Chương 1 - giải tích 12

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT ĐƠNG DƯƠNG

GIẢI TÍCH 12
PHẦN 1:

Năm học: 2010 - 2011

1


CÁC CƠNG THỨC ĐẠO HÀM
Đạo hàm các hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp
’
(C ) = 0
(x)’ =1
,
( uα ) ' = α.uα−1.u'; α ∈ R
( xα ) = α.xα−1; α ∈ R
 1  −1
 x ÷' = x 2
 
1
( x)' =
2 x
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = - sinx
1
= 1+tan2x
(tanx)’ =

2
cos x
1
(cotx)’ = − 2 = -(1+cot2x)
sin x

 1  − u'
 u ÷' = u2
 
u'
( u)' =
2 u
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = -u’.sinu
u'
= u’(1+tan2u)
(tanu)’ =
2
cos u
u
(cotu)’ = − 2 = -u’(1+cot2u)
sin u

*)Các quy tắc tính đạo hàm
1. Quy tắc cộng: (u ± v)’ = u’ ± v’
2. Quy tắc nhân: (k.u)’ = k. u’, k là hằng số
(u.v)’ = u’v +uv’;
(u.v.w)’= u’.v.w+ u.v’.w+ u.v.w’
 u  u' v − uv'
3. Quy tắc chia:  ÷' =

v2
v

2


DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1.Nhị thức bậc nhất : có dạng f(x)= ax+b ( a ≠ 0 ).
2.Xét dấu nhị thức bậc nhất :
−b
+ Tìm nghiệm nhị thức: ax+b=0 ⇒ x =
a
+ Lập BXD
x

−b
−∞
a
Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
−∞

f(x)

+Dựa vào
BXD kết
luận
Chú ý: Phải cùng ,trái trái.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1.Tam thức bậc hai : Biểu thức có dạng ax 2 + bx + c
(a ≠ 0)

2.Xét dấu tam thức bậc hai :
+ Tìm nghiệm tam thức: ax 2 +
bx + =
c
0 tính ∆ = b 2 − 4ac
*Nếu ∆ < 0 thì tam thức vơ nghiệm
(af(x)>0,
−∞
−∞
x
∀x ∈ R )
f(x)
Cùng dấu với a

* Nếu ∆ = 0 thì tam thức có nghiệm kép x =
(af(x)>0,

x

−b
∀x ≠
)
2a

(x)

−∞

−b
2a

−b
2a

−∞

Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

* Nếu ∆ > 0 thì tam thức có 2 nghiệm x1 =

−b + ∆
−b − ∆ x
( 1<
, x2 =
2a
2a

x2 )
x
f(x)

−∞

x1

x2

−∞

Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

3


(Trong trái , ngồi cùng)
+ Dựa vào BXD kết luận.

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Bài 1:

1. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)
a) Nếu f’(x) > 0 , ∀ x ∈ (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b)
b) Nếu f’(x) < 0 , ∀ x ∈ (a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b)
c) Nếu f’(x) = 0 , ∀ x ∈ (a; b) thì f(x) khơng đổi dấu trên (a; b)
2. Định lý (Mở rộng):
Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)
( dấu bằng chỉ xảy ra ở một vài điểm hữu hạn)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a; b) ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)
( dấu bằng chỉ xảy ra ở một vài điểm hữu hạn)
Bài tập:
Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:
Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
B1: Tìm tập xác định
B2: Tìm y', Giải phương trình y' = 0 (nếu có), xét dấu y'
Chú ý đến phương pháp xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
B3: Laäp BBT suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ( áp dụng định lý)
Bài tập:
1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau:
a) y = −2 x + 5

b ) y = x3 − 3x + 2
c) y = −2 x3 + 3x 2 + 2

d) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12

e) y = x 4 − 2 x 2 + 5

f) y = − x 4 + 4 x 2 − 1

g) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2
h) y =
2.

Xét tính đơn điệu của hàm số:
a) y =

3.

x +1
x−2

b) y =

2x −1
x +1

x 2 + 3x + 3
x +1

b) y = x +

Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
a) y =

4

1 5 1 4
1
x − x − x3 + x 2 + 2 x − 1
5
4
2

1
x

c) y =

1− x
3x − 2

c) y = 2 x − 3 −

1
x +1


4.

