Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ VĂN TIẾN

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG 
LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

                                                         
                                                   Hà Nội ­2013
1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ VĂN TIẾN

BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG 
LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã ngành: 60440103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
GS. TSKH. Toán­lý Nguyễn Xuân Hãn

                                                         

                                                   Hà Nội ­2013

2


MỤC LỤC
 Trang
 MỞ ĐẦU                                                                                                                                     
 
....................................................................................................................................
   
 5
Hình 1: Minh hoạ  rõ ràng những biến đổi phức tạp sử  dụng trong các tính toán  
 trên.                                                                                                                                         
 
.......................................................................................................................................
    
 13
 Chú ý rằng ,  và  là các cực toạ độ cầu và  là cực toạ độ trụ.                                       
 
......................................
    
 13
                                                    CHƯƠNG II                                                                          
 
.........................................................................
    
 21
 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL                                                          
 

.........................................................
    
 21
 CHƯƠNG III                                                                                                                            
 
...........................................................................................................................
    
 36
 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN                                         
 
........................................
    
 36
  3.1 Phép gần đúng Born                                                                                                      
 
.....................................................................................................
    
 36
 3.2 Vùng năng lượng cao                                                                                                      
 
.....................................................................................................
    
 37
 3.3 Thế Yukawa.                                                                                                                   
 
.................................................................................................................
    
 40
    Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ 
thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với 

 năng lượng của hạt.                                                                                                                  
 
.............................................................................................................
    
 40
   a)Trao đổi hạt vô hướng                                                                                                   
 
.................................................................................................
    
 40
 b)  Trao đổi hạt vectơ                                                                                                          
 
.........................................................................................................
    
 43
 c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử                                                           
 
..........................................................
    
 44
 KẾT LUẬN                                                                                                                                
 
...............................................................................................................................
    
 46
 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP         
 
........
    
 50

PHỤ  LỤC B: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ 
 VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ                                                                                                    
 
...................................................................................................
    
 53
PHỤ  LỤC C: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ 
 VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ                                                                                              
 
.............................................................................................
    
 56
 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3                      
 
.....................
    
 58

 

3


DANH MỤC HÌNH VẼ
                                                                                                                                 Trang
 MỞ ĐẦU                                                                                                                                     
 
....................................................................................................................................
   
 5

Hình 1: Minh hoạ  rõ ràng những biến đổi phức tạp sử  dụng trong các tính toán  
 trên.                                                                                                                                         
 
.......................................................................................................................................
    
 13
 Chú ý rằng ,  và  là các cực toạ độ cầu và  là cực toạ độ trụ.                                       
 
......................................
    
 13
                                                    CHƯƠNG II                                                                          
 
.........................................................................
    
 21
 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL                                                          
 
.........................................................
    
 21
 CHƯƠNG III                                                                                                                            
 
...........................................................................................................................
    
 36
 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN                                         
 
........................................
    

 36
  3.1 Phép gần đúng Born                                                                                                      
 
.....................................................................................................
    
 36
 3.2 Vùng năng lượng cao                                                                                                      
 
.....................................................................................................
    
 37
 3.3 Thế Yukawa.                                                                                                                   
 
.................................................................................................................
    
 40
    Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ 
thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với 
 năng lượng của hạt.                                                                                                                  
 
.............................................................................................................
    
 40
   a)Trao đổi hạt vô hướng                                                                                                   
 
.................................................................................................
    
 40
 b)  Trao đổi hạt vectơ                                                                                                          
 

.........................................................................................................
    
 43
 c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử                                                           
 
..........................................................
    
 44
 KẾT LUẬN                                                                                                                                
 
...............................................................................................................................
    
 46
 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP         
 
........
    
 50
PHỤ  LỤC B: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ 
 VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ                                                                                                    
 
...................................................................................................
    
 53
PHỤ  LỤC C: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ  TÁN XẠ 
 VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ                                                                                              
 
.............................................................................................
    
 56

 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3                      
 
.....................
    
