ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I:
1. Phát biểu và CM định lý về tính khả vi của tổng chuỗi hàm trong một đoạn thẳng.
2. Cho chuỗi hàm:
( )
1
n
n
u x
∞
=
∑
trong đó u
n
(x) là các hàm đơn điệu và xác định trên đoạn
[a;b]. Giả sử chuỗi
( )
1
n
n
u x
∞
=
∑
hội tụ tuyệt đối tại hai đầu mút x = a và x = b. CMR chuỗi
hàm
( )
1
n
n
u x
∞
=
∑
hội tụ đều trên [a,b].
Câu II:
1. Tính:
1 x
0
x e dx
α β
+∞
−
∫
với
,
α β
là các tham số thực
2. Giả sử A là tập mở trong R
n
và hàm số f: A → R liên tục trên A.
Đặt B =
( )
{ }
/x A f x
α β
∈ < <
trong đó α < β. CMR B là tập mở trong R
n
.
Câu III:
1. Phát biểu và CM định lý Fecmat về điều kiện cần của cực trị địa phương. Từ đó phát
biểu điều kiện cần cho cực trị địa phương của hàm f: A → R, trong đó A là một tập
trong R
n
.
2. Giả sử hàm số f liên tục và dương trong
[
)
0,+∞
. Đặt
( )
( )
( )
0
0
, 0
x
x
tf t dt
x x
f t dt
ϕ
= >
∫
∫
Tính ϕ’(x) với x > 0 và Chứng minh ϕ là hàm đơn điệu tăng trong
( )
0;+∞
Câu IV:
Cho hàm véc tơ f: R → R
2
t
a
(acost, asint) (a > 0)
và g: R
2
→ R là hàm khả vi trên R
2
. Đặt h = gof là hàm hợp của f và g.
CMR tồn tại hai điểm t
1
, t
2
trong R sao cho h(t
1
) = h(t
1
+ π) và h’(t
2
) = 0
(Hết)