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau:

a) y = x 2 − 2 x + 6
b) y = − x 2 + 4 x
c) y = 2 x + 1
 Làm các bài tập 1, 2, 3, 4 sgk/10
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)
trên R
Chú ý:
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y’ ≥ 0, với mọi x

a > 0
∆ ≤ 0
a > 0
2
Tam thức ax + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
Hàm số nghịch biến biến trên R khi và chỉ khi y’ ≤ 0, với mọi x
a < 0
2
Tam thức ax + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ ≤ 0
a < 0
2
Tam thức ax + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
2
Tam thức ax + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 

Hàm số phân thức đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi y’ > 0 với
mọi x thuộc D

BÀI TẬP
5.

6.
7.
8.

9.

x3
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R
3
(Đs: m ≥ 2 )
3
2
Tìm m để hàm số y = x − 3mx + 3 ( 2m − 1) x + 1 đồng biến trên R
(Đs: m = 1 )
1 3
2
Tìm m để hàm số y = − x + mx + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R
3
3
x
5
Tìm m để hàm số y =
+ ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + đồng biến trên
3
3
R
(Đs: m = 2 )

2
3
2
2
Tìm m để hàm số y = − m + 5m x + 6mx + 6 x + 1 − m đồng biến
Tìm m để hàm số y =

(

trên R

)

(Đs:

5
− ≤m≤0)
3
5


10. Tìm m để hàm số y =

( m − 1) x
3

3

+ mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 2 đồng biến

trên R
(Đs: m ≥ 2 )
3
2
11. Tìm m để hàm số y = x + 3 x + mx + 1 − 2m nghịch biến trên đoạn có
(Đs: m =

độ dài bằng 1

9
)
4

Dạng 3: (Lớp C1) Sử dụng sự biến thiên để chứng minh Bất đẳng thức

 π
÷
 2

12. Chứng minh: tanx > x, ∀x ∈  0;

 π
÷
 2

13. Chứng minh: 2sinx + tanx > 3x , ∀x ∈  0;

Bài 2:

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dấu hiệu 1 xác định cực đại, cực tiểu:
1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x 0
dương khi qua x0

2.

Hàm số đạt cực đại tại x 0
khi qua x0

⇔ y '( x0 ) = 0 và y’ đổi dấu từ âm sang

⇔ y '( x0 ) = 0 y’ đổi dấu từ dương sang âm
,

*) Hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi đi qua nghiệm
⇔ y’ = 0 có nghiệm phân biệt
Dấu hiệu 2 xác định cực đại, cực tiểu

y '(x 0 ) = 0
y ''(x 0 ) > 0

1. Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ⇔ 

 y '(x 0 ) = 0
 y ''(x 0 ) < 0

2. Haøm số đạt cực đại tại x0 ⇔ 

Chú ý:
1.

Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì
x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;

6


f(x0) được gọi là giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu :
fCĐ (fCT)
M(x0; f(x0)): điểm cực đại ( điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số
2.

Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) của hàm số còn gọi là cực đại (cực tiểu)
và gọi chung là cực trị.
3.

Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hay cực tiểu tại
x0 thì f’(x0) = 0 ( Điều ngược lại chưa chắc đúng)
DẠNG 1: Sử dụng dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tìm f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0, tìm nghiệm
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ BBT, suy ra các điểm cực trị của hàm số.
BÀI TẬP
14. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x -10
b) y= -x3 + 6x2 + 15x + 10
c) y = x3 – 3x2 – 24x + 7
d) y = -5x3 + 3x2 – 4x + 5
e) y = x4 + 2x2 – 3
f) y = x2( 2 – x2)
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực đại(cực tiểu) tại x0
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tìm y’, y’’. Tính y’(x0), y’’(x0)
Bước 3: Sử dụng dấu hiệu 2 để giải bài toán:

y '(x 0 ) = 0
y ''(x 0 ) > 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ⇔ 

 y '(x 0 ) = 0
 y ''(x 0 ) < 0

Hàm số đạt cực đại tại x0 ⇔ 
BÀI TẬP

7


15. Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x − 2 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu
tại x = 1
16. Cho hàm số y = mx 3 − mx 2 + 1 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =

2
3
17. Cho hàm số y =

1
( m + 1) x3 − ( m + 2 ) x 2 + ( m + 3) x, ( m ≠ −1) . Tìm
3

m để đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm điểm cực tiểu.
18. Cho hàm số y = x3 + (m+3)x2 + 1 – m. tìm m để hàm số đạt cực đại tại x
= -1
19. Cho y = - (m2 + 5m)x3 + 6mx2+ 6x – 5. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
x=1
20. Cho y = mx3 + m2x2 – x + 3. tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = -1
Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Sử dụng tính chất: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tìm y’, Cho y’ = 0
Bước 3: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu
⇔ y ' = 0 có nghiệm phân biệt
 Chú ý:
1. Cách tính tung độ cực trị của hàm số y = f(x) tại x0
- Hàm số bất kỳ : thục hiện phép thế y0 = f(x0)
- Hàm đa thức: chia đạo hàm ( lấy y chia cho y’ được thương là q(x) và
dư là r(x)).
Khi đó, y = q(x).y’ + r(x).
Vì hàm số đạt cực trị tại x0 nên y’(x0) = 0.
Do đó, giá trị cực trị y0 = r(x0) ( tức là thế x0 vào phần dư r(x) để tính
tung độ cực trị)

-

Hàm hữu tỉ: y =

u ( x)
v ( x)

( lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu, rồi thế x 0

vào để tính tung độ cực trị)
hàm số đạt cực trị tại x0 thì y 0 =

u ' ( x0 )
v ' ( x0 )

2. Khoảng cách giữa hai điểm:

A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ⇒ AB =
8

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 )

2


a ≠ 0

∆ > 0

3. Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 
Định lý Vi –et: x1 + x2 =

−b
c
; x1.x2 =
a
a

4. Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 trái dấu ⇔ ac < 0

a ≠ 0
∆ > 0

2
5. Phương trình ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ 
P > 0
S > 0

a ≠ 0
∆ > 0

2
6. Phương trình ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm phân biệt ⇔ 
P > 0
S < 0

7. A(x; y) thuộc trục hoành khi y = 0, B(x;y) thuộc trục tung khi x = 0

Bài tập:
21. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4m . Chứng minh hàm số ln có 2 cực trị.
Khi đó hãy xác định m để một trong hai điểm cực trị đó thuộc trục
hồnh. ( Đs: m = 0; hoặc m = 1)
3
2
22. Cho hàm số y = 2 x − 3 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + 1 . Chứng minh
hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại x 1, x2 và x1 – x2 không phụ thuộc
vào m.

(

)

(

)

3
2
2
2
23. Cho hàm số y = x + 2(m − 1) x + m − 4m + 1 x + 2 m + 1 . Tìm

m
để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x 1, x2 và

1 1 x1 + x2
+ =

( Đs: m = 5;
x1 x2
2

m=1
3
2
24. Cho hàm số y = x − 3 ( m + 1) x + 3m ( m + 2 ) x + 1 . Chứng minh hàm
số ln có cực đại, cực tiểu. Xác định m để hồnh độ của các cực trị đó
dương.

9


25. Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + ( 2 − m ) x + m + 2 . Tìm m để hàm số
có điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn
3

1.

2

5 7
4 5

(Đs: m ∈ ( −∞; −1) ∪  ; ÷ )

26. ( B – 2007)
Cho hàm số y = - x 3 + 3x2 + 3(m2 -1) – 3m2 - 1 (1), m
là tham số.Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị

của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ O (Đáp số : m = ½ ; m = - 1/
2)
27. (CĐ 2009)
Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + 2 (1) .
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị
hàm số (1) có hồnh độ dương
28. (B – 2002) Cho hàm số y = mx 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 . Tìm m để hàm số
có 3 cực trị.
29. Cho hàm số y =

1 4
3
x − mx 2 +
có đồ thị (C). Tìm m để đồ thị hàm số
2
2

chỉ có 1 cực tiểu mà khơng có cực đại
30. Cho hàm số y = x 4 + 4mx3 + 3( m + 1) x 2 + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số
chỉ có 1 cực tiểu mà khơng có cực đại
31. Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm
cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

x 2 + mx
32. Cho hàm số y =
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
1− x
Với giá trị nào của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó bằng 10.
(Đs: m = 4)

