Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán tìm giới hạn của hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


HOÀNG THỊ DIỆU HIỀN

PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ
SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN
TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn
Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng




é
ỵ ồ t
ợ ởt ố tữủ ự trồ t ừ số
ỡ ừ t t ồ õ ỡ s
ỹ số tử t õ
ợ số ỹ t
t
r ữỡ tr t P t tớ ữủ
tữỡ ố tr õ ợ ừ số ừ
ồ ý ừ ợ ởt t q ợ
t ồ s ú tú t
q ợ ừ số ữ ỷ ổ
t t tử ừ số t ừ
số t ợ ụ ữủ
ởt tr ỳ t õ P r
ụ ữ ỗ ữù ồ s ọ t ố tổ
t t ồ s t õ tr
ỷ ổ t ợ ừ
số t ụ tr tỹ r ởt số
t q
t ợ ừ số ồ s
P t rt t rt t t t
tr t t ự ữỡ
s ụ ữ ữỡ s t t
ợ ừ số ởt ổ t

P t tỹ t trỏ q trồ ừ ợ
số tr t ợ ố ữủ t s s ỡ



ữỡ s t t ợ ừ
số tổ qt ồ t

Pì PP

ế
t s ừ

ử ử ự
ự ữỡ t t ợ
ừ số t ự ữỡ s t r
t ợ số

ố tữủ ự


ố tữủ ự ữỡ ỷ

ổ tữớ


P ự ữỡ t ợ

số P ỗ ữù ồ s ọ

Pữỡ ự
ợ t

Pì PP

ế tổ
sỷ ử ữỡ ự s
t tờ ủ t s s
ỷ ử t tr ự ử ữỡ õ
tr ỵ tt ợ số
ỵ ỗ ữớ ữợ

ị ồ tỹ t ừ t
t õ tr t ỵ tt ự ử õ t sỷ ử
ữ t t ồ s ọ


✸
t♦→♥ ✈➔ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✈➔ s→♥❣
t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳

✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥
✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✸ ❝❤÷ì♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â✿
❈❤÷ì♥❣ ✶ ✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥
❈❤÷ì♥❣ ✷ ✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè
❈❤÷ì♥❣ ✸ ✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠
sè
❈ò♥❣ ✈î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚❤➛② ❣✐→♦ ❚❙✳ P❤↕♠ ◗✉þ ▼÷í✐✱ tæ✐
✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

✧P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❱⑨ ❙⑩◆● ❚❸❖

❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮✧ ❝❤♦
❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳


✹
❈❍×❒◆● ✶

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❇❷◆
✶✳✶✳ ❍⑨▼ ❙➮✳ ❍⑨▼ ❙➮ ✣❒◆ ✣■➏❯✳ ❍⑨▼ ❙➮ ❇➚
❈❍➄◆
✶✳✷✳ ❈⑩❈ P❍➆P ❚➑◆❍ ✣❸■ ❙➮ ❚❘➊◆ ❈⑩❈ ❍⑨▼
✶✳✸✳ ●■❰■ ❍❸◆ ❍⑨▼ ❙➮ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚
❈❒ ❇❷◆
❈❤♦

I

❧➔ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❝õ❛

✈➲ ♠ët ✤✐➸♠✳ ❑➼ ❤✐➺✉

I

R✱

❦❤æ♥❣ ré♥❣ ✈➔ ❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ t❤✉

❝❤➾ ❦❤♦↔♥❣ ✤â♥❣ ❝ò♥❣ ❝â ♠ót ✈î✐

❝❤➾ ❦❤♦↔♥❣ ♠ð ❝â ❝ò♥❣ ♠ót ✈î✐

I

o
✈➔

I

I

❆✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥✮
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✈æ ❝ò♥❣✮
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ♠ët ❜➯♥✮
❇✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè

✭❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❣✐î✐ ❤↕♥✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐✮
◆➳✉ f ♥❤➟♥ l ✈➔ l ❧➔♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ t↕✐ a✱ t❤➻ l = l ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳

◆➳✉ f : I → R ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥ t↕✐ a ∈ I
t❤➻ f ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳

✭❙û ❞ö♥❣ ❞➣② ✤➸ t❤➸ ❤✐➺♥ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè✮
✣➸ f : X → R ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a ∈ I ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❧➔✿
✈î✐ ♠å✐ ❞➣② (un )n∈N tr♦♥❣ I s❛♦ ❝❤♦ un → a ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ❝â

f (un ) → l ❦❤✐ n → ∞✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳


✺

❈❤♦ a ∈ I ∪ { − ∞; +∞}, f
R, (c, d) ∈ R2 ✳ ●✐↔ sû f ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳

: I → R, l ∈

✶✳ ◆➳✉ c < l✱ t❤➻ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : c < f (x)✳
✷✳ ◆➳✉ l < d✱ t❤➻ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : f (x) < d✳
✸✳ ◆➳✉ c < l < d✱ t❤➻ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : c < f (x) < d✳
✭❈❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✮
❈❤♦ a ∈ I ∪ { − ∞; +∞}, f : I → R, l ∈ R, (c, d) ∈ R2 ✳
●✐↔ sû f ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳

✶✳ ◆➳✉ c ≤ f (x) tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✱ t❤➻ c ≤ l✳
✷✳ ◆➳✉ f (x) ≤ d tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✱ t❤➻ l ≤ d✳
✸✳ ◆➳✉ c ≤ f (x) ≤ d tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✱ t❤➻ c ≤ l ≤ d✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳

✭✣à♥❤ ❧þ ❦➭♣✮

❈❤♦ f, g, h : I → R, a ∈ I ∪ {−∞; +∞} , l ∈ R✳
f (x) → l khi x → a
◆➳✉ h(x) → l khi x → a ✱ t❤➻ g ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a✳

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✼✳

◆➳✉

R)✳

❈❤♦ f, g : I → R, a ∈ I ∪ {−∞, +∞}✳

f (x) → +∞ khi x → a

❚r♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : f (x) ≤ g(x)

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳

❑❤✐ ✤â✿

✶✳

●✐↔ sû x→a
lim f (x) = L,

lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ❀

x→a

,

t❤➻ g(x) → +∞ khi x → a.

lim g(x) = M (L, M ∈

x→a


✻

✷✳

lim [f (x).g(x)] = L.M ❀

x→a

✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ ❈ ❧➔ ❤➡♥❣ sè t❤➻ x→a
lim [C.f (x)] = C.L❀

f (x)
L
✸✳ ◆➳✉ M = 0 t❤➻ x→a
lim
=
✳
g(x)
M
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳

✶✳

x→a

✷✳

lim

●✐↔ sû x→a
lim f (x) = L ∈ R✳ ❑❤✐ ✤â✿

lim |f (x)| = |L|❀

x→a

3

f (x) =

√
3

L❀

✸✳ ◆➳✉ f (x) ≥ 0 t❤➻ L ≥ 0 ✈➔ x→a
lim

f (x) =

√

L✳

✹✳ ◆➳✉ L = 0 ✈➔ g(x) ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a t❤➻
lim f (x).g(x) = 0✳
x→a
❈❤ó þ✿ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✶✱ ✷ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ❦❤✐ t❤❛② x
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽✳

→ a ❜ð✐ x → ±∞✳

❈❤♦ a ∈ I ∪ {−∞; +∞} , f, g : I → R✳

✶✳ ◆➳✉ x→a
lim f (x) = +∞ ✈➔ ♥➳✉ g ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥
❝õ❛ a✱ t❤➻✿
lim (f (x) + g(x)) = +∞

x→a

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣✿
lim f (x) = +∞
✯ x→a
lim g(x) = +∞

⇒ lim (f (x) + g(x)) = +∞✳

x→a

✯

lim f (x) = +∞
lim g(x) = l ∈ R∗+

x→a
x→a

x→a

⇒ lim (f (x) + g(x)) = +∞✳
x→a

✷✳ ◆➳✉ x→a
lim f (x) = +∞ ✈➔ ♥➳✉ g ❜à ❝❤➦♥ ❞÷î✐ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛
a ❜ð✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè t❤ü❝ sü ❞÷ì♥❣✱ t❤➻✿ lim (f (x).g(x)) = +∞
x→a
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣✿


✼

lim f (x) = +∞
lim g(x) = +∞

✯

⇒ lim (f (x).g(x)) = +∞✳

x→a

x→a

x→a

lim f (x) = +∞
lim g(x) = l ∈ R∗+

✯

x→a

⇒ lim (f (x).g(x)) = +∞✳
x→a

x→a

❈❤♦ (a, b) ∈ (R ∪ {−∞; +∞})2 s❛♦ ❝❤♦✿
a < b, f : (a; b) → R ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t➠♥❣✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳

✶✳ ◆➳✉ f ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥✱ t❤➻ f ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥ t↕✐ b ✈➔✿
limf = sup f (x).
b

x∈(a;b)

✷✳ ◆➳✉ f ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥✱ t❤➻ f ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥ ❧➔ +∞ t↕✐ b✳
◆➳✉ f : I → R ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t➠♥❣✱ t❤➻ f ❝â
♠ët ❣✐î✐ ❤↕♥ tr→✐ ✈➔ ♠ët ❣✐î✐ ❤↕♥ ♣❤↔✐ ❤ú✉ ❤↕♥ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ a
o
t❤✉ë❝ I ✱ ✈➔✿
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✾✳

lim f ≤ f (a) ≤ lim+ f.

x→a−

x→a

✶✳✹✳ ✣❸■ ▲×Ñ◆● ❱➷ ❈Ò◆● ❇➆ ✭❱❈❇✮ ❱⑨ ✣❸■
▲×Ñ◆● ❱➷ ❈Ò◆● ▲❰◆ ✭❱❈▲✮
✶✳✹✳✶✳ ✣↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❱❈❇
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦
❍➔♠ sè

α:I →R

α(x) → 0✱ a
x→a

❝â t❤➸ ❧➔

I

❣å✐ ❧➔ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❱❈❇ t↕✐

+∞

❤♦➦❝

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ✣➸ tç♥ t↕✐
❤➔♠ sè

α(x) = f (x) − l

❧➔ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ré♥❣ ❝õ❛

R✳

a∈I

♥➳✉ ♥❤÷

−∞✳

lim f (x) = l✱

x→a

❧➔ ❱❈❇ t↕✐

a✳

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❧➔



ỵ

t số ừ

ỵ

s

q

1 , 1

q

= o()

t

a

t

t

a

t

lim

xa

+


1

= lim

xa 1

t

a

q t t ọ




t t tr số


t t tr số

a

õ

i (i = 1, m)

j (j = 1, n)

t

m

i
lim i=1
xa n


.
xa

= lim
j

j=1

ú ỵ õ ú ỵ s
ợ
tữỡ ữỡ

ữủ
ệ ế
sỷ
số tr


f

X

tử t

ỗ t ởt số

>0

X

f

ởt



t

tử t ồ

x X

ởt t ủ số tỹ

õ r

x0 X

ợ ồ số ữỡ

s

x X, |x x0 | < |f (x) f (x0 | < .

f

tử tr t ủ

X



f


✾
❍➔♠ sè

f

❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠

x0

❣å✐ ❧➔ ❣✐→♥ ✤♦↕♥ t↕✐ ✤✐➸♠

♥➔②✳
❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ♥➳✉

x0 ∈ X

f

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ sè t❤ü❝

❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝æ ❧➟♣ ❝õ❛

X

t❤➻

f

❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ✤✐➸♠

✯ ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ sè sì ❝➜♣✳

X

x0 ✳

✈➔


✶✵
❈❍×❒◆● ✷

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚➐▼ ●■❰■
❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮
✷✳✶✳ ❚✃◆● ◗❯❆◆ ❱➋ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➑◆❍ ●■❰■ ❍❸◆
❍⑨▼ ❙➮ ❱⑨ ❈⑩❈ ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
✷✳✷✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
0
0

✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞ò♥❣ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥
❱➼ ❞ö ✷✳✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

❱➼ ❞ö ✷✳✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

x→0

1 − cosax
✳
x2

eax − ebx
✳
x→0
x
√
2
3
1 + x2 − e−2x
L = lim
✳
x→0
ln(1 + x2 )

✷✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✱
t❤➯♠✱ ❜ît✱ ♥❤➙♥ ❧÷ñ♥❣ ❧✐➯♥ ❤ñ♣
❱➼ ❞ö ✷✳✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

x + x2 + x3 + ... + xn − n
(m, n ∈ N∗ ).
x→1 x + x2 + x3 + ... + xm − m

L = lim

◆❤➟♥ ①➨t✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧♦↕✐ ♥➔② ❧➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤
♥❤➙♥ tû ✈î✐ ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣ ❧➔

❱➼ ❞ö ✷✳✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

x − x0 ✳
√
n
x−1
√
L = lim m
(m, n ∈ N∗ )✳
x→1
x−1

◆❤➟♥ ①➨t✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❧♦↕✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♥❤➙♥ ❝↔ tû ✈➔ ♠➝✉