 58
4


MỞ ĐẦU
Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong  
cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu 
được cho biên độ  tán xạ  được dùng rất rộng rãi để  phân tích số  liệu thực nghiệm  
của vật lý năng lượng cao [3­7]. 
Sử  dụng phép gần đúng này trên cơ  sở  phương trình chuẩn thế  Logunov­
Tavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu  
diễn eikonal cho biên độ  tán xạ  hạt  ở  vùng năng lượng cao và xung lượng truyền  
5


nhỏ  (góc tán xạ  nhỏ). Biểu diễn eikonal cho biên độ  tán xạ  này, cũng có thể  thu  
được khi người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ  Feynman, hay phương pháp tích  
phân phiếm hàm. Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế 
tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ  theo xung lượng  
của hạt trao đổi [12,13] như sau:
−1

2
�
�
� 2�

                               �
�p + �ki �− m �
� i �
�
�
�
�

−1

�
2�
�2 p �ki + �ki �  
i
� i
�

(0.1)
trong đó p là xung lượng của hạt tán xạ,  ki – là xung lượng của các hạt được trao 
đổi và trong công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng  ki k j = 0 . Phép gần đúng này được sử 
dụng để  nghiên cứu các quá trình tán xạ  năng lượng cao và được gọi là phép gần  
đúng quỹ  đạo thẳng hay gần đúng eikonal. Bức tranh vật lý  ở  đây như  sau: Các  
hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng  
tử   ảo, đồng thời không có sự  liên kết tương thích giữa các quá trình trao đổi  
riêng  biệt  với  nhau,   nên số   hạng tương  quan   ki k j   không  có  mặt  trong  hàm  
truyền (0.1).
           Các số hạng bổ chính cho biên độ  tán xạ  eikonal cho biên độ  tán xạ  hạt  ở 
vùng năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương 
tác giữa các hạt là tương tác hấp dẫn và các số  hạng bổ  chính liên quan đến lực  
hấp dẫn mạnh ở gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu 

ứng hấp dẫn lượng tử  /12­14/. Việc xác định những số  hạng bổ  chính cho biểu  
diễn tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề  còn bỏ 
ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng, các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý  
thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn số hạng trước nó.     
Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là  tìm bổ chính bậc nhất cho biên 
độ  tán xạ  eikonal của hạt dựa trên cơ  sở  phương trình chuẩn thế   ở  vùng năng  
lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử. 

6


Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở  đầu, ba chương, phần kết luận, 
tài liệu trích dẫn và các phụ lục.
Chương I. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ. Trong mục 1.1 xuất phát từ 
phương trình dừng Schrodinger của hạt  ở trường ngoài  theo định nghĩa ta tìm công 
thức eikonal cho biên độ tán xạ  ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ. 
Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần thiết cho phép sử 
dụng gần đúng này  được trình bầy ở mục 2.
            Chương II.  Biểu diễn eikonal và bổ  chính bậc nhất.  Trong mục 2.1 giới 
thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn thế  cho biên độ  tán xạ  và cho hàm sóng. 
Trong mục 2.2 xuất phát từ  phương trình chuẩn thế  trong biểu diễn tọa độ, thực 
r
hiện sự  khai triển hàm sóng và phương trình này theo xung lượng của hạt  p = p . 

Sử dụng phép khai triển này ta thu được biểu diễn eikonal  và số hạng bổ chính bậc 
nhất cho biên độ tán xạ.
Chương III. Bài toán trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết 
bằng phương pháp lặp theo gần  đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế 
tương tác). Ở mục 3.1  chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa 
phương pháp tính biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần  

đúng Born thấp nhất. Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển 
biên độ tán xạ theo lũy thừa của 1/p, tương tự  như phân tích ở chương II, kết quả 
số  hạng chính và số  hạng bổ  chính bậc nhất cho biên độ  tán xạ  cũng tìm được  ở 
mục 3.2. Trường thế Yukawa tương  ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử 
với spin khác nhau (trao đổ hạt vô hướng, hạt véctơ và graviton trong tương tác hấp  
dẫn ), đã được sử dụng để minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng  
bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal .
Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ  lục liên quan tới 
luận văn.
Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   h = c = 1   và metric Pauli:  
xµ = x µ = ( x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict = it ) = x µ                         

7


rr
rr
ab = aµ bµ = ab − a0b0 = ab + a4b4 = ak bk + a4b4    ( k = 1, 2,3)    

δ µν

�1
�
0
=�
�0
�
�0

0 0 0�

�
1 0 0�
0 1 0�
�
0 0 1�

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4.

