Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN
VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN

Người hướng dẫn khoa học:PGS. TS. Phan Hồng Liên

Học viên: Phạm Thị Kim Thoa

Lý do chọn đề tài:
Mô hình vật lý hiện đại cho thấy có bốn loại tương tác cơ bản trong tự 
nhiên: tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu.
Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và 
tương tác yếu trong mô hình Glashow­ Weinberg­ Salam (lý thuyết điện yếu). Về 
sau, mô hình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mô hình chuẩn 
(Standard model) [5]. Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống 
nhất này. 
Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật 
lý, giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự 
lệch tia sáng khi đi gần Mặt Trời. Sau đó ông còn sử dụng lý thuyết này để mô tả 
mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ 

1


vào phương trình trường của mình. Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác 
bỏ hằng số này và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên 
cứu trong vài thập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này.
Xuất phát từ những vấn đề đề cập ở trên, em nhận thấy đề tài “ Trường 
vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn   ” là một vấn đề hay và thời sự nên 
muốn tìm hiểu, nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu: 
Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ    
để dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến 
hằng số hấp dẫn vũ trụ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng 
số vũ trụ theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay.
Phương pháp nghiên cứu
Luận văn được nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của 
Albert Einstein xây dựng cùng với nền tảng toán học cho nó là hình học Riemann 
trong không­thời gian 4 chiều Minkowski. Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô 
hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ   .
Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của 
luận văn gồm 3 chương 
Chương 1.  Giới thiệu tổng quan về  lý thuyết tương đối tổng quát của  
Einstein và tương tác hấp dẫn.

2


Chương 2. Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến 
tổng quát, trên cơ  sở  đó xây dựng các phương trình cho trường vô hướng hấp 
dẫn.
Chương 3. Trình bày khái quát về  hằng số  hấp dẫn vũ trụ  liên quan tới  
những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ.

3


Chương 1
Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật 

lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương 
trình vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

xµ

x 'µ = f

µ

( x)

(1.2.1)

Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến trên, ta đưa 
vào khái niệm tensor. Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được Lagrangian 
bất biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn nguyên lý bất 
biến.
Tensor

Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:
Tensor   phản   biến   (Contravariant)   cấp   n   là   tập   hợp   các   thành   phần 

T

1 2 ... n

( x) biến đổi theo quy luật:

T'

µ1µ2 ... µn

x 'µ1 x 'µ2
x 'µn ν1ν 2 ...ν n
( x ') = ν1
... ν n T
( x)                     (1.2.2)
ν2
x
x
x

Tensor   hiệp   biến   (Covariant)   cấp   n   là   tập   hợp   các   thành   phần 

Tµ1µ2 ...µn ( x)  biến đổi theo qui luật:
xν1 xν 2
xν n
T ' µ1µ2 ... µn ( x ') =
... ' µn Tν1ν 2 ...ν n ( x)                              (1.2.3)
x 'µ1 x 'µ2
x

4


Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n  
µ µ ...µ m

(còn gọi là Mixed (m, n) ­ tensor) là tập hợp các thành phần  Tν1ν12 ...2ν n

( x) biến 

đổi theo qui luật:
µ1µ2 ... µm

T 'ν1ν 2 ...ν n

x 'µ1 x 'µ2
x ' µ m x σ 1 xσ 2
xσ n λ1λ2 ...λm
( x ') = λ1
... λm
... 'ν n Tσ1σ 2 ...σ n ( x)            
x
x λ2
x
x 'ν1 x 'ν 2
x

                                                                                                                 (1.2.4)
Tensor độ cong
Khác với đạo hàm bình thường, các đạo hàm hiệp biến không giao hoán 
với nhau, tức là:

�
�Ѻ��
µ, ν �
µ ν
�
� −�ѹ

ν

µ

0                              

Ta hãy tính giao hoán tử  của các đạo hàm hiệp biến khi tác dụng lên một 
vectơ hiệp biến:

�
�Ѻ��
Gλ−(��
x)
µ, ν �
�
�

µ

ν

Gλ ( x)

ν

µ

Gλ ( x)                                       (1.3.1)

*Tính

�µ �ν Gλ ( x) = �µ (�ν Gλ ( x)) − Γσµν ( x)(�σ Gλ ( x)) − Γσµλ ( x)(�ν Gσ ( x))  
=
    =

µ

σ
ρ
ρ
( ν Gλ − Γνλ
Gσ ) − Γσµν ( σ Gλ − Γσλ
Gρ ) − Γσµλ ( ν Gσ − Γνσ
Gρ )

