3cos
=3+ = .
3
2 2
3) a) Tìm m để hàm số y = x 3 – 2m x 2 + m 2 x – 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1;
b) Tìm m để hàm số y = x 3 – 3m x 2 + (m – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 2;
f) D = R \ {

Gv: Lê Hành Pháp

Trang13


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương

1
1
m x 3 – (m – 1) x 2 + 3(m – 2)x + đạt cực đại tại điểm x = 0;
3
3
2
− x + mx − m − 1
d) Tìm m để hàm số y =
đạt cực đại tại điểm x = 4;
x−2

x 2 − mx + 4
e) Tìm m để hàm số y =
đạt cực tiểu tại điểm x = 1;
x−m
x 2 − 2mx + m
f) Tìm m để hàm số y =
đạt cực đại tại điểm x = 1.
x 2 − 8m
 Hướng dẫn:
/
//
a) y = 3 x 2 – 4mx + m 2 , y = 6x – 4m. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 khi:
m = 1
/
 y (1) = 0
3 − 4m + m 2 = 0   m = 3


⇔
⇔ 
⇔ m = 1.
 //
 y (1) > 0 6 − 4m > 0
3

m <


2
b) m = 1.

/
//
c) y = m x 2 – 2(m – 1)x + 3(m –2), y = 2mx – 2(m – 1). Hàm số đạt cực đại tại x = 0
 y / (0) = 0
3(m − 2) = 0

⇔
khi:  //
⇔m=2
 y (0) > 0 −2(m − 1) < 0

c) Tìm m để hàm số y =

/
2 ( m − 5)
m−5
m−5

= −1 −
d) Txđ: D = R \ {2}, y =  − x + m − 2 +
, y // =
3 . Hàm số
÷
2
x−2 

( x − 2)
( x − 2)
/

 f / (4) = 0

đạt cực đại tại x = 4 khi:  //
⇔ m=1
 f (4) < 0


/
8( x − m)
8
4 
4

=
=1−
e) Txđ: D = R \ {m}, y =  x +
, y // =
4
3 . Hàm số
÷
2
x−m

( x − m) ( x − m)
( x − m)
/

m ≠ 1
1∈ D
1 ≠ m


 /
 2
  m = −1
đạt cực đại tại x = 2 khi:  f (1) = 0 ⇔ m − 2m − 3 = 0 ⇔  
⇔m=1
 f // (1) > 0
1 − m > 0
m = 3


m < 1

f) Txđ: D = R \ {x∈ R / x 2 ≠ 8m};
2mx 2 − 20mx + 16m 2
−4mx3 + 60mx 2 − 96m 2 x + 160m 2
/
//
y =
2
2
, y =
. Hàm số đạt cực đại
( x 2 − 8m )
( x2 − 8m )
1∈ D
 /
tại x = 1 khi:  y (1) = 0 ⇔ m = 1.
 y // (1) < 0


Gv: Lê Hành Pháp

Trang14


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
Tuần: 03
Ký duyệt
Tiết PPCT: 6, 7, 8.
Ngày soạn: 16/08/2009.
Ngày dạy: 31/08/2009.
A. MỤC TIÊU:
1) Về kiến thức : Nắm được định nghĩa, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên khoảng, nửa khoảng, đoạn.
2) Về kĩ năng : Tính được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, nửa
khoảng, đoạn.
3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tư duy lý luận. Tích cực, chủ động nắm kiến
thức, tham gia xây dựng bài.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)
1) Chuẩn bị của hs :
Thước kẻ, compas.
Hs đọc bài này trước ở nhà.
Bài cũ
.....................................................................
Giấy phim trong, viết lông.