8


CHƯƠNG I
BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ

       Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương  
trình  Schrodinger. Giả sử có hạt tán xạ ở trường ngoài, thì dáng điệu của hàm sóng 
của hạt bị tán xạ có thể tìm dưới dạng 
                                              ψ tán xa = ψ toi + f (θ , ϕ )

rr
ikr

e
r

Trong đó  f (θ , ϕ )  là biên độ tán xạ cần tìm. Nếu năng lượng của hạt là lớn, góc tán  
xạ  nhỏ, thì ta có thể  tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ  tán xạ­ hay người ta 
còn gọi là biểu diễn Glaubert [10], người đầu tiên thu được công thức này trong cơ 
học lượng tử.
              1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ

Quá   trình   tán   xạ   trong   cơ   học   lượng   tử   được   mô   tả   bởi   phương   trình 
Schrodinger:
r

r

ur

�2 + k2 �
ψ (r ) = U (r )ψ (r )
                          �
�
�

                  (1.1.1)

r
r 2mV(r )
2mE
ở  đây chúng ta đã sử  dụng các ký hiệu   k = 2   và   U (r ) =
. Nghiệm của 
h
h2
2

phương trình vi phân (1.1.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân:
r
r
r ur r
r

ψ(r ) = φ(r ) + d3r ' G0 ( r , r ')U (r ')ψ(r ')   

                  (1.1.2)

r

trong đó hàm  φ(r )  thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do:
r
2
2
�
�
�
+
k
φ
(
r
�
� )=0

                  (1.1.3)

Phương   trình   (1.1.3)   là   phương   trình   vi   phân   cấp   2   nên   nghiệm   có   dạng:  
rr
rr
r ur
r
φ(r ) = A0ei k.r + B0e−i k.r   và hàm Green  G0 (r , r ')  là nghiệm của phương trình:
r ur

r ur
2
2
(3)
�
�
�
+
k
G
(
r
,
r
')
=
δ
(
r
− r ')  
                  (1.1.4)
�
�0

9


Chúng ta tìm  G0 ( r , r ' ) theo công thức:
rr

rr
r r
r r
r
G0 ( r , r / ) = G ( r − r / )δ ( 3) ( r − r / ) d ( 3) r /

Chuyển phổ Fourier ta có:
rr
G0 ( r , r ' ) =

1

e

3
2

( 2π )

(

r r r
is r − r /

) g sr d 3 sr
( )                                                                (1.1.4a)

Vậy :
1

( � + k ) G (rr, rr ) =
2

2

/

0

(� +k )e
2

( 2π )

3

2

2

(

r r r
is r − r /

)

r
r
g ( s ) d ( 3) s

r r r
r r r
Nhưng :  �2 eis ( r −r ) = − s 2eis ( r − r )
/

/

1

( 3) r r/
Sử dụng: δ ( r − r ) =

( 2π )

e

3

(

r r r
is r − r /

) d 3 sr

Thay vào phương trình (1.1.4a) có:
1

( −s

�
( 2π )
3

2

r
g( s) =

2

+ k 2 )e

(

r r r
is r − r /

1

( 2π )

3

2

(k

2

) g sr d ( 3) sr =
( )

(

1

( 2π )

r r r
is r − r /

3

e
�

− s2 )

Đặt vào (1.1.4a) ta có:
rr
G0 ( r , r / ) =

1

( 2π )

3

e

(

r r r
is r − r /

)

1
d 3s  
2
k −s
2

r

Chuyển sang tọa độ cầu  ( s,θ , φ ) dọc theo trục  r  
/
/
Vì vậy  s ( r − r ) = s r − r cosθ

r r r

π

e

r r
is r − r / cosθ

π
r r
is r − r / cosθ

sin θ dθ = −

0

(

r r

r r
sin s r − r /
=2
r r
s r −r/

)

e
r r
is r − r /

0

Vì vậy:

10

) d 3sr


rr
G0 ( r , r / ) =

(

r r
s sin s r − r /

1
2
r
2 r
(2π ) r − r /

1
= 2 r r/
4π r − r

k 2 − s2

0

(

r r
s sin s r − r /

+

k −s
2

−

2

) ds

) ds

Chuyển sang tích phân phức :
rr
G0 ( r , r / ) =
=

i
r
2 r
8π r − r /

r r

r r

is r − r /
­is r − r /
+

+
�
�
se
se
�
�
ds − �
ds �=
��
s −k) ( s + k)
s −k) ( s +k) �
− (
− (
�
�

i
r r/ ( I1 − I 2 )
8π r − r
2

Sử dụng dạng tích phân Cauchy :