✶✶

✈î✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝ ✤➸
trö❝ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû

x − x0

r❛ ❦❤ä✐ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝✳

√
❱➼ ❞ö ✷✳✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

x→0

1 + 2x −
x2

√
3

1 + 3x

✳

◆❤➟♥ ①➨t✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✤➸ t➼♥❤ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝
❝❤ù❛ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ❝ò♥❣ ❜➟❝ ❧➔ t❤➯♠✱ ❜ît ♠ët ❧÷ñ♥❣ ♥➔♦ ✤â✱
t→❝❤ t❤➔♥❤ ♥❤✐➲✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ rç✐ ♥❤➙♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳

✷✳✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤❛② t❤➳ ❱❈❇ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
(1 + mx)n − (1 + nx)m

✳
x→0
x2

❱➼ ❞ö ✷✳✼✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

❱➼ ❞ö ✷✳✽✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

❱➼ ❞ö ✷✳✾✳ ●✐↔ sû

xm − 1
✳
x→1 xn − 1

P (x) = a1 x + a2 x2 + ... + an xn

✈➔

m

❧➔ sè

♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
m

lim

x→0

1 + P (x) − 1
a1
= .
x
m

✷✳✸✳
❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
∞
∞
❱➼ ❞ö ✷✳✶✵✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

√
√
9x2 + 1 − 3 x2 + 4
√
L = lim √
✳
x→∞ 4 16x4 + 3 − 5 x4 + 7

✷✳✹✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍1

∞

❱➼ ❞ö ✷✳✶✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

1

L = lim (1 + sin 2x) x ✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L=

x→0

lim

x→+∞

x+1
x+2

4−3x
✳


✶✷

✷✳✺✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❈⑩❈ ❉❸◆● ❱➷
✣➚◆❍ ❑❍⑩❈
❱➼ ❞ö ✷✳✶✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

√
L = lim [ x2 − x + 3 + x]✳
x→∞

❱➼ ❞ö ✷✳✶✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ L

= lim

x→+∞

√
3

x3 + 3x2 −

√

x2 − 2x

❱➼ ❞ö ✷✳✶✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

x→1

m
n
−
m
1−x
1 − xn

❱➼ ❞ö ✷✳✶✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

, (m, n ∈ N∗ )✳

L = lim (1 − x) tan
x→1

πx
✳
2

✷✳✻✳ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ✣➄❈ ❇■➏❚
✷✳✻✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧
❆✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧
✶✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✶ ✭❦❤û ❞↕♥❣ 00 ✮
✷✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✷ ✭❦❤û ❞↕♥❣ ∞
✮
∞
❇✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧
❈✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✷✳✶✼✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✶✽✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✶✾✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✷✵✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

x4
✳
x→0 x2 + 2cosx − 2
xα
L = lim x (a > 1)✳
x→+∞ a
L = lim

1
x
−
✳
x→1 x − 1
ln x
π
L = lim x −
tan x✳
π
2
x→
2
L = lim

✳


✶✸

❱➼ ❞ö ✷✳✷✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

❱➼ ❞ö ✷✳✷✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

1
L = lim x 1 − x ✳
x→1

L = lim

x→0

1
s inx x2
✳
x

✷✳✻✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ t✉②➳♥
❆✳ ❚❤ü❝ tr↕♥❣ ✈➜♥ ✤➲
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ♠➔ ♣❤↔✐ ❦❤û ❞↕♥❣
✈æ ✤à♥❤
m

lim

x→x0

0
✤è✐ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❞↕♥❣✿
0
f (x) − n g(x)
(m, n, k tü ♥❤✐➯♥, 2 ≤ k ≤ min{m, n})✱
(x − x0 )k

t❛ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➯♠ ❜ît ♠ët ❧÷ñ♥❣ ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛
✈➝♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣å✐ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣✱ ❦❤✐ ➜② t❛ t❤÷í♥❣ ❣➦♣
✈➜♥ ✤➲ ❧➔ ❦❤û ✤÷ñ❝ ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤

0
0

♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ❣➦♣ ♣❤↔✐ ❞↕♥❣ ✈æ

∞−∞

♥➳✉ ♥❤÷ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣ ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳ ◆❣✉②➯♥ ♥❤➙♥ ❧➔

❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤

♠➔ t❛ ❦❤û s❛✉ ❦❤✐ t❤➯♠ ❜ît ❤➡♥❣ sè ✈➢♥❣✱ ❦❤æ♥❣

✤à♥❤

0
0

♣❤↔✐ ❧➔ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ❝ò♥❣ ❝➜♣✳
❱➜♥ ✤➲ ✤➦t r❛ ❧➔ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣ ✤â t➻♠ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸ t❤✉
✤÷ñ❝ ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤

0
0

♠➔ ✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ð tû ✈➔ ✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ð ♠➝✉ ❧➔

❝ò♥❣ ❝➜♣ ✤➸ ❝â t❤➸ ❦❤û ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❣➦♣ t➻♥❤
❤✉è♥❣ ❦❤û ✤÷ñ❝ ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ ♥➔② ❧↕✐ ❣➦♣ ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ ❦❤→❝✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ t✉②➳♥ s➩ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤÷ñ❝ ✈➜♥
✤➲ ♥➔②✳

❇✳ ❈→❝ ❜÷î❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥
●✐↔ sû ❤➔♠ sè
t✉②➳♥ ❝õ❛ ✤ç t❤à

y = f (x)

x0 ✳

❚❛ ✤➣ ❜✐➳t t✐➳♣

M0 ∈ (C)

❧➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛

❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐

(C) : y = f (x)

t↕✐


✶✹
❝→t t✉②➳♥
✤ç t❤à

M0 M

(C))✳

❝õ❛ ✤ç t❤à

❞➛♥ tî✐

lim

●✐↔ sû ❣✐î✐ ❤↕♥

(x − x0 )k

f (x) −

n

g(x)
k

x→x0

k(x) − h(x)

M0 (M, M0

x → x0

t❤➻

t❤✉ë❝

f (x)

✈➔

❧➔ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ✏✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✑✳

m

lim

M

❦❤✐

❱➔ ✈➻ ✈➟② ❝â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣ ❦❤✐

f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )

x→x0

(C)

(x − x0 )
✭y

= k(x)

✈➔

✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ❧➔✿

y = h(x)

❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐

x0 ✮✳

❑❤✐ ✤â t❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t❤❡♦ ❝→❝ ❜÷î❝ s❛✉✿

y = k(x)

✶✳ ❱✐➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè

y = h(x)

x0 ✱

t↕✐

❣✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❧➔
m

✷✳ ❚➼♥❤

lim

f (x) −

n

❤♦➦❝

y = t(x)✳

g(x)

(x − x0 )k
m
f (x) − t(x) t(x) − n g(x)
+
(x − x0 )k
(x − x0 )k

x→x0

= lim

x→x0

✳

❈✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ö ❧➔♠ rã ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❱➼ ❞ö ✷✳✷✸✳√❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

8x3 + x2 + 6x + 9 −
x3

L = lim

x→0

√

3

9x2 + 27x + 27

✳

❱➼ ❞ö ✷✳✷✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

√

L = lim

cos2x − 2x −

4

√

1 + 2x2 − 4x

x2

x→0

✳

✷✳✻✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥
❚❛②❧♦r
❆✳ P❤➛♥ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ sè
❇✳ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ❚❛②❧♦r

●✐↔ sû ❤➔♠ sè

f

❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✤➳♥ ❝➜♣

n

❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥

I = [α; β] ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ n+1 tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (α; β)✳ ◆➳✉ a, b ∈ I


✶✺
t❤➻ tç♥ t↕✐ ♠ët sè t❤ü❝
♥➳✉

a > b)

c

❣✐ú❛

a

✈➔

b (c ∈ (a; b)

♥➳✉

a, b, c ∈ (b; a)

s❛♦ ❝❤♦

f (a)
f (a)
(b − a) +
(b − a)2 + ...+
1!
2!
f (n) (a)
f (n+1) (c)
(b − a)n +
(b − a)n+1 .
n!
(n + 1)!

f (b) = f (a) +

✭✷✳✶✮

❈æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✮ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❚❛②❧♦r✱ ❜✐➸✉ t❤ù❝

Rn =

f (n+1) (c)
(b − a)n+1
(n + 1)!

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❞↕♥❣ ▲❛❣r❛♥❣✳
◆➳✉

a=0

t❤➻ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼❛❝❧❛✉r✐♥✳

❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼❛❝❧❛✉r✐♥✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✺ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ q✉❛♥ trå♥❣✿

x2
xn
+ ... +
+ o(xn )✳
2!
n!