.....................................................................
2) Chuẩn bị của gv :
Thước kẻ, compas.
Các hình vẽ.
Các bảng phụ
Bài để phát cho hs
Computer, projector.
Câu hỏi trắc nghiệm.
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)
Gợi mở, vấn đáp.
Phân tích, tổng hợp.
Phát hiện và giải quyết vấn đề.
.....................................................................
Hoạt động nhóm.
.....................................................................
D. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1) Ơn và kiểm tra kiến thức cũ : Cho hs y = x 3 – 3x.
 Tìm cực trị của hàm số trên đoạn [–3; 3]
 So sánh các cực trị vừa tìm được.
2) Bài mới :
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV

Gv: Lê Hành Pháp

Ghi bảng hoặc trình chiếu

Trang15

THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1
Nhắc lại cơng thức tìm

1) Định nghĩa :
giá trị lớn nhất, giá trị
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D
m ≤ f ( x ) ≤ M
nhỏ nhất của hàm số đã
m là giá trị nhỏ nhất
Số M được gọi là giá trị lớn nhất
được học : m ≤ f ( x) ≤ M của f ( x) trên D, ký hiệu max f ( x)
M là giá trị lớn nhất
D
Chú ý m được gọi là
 f ( x) ≤ M ∀x ∈ D
Thảo luận và nêu định giá trị nhỏ nhất của
nếu 
f ( x) khi dấu bằng xảy ra
nghĩa
∃x0 ∈ D / f ( x0 ) = M
tức tồn tại x0 để ƒ( x0 ) = Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất
m
của f ( x) trên D, ký hiệu min f ( x)
D
y = | x | ≥ 0 ∀x∈ R và y Tìm giá trị nhỏ nhất
 f ( x) ≥ m ∀x ∈ D
= 0 ⇔ x = 0.
của hàm số y = | x|

nếu 
∃x0 ∈ D / f ( x0 ) = m
M được gọi là giá trị
Vật min y = 0
R
lớn nhất của f ( x) khi dấu  Vd1 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn
bằng xảy ra tức tồn tại x0
nhất của hàm số f ( x) = 9 − x 2
x0 ) = M
để ƒ(
Giải : Txđ : D = [–3 ; 3]
f ( x) ≤ 3 vì:
0 ≤
Ta có: 0 ≤ f ( x) ≤ 3 ∀x∈ D
Nêu định nghĩa
⋅ x2 ≥ 0
f ( x) = 0 ⇔ x = ± 3
⋅ – x2 ≤ 0
f ( x) = 3 ⇔ x = 0
⋅ 9 – x2 ≤ 9
Trình bày Vd1
Do đó min f ( x) = 0, max f ( x) = 3
[ −3;3]
[ −3;3]
⋅ 9 − x2 ≤ 3
Cho Hs giải thích
0 ≤ f ( x) ≤ 3 ∀x∈ D
Nêu định lý : Hàm số
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
 Vd3 Tìm giá trị nhỏ

liên tục trên một đoạn
của hàm số trên đoạn [a ; b]
nhất và giá trị lớn nhất
thì đạt giá trị lớn nhất và Quy tắc:
của hàm số f ( x) = sinx
giá trị nhỏ nhất trên
⋅ Tìm các điểm xi ∈ (a ; b) tại đó
trên đoạn [0 ; 2π]
đoạn đó
hàm số f ( x) có đạo hàm bằng 0
f / ( x) = cosx,
Giải :
hoặc khơng có đạo hàm
/
Nêu quy tắc
f ( x) = 0 ∀x∈ [0 ; 2π]
⋅ Tính f ( a ) , f (b) , f ( xi )
π
⋅ So sánh các giá trị tìm được để
⇔x=±
Trình bày Vd 2
2
chọn max f ( x) và min f ( x)
[ a ;b ]
[ a ;b ]
⋅ ƒ(0) = 0, ƒ(2π) = 0, ƒ(
 Vd 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
π
π
Hs làm Vd3

) = 1, ƒ(– ) = –1
lớn nhất của hàm số
2
2
f ( x) = 9 − x 2 trên đoạn [–3 ; 3]
min
⋅ Do đó [0;2π ] f ( x ) = –1,
−x
/
max f ( x) = 1
Giải : f ( x) =
, f / ( x) = 0
[0;2π ]
2
9− x
∀x∈ [–3 ; 3] ⇔ x = 0.
⋅ Ta có f ( −3) = 0, f (3) = 0, f (0) = 3
⋅ Do đó max f ( x ) = 3, min f ( x ) = 0
[ −3;3]

Hs kết luận
Cạnh hình vng bị cắt
a
là thì thể tích khối hộp
6
là lớn nhất.
Gv: Lê Hành Pháp

Cho Hs trả lời mối liên

hệ giữa cực trị và giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của hàm số f ( x)
Cho hàm số y = f ( x )

[ −3;3]

2) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên khoảng (a ; b)
Quy tắc:
⋅ Tìm các điểm xi ∈ (a ; b) tại đó
hàm số f ( x) có đạo hàm bằng 0
Trang16


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương

Hs nhìn đồ thị hình 10
trang 21 để trả lời giá trị
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
 max y = 3
[ −2;3]
 min y = –2
[ −2;3]

 H 3 sgk trang 23: Lập

bảng biến thiên của hàm

1
số f ( x) =
. Từ đó
1 + x2
suy ra giá trị nhỏ nhất
của f ( x) trên tập xác
định.
Giải : Txđ : D = R
2x
/
2
⋅ f ( x) =
( 1 + x2 )
/
⋅ f ( x) = 0 ⇔ x = 0
⋅ Bảng biến thiên :

liên tục trên (a ; b) và
f ( xi ) là các cực trị của
hàm số f ( x) trên khoảng
(a ; b) thì max f ( x) là
( a ;b )

hoặc khơng có đạo hàm.
⋅ Tính f ( xi ) .
⋅ So sánh các giá trị tìm được để
chọn max f ( x) và min f ( x) .
( a ;b )
( a ;b )

giá trị lớn nhất của các
cực đại, min f ( x) là giá
( a ;b )
trị nhỏ nhất của các cực
tiểu.

 Vd 4 vd3 trang 22 sgk : Một tấm
nhơm cạnh bằng a. Người ta cắt bốn
góc bốn hình vuông bằng nhau rồi
gập lại để được cái hộp không nắp.
Tính cạnh của hình vng bị cắt sao
Nếu trên khoảng (a ; b) cho thể tích khối hộp là lớn nhất.
mà hàm số chỉ đạt 1 cực Giải : Gọi x là độ dài cạnh hình
a
trị duy nhất thì cực trị đó

vng bị cắt  0 < x < ÷ thì thể tích
chính là giá trị lớn nhất
2

hoặc giá trị nhỏ nhất của
 a
2
hàm số trên khoảng (a; b) V ( x) = x ( a − 2 x ) ∀x∈  0; ÷
 2
/
⋅ V ( x) = ( a − 2 x ) ( a − 6 x )
Hàm số f ( x ) đồng
biến (nghịch biến) trên
a

 a
/
⋅ V ( x ) = 0 ∀x∈  0; ÷⇔ x =
khoảng (a ; b) thì hàm số
6
 2
f ( x) khơng có cực trị
trên khoảng (a ; b) hay
hàm số khơng có giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất trên khoảng (a ; b).

Hàm số đạt cực tiểu tại x
= 0, yCT = –1 do đó hàm Cho Hs làm ví dụ 3
số có giá trị nhỏ nhất trang 22 sgk
min f ( x) = –1.
R
Cho Hs lập Bảng biến
thiên và kết luận.

Cho Hs làm H 3 trang




a
÷ hàm số đạt
2
a
cực đại tại x = nên hàm số có

6
2a 3
max f ( x) =
giá trị lớn nhất  a 
27
 0; ÷

⋅ Trên khoảng  0;



2

22 sgk.
E. CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS làm bài tập 1, 4, 5 sgk.
F. BÀI TẬP SGK:
1) Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = – 3 x 2 – 9x + 35 trên các đoạn [–4; 4] và [0; 5];
b) y = x 4 – 3 x 2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5];
2− x
c) y =
trên các đoạn [2; 4] và [–3; –2];
1− x
d) y = 5 − 4x trên đoạn [–1; 1]
 Hướng dẫn:
/
a) y = 3 x 2 – 6x – 9,
Trên đoạn [–4 ; 4], y / = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 3. Ta có y(–1) = 40, y(3) = 8, y(–4) = –41,
Gv: Lê Hành Pháp

Trang17


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương

y(4) = 15. Do đó min y = –41, max y = 40
[ −4;4]
[ −4;4]
Trên đoạn [0 ; 5], y / = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 3. Ta có y(–1) = 40, y(3) = 8, y(0) = 35, y(5)
= 15. Do đó min y = 8, max y = 40
[ −4;4]

[ −4;4]