33. Cho hàm số y =

x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 + m + 4
2 ( x + m)

. Xác định m để hàm số

có cực đại, cực tiểu. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.
34. (B- 2005) Cho hàm số y =

x2 + ( 1 + m ) x + 1 + m
x +1

. Chứng minh với m

bất kỳ, hàm số có cực đại, cực tiểu. và khoảng cách giữa hai điểm cực
trị đó bằng 20
35. Cho hàm số y =

x2 + x + m
. Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị
x +1

hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ( Đs: m >1)

10


36. (A – 2007) Cho hàm số y =

x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m
(1) , m là tham
x+2

số. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ
thị hàm số (1) tạo với O thành một tam giác vuông tại O.
( Đs: m = −4 ± 2 6 )
37. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 + 2m − 3)x + 3m + 1. Tìm m để đồ thị
hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với
trục tung.
38. Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2m . Xác định m để hàm
số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng
qua điểm cực trị đó.
3
2
39. Cho hàm số y = ( 2 + m ) x + 3x + mx − 5 . Xác định m để hàm số có
cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực
tiểu đó.

(

)

3
2
2
3
2
40. (A – 2002)Cho hàm số y = − x + 3mx + 3 1 − m x + m − m . Viết

phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
41. Tìm m để hàm số f ( x) = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 cã đờng thẳng đi qua cực
đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng y = 3 x 7
42. Cho hàm số y = x3 -3(m+1)x +m + 2. Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và đường thẳng nối 2 điểm cực đại, cực tiểu qua điểm M(4;-2)

Bài 3:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GÍA CỦA HÀM SỐ
I.

Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên D

 f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D

⇔
; ký hiệu: Max f ( x) = M
D
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M

Số m được

gọi

là giá trị nhỏ nhất

của f(x)

trên

D

 f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D

⇔
; ký hiệu: Min f ( x) = m
D
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m


II.
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b)
Nếu trên (a; b), hàm số có duy nhất một cực trị và
+) Cực trị đó là cực tiểu thì giá trị cực tiểu chính là GTNN
+) Cực trị đó là cực đại thì giá trị cực đại chính là GTLN

11


Làm bài tập 4, 5 trang 24 sgk
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn:
Đoạn [a;b ]

III.

Tính y’

•
•

Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 ∈ ( a; b )

•

Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)

Chọn số lớn nhất M , kết luận : max y = M
[ a ;b ]
Chọn số nhỏ nhất m , kết luận : min y = m
[ a ;b ]

BÀI TẬP
43. Tìm GTLN,NN của các h.số trên đoạn chỉ ra:
a) y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 trên [-2;-1/2]
b) y = − x 5 − 5 x 3 + 20 x + 2 trên đoạn [-2;2] .




5

c) y = 2x3 – 3x2 – 12x + 1 trên  −2; 
2



3

d) y = x – 3x + 3 trên [-2; 2]
e) y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên đoạn [ −3; 2]
f) y = x 6 + 4 ( 1 − x 2 ) trên [ −1;1]
3

44. Tìm GTLN,NN của các h.số trên đoạn chỉ ra
x −2
x −1
a) y =
trên đoạn [2;4] và [-3;-2]
b) y =
trên [0; 3]
x −1
x +1
c) y =

3x − 1
trên đoạn [ 0; 2]
x −3

d) y =

x +1
x2 + 1

trên [ −1;2]

45. Tìm GTLN,NN của các h.số trên đoạn chỉ ra
a) y = 9 − 3 x trên [-1;1]

b) y = 3 − 2 x trên [ - 3 ; 1]
c) y = 3 x − 5 trên đoạn [2;3]

d) y = 6 x + 4 trên đoạn [0;

2]
46. Tìm GTLN, GTNN của hsố trên đoạn chỉ ra:
2
a) y = x − 3 x + 2 trên đoạn [-10,10]

b) y =| x2 + 4x – 5 | trên đoạn [ -6; 6]

12


c) y = | x2 – 4x|
trên đoạn [ -5; 5]
2
d) y = |x - 9| trên đoạn [- 4 ; 4]
47. Tìm GTLN, GTNN của hsố trên đoạn chỉ ra:

x2 + x −1
trên đoạn [0;1]
x +1
9
b) y = x + 3 +
trên đoạn [2; 9]
x −3
a) y =

c) y = −x +1 −
d) y = x +
48.

