Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phân tích ổn định vỏ cầu nhẫn vật liệu cơ tính biến thiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

NGUYỄN THỊ DUNG

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN 
VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


Hà Nội ­ Năm 2014

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

NGUYỄN THỊ DUNG

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN
VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

Chuyên ngành:    Cơ học vật thể rắn
Mã số:             60  44  21

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

 GS.TSKH.  ĐÀO HUY BÍCH

3


Hà Nội ­ Năm 2014

4


LỜI CẢM ƠN

Để  hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự  giúp đỡ  tận tình 
của thầy giáo hướng dẫn, sự ủng hộ của các thầy cô giáo trong khoa Toán 
– Cơ – Tin học và sự động viên của gia đình và bạn bè.
Với tất cả tình cảm của mình em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn  
sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Đào Huy Bích đã tận tình giúp  
đỡ hướng dẫn em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Đồng thời em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong  
khoa Toán– Cơ – Tin học đã nhiệt tình bảo ban, truyền đạt kiến thức kinh  
nghiệm cho em trong suốt 4 năm đại học.
Cuối cùng em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, các anh  
chị và bạn bè đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.

                                                           Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm  
2014
                                                                                     Học viên
   
                                                                               Nguyễn Thị Dung

1


MỤC LỤC
  
Trang
Mở 
đầu…………………………………………………………………...4
Chương 1: Các phương trình và hệ thức cơ sở
1.1:   Quan   hệ   biến   dạng   chuyển   vị   của   vỏ 
cầu…………………………..6
1.2:   Quan   hệ   nội   lực   biến   dạng   của   vỏ 
cầu……………………………...8
1.3: Phương trình cân bằng………………………………………........10
Chương 2: Phân tích ổn định của vỏ cầu
2.1: Trạng thái màng trước khi mất  ổn định……………………………
12
2.2: Phương trình  ổn  định………………………………………………
13
2.3:

 

Phương

 

pháp

 

………………………………………………….15
Chương 3: Khảo sát số về ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu 

2

giải 


                                        có cơ tính biến thiên
3.1:   Khảo   sát   ổn   định   của   vỏ   cầu   chỉ   chịu   tác   dụng   của   lực   tới  
hạn .....25
3.2: Khảo sát  ổn định của vỏ  cầu chỉ  chịu tác dụng của lực tới hạn  
q..27
3.3: Khảo sát  ổn định của vỏ  cầu chịu tác dụng đồng thời của p và 
q..30
Tài

 

liệu

 

tham 

khảo…………………………………………………....32
Phụ lục……………………………………………………...……….….

Mở đầu :   VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN ( FGM 

)
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là lớp vật liệu mới được tạo ra  
nhằm để cải thiện tính kết cấu trong cấu trúc không gian. FGM là một loại  
vật liệu composite có đặc điểm là những thuộc tính của chúng thay đổi từ 
từ  và liên tục từ  mặt này sang mặt khác của kết cấu do đó làm giảm  ứng  
suất tập trung, giảm  ứng suất nhiệt và  ứng suất dư. Những vật liệu này  
thường được sản xuất từ  hỗn hợp gốm và kim loại hoặc là tổ  hợp của  
nhiều kim loại khác nhau. Loại vật liệu này có thể  chịu được sự  thay đổi 
nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung 
động. Với những đặc điểm  ưu việt đó mà lớp vật liệu này đang được  

3


nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong thực tế đặc biệt là trong các nghành 
công nghiệp đóng tàu, hàng không, vũ trụ, cơ khí, xây dựng v.v...
Đáp ứng những đòi hỏi của thực tiễn, trong những năm gần đây, đã có 
nhiều công trình nghiên cứu cho kết quả  về sự   ổn định của kết cấu bằng  
loại vật liệu này. Đối tượng được nghiên cứu nhiều về   ổn định và dao 
động thường là bản hoặc vỏ. V. Birman [13] đã đưa ra các hệ  thức về  ổn 
định của bản composite FGM, E. Feldman và J. Abouli [5] nghiên cứu về ổn  
định đàn hồi của bản FGM bị  nén, J. N. Reddy [6] đưa ra phương pháp 
nghiên cứu về  sự  uốn của bản tròn và bản hình vành khăn FGM. Đối với 
vỏ  nón, Tani đã nghiên cứu tính mất  ổn định động của vỏ  nón cụt đẳng  
hướng dưới tải dọc trục tuần hoàn khi đã bỏ qua biến dạng uốn trước khi 
mất ổn định [10] và dưới áp lực thay đổi chu kỳ có tính đến các biến dạng  
này [11] bằng việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và phương pháp sai phân 
hữu hạn. Cũng sử  dụng phương pháp này ông đã phân tích ảnh hưởng của 
độ võng ban đầu đến ổn định nhiệt của vỏ nón cụt đẳng hướng [12]. Xu và 
đồng sự  sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa 