/

b) y = 4 x 3 – 6x = x(4 x 2 – 6),

Trên đoạn [0 ; 3], y / = 0 ⇔ x = 0 hoặc x =

 6  −1
6
. Ta có y(0) = 2, y 
, y(3) = 56.
÷=
2  4
2


−1 max y
Do đó min y =
,
= 56
[0;3]
4 [0;3]
Trên đoạn [2 ; 5], y / = 0 phương trình vơ nghiệm. Ta có y(2) = 6, y(5) = 552. Do đó
min y = 6, max y = 552.
[0;5]

[0;5]

/

1 
1

c) D = R \ {1}, y =  1 +
÷ =−
2 < 0 ∀x∈ D ⇒ hàm số nghịch biếntrên D.
 1− x 
( 1− x)
2
4
5
Ta có y(2) = 0, y(4) = , y(–3) = , y(–2) = .
3
3
4

2
4
5
Do đó min y = 0, max y = và [min y = , [max y =
[2;4]
−3;−2]
[2;4]
−3;−2]
3
3
4
−2
5
5
/
d) y =
< 0 ∀x < ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞ ; ). Với y(–1) = 3,
5 − 4x
4
4
y(1) = 1 ⇒ min y = 1, max y = 3.
/

[ −1;1]

[ −1;1]

2) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
 Hướng dẫn: Gọi x (cm) là độ dài một cạnh, cạnh còn lại là 8 – x (4 ≤ x < 8), diện tích là
S(x) = x(8 – x) = – x 2 + 8x, S’(x) = –2x + 8, S’(x) = 0 ∀x∈ [4; 8) ⇔ x = 4.

Bảng biến thiên :
Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [4; 8), max S ( x) = 16.
[4;8)
Hoặc : hai số a, b có tổng a + b = 8 khơng đổi nên tích lớn
nhất khi hai số đó bằng nhau a = b = 4. Vậy trong các hình
chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hình vng cạnh bằng 4 có
diện tích lớn nhất S = 16 cm 2 .
3) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 m 2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất.
48
 Hướng dẫn: Gọi x (m) là độ dài một cạnh,
là độ dài
x
 48

/
cạnh còn lại (0 < x ≤ 48) chu vi là y =  + x ÷2 , y =
 x

2
x − 48 , / = 0 ∀x∈ (0; 48] ⇔ x =
 48 
2 1 − 2 ÷ = 2
y
48 = 4
x 
x2

3
Bảng biến thiên :

Gv: Lê Hành Pháp

Trang18


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương

min y = 16 3 . Hoặc : Hai số có tích khơng đổi a.b = 48 thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó
[0;48]

bằng nhau tức a = b = 4 3 . Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 m 2 thì hình
vng cạnh bằng 4 3 có chu vi nhỏ nhất.
4) Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau :
4
b) y = 4 x 3 – 3 x 2
a) y =
1 + x2
 Hướng dẫn:
−8 x
/
/
max y = 4
a) y =
2 2 , y = 0 ⇔x = 0 ;
R
(1+ x )
/

b) y = 12 x 2 – 12 x 3 = 12 x 2 (1 – x),

y / = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
max y = 1
R

5) Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y = | x |

b) y = x +

4
(x > 0)
x

 Hướng dẫn:
a) Ta có y = | x | ≥ 0 ∀x∈ R ⇒ min y = 0.
R
 x víi x ≥ 0
Hoặc : y = 
− x víi x < 0
Tại x = 0 hàm số khơng có đạo hàm
Với x > 0: y / = 1> 0
Với x < 0: y / = –1 < 0
x2 − 4
/
b) y =
,
x2

min
y / = 0 ∀x∈ (0; +∞) ⇔ x = 2, (0;+∞ ) y = 4
G. BÀI TẬP LÀM THÊM :
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) f ( x ) = x 2 + 2x – 5 trên đoạn [–2; 3]
d) f ( x ) = – x 2 + 2x + 4 trên đoạn [2; 4]
3
2
f ( x) = x + 2 x 2 + 3x – 4 trên đoạn [–4; 0] e) f ( x) = 2 x + 5 x + 4 trên đoạn [0; 1]
b)
3
x+2
1
1
c) f ( x ) = x +
trên khoảng (0; +∞)
f) f ( x ) = x –
trên nửa khoảng (0; 2].
x
x
 Hướng dẫn:
/
/
a) f ( x) = 2x + 1, f ( x) = 0 ∀x∈ [–2; 3] ⇔ x = –1. Ta có ƒ(–2) = –5, ƒ(3) = 10, ƒ(–1) = –6.
Do đó min f ( x) = –6, max f ( x) = 10
[ −2;3]