4
trên đoạn [-1;2]
x +2

4
trên đoạn [0;2]
1+ x

Tìm GTLN, GTNN của hsố
a) y = x − 1 + − x + 9

b)

y = 6− x + 4+ x
c) y = x + 4 − x 2

d) y = 5 − 4 x − x 2

49. Tìm GTLN, GTNN của hsố trên đoạn chỉ ra:
a) y =

1
 π 5π 
trên  ;
sin x
3 6 


 π



b) y = x − sin 2x trên  − ; π 
 2 

 π



c) y = x + 2cosx trên 0; 
2

 π



d) y = 2 cos 2 x + 4sin x trên 0; 
2

 3π 
 2 


e) y = 2sinx + sin 2x trên 0;

 π π
;

 4 4


f) y = 5cosx – cos5x trên  −
4
3

g) y = 2sinx − sin 3 x trên [0;π]

13


h)y = sin4x + cos2x + 2 trên [0;2π]

Bài 4:

TIỆM CẬN

1. Tiệm cận đứng: Nếu xảy ra một trong cac trường hợp
lim y = +∞; lim y = −∞; lim y = +∞; lim y = −∞
x→ x +
x→ x +
x→ x −
x→ x −
0
0
0
0
thì pt tiệm cận đứng là : x = x0
2. Tiệm cận ngang: Nếu xảy ra một trong caùc trường hợp

lim y = y0 ; lim y = y0
x→+∞
x→−∞
thì pt tiệm cận ngang là: y = y0
3. Chú ý:
a) Hàm số có tập xác định D = R thì khơng có tiệm cận đứng
b) Hàm đa thức khơng có tiệm cận
c) Hàm số hữu tỉ có bậc trên tử thấp hơn hoặc bằng bậc dưới mẫu thì có
tiệm cận ngang
4. Quy tắc tìm giới hạn của thương

f ( x)
g ( x)

lim f ( x)
x→ x
0

lim g ( x)
x→ x
0

Dấu của g(x)

L
L>0

±∞

Tùy ý

+
+
-

L< 0

0

f ( x)

lim
x→ x g ( x )
0
0
+∞
-∞
-∞
+∞

+
−
Các quy tắc trên vẫn đúng cho trường hợp x → x0 ; x → x0

f ( x)
lim
: Chia tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất rồi áp dụng
x→±∞ g ( x)
c
=0
công thức lim c = c; lim

x→±∞
x→±∞ x k

5. Cách tìm

6. Nhắc lại:
Cho điểm M(x0; y0). Đường thẳng d1 ; d2 lần lượt có phương trình: x – a =
0, y – b = 0.
Khoảng cách từ M đến d1 là | x0 – a|,
Khoảng cách từ M đến d2 là | y0 – b|

14


Bài tập:
50. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

3x + 1
x−2
3) y =
x +1
2x +1
x+3
3x − 2
5) y =
6) y =
x −1
x+3
x +1
2x −1

8) y =
9) y =
2x −1
x+2
5
−4
11) y =
12) y =
2 − 3x
x +1
4− x
51. Cho hàm số y =
. Chứng minh với mọi m, tiệm cận ngang của
2 x + 3m
 7 1
đồ thị hàm số luôn qua B  − ; − ÷
 4 2
mx − 1
52. Cho hàm số y =
. Tìm m để tiệm cận đứng của đồ thị qua
2x + m
A −1; 2

x
2− x
5
4) y =
2+ x
1− x
7) y =

x +1
3 − 2x
10) y =
3x + 1
1) y =

(

2) y =

)

53. Cho hàm số y =

x+2
. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng
x−3

cách từ M đến tiện cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiện cận
ngang.

