Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA  HỌC TỰ NHIÊN
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

VŨ THỊ TUYỂN

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

1


Hà Nội 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA  HỌC TỰ NHIÊN
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

VŨ THỊ TUYỂN

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Phan Viết Thư

2

Hà Nội 2014
Mục lục

3


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn 
chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã tận 
tình giúp đỡ, hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả cũng xin chân 
thành cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học Khoa 
học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình đã 
giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo 
của các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những 
hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy 
cô, các bạn để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014
Học viên

Vũ Thị Tuyển

4


LỜI NÓI ĐẦU
    Bản luận văn giới thiệu về các không gian hàm . Các không gian là các không gian 
hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự 
nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là 

các không gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz 
Frigyes (nhà toán học gốc Hungary). Các không gian lập nên một lớp quan trọng của 
các không gian Banach trong giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng 
quan trọng trong vật lí, xác suất thống kê, toán tài chính, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực 
khác.
     Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các 
giáo trình giải tích hàm cũng như lí thuyết độ đo và tích phân cơ bản, các không gian 
này chưa được mô tả chi tiết. Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như 
đi sâu nghiên cứu về các không gian , nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này 
một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là: 
“Về một số không gian hàm thường gặp”.
     Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương I: Các kiến thức cơ sở.
Chương II: Các không gian hàm. 
Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều.   
     Trong chương I, tác giả nêu các khái niệm và các định lí cơ bản của giải tích hàm. 
Đó là khái niệm về không gian metric, không gian đo với khái niệm về độ đo, hàm đo 
được cùng với các tính chất hội tụ và khả tích, khái niệm về không gian định chuẩn, 
các khái niệm trong không gian tô pô. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng 
trong chương II và chương III của luận văn này.
         Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm  và các tính 
chất. Điều đặc biệt là ta coi các không gian đó là không gian con của một không gian 
lớn hơn  gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. Chính vì vậy, các 
không gian hàm lần lượt được trình bày là không gian , không gian (không gian các hàm 
đo được khả tích), không gian (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian 
(không gian các hàm số có lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X). Các không gian 
này được trình bày một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra 
cấu trúc thứ tự, xét chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù 

5

mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng 
luôn là mở rộng cho không gian phức. 
        Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không 
gian . Đó là sự hội tụ theo độ đo trong  và hội tụ yếu trong . Ngoài ra trong chương 
này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả 
tích đều trong hay . 
     Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa 
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các 
thầy cô và sự góp ý chân thành của các bạn đọc.
 
                                                                                   Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014
                                                                                                           H ọc viên

                                                                                                       Vũ Thị Tuyển 

6


Chương I.   Các kiến thức cơ sở
1.1        Không gian metric
Định nghĩa 1.1.   Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ   
các số thực, thỏa mãn các điều kiện:

i)

 

ii)

iii)
Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là không gian metric, kí 
hiệu là (X,d).
Hàm  là một metric trong tập (khoảng cách thông thường). Không gian metric tương 
ứng gọi là đường thẳng thực.
Định nghĩa 1.2.

a) Dãy trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu:
∀ε > 0, ∃N (ε ), ∀ m, n

N

 suy ra 

d (x m , x n ) < ε

b) Không gian metric X gọi là không gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của 
không gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của không gian này.

  Chẳng hạn, không gian Euclide 
gian đầy đủ.

ﾡ

n

 là không gian đầy đủ. Không gian 

C[ a ,b]

 là không 

Định nghĩa 1.3.   Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của E, 
được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu 

7

E

  


Định nghĩa 1.4   Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là:

i)

Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó 

ii)

Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu 

iii)

int E

 

Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E chứa 
A.

Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong không gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong X.