Gv: Lê Hành Pháp

[ −2;3]

Trang19


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương
/

/

b) f ( x) = x 2 + 4x + 3, f ( x) = 0 ∀x∈ [–4; 0] ⇔ x = –1 hoặc x = –3. Ta có ƒ(–4) = –

ƒ(0) = –4, ƒ(–1) = –

16
,
3

16
16
, ƒ(–3) = –4. Do đó min f ( x) = – , max f ( x) = –4
D
D
3
3

x2 − 1 /
, f ( x) = 0 ∀x∈ (0; +∞)
x2

⇔ x = 1, ƒ(1) = 2 , min f ( x ) = 2

/
c) f ( x) =

(0; +∞ )

d) f ( x) = –2x + 2, phương trình f ( x) = 0 ∀x∈ [2; 4] vơ
/

/

nghiệm. Ta có ƒ(2) = 4, ƒ(4) = –4. Do đó min f ( x ) = –4, max f ( x ) = 4
[2;4]
[2;4]

2
2 ( x 2 + 4 x + 3)
2
/
e) f ( x ) = 2x + 1 +
, f ( x) = 2 –
, phương trình f / ( x) = 0
2 =
2
( x + 2)
x+2
( x + 2)
∀x∈ [0; 1] vơ nghiệm. Ta có ƒ(0) = 2, ƒ(1) =

11
11
. Do đó min f ( x) = 2, max f ( x) =
[0;1]
[0;1]
3
3

1
> 0 ∀x ≠ 0 . Vậy trên nửa khoảng (0; 2] hàm
x2
3
số có giá trị lớn nhất max f ( x) =
(0;2]
2
2) Tìm Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
c) f ( x ) = sin 4 x + cos 2 x + 2
a) f ( x ) = 3 − 2x trên đoạn [–3; 1]
π
b) f ( x ) = x + 4 − x 2
d) f ( x ) = x – sin2x trên đoạn [– ; π].
2
 Hướng dẫn:
−1
3
3
/
a) D = (–∞; ], f ( x) =
< 0 ∀x∈ (–∞; ). Hàm số nghịch biến trên đoạn [–3; 1].
3 − 2x

2
2
Do đó max f ( x) = ƒ(–3) = 3, min f ( x) = ƒ(1) = 1
/

f) f ( x) = 1 +

[ −3;1]

[ −3;1] R

/
b) D = [–2; 2], f ( x) = 1 −

x

=

4 − x2 − x

∀x∈ (–2; 2), f / ( x) = 0 ⇔ x =

2 . Ta có
4− x
4− x
ƒ(–2) = –2, ƒ(2) = 2, ƒ( 2 ) = 2 2 . Do đó max f ( x) = 2 2 , min f ( x) = –2
[ −2;2]
[ −2;2]
11
c) max f ( x ) = 3, min f ( x ) =

R
R
4
π
π
5π
π
/
/
d) f ( x) = 1 – 2cos2x, f ( x) = 0 ∀x∈ [– ; π] ⇔ x =
;x=– ;x=
.
6
6
6
2
π
π
π
π
5π
5π
π
π
3
3
3
Ta có ƒ(– ) = – , ƒ(π) = π, ƒ( ) = –
, ƒ(– ) = – +
, ƒ(

)=
+
.
6
6
6
6
6
6
2
2
2
2
2
π
max f ( x) 5π
3 min f ( x)
Do đó [ − π ;π ]
=
+
, [ − π ;π ]
=–
2
2
6
2
2
3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) y = 2 sin 2 x + 2sinx – 1
b) cos 2 2 x − sin x cos x + 4 .