( )
￑ ( z − z ) = 2π f ( z )
f z

0

0

r r

is r − r /
�
se
I1 = ￑ �
�s + k
�

r r

is r − r /
�1
�
se
�
ds = 2π i �
�s − k
�s + k
�
�

r r

­is r − r /
�
se
I 2 = −￑ �

�s + k
�
rr
G0 ( r , r / ) = −

=−

1
r r/
4π r − r

�
r r
ik r − r /
� = iπ e
�
�
s =k
r r

�1
�se ­is r − r / �
r r
ik r − r /
�
� = −iπ e
ds = −2π i �
�s − k
�s + k �
�

�
�
s =− k
r r/
r r/
ik r − r
− ik r − r �
i
�
e
+e
=
r r/ �
�
�
8π r − r �
r r

r r

ik r − r /
− ik r − r /
�
e
+e
�
�
r r

�=

�
�

r r

�
�
�
�
r ur
r
Các điều kiện biên của hàm  φ(r )  và  G0 (r , r ')  được xác định từ  điều kiện biên của 
1
=−
4π

�Aeik r − r / Be− ik r − r /
�r r/ + r r/
r −r
�r − r
�

r

hàm   ψ(r ) .   Phương   trình   tích   phân   (1.1.2)   được   gọi   là   phương   trình   Lippman­
Schwinger. Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là:
r

rr

rr

            φ(r ) = A0ei k.r + B0e−i k.r  
r r

                             (1.1.5)
r r

− ik r − r '
� ik r − r '
rr
1 �e
e
A r r +B r r
       G0 (r , r ') = −
4π � r − r '
r −r'
�

�
� 
�
�

11

                  (1.1.6)


trong   (1.1.6)   chú   ý   rằng   A+B   =1.   Sử   dụng   phương   trình   (1.1.5)   và   (1.1.6),   thì 

nghiệm của phương trình Lippman­Schwinger (1.1.7) được viết lại dạng:
r r

r r

− ik r − r ' �
� ik r − r '
rr
rr
ur
r r
1
e
i k.r
− i k .r
3 � e
d r' A r r +B r r �
U (r )ψ (r ')
    ψ(r ) = A0e + B0e −
       (1.1.7)
� r −r'
4π
r −r' �
�
�
ur
Theo các điều kiện biên thì hàm sóng  ψ(r )  phải bao gồm hai thành phần: thành 

phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn 
lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (1.1.7) viết lại dưới dạng:

r r

ik r − r '
rr
ur
r r
1
e
i k .r
3
ψ
(
r
)
=
A
e
−
d
r
'
U
(
r
)ψ(r ')  
r
r
          
0
4π

r −r'

       (1.1.8)

Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm 
cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế  U(r)  
được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy đo (detectors)  
các  hiệu  ứng tán xạ  đặt rất xa vùng có chứa thế  U(r). Từ  đó, chúng ta có thể  kết 
luận rằng  r ' << r  và do đó suy ra gần đúng sau:
r ur
2
�
r .r '
�r ' ��
+ O�
           r − r ' = r −
�r �� 
r
� ��
�

       (1.1.9)

Từ  (1.1.9), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.1.8) dạng:
r ur

ψr

rr
r

r
1
1 ik ( r − r .rr ' ) r
i k .r
3
(r ) = A0e −
d r' e
U (r ')ψ(r ')
4π
r

                       

     (1.1.10)

Đặt Ao = 1, suy ra      
                                   ψ r
với                  f (θ, φ) = −

r

ikr

( r )   = ei kr + f (θ ,φ ) e
rr

r

rr
r

r
1
d3r ' e−i kr U ( r ')ψ(r ')  
4π

                (1.1.11)
                (1.1.12) 

r
r
r
được hiểu như là biên độ tán xạ  của hạt trong trường thế V(r),  ở đây  k = k . Bức 
r

tranh 
minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình vẽ 1:
y

ur
b'

x
r
ur
r
k'=k
r

φ'
θ

r
k, z

r
r = ( r sin θ cos φ , r sin θ sin φ , r cosθ )
ur
k ' = ( k sin θ cos φ , k sin θ sin φ , k cos θ )
r
k = ( 0,0, k )
u12
r
r ' = ( b 'cos φ ', b 'sin φ ', z ' )


Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên. 
r ur

r

ur

Chú ý rằng  r ,  k '  và  k  là các cực toạ độ cầu và  r '  là cực toạ độ trụ.

r ur

Thông thường, trong thực tế  có thể  coi  f (θ ,φ )  như   là một hàm của  k , k '  và 
r ur

do đó có thể  viết   f (θ ,φ ) = f ( k, k ') . Để  ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới  

r
f (θ ,φ )   được   chứa   đựng  trong  miền  tiệm  cận  của   Ψ (r )   nhng  các   đóng góp  tới 
f (θ ,φ )  trong phương trình (1.1.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác không.