✶✳

ex = 1 + x +

✷✳

sinx = x −

x2n−1
x3
+ ... + (−1)n−1
+ o(x2n )✳
3!
(2n − 1)!

✸✳

cosx = 1 −

x2
x2n
+ ... + (−1)n
+ o(x2n+1 )✳
2!
(2n)!

✹✳

✺✳

m(m − 1) 2
x + ...
2!
m(m − 1)...(m − n + 1) n
+
x + o(xn )✳
n!
(1 + x)m = 1 + mx +

ln(1 + x) = x −

x2
xn
+ ... + (−1)n−1

+ o(xn )✳
2
n

❈✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✷✳✷✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
❱➼ ❞ö ✷✳✷✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

√
sin(sinx) − x 3 1 − x2
L = lim
✳
x→0
x5
ex − e−x − 2x
L = lim
✳
x→0
x − sinx


✶✻
❈❍×❒◆● ✸

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❙⑩◆● ❚❸❖
❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆
❍⑨▼ ❙➮
✸✳✶✳ ❚❸❖ ❘❆ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ✣➎ ❉Ò◆● ❚➑◆❍
❈❍❻❚ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❚✃◆●✱ ❍■➏❯✱ ❚➑❈❍✱ ❚❍×❒◆●
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥✿

2x2 + ln x −

L = lim

x→1

ex
3

=2−

e
✳
3

✸✳✷✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● 00
✸✳✷✳✶✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥
❝õ❛ ❤➔♠ ❤ñ♣
✯ Þ t÷ð♥❣
❉ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð ♣❤➛♥ ✷ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣
✷✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝â
❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤

0
✳
0

✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥

s inx
= 1✱ t❛ ❧➜② ❤➔♠ f (u) ✈➔ ❝❤å♥ u0
x→0 x
sinf (u)
f (u) → 0✳ ❑❤✐ ✤â✿ lim
= 1✳
u→u0 f (u)

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✳ ❚ø
s❛♦ ❝❤♦

u → u0

t❤➻

lim

◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

sin(x − 1)
sin(x − 1) 1
1
= lim
.
= ✳
2
x→1 x − 1
x→1
x−1 x+1
2

L1 = lim


✶✼

x−1
1−x
= lim
x→1 sin 2(x − 1)
x→1 2 sin(x − 1).cos(x − 1)
1
x−1
1
1
= − lim
.
=− .
2 x→1 sin(x − 1) cos(x − 1)
2
2
cos2x − 1
−sin x
1
sin2 x
1
= lim
= lim
= − lim
=− ✳

2
2
x→0
x→0 2x
4x
2 x→1 x2
2
cos x
= −1✳
= lim
π x− π
x→
2
2
sin 3x
3
sin 3x 5x
3
= lim
= lim
.
= ✳
x→0 sin 5x
5 x→0 3x sin 5x
5

L2 = lim

L3
L4

L5

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✳ ❚ø ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥

ex − 1
= 1✱
x→0
x
lim

t❛ ❝â t❤➸

t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

e2x − 1
e2x − 1
= 2 lim
= 2✳
x→0
x→0
x
2x
2
2
2
e2 e2(x −1) − 1
e2x − e2
e2 .e2x −2 − e2
L2 = lim 2

= lim
= lim
x→1 x − 1
x→1
x→1
x2 − 1
x2 − 1
2
2
2(x
−1)
e e
−1
= 2 lim
= 2e2 .
x→1
2(x2 − 1)
2
2
ex − 1
2
ex − 1
2
L3 = lim
= lim
= ✳
3
2
x→∞
x→∞

3
3
x
x

L1 = lim

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✹✳ ❚ø ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥

ax − 1
= ln a✱
x→0
x
lim

t❤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿
2

2

2
a2x − 1
2
a2x − 1
=
lim
= ln a✳
L1 = lim
2
2

x→0
3x
3 x→0 2x 2
3
2
a2 ax −x−2 − 1
ax −x − a2
L2 = lim
= lim
x→2
x→2
x−2
x−2
2
a .(x + 1) a(x+1)(x−2) − 1
= lim
= 3a2 ln a.
x→2
(x + 1)(x − 2)

t❛ ❝â


✶✽

✸✳✷✳✷✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ❱❈❇ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
✯ Þ t÷ð♥❣
❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ❱❈❇ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦
r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➟♣ t➼❝❤ ❤♦➦❝ t❤÷ì♥❣
❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤â✳

✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✺✳ ❚❛ ❝â

sinx ∼ x, ex − 1 ∼ x✳

❚❛ s✉② r❛ ✤÷ñ❝

❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

L1 = lim

x→0

sin x
x
= lim = 1.
ex − 1 x→0 x

x2
2x
2sin
2.
1 − cos x
2 = lim
4 = lim 2x = 0✳
L2 = lim
= lim
x→0 sin x
x→0 sin x

x→0 x
x→0
4
4
4
1
3
1
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✻✳ ❚❛ ❝â x4 − x5 ∼ x4 , x4 + x6 ∼ x4 ✱ ♠ët
4
5
4
❝→❝❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ s✉② r❛ ✤÷ñ❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

1 4 3 5
x − x
L = lim 4 4 56 = lim
x→0 x + x
x→0
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✼✳ ❚❛ ❝â

1 4
x
1
4
= ✳
4
x
4

(1 + x)α − 1 ∼ αx +

α(α − 1) 2
x ✳ ❚❛ s✉②
2

r❛ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

(1 + x)5 − 1
5x + 10x2
=
lim
= lim 5 = 5✳
x→0
x→0 x + 2x2
x→0
x + 2x2
x2015 − 1
L2 = lim 2016
✳
x→1 x
−1
√
5
1 + 2x + 3x2 − x3 − 1
✳
L3 = lim
x→0
x

L1 = lim

✸✳✷✳✸✳ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ t✉②➳♥
✯ Þ t÷ð♥❣
❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ✤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥


✶✾

❝õ❛ ❤➔♠ sè ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤

0
0

❝❤ù❛ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ❝ò♥❣ ❜➟❝✳

✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✽✳
√ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥✿√
3

L = lim

x→1

3x2 − x + 6 − 4x3 + 2x2 − x − 1
✳
x−1

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✾✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥✿

√

L = lim

sin 2x + 4 −

3

7+

√

1 + 3x2

x

x→0

✳

✸✳✷✳✹✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✵✳ ❚ø ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥✿

ln(1 + x) = x −
sinx = x −

x2 x3
+
+ o(x3 )✱

2
3

x3
+ o(x3 )✳
6

❚❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

ln(1 + x) − sin x
2x2
x2 x3
x3
x−
+
−x+
+ o(x3 )
2
3
6
= lim
x→0
2x2
2
3
x
x
x 1
−
+ o(x3 )

−
2
2
2 2 = −1✳
= lim
=
lim
x→0
x→0
2x2
2
4

L = lim

x→0

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✶✳ ❚ø ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥✿

x5
x3
+
+ o(x5 )✱
6
120
x2 x3 x4
x5
ex = 1 + x +
+
+

+
+ o(x5 )✱
2
6
24 120
x2 x3 x4
x5
e−x = 1 − x +
−
+
−
+ o(x5 ✮✳
2
6
24 120
sin x = x −

❚❛ s✉② r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

2
− x3 + o(x5 )
2 sin x − ex + e−x
2
L = lim
= lim 3
=− .
x→0
x→0
x3
x3

3


✷✵

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✷✳ ❚ø ❦❤❛✐ tr✐➸♥

tan x = x +

x3
+ o(x3 )
3

✈➔ ❝→❝

❦❤❛✐ tr✐➸♥ tr➯♥✱ t❛ s✉② r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

x3
+ o(x3 )
1
sin x − tan x
2
= lim
=− .
L1 = lim
x→0
x→0
5x3
5x3
10

x3
+ o(x3 )
−
sin x − tan x
3
2
L2 = lim
= .
=
lim
2 3
x→0 2 sin x − ex + e−x
x→0
4
− x + o(x3 )
3
−

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✸✳ ❚❛ ❝â

4
e2x = 1 + 2x + 2x2 + x3 + o(x3 )✳
3

❚❛

s✉② r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

7
3

e2x − ex − x3 + o(x3 )
x + x2 + o(x3 )
6
2
= lim
L = lim
x→0
x→0
2x + 3x2
2x + 3x2
3
1 + x + o(x2 )
1
2
= lim
= .
x→0
2 + 3x
2
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✹✳ ❚❛ ❝â

x3 x5 x7
+
−
+ o(x8 ),
3!3
5!
7!
x
2

17 7
tanx = x +
+ x5 +
x + o(x8 ).
3
15
315
s inx = x −

❚❛ s✉② r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥✿

L = lim

x→0

tan(sin x) − sin(tan x)
✳
x7

✸✳✷✳✺✳ ❙û ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧
✯ Þ t÷ð♥❣
❙û ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝

[f (x)]g(x) = eg(x). ln f (x) (f (x) > 0)

✈➔ →♣

❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥
❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ ♥➔②✳

✷✶

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥
●✐↔✐✿
❚❛ ❝â

1
lim (1 + 2x) 2x = e

x→0

1
(1 + 2x) 2x − e
L = lim
✳
x→0
2x

♥➯♥

1
1
ln(1+2x)
(1 + 2x) 2x − e
e 2x
−e
L = lim
= lim
x→0

x→0
2x
2x
1
ln(1+2x)
2
ln(1 + 2x)
e 2x
+
. −
2
2x
2x(1 + 2x)
= lim
x→0
2
2x − (1 + 2x) ln(1 + 2x)
= e lim
x→0
4x2 (1 + 2x)
2 − [2 ln(1 + 2x) + 2]
−2 ln(1 + 2x)
= e lim
= e lim
2
x→0
x→0 8x + 24x2
8x + 24x
4
−

1
= e lim 1 + 2x = − e.
x→0 8 + 48x
2

✸✳✸✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● ∞
∞
(4 − x)40 (2x + 5)10
✳
x→∞
(3x − 1)50
√
5x2 + 2 + 9x4 − 1
√
❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ L = lim
✳
x→−∞
3x − 3 x6 − 5

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✼✳

L = lim

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✽✳
√ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥✿
√

L = lim

x→∞

4x2 + x + 3 + x2 + 4x + 5
√
✳
2x + x2 + 4

✸✳✹✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● 1

∞

✯ Þ t÷ð♥❣✿ ❚ø ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❤ñ♣✱
t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣


✷✷
✈æ ✤à♥❤

1∞ ✳

❈→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✿

1
lim (1 + x) x = e, lim

x→0

x→∞

1+

1
x

x

= e.

✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✾✳ ❚➼♥❤ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿

1
1
2
L1 = lim (3 − x) 4 − x = e 4 .
x→2

2x2 − x + 3
+x−1
x
L2 = lim
2
x→∞ 2x − x + 3
2x2 − x + 3
2x − 4
x
= lim 1 + 2
x→∞
2x − x + 3

2x2 − x + 3 2x − 4
.
2x − 4
2x − 4
x
= e2 .
= lim 1 + 2
x→∞
2x − x + 3
x2 + x + 1
L3 = lim (3 + x) x + 2
2x2

x→−2

1
.(x2 +x+1)
= lim [1 + (2 + x)] 2 + x
= e3 ✳
x→−2

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿

lim

x→+∞

1+

a

x

bx+c

= eab ✳

◆❣♦➔✐ r❛✱ t❛ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✤➸ t↕♦
r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ ♥➔②✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱
❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝

[f (x)]g(x) = eg(x). ln f (x) (f (x) > 0)

✈➔ →♣ ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧✱ t❛ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉✿


✷✸
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✶✳

2
2
lim
. ln(1+x)
x→0
tan x
L1 = lim (1 + x) tan x = e
x→0
2
1
lim
.

x→0
1 + x 1 + tan2 x = e2 .
=e
1
1
lim
. ln(x−1)
x→2
2
−
x
2
−
x
=e
L2 = lim (x − 1)
x→2

lim −

1
x−1

= e−1 .
πx
πx
tan
lim tan
. ln(4+x)
x→−3

2 =e
2
L3 = lim (4 + x)
x→−3
2 πx
1
−1 sin 2
lim
lim
.
πx .ln(4+x)
π
2
x→−3
x→−3
4+x
cot
−
2
2
=e
=e
= e π.
=e

x→2

✸✳✺✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍
❑❍⑩❈
1

x

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

cot x −

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

1
1
− x
x e −1

x→0

x→0

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐
 ❤↕♥

✳

✳



1 
L = lim tan x − π
✳
π
−x
x→
2
2
❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim [ln(2x + 1).cotx]✳
x→0

❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥

L = lim

x→+∞

(x + 2)

x+5
8x3 − 3x2 + 7

✳