 Hướng dẫn:
Gv: Lê Hành Pháp

2

2

Trang20


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương
/

/

a) Đặt t = sinx (–1≤ t ≤ 1), ƒ(t) = 2 t 2 + 2t – 1, f (t ) = 4t + 2, f (t ) = 0 ∀t∈[–1; 1] ⇔ t = –

1
3
3
Ta có ƒ(–1) = –1, ƒ(1) = 3, ƒ(– ) = – , min f (t ) = – , max f (t ) = 3.
[ −1;1]
2
2
2 [ −1;1]
3
Do đó min f ( x) = – , max f ( x) = 3
R

R
2
1
1
b) f ( x ) = 1 – sin 2 2x – sin2x + 4 = – sin 2 2x – sin2x + 5. Đặt t = sin2x (–1≤ t ≤ 1),
2
2
1
1
1
ƒ(t) = – t 2 – t + 5, f / (t ) = –2t – , f / (t ) = 0 ∀t∈ [–1; 1] ⇔ t = – .
2
2
4
81
81
9
7
1
7
Ta có ƒ(–1) = , ƒ(1) = , ƒ(– ) = – , min f (t ) = , max f (t ) =
.
[ −1;1]
[ −1;1]
16
16
2
2
4
2

81
7
Do đó min f ( x) = , max f ( x) =
R
R
16
2

Gv: Lê Hành Pháp

1
2

Trang21


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương

§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN.
Tuần: 04
Tiết PPCT: 9, 10, 11.
Ngày soạn: 01/09/2009.
Ngày dạy: 07/09/2009.

Ký duyệt

A. MỤC TIÊU:
1) Về kiến thức : Nắm được định nghĩa, phương pháp tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số.
2) Về kĩ năng : Tìm được tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Tính tốt các giới
hạn của hàm số.
3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy logic, tư duy lý luận. Tích cực, chủ động nắm kiến
thức, tham gia xây dựng bài.
B. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)
1) Chuẩn bị của hs :
Thước kẻ, compas.
Hs đọc bài này trước ở nhà.
Bài cũ
Làm bài tập trong sgk.
Giấy phim trong, viết lông.
................................................................
2) Chuẩn bị của gv :
Thước kẻ, compas.
Các hình vẽ.
Các bảng phụ
Bài để phát cho Hs.
Computer, projector.
Câu hỏi trắc nghiệm.
C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần nào có yêu cầu)
Gợi mở, vấn đáp.
Phân tích, tổng hợp.
Phát hiện và giải quyết vấn đề.
Trực quan sinh động.
Hoạt động nhóm.
.................................................................
D. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1) Ôn và kiểm tra kiến thức cũ :

2x + 1
2x + 1
2x + 1
2x + 1
; b) lim
; c) lim
; d) lim
x →+∞
x →−∞
x →0 −
x →0 +
x
x
x
x
 Nhận xét câu trả lời của học sinh, kết luận và cho điểm.


Tính các giới hạn sau: a) lim

2) Bài mới :
Hoạt động của HS
HS tìm tiệm cận
ngang của đồ thị hàm

Gv: Lê Hành Pháp

Hoạt động của GV
Treo bảng phụ có vẽ đồ thị
1

của hàm số y = + 2. Theo
x

Ghi bảng hoặc trình chiếu
1) Tiệm cận ngang:
ĐN: Đường thẳng y = y0 được
gọi là tiệm cận ngang của đồ thị
Trang22


Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

THPT Tân Bình – Bình Dương

2− x
x −1
Giải: Ta có
số y =

lim f ( x) = lim 2 − x
x →+∞
x →+∞ x − 1
= –1 và xlim f ( x) =
→−∞
2− x
lim
= –1 nên
x →−∞ x − 1
đường thẳng y = – 1 là
tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số khi x →+∞
và khi x → –∞.

Hàm số hữu tỉ có
tiệm cận ngang khi
bậc của tử nhỏ hơn
hoặc bằng bậc của
mẫu, có tiệm cận
đứng khi mẫu số có
nghiệm và nghiệm
của mẫu khơng trùng
nghiệm của tử.
Ta có xlim f ( x) =
→±∞
1
−2
x
lim
= –2 nên
x →±∞
4
1−
x
đường thẳng y = –2 là
tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số.
lim
Ta có x→4− f ( x) = +∞

( lim f ( x) = −∞ ) nên

x → 4+

đường thẳng x = 4 là
tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số.