µ ν

Gλ −

µ

σ
σ
Γνλ
Gσ − Γνλ

µ

Gσ − Γσµν

ρ
−Γσµλ ν Gσ + Γσµλ Γνσ
Gρ

*Tính  ��
ν µ Gλ ( x ) , tương tự ta có:

5

σ

ρ
Gλ + Γσµν Γσλ
Gρ

  (1.3.2)


σ
σ
σ
��
ν µ Gλ ( x ) = ��
ν µ Gλ − �
ν Γ µλ Gσ − Γ µλ �
ν Gσ − Γνµ �
σ Gλ
σ
ρ

σ
+Γνµ
Γσλ
Gρ − Γνλ

σ
ρ
µ Gσ + Γνλ Γ µσ Gρ

                    (1.3.3)

Thay (1.3.3) và (1.3.3) vào (1.3.1) ta có:
σ
σ
σ
�
�µ , �ν �
Gλ ( x) = ��
µ ν Gλ − �
µ Γνλ Gσ − Γνλ �
µ Gσ − Γ µν �
σ Gλ
�
�
ρ
ρ
+Γσµν Γσλ
Gρ − Γσµλ ν Gσ + Γσµλ Γνσ
Gρ − ν µ Gλ + ν Γσµλ Gσ
σ

+Γσµλ ν Gσ + Γνµ

σ

σ
ρ
σ
Gλ − Γνµ
Γσλ
Gρ + Γνλ

µ

σ
ρ
Gσ − Γνλ
Γ µσ
Gρ

suy ra:
σ
σ
σ
ρ
σ
ρ
�
�µ , �ν �
Gλ ( x) = (�
ν Γ µλ − �

µ Γνλ )Gσ + (Γ µλ Γνσ − Γνλ Γ µσ )Gρ
�
�
σ
                          = ( ν Γ µλ −

(thay  σ
Đặt:   R

ρ, ρ
σ

.λνµ =

µ

σ
ρ
σ
ρ σ
Γνλ
+ Γ µλ
Γνρ
− Γνλ
Γ µρ )Gσ

σ)
ν

Γ σµλ −

�µ , �ν �
Vậy:   �
�
�Gλ ( x) =

µ

σ
ρ
σ
Γνλ
+ Γ µλ
Γνρ
− Γνλρ Γ σµρ     

Rσ .λνµ Gσ ( x)                                               (1.3.4)

σ
trong đó:  R .λνµ được gọi là tensor độ cong Riemann.

Phương trình Einstein và tác dụng bất biến
Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay hình  
học không gian quyết định đến nội dung vật lý? Einstein đi tìm mối quan hệ đó 
như sau:

6


Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L(x) thì tác  

4
dụng được định nghĩa bởi:  S = d xL( x )  cũng bất biến.

Trong lý thuyết tương đối rộng thì không vậy. Để xây dựng tác dụng bất  
biến thay vì  d 4 x  ta phải đi tìm phần tử bất biến tương ứng.
trong lý thuyết tương đối rộng, từ Lagrangian bất biến L(x) ta có thể lập 
tác dụng bất biến dạng:

S = d 4 x − g L( x)
Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất  ϕ ( x)  và trường hấp dẫn thể 
hiện trong metric tensor  g ( µλ ) ( x) . Einstein đã chọn  L(ϕ , g ) = R + L(ϕ ,

µ

ϕ ) ,  với

R = Lg . Do đó tác dụng bất biến mô tả hệ trường vật chất và trường hấp dẫn 
như sau:

S = d 4 x − g ( R + L (ϕ , �µϕ )) = S g + Sϕ                                             (1.5.5)
4
 với  S g = d x − g R  mô tả bản thân trường hấp dẫn.

4
        Sϕ = d x − g L (ϕ ,

ϕ )  mô tả trường vật chất tương tác với 

µ

trường hấp dẫn.
Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đối 
với tác dụng (1.5.5):

S = Sϕ + S g = 0                                                                                 (1.5.6)
Kết quả là:

7


c3
−1
  Sg = −
( g µν .R + Rµν )δ g µν − gd 4 x                        [13]  (1.5.14)
16π k 2
Tính   Sϕ  như sau:

Sϕ =

1
Tµν δ g µν − gd 4 x                                                      [13]  
2c

(1.5.15)
Như vậy phương trình trường Einstein (1916) là:

1
8π k
Gµν = Rµν − Rg µν = 4 Tµν
2

c
trong đó  Gµν  là tensor Einstein,  Rµν  tensor Ricci,  R  là độ cong vô hướng, 