        1.2. Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ.
    Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho  
quá trình bao gồm các góc tán xạ  nhỏ  và xung lượng vào lớn. Các điều kiện cần 
thiết là  

1
1
V
<< ka <<
<< 1   và  
. Trong miền giới hạn đó, biên độ  tán xạ 
V/ E
( V / E) 2
E

được viết dưới dạng :
           f (θ, φ) =

uur uur
uur
k
d2b ' e−i k '.b' �
ei χ( b') − 1� 
�
�
2π

       (1.2.1)

ở đây: 
+
uur
uur
1 2m
χ
(
b
')
=
−
dz' V(b ', z')
               
2
2k h −

       (1.2.2)

Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán xạ:
             f (θ, φ) = −

rr
r
r
1
d3r ' e−i kr V(r ')ψ(r ')  
4π

Và  từ phương trình Schrodinger  (1.1.3):
r
r ur
2
2
�
�
�
+
k
ψ
(
r
)
=
V
(
r
)ψ(r )
�
�
rr r
r
r
Ta đặt:  ψ(r ) = ei k.r φ(r )  và chọn  k  dọc theo hướng z. Khi đó ta có:

13

r
r
r
�
�2 + k 2 �
ψ ( r ) = V ( r )ψ ( r )
�
�
rr
r
r ikrrr r
2
2
ikr
�
�
+
k
e
φ
r
=
V
r
         � �
(
)
(
) e φ(r)
�

�
rr
rr
r
r
r rr r
� �2 eikr φ ( r ) + k 2 eikr φ ( r ) = V ( r ) eikr φ ( r )

(

)

rr
rr
r
r
r rr r
� ��
� eikr φ ( r ) �+ k 2 eikr φ ( r ) = V ( r ) eikr φ ( r )
�
�
rr
r � �ikrrr
r � 2 ikrrr r
r ikrrr r
ikr
� ��
ike
φ
r

+
�
e
�
φ
r
+
k
e
φ
r
=
V
r
(
)
(
)
(
)
(
)e φ(r)
�
� �
�
r
r
r
r
r

r
           � i 2 k 2 eikrrφ ( rr) + ikeikrr�φ ( rr) + ikeikrr�φ ( rr) + eikrr�2φ ( rr) + k 2eikrrφ ( rr) = V ( rr) eikrrφ ( rr)
rr
rr
rr
rr
r
r
r
r
r rr r
� −k 2 eikr φ ( r ) + 2ikeikr �φ ( r ) + eikr �2φ ( r ) + k 2eikr φ ( r ) = V ( r ) eikr φ ( r )
r
r
r
r
� 2ik �φ ( r ) − V ( r ) φ ( r ) = −�2φ ( r )
r
r
r
��
2ik �− V ( r ) �
φ ( r ) = −�2φ ( r )
�
�
r r
r
Sử dụng ký hiệu  r (b, z)  và chọn  k  dọc theo hướng z suy ra:

r � r

r
− V(b, z)�φ(b, z) = −�2φ(b, z)  
                             (1.2.3) 
z
�
r r
ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu  r (b, z) . Chúng ta có thể viết nghiệm của phương 
�
�

2ik
             �

trình (1.2.3) dạng:
+
r
r
r uur
uur
φ(b, z) = η( b, z) − �
d 2b ' �
dz' Ge (b, z, b ', z')�'2φ( b ', z').