kết quả kiểm tra bài cũ ta có
2x + 1
2x + 1
lim
= 2, lim
=2
x →+∞
x →−∞
x
x
Điều này có nghĩa là
khoảng cách MM’ từ điểm M
trên đồ thị đến đường thẳng y
= 2 dần về 0 khi M trên các
nhánh của hypebol đi xa ra vơ
tận về phía trái hoặc phía phải
(hình vẽ) lúc đó ta gọi đường
thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
1
của đồ thị hàm số y = + 2.
x
Cho HS nhìn hình 17 trang
28 sgk và định nghĩa tiệm cận
ngang

Tương tự ta cũng có:
lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = −∞
+
−
x →0

x →0

Nghĩa là khoảng cách NN’

từ N thuộc đồ thị đến trục
tung dần đến 0 khi N theo đồ
thị dần ra vơ tận phía trên
hoặc phía dưới, lúc đó ta
đường thẳng x = 0 (trục Oy)
là tiệm cận đứng của đồ thị
1
hàm số y = + 2.
x
Cho HS hình 18 trang 30
sgk định nghĩa tiệm cận đứng.
GV chỉnh sửa và chính xác
hố định nghĩa.
Dựa vào định nghĩa hãy
cho biết phương pháp tìm
tiệm cận ngang và tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số.
Cho Hs tìm tiệm cận đứng
và tiệm cận ngang của đồ thị
1 − 2x

hàm số y = f ( x) =
x−4

hàm số y = f ( x) nếu xlim f ( x) =
→+∞
y0 hoặc lim f ( x) = y0
x →−∞

1
+ 1 xác
x
định trên khoảng (0; +∞). Ta có
lim f ( x) = lim  1 + 1 = 1 nên
÷
x →+∞
x →+∞ 
 x

đường thẳng y = 1 là tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số
 Vd1 Hàm số f ( x ) =

2) Tiệm cận đứng:
ĐN: Đường thẳng x = x0 được
gọi là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số y = f ( x) nếu thoả ít nhất
một trong các điều kiện sau:
lim− f ( x) = +∞; lim− f ( x) = –∞
x → x0

x → x0

lim f ( x) = +∞; lim+ f ( x) = –∞

x → x0 +

x → x0

 Vd 2 Hàm số f ( x ) =

x+2
x − 3x + 2
2

x+2
xác định ∀x∈R\
( x − 1)( x − 2)
{1;2} Có lim f ( x) =
+
=

x →1

lim
+
x →1

x+2
= –∞
( x − 1)( x − 2)

( lim f ( x) = +∞ ) và lim f ( x) =
x →1−

lim
+

x →2

x →2 +

x+2
= +∞
( x − 1)( x − 2)

( lim f ( x) = −∞ ) nên đồ thị hàm
x → 2−

số có hai tiệm cận đứng là x = 1 và
x = 2.
E. CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức và cho HS làm bài tập 1 sgk.
F. BÀI TẬP SGK:
1) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
x
−x + 7
2x − 5
7
a) y =
;
b) y =

;
c) y =
;
d) y =
– 1.
2− x
x +1
5x − 2
x
 Hướng dẫn:
Gv: Lê Hành Pháp

Trang23


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

a) Tập xác định D = R \ {2}.

x
x


= +∞ ÷ nên đường thẳng x = 2 là
= −∞  lim f ( x) = lim−
−
x →2 2 − x
x →2

x →2 2 − x
 x →2

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x
1
lim f ( x) = xlim 2 − x = xlim 2
→±∞
→±∞
Ta có x→±∞
= – 1 nên đường thẳng y = –1 là tiệm cận ngang
−1
x
của đồ thị hàm số.
b) Tập xác định D = R \ {–1}.
−x + 7
−x + 7


= −∞ ÷ nên đường thẳng
= +∞  lim− f ( x) = lim−
Ta có lim+ f ( x) = lim+
x →−1
x →−1
x →−1
x +1
x +1
 x→−1

x = –1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

7
−1 +
−x + 7
x = – 1 nên đường thẳng y = –1 là tiệm cận
= lim
Ta có xlim f ( x) = xlim
→±∞
→±∞ x − 1
x →±∞
1
1−
x
ngang của đồ thị hàm số.
2
2
c) Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = .
5
5
d) Tiệm cận đứng x = 0, tiệm cận ngang y = –1.
2) Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:
2− x
x 2 − 3x + 2
a) y =
;
c) y =
;
9 − x2
x +1
x2 + x + 1
x +1

b) y =
;
d) y =
.
2
3 − 2 x − 5x
x −1
 Hướng dẫn:
a) Tập xác định D = R \ {–3; 3}.