để  nghiên cứu dao động tự  do của vỏ  nón cụt dày bằng vật liệu composite  
lớp [14]. Paczos và Zielnica áp dụng phương pháp Ritz để nghiên cứu sự  ổn  
định của panel vỏ nón có lớp kép đàn hồi dẻo dưới tác động của tải nén và áp 
suất   [9].  Đào  Huy  Bích  và đồng sự   đã  sử   dụng  phương   pháp Bubnov  –  
Galerkin giải bài toán theo chuyển vị  và nghiên cứu  ổn định của panel nón 
FGM dưới tác dụng của lực nén và áp suất đều [1].
Nath và Alwar [7] đã sử dụng phương pháp khai triển chuỗi Chebyshev 
để  nghiên cứu và phân tích đáp  ứng phi tuyến tĩnh và động của vỏ  cầu  
được ngàm. Dumir đã tìm được đáp  ứng cực đại tức thời trong dao động 
phi tuyến của chỏm cầu trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải phân bố 

4


đều song song với trục đối xứng [8]. Phân tích phi tuyến về ổn định của vỏ 
cầu thoải FGM chịu áp suất ngoài bằng phương pháp giải tích gần đúng 
được trình bày trong công trình của Đào Huy Bích [3]. Gần đây, Đ. H. Bích 
cùng Đ.V.Dũng và L.K Hòa tiến hành phân tích ổn định phi tuyến tính tĩnh 
và động của vỏ  cầu FGM có tính đến  ảnh hưởng của nhiệt độ  [4]. Trong 
bài viết đó, các tác giả  đã sử  dụng lý thuyết vỏ  cổ  điển và phương pháp 
Bubnov – Galerkin để  xác định lực tới hạn tác dụng lên vỏ  trong trường 
hợp ổn định tĩnh và phương pháp số  Runge – Kutta để  nghiên cứu ổn định 
động của vỏ. Ngoài ra, Đ.H.Bích và H.V Tùng cũng đã công bố  kết quả 
phân tích phi tuyến vỏ  cầu đối xứng trục bằng vật liệu có cơ  tính biến  
thiên dưới tác dụng của lực phân bố  đều đồng thời chịu  ảnh hưởng của  
nhiệt độ [2]. 
Luận văn nghiên cứu sự ổn định của vỏ cầu nhẫn có cơ tính biên thiên  
dưới   tác   dụng   của   lực   song   song   với   trục   đối   xứng   và   áp   suất   ngoài. 
Phương pháp được sử dụng trong bài là phương pháp Bubnov – Galerkin và 
áp dụng tiêu chuẩn tĩnh về ổn định từ đó xác định lực tới hạn của vỏ cầu.  

Tác giả cũng đã sử dụng phần mềm Matlab để tính toán số nhằm khảo sát  
lực tới hạn khi các yếu tố  về  tính chất vật liệu, kích thước kết cấu thay  
đổi và đưa ra một vài nhận xét tương ứng.

Chương 1:     CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ  THỨC CƠ 
SỞ
Trong phần này trình bày mối quan hệ biến dạng, chuyển vị, mối quan hệ  
nội lực biến dạng, phương trình cân bằng của bài toán vỏ  cầu nhẫn chịu lực  
phân bố đều song song trục đối xứng và áp suất ngoài.

5


1.1     Quan hệ biến dạng, chuyển vị của vỏ cầu
Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy 

, bán kính vỏ cầu là R. Vỏ 

cầu được làm từ hỗn hợp kim loại và gốm. 
Gắn hệ trục tọa độ φ,   theo hướng kinh tuyến và vĩ tuyến tương ứng 
và z theo hướng bán kính của vỏ cầu như hình 1.

Hình 1.
Chất liệu của bề mặt ngoài và bề mặt trong của vỏ cầu tương ứng là 
gốm và kim loại. Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện được khả năng chịu 
nhiệt độ cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp. Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật 
liệu tránh bị đứt gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao 
trong thời gian rất ngắn. Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu 
thành phần thay đổi liên tục theo độ  dày của vỏ. Theo Javaheri và Eslami,  
modul đàn hồi E và hệ  số  Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật  

hàm lũy thừa.

6


Gọi 

 và   tương  ứng là các phân tố thể  tích của kim loại và gốm. 

Chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức:     
trong đó :

  với k là số mũ đặc trưng  tỉ phần khối lượng  (k≥0).
Modul đàn hồi

Để  đơn giản ta chọn 

 const vì sự  khác biệt của hệ  số  Poison của 

các vật liệu không lớn. Trong bài toán với vỏ cầu thoải để tính toán thuận 
tiện ta đặt: 
Khi đó:  

 với r là bán kính hình tròn song song với mặt đáy.  
  do  φ  nhỏ  nên  

 , 

. Bằng cách 

này các điểm ở mặt giữa có thể được biểu diễn theo 2 tọa độ     và    .
Theo lý thuyết Kirchoff­Love mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị 
và biến dạng được biểu diễn bởi:

trong đó:

7


 với:    u, v, w là chuyển vị của các điểm  ở mặt giữa theo hướng các  
tọa   độ ,  ?  và   z   tương   ứng.   ;   ;  

  là   biến   dạng   ở   mặt   giữa. 

 tương ứng là sự thay đổi độ cong và độ xoắn.

1.2     Quan hệ  nội lực biến dạng của vỏ cầu
Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng của vỏ cầu:

Tích phân các phương trình sức căng và momen theo độ  dày của vỏ 
cầu ta được biểu thức nội lực và momen tổng hợp. 

8


trong đó: 

 Với:

9

Từ (1.4) và (1.5) ta có :

Ngược lại từ (1.4) ta có :  

1.3    Phương trình cân bằng
Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy 

, bán kính vỏ cầu là R chịu 

tác dụng của  áp suất ngoài q và lực P song song với trục đối xứng.
Phương trình cân bằng cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng :

10


 

   Trong đó q là áp suất ngoài tác động lên vỏ.

       Sử  dụng (1.10) và (1.11) phương trình (1.12) được viết lại dưới  
dạng :

Сhương 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU
Trong chương này  nghiên cứu trạng thái màng trước khi vỏ  cầu mất  
ổn định. Từ  đó xây dựng phương trình  ổn định, tiến hành giải bài toán  
bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tĩnh và phương pháp Bubnov – Galerkin.

2.1     Trạng thái màng trước khi mất ổn định.

11


Trạng thái lực màng trước khi mất  ổn định của vỏ  cầu chịu lực phân 
bố  P song song với trục đối xứng và áp suất phân bố  đều q được xác định  
từ hệ phương trình sau:

trong đó tải trọng tác dụng lên toàn vòm cầu có dạng:

Thay vào (2.1) ta được:

suy ra:

Thay 

 vào (2.2) ta xác định được 

2.2     Phương trình ổn định.

12

:


Các phương trình  ổn định tuyến tính có thể  nhận được bằng cách sử 
dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh.
Ký hiệu 

 là chuyển vị ở trạng thái cân bằng xuất phát, ứng  

với   trạng   thái   cân   bằng   lân   cận   ta   có   chuyển   vị 
.
  (u;v;w) là chuyển vị   ở  trạng thái cân bằng lân cận tương  ứng cùng  
dạng tải trọng như  dạng cân bằng  

, 

   là gia số 

chuyển vị  nhỏ  tùy ý. ?

 là gia số lực tổng 

hợp và momen tổng hợp ứng  với 
Các lực tổng hợp và momen   ;  

; 

?

  và  

?

  đều thỏa 

mãn các phương trình (1.10); (1.11); (1.12), lấy hiệu hai phương trình nhận 
được tương ứng và tuyến tính hóa phương trình mới nhận này ta có:

Thay  (1.1)   vào   (1.4)   và   (1.5)   ta  được   các   lực   tổng   và   momen   theo  
chuyển vị   ở  hai trạng thái, qua đó xác định được gia số  chuyển vị, gia số 

13


lực và momen, giữ lại các đại lượng tuyến tính đối với 

và 

. Tiếp 

tục thay các đại lượng này vào (2.4); (2.5) và (2.6) ta thu được phương trình 
ổn định với các ẩn 

và 

. Để đơn giản và không nhầm lẫn, từ đây 

ta ký hiệu 

               (2.7)

trong đó: 

14


Điều kiện biên: Giả thiết cầu nhẫn tựa đơn tại 

 ta có:

2.3. Phương pháp giải.
Để  giải quyết bài toán ta sử  dụng phương pháp Bubnov – Galerkin,  
với điều kiện biên (2.9) được thỏa mãn nếu ta chọn: 

15


Thay (2.10) vào (2.7) ta được hệ phương trình tương ứng:

trong đó:

16


17


18


Vì 

, ta nhân cả hai vế của phương trình (2.11) và 

  nên 

(2.12) với   , phương trình (2.13) với     rồi lấy tích phân trên khoảng 
:

trong đó  

  lần lượt là vế  trái của các   phương trình (2.11), 

(2.12), (2.13). Từ đó ta được hệ phương trình:

19


                  

  (2.14)

Với: 

20


Hệ  phương trình (2.14) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ  khi  
định thức:

từ đó ta có:

21