                             (1.2.4)

−

r
η(b, z)  thoả mãn phương trình:
r � r

�
2
ik
−
U
(
b
, z)�η(b, z) = 0
� z
�
�

� 2ik

z

                  (1.2.5)

r
r
r
η b, z = U b, z η b, z

( )

( ) ( )

r
η b, z
r

1
� z r
=
U b, z
2ik
η b, z

( )
( )

( )

z
r
r
1
� ln η b , z =
U b , u du
2ik −

( )

( )

z

r

1
U ( b ,u ) du

r
2 ik
�η b, z = e −

( )
r

uur

Và hàm  Ge (b, z, b ', z')  thoả mãn:

14


r � r uur
r uur r ur
�
(2)
2
ik
−
U
(
b
,
z
)
G
(
b

,
z
,
b
',
z
')
=
δ
(
b
− b ')δ( z − z').  
� z
�e
�
�

                  (1.2.6)

Nghiệm của các phương trình (1.2.5) và (1.2.6) là:
1

z

r
2ik
η(b, z) = e −

r
duU ( b,u)

                  (1.2.7)
r

r

Với các điều kiện biên là  η(b) = η(b, z

− ) = 1  Và
1

z

r

r uur
1 (2) r uur r ur 2ik z' du.U ( b,u)
Ge (b, z, b ', z') =
δ (b − b ')δ(z − z')e
2ik
1

−

z

r

r

du.U ( b,u) + �
du.U ( b,u)
1 (2) r uur r ur 2ik z�
−
=
δ (b − b ')δ( z − z')e '
2ik
1
2ik

−

r
du.U ( b,u)

1
2ik

z

1 (2) r uur r ur
δ (b − b ')δ( z − z')e z'
.e −
2ik
r
1 (2) r uur r ur r
=
δ (b − b ')δ( z − z')η(b, z)η−1 (b, z).
2ik
=

 

                  (1.2.8)

r
du.U ( b,u)

Thay (1.2.7) và (1.2.8) vào (1.2.4), ta thu được:
+
r
r
r r
r
φ b, z = η b, z − �
d 2b / �
dz / Ge b , z , b / , z / �'2φ b , z / =

( )

( )

(

−

)

(

)

+
r
r
r
r
1 ( 2) r r/
2 /
= η b, z − �
d b �
dz /
δ b − b δ ( z − z / ) η b , z η −1 b , z �'2φ b / , z / =
2ik
−

( )

(

r
r
1
= η b, z −
η b, z
2ik

( )

r � 1

= η b, z �
1+
� 2ik
r � 1
= η b, z �
1+
� 2ik

( )
( )

( )
z

−
z

−

z

)

( ) ( )

(

)

r

r
dz /η −1 b , z �'2φ b , z / =

( )

−

(

)

r
r
�
dz /η −1 b , z �'2φ b , z / �=
�
2
r �2
� r / �
dz /η −1 b , z �
�b + '2 �
φ b, z �
z �
�
�

( )

(

( )

)

(

)

Vậy:
2
r
r � 1 z
r �2
�r �
−1
φ(b, z) = η( b, z) �
1−
dz' η ( b, z) �
�b + 2 �
φ( b, z') �                               (1.2.9)
z' �
�
� 2ik −
�

Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:
z
z'
r
r � z

�r ur
�
�r uur �
�r ur
� �
φ (b, z) = η (b, z) �1 + �dz' K �b, z', �b , �+ �dz' K �b, z', �b�, ��dz'' K �b, z'', b , �+ ...�                     (1.2.10)
z' � −
z' �−
z'' � �
�
�
�
� −

�r
�

ở đây biểu thức của  K �b, z,

ur
b

,

�
 tác động lên một hàm  g ( z )  bất kỳ cho bởi:
z�
�

15

2
�r
1 −1 r � 2
�r ur
�
K �b, z, �b , �g(z) = −
η (b, z) �
�b + 2 �
φ(b, z)g( z)                              (1.2.11)
z�
2ik
z �
�
�
rr r
r
r
Thay chuỗi của  φ(b, z)  trong (1.2.11) vào dạng của hàm  ψ(r ) = ei k.r φ(r )  ta được:
rr
r
r
ψ ( r ) = eikr φ ( r ) =
z
z
r � z ' �r ' r
�
�r ' r
� '' �r '' r

� �
= e η b, z �
1+ �
dz K �
b , z , �b , ' �+ �
dz ' K �
b , z , ��
,
dz K �
b , z , b , '' �+ ...�=
b
' �
�
z �−
z �−
z � �
�
�
�
� −
z
z'
z'
rr
rr
r
r
�r ' r
� ikrrr r
�r ' r