1.2 Không gian đo và Độ đo
Định nghĩa 1.5.
1) Cho tập rỗng, một họ  các tập con của X được gọi là một σ ­ đại số nếu nó thỏa 
mãn các điều kiện sau:
i.  và nếu  thì  trong đó 
ii. Hợp của đếm được các tập thuộc cũng thuộc .
2) Nếu  là σ ­ đại số các tập con của X thì cặp  gọi là một không gian đo được (đo 
được với  hoặc ­ đo được)
Định nghĩa 1.6.   Cho một không gian đo được 

1) Một ánh xạ  được gọi là một độ đo nếu:
i)

 

ii)

 có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa:
 

2) Nếu  là một độ đo xác định trên  thì bộ ba  gọi là một không gian đo.
Định nghĩa 1.7.   Cho  là một không gian đo. Khi đó

a)  là độ đo đủ, hay là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi và  thì  nghĩa 
là mọi tập con bỏ qua được của X là đo được.                      

b) là không gian xác suất nếu                                                       
           Trong trường hợp này,  gọi là một xác suất hay độ đo xác suất.

c)  là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay  gọi là không gian đo hoàn toàn hữu hạn nếu     
8


d)  là độ đo ­  hữu hạn, hay gọi là không gian đo ­ hữu hạn nếu tồn tại dãy  sao 
cho:

,                                                

e)   là độ đo nửa hữu hạn, hay  là một không gian đo nửa hữu hạn nếu với mọi và  
thì tồn tạithỏa mãn  và .

f)

 là độ đo khả địa phương hóa, hay  là một không gian đo khả địa phương hóa 
nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi , tồn tại một  thỏa mãn:

(i)

là bỏ qua được với mọi  

(ii)

Nếu và là bỏ qua được với mọi thì  là bỏ qua được.

Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của  trên.

g) Một tập  gọi là một nguyên tử đối với  hay ­ nguyên tử nếu  và với mỗi tập F 
thỏa mãn  , thì là bỏ qua được.                                                 

µ* : Σ

[ 0, ]

Định nghĩa 1.8.   Một ánh xạ 
 xác định trên 
gọi là một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện

i)

P (X) = { A : A

X}

 được 

µ * (A) �0, ∀ A �Σ

ii)

iii)

Nếu  thì  

Định lí 1.1 (Carathéodory).   Giả sử là một độ đo ngoài trên X và   là lớp tất cả các 
 

tập con A của X sao cho:
(*)

µ = µ*
      Khi đó là một σ ­ đại số và hàm tập 
 

Σ

(thu hẹp của trên ) là một độ đo 

trên Độ đo  gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài . Tập A thỏa mãn điều kiện (*) gọi 
là tập - đo được. 
Định lí 1.2 (thác triển độ đo).    Giả sử m là một độ đo trên đại số . Với mỗi 
ta đặt .

9

A

X

, 


thì  là một độ trên X và  đồng thời mọi tập thuộc σ ­ đại số  đều  đo được.

1.3        Độ đo Lebesgue 
1.3.1     Độ đo Lebesgue trên 
       Tồn tại một σ ­ đại số  các tập con của  mà mỗi  gọi là một tập đo được theo 

 
Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo  xác định trên  (gọi là độ đo Lebesgue trên 
) thỏa mãn các tính chất sau:

i)

Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được. 
Nếu I là khoảng với đầu mút a, b () thì  

ii)

Tập hữu hạn hoặc đếm được là  (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0

iii)

Tập là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi  tồn tại tập đóng F, tập mở G 
sao cho , 

iv)

Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập  cũng là tập (L) – đo được và 
, 

v)

Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn.

1.3.2     Độ đo Lebesgue trên 
       Trong không gian Euclid k chiều độ đo m có thể khuếch thành độ đo  trên một σ ­ 
đại số   Độ đo  này gọi là độ đo Lebesgue trên và các tập hợp thuộc lớp  gọi là tập đo 

 
k
F (C )
được (L) trong 
 chính là σ ­ đại số  Borel trong 
 

1.4        Hàm số đo được
Định nghĩa 1.9.   Cho một không gian X, một σ ­ đại số  những tập con của X, và một 
tập . Một hàm số  gọi là đo được trên tập A đối với σ ­ đại số nếu
  
       Khi trên  σ ­ đại số  có một độ đo μ ta nói  f(x) đo được đối với độ đo μ hay  μ – đo 
được.
      Trong trường hợp (σ ­ đại số Borel trong ) thì ta nói  f(x) là đo được theo nghĩa 
Borel, hay  f(x) là một hàm số Borel.