Tµν  tensor năng­ xung lượng (một tập hợp các đại lượng xác định mật độ  năng 
lượng, mật độ xung lượng và mật độ ứng xuất).
Các tensor  Gµν  và  Rµν  là những hàm số của  g µν ­ mô tả hình học 
của không thời gian. Bên trái ta có không gian cong, còn bên phải là sự phân bố 
vật chất và năng lượng [6].
 Các kết quả này dẫn đến kết luận rằng tính chất hình học của không thời 
gian được quyết định bởi trường vật chất.
Qui  ước lấy các hằng số  c=1,  h = 1 , nhưng giữ  nguyên hằng số  Newton 
[24] thì có các phương trình Einstein là:

1
Rµν − Rg µν = 8π GTµν
2
(thay kí hiệu hằng số hấp dẫn Newton  k  bởi kí hiệu  G )

8


Sau này Einstein đã sửa đổi phương trình của mình bằng việc đưa 
thêm vào 
hằng số vũ trụ   Λ  bằng cách thay  Lg = R − 2Λ (không còn dạng  Lg = R ) 
nên phương trình dưới hình thức như sau:

1
Rµν − Rg µν + Λg µν = 8π GTµν
2
Đây chính là Phương trình vũ trụ Einstein (1917). Như vậy trong chương 

này ta đã nghiên cứu được tổng quan về Lý thuyết tương đối tổng quát của 
Einstein và tương tác hấp dẫn cùng với nền tảng toán học là hình học Riemann 
cong – là cơ sở lý thuyết cho các tính toán ở chương sau.

CHƯƠNG 2
NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT VÀ CÁC 
TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN
Tetrad
Tetrad (còn gọi là Vierbein) là bộ  bốn vector độc lập tuyến tính, thường  
được kí hiệu là ν ( a ) ( x) , trong đó a được gọi là chỉ số Vierbein, nhận các giá trị 0,  
1, 2, 3. Từ  bây giờ  ta kí hiệu các chữ  cái Latin thường a, b, c… là các chỉ  số 
Vierbein, còn các chữ  cái Hi lạp  µ ,ν , ρ ... vẫn là các chỉ  số  Lorentz của không ­ 
thời gian 4 chiều mà ta kí hiệu trong chương trước. Vierbein ν ( a ) ( x)  có các thành 
(a)
phần ν µ ( x) thoả mãn điều kiện:

ν µ( a ) ( x).ν ( b ) µ ( x) = η ab                                                                     (2.1.1)

9


trong đó η ab  là metric phẳng Minkowski:

η ab = diag (1, −1, −1, −1)
Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn
Từ định đề tetrad:

Dα qµa ( x) = 0                                                                                            (2.3.1)
và cấu trúc bậc bốn, cùng các phương trình của trường hấp dẫn ta có:

1 µ
(W
+ W
hµ ) B ( x ) = 0
2
1 µ
(W
− W
hµ )C ( x) = 0
2
Một cách tương tự cho tensor Ricci, chúng ta có:

Rµν =

1
(
2

σ
µ ν σ

h +W
hµν −

hµµ −
và       R =W

µ ν

ν

σ

µ

σ

hσν )                      (2.3.9)

hµν                                                           (2.3.10)

ta được:

1
1
(W
+ R+
2
2
1
1
(W
− R−
2
2

hσµ −

µ σ

hµν ) B ( x) = 0

µ σ

hµν )C ( x) = 0

Mặt khác, từ phương trình Einstein

10


1
Rg µν − Rµν = −8πγ Tµν + Λg µν
2
mà      R = 4Λ + 8πγ Tµµ                                                                                    
(2.3.12)
ta được:

(W
+2Λ) B( x) = j.B( x)
                                                                       (2.3.13)
(W
−2Λ)C ( x) = − j.C ( x)
trong đó  j

1
2

µ ν

hµν + 4πγ Tµµ  

Từ  các phương trình (2.3.13), chúng ta có thể  kết luận rằng các trường 
B(x) và C(x) như là các trường vô hướng với khối lượng bình phương bằng:

mB2 = − mC2 = 2Λ                                                                                    (2.3.14)
Điều này có nghĩa rằng một trong số  chúng có tính chất của hạt tachyon  
trong lý thuyết dây, trừ khi  Λ = 0 .
Trong giới hạn của lý thuyết hiệu dụng trong không – thời gian phẳng,  
Lagrangian tương tác cho những trường này và trường hấp dẫn có thể là:

L int ( Bhµν ) ~ (

1
4

1
L int (Chµν ) ~ −(
4

µ ν

hµν + 4πγ Tµµ ) B 2

µ ν

hµν + 4πγ Tµ )C
µ

                                              (2.3.15)

2

Chúng ta có thể nói rằng vấn đề được xem xét trên đây liên quan chặt chẽ 
đến khái niệm đối ngẫu. Điều đáng lưu ý là dự  đoán về  sự  tồn tại của một 
trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng số  hấp dẫn  Λ . Chúng có 

11


bản chất hấp dẫn và một trong số chúng là tachyon ( như trong lý thuyết dây ) – 
hạt có bình phương khối lượng âm.
CHƯƠNG III
VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ
Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ
Hằng số vũ trụ  lần đầu tiên được Einstein đưa ra năm 1917 như  một lực 
hấp dẫn để giữ cho vũ trụ ở trạng thái cân bằng tĩnh. Trong Vũ trụ học hiện đại, 
nó là ứng cử viên hàng đầu cho năng lượng tối, gây ra gia tốc của sự mở rộng vũ  
trụ [22].
Có nhiều nhà vũ trụ  học chủ  trương phục hồi thuật ngữ  hằng số vũ trụ 
trên cơ  sở  lý thuyết. Lý thuyết trường hiện đại liên kết thuật ngữ  này với mật 
độ  năng lượng của chân không. Mật độ  năng lượng của chân không  ρ vac  được 
định nghĩa với  ρ vac =

Λ
. Với mật độ  năng lượng này có thể  so sánh với các  
8π G

dạng khác của vật chất trong Vũ trụ, nó sẽ  đòi hỏi Vật lý mới: thêm một thuật 
ngữ  hằng số  vũ trụ  có ý nghĩa sâu sắc đối với vật lý hạt và sự  hiểu biết của 
chúng ta về các lực cơ bản của tự nhiên [26]. 

Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ
Bằng chứng việc quan sát vũ trụ đang gia tốc là rất mạnh mẽ, với nhiều 
thực nghiệm khác nhau bao gồm khoảng thời gian rất khác nhau, quy mô chiều 
dài, và quá trình vật lý, trong đó nếu coi vũ trụ là phẳng thì sẽ có một mật độ 
năng lượng khoảng 4% vật chất baryon, 23% vật chất tối, và 73% năng lượng 
tối (hằng số vũ trụ).

12


a, Vũ trụ xuất hiện trẻ hơn so với các ngôi sao lâu đời nhất. 
      Một vũ trụ phẳng chỉ tạo bởi vật chất sẽ chỉ có khoảng 9 tỷ năm tuổi ­ 
một vấn đề lớn cho rằng đây là vài tỷ năm trẻ hơn so với các ngôi sao lâu đời 
nhất. Mặt khác, một vũ trụ phẳng với 74% hằng số vũ trụ sẽ là khoảng 13,7 tỷ 
năm tuổi. Do đó, Vũ trụ phải đang gia tốc giải đã quyết được nghịch lý tuổi.
b, Có quá nhiều thiên hà xa xôi. 
           Sử dụng số lượng thiên hà giữa hai dịch chuyển đỏ như một biện 
pháp đo thể tích không gian, các nhà quan sát đã đo thể tích ở xa dường như quá 
lớn so với những tiên đoán về một vũ trụ giảm gia tốc. Một vũ trụ gia tốc có thể 
giải thích những quan sát mà không viện đến bất kỳ sự tiến hóa thiên hà lạ.

 

c, Độ phẳng quan sát được của vũ trụ mặc dù không đủ

 vật chất. 
Sử dụng các phép đo biến động nhiệt độ trong bức xạ nền vi sóng 
vũ trụ từ khi vũ trụ ~ 380.000 năm tuổi có thể kết luận rằng vũ trụ là không gian 
phẳng với một vài phần trăm. 

KẾT LUẬN
Các kết quả chính của luận văn:


Đã trình bày tổng quan và có hệ thống phương trình tổng quát 

Einstein cùng với hình học không gian Riemann cong.

13




Giới thiệu hình thức luận Tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến 

tổng quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho một loại trường vô 
hướng hấp dẫn thỏa mãn phương trình Klein – Gordon. Dự đoán về sự tồn 
tại của một trường vô hướng mà bình phương khối lượng liên quan đến 
hằng số hấp dẫn .


Chỉ ra vai trò của hằng số hấp dẫn vũ trụ trong một số lý 

thuyết. Thu nhận được một số bằng chứng thực nghiêm giải thích sự giãn 
nở vũ trụ.

14