2− x
2− x
= +∞  lim− f ( x) = lim−
= −∞ ÷ và
Ta có xlim+ f ( x) = xlim+
→−3
→−3 ( 3 − x ) ( 3 + x )
x →−3 ( 3 − x ) ( 3 + x )
 x→−3

Ta có lim f ( x) = lim+
+



2− x
2− x
= +∞  lim f ( x) = lim
= −∞ ÷ nên đồ thị hàm

−
x →3
x →3 ( 3 − x ) ( 3 + x )
x →3− ( 3 − x ) ( 3 + x )
 x→3

số có hai tiệm cận đứng là x = –3 và x = 3.
2 1
−
2− x
x 2 x = 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang
lim f ( x) = lim
= lim
Ta có x→±∞
x →±∞ 9 − x 2
x →±∞ 9
−1
x2
của đồ thị hàm số.
3
1
b) Tiệm cận đứng x = –1, x = . Tiệm cận ngang y = – .
5
5
c) Tập xác định D = R \ {–1}


x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
= −∞ ÷ nên đường

Ta có lim+ f ( x) = lim+
= +∞  lim− f ( x) = lim−
x →−1
x →−1
x →−1
x +1
x +1
 x→−1

lim f ( x) = lim
+
+

Gv: Lê Hành Pháp

Trang24


THPT Tân Bình – Bình Dương

Giáo án Giải tích 12 Cơ bản – Chương 1

thẳng x = –1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2
2
lim f ( x) = lim x − 3 x + 2 = +∞  lim f ( x) = lim x − 3x + 2 = −∞  nên đồ thị
Ta có x→+∞
 x→−∞
÷
x →−∞

x →+∞
x +1
x +1


hàm số khơng có tiệm cận ngang.
d) Tập xác định D = [0; +∞) \ {1}


x +1
x +1
= −∞ ÷ nên đường thẳng x = 1
= +∞  lim f ( x) = lim
Ta có lim f ( x) = lim
−
x →1−
x →1+
x →1+
x −1
x −1
 x→1

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
1
1+
x +1
x
= lim
Ta có xlim f ( x) = xlim
= 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang

→+∞
→+∞
x − 1 x→+∞ 1 − 1
x
của đồ thị hàm số khi x → +∞.
G. BÀI TẬP LÀM THÊM :
1) Tìm tiệm cận ngang nếu có của đồ thị các hàm số sau:
3x − 2
x+3
1) y =
2) y = 2
3) y = 2 x 3 − 3 x + 1 4) y = x 2 − 1.
2x + 1
x −4
2) Tìm tiệm cận đứng nếu có của đồ thị các hàm số sau:
x2 + x + 1
x−2
x −1
1) y =
2) y = 2
3) y = 2
2x + 3
x −4
x +1
3) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
x−2
x+2
x2 + x + 1
a) y =
;

c) y = 2
;
e) y =
3x + 2
x −1
−5 x 2 − 2 x + 3
−2 x − 2
x
b) y =
d) y = 3
x+3
x +1
 Hướng dẫn:
2
a) Tập xác định D = R \ {– }.
3


x−2
x−2
= −∞ ÷ nên đường
Ta có lim + f ( x) = lim + 3 x + 2 = +∞  lim − f ( x) = lim −
 −2
 −2
 x→ −2 
÷
x → ÷
x → ÷
 −2  3 x + 2
  ÷

÷
x → ÷
 3 
 3 
 3 
 3

2
thẳng x = – là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
3
2
1−
x−2
x = 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang
= lim
Ta có xlim f ( x) = xlim
→±∞
→±∞ 3 x + 2
x →±∞
2
3
3
3+
x
của đồ thị hàm số.
b) Tiệm cận đứng x = –3. Tiệm cận ngang y = –2;
c) Tiệm cận đứng x = 1, x = –1. Tiệm cận ngang y = 0.
d) Tiệm cận đứng x = –1. Tiệm cận ngang y = 0.
3
1

e) Tiệm cận đứng x = –1, x = . Tiệm cận ngang y = – .
5
5
Gv: Lê Hành Pháp

Trang25