10


1.4.1    Cấu trúc của hàm số đo được
Định nghĩa 1.10.   Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu của A 
là hàm số  xác định  như sau:

χ A (x) =

0 khi x A
1 khi x A

                                          
Định nghĩa 1.11.   Một hàm số  f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và 

chỉ lấy một số hữu hạn giá trị. Gọi là các giá trị khác nhau của nó và nếu thì các tập  
đo được, rời nhau và ta có  
       Ngược lại, nếu  f(x) có dạng đó và các tập  đo được, rời nhau thì  f(x) là một 
hàm đơn giản
Định lí 1.3.   Mỗi hàm số  f(x) đo được trên tập đo được A là giới hạn của một dãy 
hàm đơn giản , 
                                               
       Nếu thì có thể chọn các  sao cho 

f n (x) 0

 và 

f n+1 (x)

f n (x)

 với mọi n và 

∀x

A

1.4.2   Các dạng hội tụ
Định nghĩa 1.12.  Trong không gian X bất kì, cho một σ ­ đại số  và  một độ đo μ trên . 
Ta nói hai hàm số  f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết  nếu:
 và 
      Hai hàm số  f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ nhiên, 
hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng tương 
đương với nhau.

Định lí 1.4.   Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm số 
đo được  f(x) cũng đều đo được.
Định nghĩa 1.13.   Dãy hàm  gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số  f(x) trên 
lim f n (x) = f (x)
B � A, B �Σ, µ (B) = 0
∀x A \ B
n
tồn tại 
 sao cho 
 với mọi 

A �Σ

 nếu 

Định nghĩa 1.14.  Cho những hàm số  và f(x) đo được trên một tập A. Ta nói dãy hội 
tụ theo độ đo μ tới  f(x) và viết   nếu 

11


        Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo độ 
đo và hội tụ hầu khắp nơi
Định lí 1.5.   Nếu một dãy đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm 
số  f(x) thì  f(x) đo được và nếu  thì 

1.5       Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.15.  Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số thực  
hay các số phức . Hàm  xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn các 
điều kiện sau:

i)

 và 

ii)

 với mọi  

iii)
Định nghĩa 1.16.  Không gian véc tơ E cùng với một chuẩn  trên nó là một không gian 
định chuẩn.
       Có thể chứng minh không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng 
cách sinh bởi chuẩn 
Chú ý: Ta kí hiệu  thay cho  và gọi là chuẩn của véc tơ x.
Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.
       Ví dụ: Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn , kí hiệu   là một không 
gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn:  
Định lí 1.6 (Hausdorff).   Tập con X trong  không gian Banach E là compact nếu và chỉ 
nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn.
Định nghĩa 1.17.  Không gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm 
được trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy sao cho với mọi tồn tại một dãy con 
Định nghĩa 1.18   Cho X là tập con của không gian định chuẩn E, ta nói X là:

i)

Tập bị chặn nếu  

ii)

Hoàn toàn bị chặn nếu với mọi  tồn tại tập hữu hạn  sao cho:

iii)

Com pắc nếu mọi dãy  có một dãy con  hội tụ tới một phần tử  

Nhận xét: a) Tập con hữu hạn  thỏa mãn (ii) gọi là một ­ lưới hữu hạn của X
      b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn.

12


Định nghĩa 1.19.   Cho X là một không gian vectơ. Một hàm số  f(x) xác định trên X và 
lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là một 
phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

i)

 với mọi  

ii)

 với mọi  và mọi số  

Giả sử X là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính  f gọi là 
bị chặn nếu có một hằng số  để cho 
Số  nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí hiệu 
là . Dễ dàng chứng minh 
       Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập 
thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian 

đối ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*.
      Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra, với 
mỗi phần tử f thuộc X*, đặt   thì X* trở thành một không gian định chuẩn. Hơn nữa X* 
còn là không gian Banach.
Định nghĩa 1.20.  Cho  là một không gian đo và  là một phiếm hàm cộng tính hữu hạn 
a) được gọi là liên tục tuyệt đối đối với  (thường viết ) nếu , tồn tại  thỏa mãn  với 
mọi  và    
b) được gọi là thực sự liên tục đối với  nếu , tồn tại ,  thỏa mãn  là hữu hạn và  với  

1.6       Tích phân Lebesgue
f :A

[−

,

]

 Định nghĩa 1.21.   Cho A là tập đo được, 
 là hàm đơn giản, đo được 
f1 , f 2 , f3 ,..., f n
trên A. Gọi 
 là các giá trị khác nhau đôi một của f(x). Đặt 
Ak = { x �A : f (x) = f k } , k = 1, 2,..., n
A=

n
k =1

và

   

Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo  là số  

13


Định lí 1.7.   Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm  là hàm đo được. Khi đó, tồn tại dãy 
đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được  hội tụ h.k.n về  f(x) trên A.
Định nghĩa 1.22.   Tích phân của hàm f(x) không âm trên A đối với độ đo  là:
Định nghĩa 1.23.   Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm  là hàm đo được trên A. Khi đó 
ta có:
 với 
Các hàm số  có tích phân tương ứng trên A là , 
Nếu hiệu  có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là :
       Các định lí sau cho ta các điều kiện qua giới hạn dưới dấu tích phân (đối với tích 
phân Lebesgue)
Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi).    Nếu  và đơn điệu tăng đến f(x) 
trên A thì
Định lí 1.9 (định lí Dini).   Nếu  là dãy hàm liên tục, đơn điệu, hội tụ điểm đến một 
hàm  f(x) liên tục trên  thì  hội tụ đều đến  f(x).
Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou).   Nếu  thì
Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue).   Nếu , g(x) khả tích và ( hội tụ h.k.n) 
hay hội tụ theo độ đo trên A thì 

1.7  Không gian tô pô
Định nghĩa 1.24.   Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ những tập con của X là một tô 
pô (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu:

14

i)

Hai tập đều thuộc 

ii)

 kín đối với phép giao hữu hạn, nghĩa là giao của một số hữu hạn tập thuộc 
họ  thì cũng thuộc họ đó.

iii)

 kín đối với phép hợp bất kì, nghĩa là hợp của một số bất kì (hữu hạn hoặc 
vô hạn) tập thuộc họ thì cũng thuộc họ đó.


Tập X cùng với một tô pô  trên X gọi là không gian tô pô  (hay không gian tô pô X). Các 
tập thuộc họ  gọi là tập mở.
Định nghĩa 1.25.   Cho X, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ  f đi từ X vào Y gọi là 
liên tục tại  nếu với mọi lân cận của điểm đều có một lân cận của điểm sao cho , 
nghĩa là  Ánh xạ  f  gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi  
    Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian 
metric vào một không gian metric khác.
Định lí 1.12.     Một ánh xạ  f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là liên tục 
khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i)

Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X)

(ii)

Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X)

    Cho  f  là một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tô pô  thì do toán tử  bảo 
toàn các phép toán tập nên sẽ là một tô pô trên X. Nếu X vốn đã có sẵn một tô pô thì 
định lí 1.12 cho biết rằng  f  là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi nghĩa là khi nghịch ảnh của 
tô pô trên Y (tức ) yếu hơn tô pô trên . Cũng từ đó ta thấy, nếu trên Y có một tô pô mà 
trên X chưa có tô pô thì có thể biến X thành không gian tô pô bằng cách gán cho nó tô 
pô đó là tô pô yếu nhất đảm bảo cho sự lien tục của ánh xạ  f.
     Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không gian 
metric. Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy hội tụ.
       Một họ S những tập con không rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu:

(i)

 

(ii)
Bây giờ cho một tô pô X. Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận của x 
đều bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ  f  đi từ một không gian tô pô X vào 
không gian tô pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc ta đều có 
Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, còn 
với tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta xét các 
không gian tô pô đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp điểm đều có 
hai lân cận  của sao cho Một không gian tôpô thỏa mãn điều kiện đó gọi là không 
gian Housdorff  (không gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô Housdoff  (tô pô tách).
Định lí 1.13.   Trong không gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều 
nhất một điểm.
Định nghĩa 1.26.    Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều có 

một lọc mạnh hơn hội tụ. 
15


Chương II.   Các không gian hàm
      Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian , và  trong ba mục 
tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không gian 
con của một không gian lớn hơn  gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo 
được. 

2.1       Không gian và 
       Nguyên tắc gần như đầu tiên của lý thuyết độ đo chính là các tập có độ đo không 
thường được bỏ qua. Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể thường 
(không luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần này là 
thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm 
số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua được. 

2.1.1    Không gian 
Định nghĩa 2.1.    Giả sử là một không gian đo bất kỳ. Ta viết , hay , là không gian của 
các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các tập con bỏ qua được của , 
Nghĩa là:
     Nếu , là tập ­ không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu  là ­ đo được ( đo được đối 
với ­ đại số bổ sung theo )
2.1.2    Tính chất cơ bản 
      Nếu  là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau đây, tương 
ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc. 
(a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong  thuộc vào  
(b) với mọi (nếu và , thì là đo được). 
(c)  với mọi .
(d)   với mọi . 