Bài 5:
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.
HÀM BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d
(a≠0)
+ TXĐ :D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac
∆/ > 0
∆/ ≤ 0

y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
y/ cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
• Cực tri cực đại? Cực tiểu?

•Hàm số không có cực trị

 +∞ (a > 0)

3
2
+ Giới hạn: • xlim (ax + bx + cx + d ) = 
→+∞

 −∞ (a < 0)
15


 −∞ (a > 0)

3
2
• xlim (ax + bx + cx + d ) = 
→−∞

 +∞ (a < 0)

+ Bảng biến thiên:
Th1 : y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

a > 0:
x
-∞
y’
+
y

x1
0
yCĐ

-∞

-

+∞

x2
0

+

+∞

yCT

a < 0:
-∞

x

y’

+∞

y

x1
0

-

+∞

x2
0
yCĐ

+

-∞

yCT

Th2: y’ = 0 vơ nghiệm
a>0
x

-∞

+∞

y’
y

+
+∞
-∞

a<0
x
y’
y

-∞

+∞
-

+∞
-∞

Chú ý : dù y/ = 0
kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thị : • xác đ̣ịnh Cực trị ?
•

b

có nghiệm

b

Điểm uốn I(− 3a ;f(− 3a ))

(giải pt y’’ = 0 )

• điểm đặc biệt : Giao với Oy, Ox

16


y

y

y

y

I

I

•

•

I

I

•

•

O

O

x
a>
0

x
a<
0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị
⇔?
a>0 ; có 2 CT

a<0; có 2 CT

O

x

O

a>

0

x
a<
0

Dạng 2: hàm số khơng có cực
trị ⇔ ?
a>0,khoâng CT a<0,khoâng CT

Bài tập
54. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

1 3
x + 3x + 4
3

a) y = x3 + 3x2 – 3

b) y = −

c) y = x3 + x – 2
e) y = x3 – 3x2 + 3x + 1

d) y= - x3 + 3x2 -4
f) y = -x3 + 3x2 – 5x + 2

1
3

3
2
g) y= − x − x

II.

h) y = x3 - 3x + 1

HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c
+ TXĐ :D = R, Haøm số chẵn
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2a x2+ b)

a, b trái dấu
y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0
⇔ x= 0; x1,2=±

−

b
2a

•KL: tăng? Giảm?
• Giá trị cực trị:
y(0)= c ; y(± −

∆
b
) =− 4a
2a

(a ≠0)

a,b cùng dấu
y/ = 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
•Giá trị cực trị : y(0) = c có một
cực trò

17


Có 3 cực trị

 +∞ (a > 0)

4
2
+ Giới hạn : xlim (ax + bx + c) = 
→±∞

 −∞ (a < 0)

+ Bảng biến thiên :
Th1 : y’= 0 có 3 nghiệm
a>0
x
y’
y

-∞

+∞

x1
0 +

-

-∞

-

+

0
0

-∞
Th2: y’ = 0 có 1 nghiệm
a>0
x -∞
y’
∞
+
y
a<0

+∞

+∞
-∞

+∞

+

+∞

yCT

-∞

0
0
yCĐ

+

O

x2
0
yCĐ

+

0
0

-∞

y

+

yCT

y

x
y’

+∞

yCT

x1
0 yCĐ

y

y

x2
0

yCT

a<0
x
y’

0
0
yCĐ

y

+∞

y

-∞
O

x

O
x
Vẽồ thị : • x c đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
cự

a>0

a<0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
18

a>0

x

a<0

Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?


55. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y = x4 – 2x2
b) y = f(x) = x4 + 2x2 -1.
x4
5
c) y = -x4 +2x2 + 3
d) y = − 3x 2 +
2
2
e) y =
III.