� '' �r '' r
�
ikr
ikr
'
'
= e η b , z + e η b , z dz K �
b , z , �b , ' �+ e η b , z �
dz K �
b , z , �b , ' ��
dz K �
b , z , �b , '' �+ ...
z �
z �
z �
�
�
�
−
−
−
rr
ikr

'

( )
( )

( )

'

( )

Thay vào biểu thức biên độ tán xạ(1.1.12) được :
1 3 ' − ikr'rr r r'
d r e U ( r )ψ ( r ) =
4π
z'
z'
rr
r z ' �r ' r
r ' r
1 3 ' − ikr'rr r � ikrrr r
� ikrrr r
� '' �r '' r
� �
ikr
' �
=− �
d r e U ( r ) �e η b , z + e η b , z �dz K �b , z , �b , ' �+ e η b , z �dz K �b , z , �b�
, ' ��dz K �b , z , b , '' �+ ...�
4π
z�
z �−
z � �
�
�
�

−
−
�
1 3 ' − ikr'rr r ikrrr r
=−
d r e U ( r ) e η b, z −
4π
z
z'
z'
r ' r
r ' r
1 3 ' − ikr'rr r ikrrr r
� 1 3 ' − ikr'rr r
� '' �r '' r
�
' �
' �
− �
d r e U ( r ) e η b , z �dz K �b , z , �b , ' �− �
d r e U ( r ) �dz K �b , z , �b�
, ' ��dz K �b , z , b , '' �+ ...
4π
z � 4π
z �−
z �
�
�
�
−

−
f ( θ ,φ ) = −

( )

( )

( )

( )

( )

cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:
f (θ, φ) = f (0) (θ, φ) + f (1) (θ, φ) + f (2) (θ, φ) + ...  

     (1.2.12)

ở đây:
f (0) (θ, φ) = −

+
r uur ur
uur
uur
1
2
i ( k − k ').r '
d
b

'
dz
'
e
U
(
b
',
z
)
η
(
b
', z')
4π � −�

f (1) (θ, φ) = −

+
z'
r uur ur
uur
uur
uur
1
2
i ( k − k ').r '
d
b
'

dz
'
e
U
(
b
',
z
')
η
(
b
',
z
')
dz
''
K
(
b
', z")                              (1.2.14)
�
4π � −�
−

f (2) (θ, φ) = −

+
z'
z"

r uur ur
uur
uur
uur
uur
1
2
i ( k − k ').r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
')
η
(
b
',
z
')
dz
''
K
(

b
',
z
")
dz''' K (b ', z''')      (1.2.15)
�
�
�
�
4π
−
−
−

�r
�

ur

chúng ta đã thay  K �b, z, Ѻb ,

                (1.2.13)

r
�
K
(
b
, z)  cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ của 
z�

�

các hàm e có thể  được tính như  sau với chú ý các vectơ  sử  dụng được minh hoạ 
trong hình 1 ở trên.

16


uur
k ' = ( k sin θ cos φ , k sin θ sin φ , k cos θ )
r
k = ( 0, 0, k )
ur
r ' = ( b 'cos φ ', b 'sin φ ', z ' )
rr
k .r ' = kz '
rr
k ' .r 'sin ( θ ) cos ( φ ) cos ( φ ' ) + kb 'sin ( θ ) sin ( φ ) sin ( φ ' ) kz 'cos ( θ )
r r r
i k − k ' .r ' = ikz '− ikb 'sin ( θ ) cos ( φ ) cos ( φ ' ) − ikb 'sin ( θ ) sin ( φ ) sin ( φ ' ) − ikz 'cos ( θ )
    r r r
(1.2.16
i k − k ' .r ' = ikz ' �
1 − cos ( θ ) �
cos ( φ ) cos ( φ ' ) + sin ( φ ) sin ( φ ' ) �
�
�− ikb 'sin ( θ ) �
�
�
r r r

θ
i k − k ' .r ' = ikz '.2sin 2 − ikb 'sin ( θ ) cos ( φ − φ ' )
2

(
(
(

)
)
)

)
Ta quan tâm tới hàm  f (0) (θ, φ)  trong khai triển trên. Từ  (1.2.7), (1.2.13) và (1.2.14) ta  
có thể viết:
f (0) (θ, φ) = −

              
=−

+
r uur ur
r
uur
1
2
d
b
'
dz' ei ( k− k ').r 'U (b ', z')η(b ', z')