(e) Nếu  và  là Borel đo được, thì .

16


(f) Nếu  là một dãy trong  và  được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu 
khắp nơi trong , thì .
(g) Nếu   là một dãy trong   và  được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu 
khắp nơi trong , thì .
(h) Nếu  là một dãy trong   và  được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu 
khắp nơi trong , thì . 
(i) Nếu  là một dãy trong  và  được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu 
khắp nơi trong , thì .
(j) Nếu   là một dãy trong   và  được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu 
khắp nơi trong , thì .
(k)  thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của bằng nhau 
hầu khắp nơi đối với một hàm ­ đo được từ  vào  nào đó. 
2.1.3    Không gian  
Định nghĩa 2.2.    Giả sử  là một không gian đo bất kỳ. Khi đó  “ “  là một quan hệ 
tương đương trên  Viết , hoặc là , là tập các lớp tương đương trong   dưới quan hệ “ “. 
Với  viết  là lớp tương đương trong 
2.1.4    Cấu trúc tuyến tính của  
       Giả sử  là không gian đo bất kỳ, và đặt , . 
(a) Nếu  và   thì . Tương tự chúng ta có thể định nghĩa phép cộng trong   bởi cách đặt  
với tất cả  
(b) Nếu   và   thì   với mọi . Tương tự chúng ta có thể định nghĩa phép nhân vô hướng 
trên  bởi cách đặt  với tất cả 
(c)   là một không gian tuyến tính trên , với phần tử không  ở đây  là hàm có tập xác 
định là  và nhận giá trị , và phần tử đối 
  Thật vậy

(i)   với tất cả  ,
vì vậy   với tất cả   .
(ii)   với mọi , 
vì vậy  với mọi  
(iii)  với mọi 
vì vậy  với mọi  
(iv)  với mọi   
17


vì vậy  với mọi   
(v)  với tất cả   và   
vì vậy  với mọi và .
(vi)  với tất cả   
vì vậy  với tất cả  
(vii)  với tất cả vì vậy  với tất cả 
(viii) với tất cả vì vậy  với tất cả  
2.1.5    Cấu trúc thứ tự của 
         Giả sử  là không gian đo bất kỳ và đặt  
(a) Nếu , và , thì Vì vậy chúng ta có thể xác định một quan hệ  trên  bằng cách nói rằng 
nếu và chỉ nếu  
(b)  là một thứ tự một phần trên  Thật vậy, nếu  và  và , thì  Tương tự  với  và  Mặt 
khác, nếu   thì do   với mọi  Cuối cùng, nếu   và  và thì  vì vậy nếu  và  thì 
(c)  với  là một không gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một không gian tuyến 
tính với một thứ tự   thỏa mãn:
(i) nếu  thì với mọi  
(ii) nếu thì  với mọi  
     Thật vậy, nếu  và  thì  Nếu  và  thì  với mọi  
(d)  là một không gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một không gian tuyến tính thứ tự 
một phần thỏa mãn  được xác định với tất cả  

Chứng minh: 
         Lấy   sao cho  Khi đó ,  ta viết 
 với 
(domf  là miền xác định của hàm số f). 
       Với  bất kỳ,  ta có 

Suy ra với  bất kỳ, ta có 

18


Do vậy   trong  
(e) Với bất kỳ  ta có ; và nếu   thì  Nếu   thì 

vì vậy                            
 với tất cả 
(f) Nếu  là một hàm nhận giá trị thực, đặt  với  suy ra

 tất cả các hàm này đều xác định trên  Tương tự trong  đặt các toán tử  và ta có 
(g) Hiển nhiên, nếu  trong  tồn tại một  trong  sao cho  Thật vậy lấy  bất kỳ sao cho  
và đặt  thì 
2.1.6    Các tính chất quan trọng của  
Định nghĩa 2.3. 
(a) Một không gian Riesz  là Ác­si­mét nếu với bất kỳ (nghĩa là,  và ), có một  sao cho  
(b) Một không gian Riesz  là Dedekind ­đủ (hay ­thứ tự­đủ, hay đủ) nếu với mọi tập 
khác rỗng đếm được  bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong  
(c) Một không gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tự đủ, hay đủ) nếu với mọi tập khác 
rỗng  bị chặn trên trong  đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong  
Định lý 2.1.    Giả sử  là một không gian đo. Đặt  
(a)  là Ác­si­mét  và Dedekind ­đủ. 