1 4
3
x − 3x 2 +
2
2

HÀM NHẤT BIẾN: y =

f)

ax + b
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )

cx + d

 d

 c

+ TXĐ : D = R −
+ Đạo haøm : y ' =

ad − bc
(cx + d )2

ad−bc >0
ad−bc < 0
y/>0, ∀ x ∈D
y/ < 0, ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trị
Hàm số đđđồng biến trên từng
Hàm so ángḥich biến trên từng
khoảng xác định
khoảng xác định
+ Tiệm cận:
• x=−

d
là tiệm cận đứng
c

19

vỡ ,
ã y=

lim



d
x ữ
c

ax + b
= + ( −∞ )
cx + d

a
là tiệm cận ngang
c

lim
x→−∞

Vì

ax + b
ax + b a
= xlim
=
cx + d →+∞ cx + d c

+ Bảng biến thiên:
+ Vẽ đồ thị: − Vẽ tiệm cận , điểm
đặc biệt
− Chú ý đồ thị đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận .
y

y

I
I
O

O

x

Dạng 1: hsố đồng biến

x

Dạng 2: hsố nghịch biến

56. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y =

2x − 1
x +1

b) y =

x −1
x+2

c) y =

d) y=

2x − 3
3− x

e) y =

x
x −1

f)

x +1
x −1

x+2
x−2

CÁC ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN
Đối với hàm hữu tỉ: dùng phép chia đa thức để tìm số dư rồi lý luận số dư
phải là số nguyên ( đa thức thương thường phải có hệ số ngun)
Đối với thương có hệ số khơng ngun: Quy đồng mẫu số các hệ số rơì lý
luận đa thức chia hết cho mẫu
BÀI TẬP

20


57. Cho hàm số y =

x +1
x −1

a. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị có tọa độ đều là số nguyên
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
58. Cho hàm số y =

3x + 2
x+2

a. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị có tọa độ đều là số nguyên
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
c. Tìm M trên đồ thị sao cho khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận
bằng nhau.
59. Cho hàm số y =

3− x
2 x −1

a. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị có tọa độ đều là số nguyên
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
( Lớp 12C1)
IV.
Đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối :

1. ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f ( x )

 f ( x ) khi f ( x ) ≥ 0

. Do đó đồ thị hàm số
− f ( x ) khi f ( x ) ≤ 0


Ta có , y = f ( x ) = 

y = f ( x ) có thể suy ra được từ đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) như sau:
-

Phần của (C) nằm trên trục hoành, ta giữ nguyên
Phần của (C) nằm dưới trục hoành, ta bỏ đi và thay vào đó là phần
đối xứng của phần vừa bỏ qua trục hoành.
2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f

Ta có y = f
tung
Với

( x)

( x)

là hàm chẵn . Do đó đồ thi của nó đối xứng qua trục

x ≥ 0 , ta có f x = f ( x ) . Vậy đồ thị của hàm y = f ( x ) có thể

suy ra được từ đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung ( ta tạm gọi là (C 1) ),
bỏ phần bên trái.
- Phần bên trái trục tung có được bằng cách lấy đối xứng của (C 1)
qua trục tung
3. CÁC TRƯỜNG HỢP KHÁC:
Trong trường hợp khơng có một trong 2 dạng trên, ta tiến hành như sau:
o Xét dấu biểu thức chứa trong giá trị tuyệt đối

21


o

Trong mỗi trường hợp xét ở trên, ta tìm quan hệ với hàm số
đã vẽ đồ thị để suy ra đồ thị của nó.

Bài tập:
60. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 . Từ đó suy ra đồ thị
3
2
hàm số y = − x + 3x − 1
3
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1 . Từ đó suy ra đồ thị
hàm số y = |x|3 – 3|x| + 1
c. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 . Từ đó suy ra đồ thị

hàm số y =| x |3 +3x 2 − 4
d. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x 3 − 6x + 1 . Từ đó suy ra đồ thị

3
hàm số y = 2x − 6x + 1

e. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -2x4 + 4x2 + 2. Từ đó suy ra đồ thị
hàm số y = |-2x4 + 4x2 + 2|
f. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 4 − 2x 2 − 1 . Từ đó suy ra đồ thị
4
2
hàm số y = x − 2x − 1

g. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 4 + x 2 − 2 . Từ đó suy ra đồ thị
4
2
hàm số y = x + x − 2

h. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
số y =
i.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

y=

22

−2 x − 4
x +1

2
1− x

−2 x − 4
. Từ đó suy ra đồ thị hàm
x +1

2
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
1− x


j.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

y=

2x −1
x +1

2x −1
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
x +1

Bài 6:

CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM
SỐ
VẤN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
I. Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
(C)

a. Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M (x0; y0) ∈ ( C)
 Tìm f’(x0)
 Thế vào phương trình tiếp tuyến có dạng y = f’(x 0 )(x- x0) + y0

b.

c.