(b) Nếu  là nửa­hữu hạn, thì  là Dedekind đủ nếu và chỉ nếu là khả địa phương hóa. 
Chứng minh:
Đặt  

(a)

(i) Nếu và , viết  như là  và  như là trong đó  Khi đó  là không bỏ qua được. Khi 
đó tồn tại  sao cho 

 là không bỏ qua được, vì Mặt khác  Vì  và  là tùy ý nên  là Ác­si­mét .
 
         (ii) Giả sử  là một tập khác rỗng đếm được có một cận trên  trong   Viết  như là   
 
trong đó  là một dãy trong   và  như là  trong đó  Đặt . Khi đó ta có  xác định trên  tại 

19


điểm bất kỳ   sao cho  với mọi  nghĩa là, với hầu hết ; vì vậy  Đặt  Nếu , lấy trong đó  
khi đó 
 với mọi   với mỗi  
                                    với hầu hết  với mỗi  
                                    
Do vậy  trong  Vì A là bất kỳ,  là Dedekind ­đủ. 

(b)

(i) Giả sử rằng  là địa phương hóa. 

 là một tập khác rỗng bất kỳ có cận trên  Đặt 

             là một hàm đo được từ X vào , 
 khi đó mọi phần tử của  có dạng  với  nào đó. Với mỗi  là họ các tập con của X có thể 
biểu diễn dưới dạng  với  nào đó; khi đó  
Do là địa phương hóa nên có một tập  là một cận trên đúng chủ yếu cho  Với  đặt 
chấp nhận  là cận trên đúng của một tập bị chặn trên, và  là  . Khi đó 
 với mỗi 
      Nếu , thì . Thật vậy với mỗi đặt 
thì   là bỏ qua được. Đặt Nếu , thì 
suy ra và do vậy  
       Nếu  là đo được và  với mỗi   thì  Đặt  với mỗi   Nếu , có một  sao cho  bây giờ , 
vì vậy  là bỏ qua được. Vì   là một cận trên đúng cốt yếu của  nên  là bỏ qua được với 
mỗi . Dẫn đến 
là bỏ qua được, và 
        Chú ý rằng chúng ta đang giả sử A khác rỗng và A có một cận trên  Lấy  bất kỳ 
và một hàm đo được   sao cho ; khi đó  với mỗi , vì vậy , và  phải hữu hạn hầu khắp 
nơi. Đặt  khi  ta có  và  vì vậy 
Trong đó  là các hàm đo được từ  và  là một cận trên của ; nghĩa là, 
 với   và  là một cận trên của . 

20


Điều này có nghĩa là  là cận trên nhỏ nhất của  trong  Do  là bất kỳ, nên  là Dedekind 
đủ. 
(ii) Giả sử rằng  là Dedekind đủ,  là nửa­hữu hạn,là một tập con tùy ý của  Đặt 
        Khi đó  bị chặn trên bởi   vì vậy có một cận trên bé nhất  Biểu diễn  như là  trong 
đó  là đo được, và đặt  Khi đó  là một cận trên đúng cốt yếu của  trong  Thật vậy, 
 Nếu  thì   vì vậy , nghĩa là,  với hầu hết và  là bỏ qua được. 
 Nếu  và  là bỏ qua được với mỗi  thì  với mỗi  nghĩa là,  với mỗi  vì vậy , nghĩa là,  . 
Tương tự  là bỏ qua được. 