Loại 2: Tiếp tuyến khi biết hệ số góc k:
Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Ta có f’(x0) = k, giải phương trình
tìm x0.
Thế x0 vào hàm số số y = f(x) tìm y0.
Viết phương trình tiếp tuyến : y = k(x – x0) + y0



Loại 3:Tiếp tuyến qua điểm A(x1; y1) ( nâng cao)
Viết phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc k:
y =k(x- x0) + y0 (*)
với k chưa biết



Điều kiện tiếp xúc: heä 

 f(x) = k(x − x 0 ) + y 0 (1)
có nghiệm
(2)
 f '(x) = k

Thế ( 2 ) vào (1) giải phương trình tìm x ( hoành độ tiếp
điểm), thế x vào ( 2) tính k, thế k vào (*) suy ra phương trình
tiếp tuyến.
 Chú ý:
1. Khi giải phải xác định được tiếp tuyến thuộc dạng nào rồi áp dụng
phương pháp .
2. Cho đường thẳng d: y = kx + b; d’: y = k’x + b’
Nếu đường thẳng d’ song song với d
thì d’ có hệ số góc k’ = k, b’ khác b
Nếu đường thẳng d’ vng góc với d
thì d’ có hệ số góc k’ = -1/k

23


Bài tập:
61. Cho hàm số số y = - x3 + 3x2 – 2, gọi đồ thị hàm số là ( C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hồnh độ là
nghiệm của phương trình y// = 0.
62. Cho hàm số y = 4x3 + x. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 13 x + 1
63. Cho hàm số y = x4 – 2x2 – 3 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm có hịanh độ x = 2 .
64. ( Khối D – 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y =

1 3 m 2 1
x − x + ( m là tham số). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có
3
2
3

hòanh độ bằng – 1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại M song song
với đường thẳng 5x – y = 0.
65. Cho hàm số y = x4 -2x2 + 1, gọi đồ thị của hàm số là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm cực đại của (C)
( đs: y = 1)

1 4
9
x − 2 x 2 − . Viết phương trình tiếp tuyến tại
4
4
giao điểm của đồ thị với trục Ox (đs: y = ± 15x – 45)

66. Cho hàm số f ( x ) =

67. Cho hàm số y =

2x +1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết
x−2

tiếp tuyến có hệ số góc là -5
68.

(D- 2007)Cho hàm số y =

2x
. Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết

x +1

tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB
có diện tích bằng ¼ ( Đs: M(-1/2; -2) và M(1; 1)
69. ( A – 2009) cho haøm số y =

x+2
.Viết phương trình tiếp tuyến của
2x + 3

đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung tại A, B và tam
giác OAB cân tại gốc toạ độ. ( đs: y = -x – 2)
70. Cho hàm số y =

2x −1
. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm
x −1

điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
đường thẳng IM. ( Đs: M(0;1) và M(2;3)

24


71. (D-2002) Cho hàm số y =

( 2m − 1) x − m2 . Tìm m để đồ thị hàm số
x −1

tiếp xúc với đường thẳng y = x

72. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1.V iết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số biết tiếp tuyến qua M( - 1; -9).
( Đs: y = 24x + 15 ; y =

15
21
x− )
4
4

73. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1 có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(

14
; −1 )
9
c.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi
qua điểm A(1;−1).
VẤN ĐỀ 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ
THỊ
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
Trong đó có đồ thị (C) của hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) (1)
+ (1) là phương trình hồnh độ giao điểm của

 y = f ( x) : (C )

 y = g (m) : ∆ song song hoac trung Ox

+ Do đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của ∆ và (C). Dựa vào đồ
thị ta biện luận
Bài tập:
74. Cho hàm số y = - x3 + 3x + 1
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
e. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x3 - 3x + m = 0
75. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt:x 3 + 3x2 + 1 =
m/2
76. Cho hàm số y =

1 4
3
x − 3x 2 +
2
2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x4 – 6x2 + 3 = m
77. Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

25