      Do  tùy ý nên  là địa phương hóa. 
2.1.7    Cấu trúc nhân của 
      Giả sử   là một không gian đo bất kỳ,  
(a)  Nếu  và   thì Tương tự, ta định nghĩa phép nhân trong  bằng cách đặt  với tất cả  
(b) Với mọi  và  dễ dàng kiểm tra 
 trong đó  là hàm hằng nhận giá trị 1,

 nếu và chỉ nếu 
 nếu và chỉ nếu có một  sao cho và 
2.1.8    Hoạt động của các hàm Borel trên  
        Giả sử  là một không gian đo và  là một hàm Borel đo được. Khi đó  với mọi  và  
nếu . Vì vậy, ta có một hàm  được xác định bằng cách đặt  với mỗi  
        Ví dụ, nếu  và , ta xét  trong đó   với   
2.1.9    Không gian  phức 
        Giả sử  là một không gian đo. 
(a) Viết  cho không gian của các hàm nhận giá trị phức  f  thỏa mãn là một tập con có 
phần bù bỏ qua được của X và có một tập con có phần bù bỏ qua được  thỏa mãn   là 
21


đo được; nghĩa là, Im f và Re f  cùng thuộc . Tiếp theo,  sẽ là không gian gồm các lớp 
tương đương trong  dưới quan hệ tương đương “ “.
(b) Tương tự 2.1.4, dễ dàng mô tả phép cộng và phép nhân vô hướng trong . Cùng với 
hai phép toán đó,  là một không gian tuyến tính trên  Chúng không có cấu trúc thứ tự, 
nhưng chúng ta có thể xác định một `phần thực', là 
 là thực hầu khắp nơi},
hiển nhiên xác định được  không gian tuyến tính thực , và các ánh xạ tương ứng ,   sao 
cho  với mỗi u, Re(u)là phần thực của u, Im(u) là phần ảo của u.
     Hơn nữa, chúng ta có một ký hiệu của `trị tuyệt đối', viết là 
 với mỗi 

thỏa mãn  với  và .
        Hiển nhiên, ta vẫn còn một phép nhân trong thỏa mãn tất cả các công thức trong 
2.1.7. 

(c)

Với bất kỳ ,  u là cận trên đúng trong  của 

Thật vậy, nếu , thì  vì  là một cận trên của . Hơn nữa, nếu  và  với , ta biểu diễn u, 
v là  trong đó  và  là đo được. Với mỗi  đặt   Khi đó  Tương tự  với mỗi  là  có phần 
bù bỏ qua được. Dĩ nhiên  do đó  và   Vì v bất kỳ, là cận trên nhỏ nhất của . 

2.2       Không gian  
 là các lớp tương đương của các hàm khả tích. Không gian này mô tả rất nhiều 
        
các định lý về các hàm khả tích . Nó cũng có thể xuất hiện như là một không gian tự 
nhiên mà trong đó có thể tìm ra nhiều lời giải cho một lớp rất lớn các phương trình 
tích phân, và như là phần bổ sung cho không gian các hàm liên tục. 
2.2.1    Không gian  
      Giả sử   là một không gian đo bất kỳ. 
(a) Giả sử  là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của X, khả tích 
trên X. Khi đó , như đã định nghĩa trong 2.1.1, và với , chúng ta có  nếu và chỉ nếu có 
một   sao cho ; nếu ,   và  , thì .
(b) Định nghĩa 2.4.    là tập gồm các lớp tương đương của các phần tử của . Nếu  và  
thì . Tương tự chúng ta có thể xác định một hàm  trên  bằng cách viết   với mỗi  
(c) Ta viết   với (xác định bằng cách viết   với mỗi ).        Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra 
rằng nếu   thì ; và điều này là do  hầu khắp nơi trên . □
      Nếu   thì  do  với mỗi hàm khả tích  f .

22

(d) Nếu thì tồn tại một hàm ­ đo được, ­ khả tích  sao cho 
    Vì như đã chú ý trong 2.1.2, có một hàm đo được  sao cho ; nhưng tất nhiên  f  là khả 
tích bởi vì nó bằng nhau hầu khắp nơi với một hàm khả tích nào đó. 
 Định lý 2.2.    Giả sử là không gian đo bất kỳ. Khi đó  là một không gian con tuyến 
tính của   và  là một hàm tuyến tính. 
Chứng minh: Nếu  và  là các hàm khả tích sao cho ; khi đó  f + g và c f  là khả tích, vì 
vậy và thuộc vào  . Ngoài ra 
và 
 

2.2.2    Cấu trúc thứ tự của   
       Giả sử  là một không gian đo bất kỳ. 
(a)   có một cấu trúc thứ tự được suy ra từ (2.1.5); nghĩa là,  nếu và chỉ nếu  hầu khắp 
nơi. Là một không gian con tuyến tính của ,  phải là một không gian tuyến tính sắp thứ 
tự một phần (hai điều kiện của 2.1.5c là hiển nhiên theo tính chất của không gian con 
tuyến tính) .
        Chú ý rằng nếu  và  thì , bởi vì nếu là các hàm khả tích và  thì  
(b) Nếu  và   thì . Thật vậy, giả sử    sao cho , ; thì g là khả tích và , vì vậy f  khả tích 
và . 
(c) Đặc biệt,  với , và 
bởi vì  
(d) Do  với mỗi   
thuộc vào  với tất cả . Nhưng nếu  chắc chắn là chúng ta có 
 bởi vì điều này đúng với mọi , và vì ,   trong . Do vậy   là một không gian Riesz. 
(e) Chú ý rằng nếu , thì  nếu và chỉ nếu  với mỗi ; điều này là bởi vì nếu  f  là một hàm 
khả tích trên X và  với mỗi thì . Tổng quát hơn, nếu  và  với mỗi , thì . Cuối cùng nếu  
và   với mỗi , thì . 
(f) Nếu  trong , có một hàm không âm   sao cho . 

23


2.2.3    Chuẩn của  
        Giả sử   là một không gian đo bất kỳ. 
(a) Với Ta viết . Với , đặt , vì vậy  với mỗi . Khi đó  là một chuẩn trên Thật vậy, 
(i) Nếu   thì , bởi 241Es, vì vậy 
(ii) Nếu   và   thì 
(iii) Nếu   và , biểu diễn   là , trong đó ; thì . Bởi vì  là không âm, nó phải bằng 0 hầu 
khắp nơi, vì vậy  và  trong . 
(b) Do vậy  cùng với chuẩn , là một không gian định chuẩn và là một toán tử tuyến 
tính, nhận thấy rằng  bởi vì 
 với mỗi 
(c) Nếu  và , thì 
 
Đặc biệt với mỗi 
(d)  là không gian Riesz định chuẩn  thỏa mãn: 
 Nếu  và , thì 
(e) Tập   đóng trong . 
     Thật vậy, nếu   thì ; điều này là do nếu   và ,  với  f(x) và g(x) xác định và  hầu khắp 
nơi, vì vậy 
Điều này có nghĩa là nếu   và  , quả cầu   không giao với   trong đó  bởi vì  . Do vậy   là 
mở và   là đóng.□  
           Để có kết quả tiếp theo, chúng ta cần một biến thể của Định lý Levi. 
Bổ đề 2.3.   Giả sử  là một không gian đo và  là một dãy của các hàm nhận giá trị thực 
khả tích thỏa mãn  Khi đó là khả tích và
 
Chứng minh:
(a) Đầu tiên giả sử rằng mỗi  là không âm. Đặt  với mỗi ; khi đó   là tăng hầu khắp 

nơi, và 
24


 là hữu hạn,
vì vậy theo Định lý B.Levi  f  là khả tích và

 
Trong trường hợp này, tất nhiên là, 
(b) Trong trường hợp tổng quát, đặt , 
khi đó  và  là các hàm không âm khả tích, và 
Vì   và   đều khả tích. Mặt khác, do  , vì vậy 
Cuối cùng 
Định lý 2.4.   Với không gian đo  bất kỳ,  đầy đủ đối với chuẩn   
Chứng minh: 
     Giả sử   là một dãy Cauchy trong   sao cho  với mỗi . Chọn hàm khả tích   sao cho  ,  
với mỗi . Khi đó 
Vì   là khả tích, và  . Đặt   với mỗi n; khi đó , vì vậy 
với mỗi n. Do vậy  . Do   là túy ý nên  là đầy đủ. 
Định nghĩa 2.5.   Một dàn  Banach là một không gian Riesz U cùng với một chuẩn ||.|| 
trên U  thỏa mãn:
 (i)  khi mà  và , viết  thay cho , 
(ii) U là đầy đủ đối với chuẩn || ||. Theo tính chất của chuẩn trong  và theo định lí 2.2.3 
 
ta có không gian Riesz định chuẩn  là một dàn Banach. 
2.2.4.  là một không gian Riesz
   Ta xét không gian tuyến tính có thứ tự  theo cách đã sử dụng trong 2.1.5 – 2.1.7 cho 
Định lý 2.5.   Giả sử  là một không gian đo bất kỳ. Khi đó  là Dedekind đủ. 

25