�
�
4π
−
+

1
d2b ' �
dze
'
�
4π
−

− ikb'sin( θ )cos( φ−φ ') +ikz'.2sin2

θ
2

1

z'

r
2ik
U (b ', z')e −

uur
du.U ( b ',u)

           (1.2.17)

  ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ  là nhỏ.  
Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau:
             −ikb 'sin(θ) cos(φ − φ ') + ikz'.2sin2

θ
2

�θ �
−ikb ' θ cos(φ − φ ') + ikz'.2 � � 
�2 �

Xét ở gần đúng bậc nhất theo  θ  ta nhận được biểu thức sau
−ikb 'sin(θ) cos(φ − φ ') + ikz'.2sin2

θ
2

−ikb ' θ cos(φ − φ ')

                           (1.2.18)

Bây giờ ta viết lại (1.2.17) như sau:
2π

f

(0)

1

+

z'

r
2ik
dz
'.
U
(
b
', z')e −
�

1
(θ, φ) = −
d2b ' �
dφ 'e− ikb' θ cos( φ−φ')
�
4π
0
−

uur
du.U ( b ',u)

                             (1.2.19)

Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ  (1.2.18) cho phép chúng ta đưa ra ngoài tích 
+

r

. (b ', u) .
phân theo z trong (1.2.19) bằng cách thay thế bởi tích phân mới  duU
−

17


2π

+

z'

1

r' ' 2ik
1
2 '
' − ikb cos ( φ −φ )
'
f ( 0) ( θ , φ ) = −
d
b
d
φ

e
dz
U
b
,z e −
�
4π � �
0
−
2π

'

'

+

(

)

z'

1

r' ' 2ik
1
2 '
' − ikb cos( φ −φ )
' 2m

=−
d
b
d
φ
e
dz
V
b
,z e −
2
�
4π � �
h
0
−
'

'

2π

(

+

)

du

1 2m

2m
h2

z'

2π

'

(

+

)

z'

1 k2

r' ' 2ik E
1 k
2 '
' − ikb cos ( φ −φ )
'
−
=−
d
b

d
φ
e
dz
V
b
,z e
�
4π E � �
0
−
2

'

'

2π

(

+

)

'
'
r' '
k −ik
2 '

' − ikb cos( φ −φ )
'
=
d
b
d
φ
e
dz
V
b
� ,z e
2π i 2 E � �
0
−

2π

(

+

)

− ik
2E

r
− ikb' cos ( φ −φ ' ) −ik
k

=
d 2b ' �
dφ 'e
.
dz 'V b ' , z ' e
�
�
2π i
2E −
0
=

2π

'
'
k
2 '
' − ikb cos ( φ −φ )
d
b
d
φ
e
.e
2π i � �
0

− ik
2E

z'

(

(

r
duV b ' ,u

−

)

)

z'

)

(

)

(

r
duV b ' , z '

(

r
duV b ' , z '

−

− ik
2E

(

r
V b ' , z'

r
duV b ' , z '

r' ' 2ik h2
1 2m 2 '
' − ikb cos( φ −φ )
'
−
=−
d
b
d
φ
e
dz
V

b
,z e
�
4π h2 � �
0
−
'

z'
−

(

r
duU b ' ,u

(

)

)

)

r
duV b ' , z '

)

+

−

�− ik
2π
'
'
k
2 '
' − ikb cos ( φ −φ ) �2 E −
=
d b dφ e
.�
e
2π i � �
0
�
�

z'

(

r
duV b ' ,u

)

�
�

− 1�
�
�

Vậy suy ra :
uur
2π
k
b ' db ' �dφ '.e− ikb' θ cos( φ−φ ') �
eiχ ( b') − 1� 
�
�
�
0
2πi 0
uur
u
u
r
k1
dz' V(b ', z')  
ở đây   χ(b ') = −
2E 0

f (0) (θ, φ) =

                (1.2.20)
                (1.2.21)

Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc  φ  

và hơn nữa ta có thể  bỏ   φ '  trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ  bậc không 
được viết lại dạng:
f (0) (θ) =

k
i

0

b ' db ' J0 (kb ' θ) �
ei χ ( b') − 1�
�
� 

                (1.2.22)

ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức:
J0 (t ) =

1
2π

2π
0

dφe−it cosφ  

     (1.2.23)

18

Và tính chất  J0 ( t ) = J0 ( −t ) . Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng  
ta đa vào các biến không thứ  nguyên u và t với định nghĩa rằng  z = au  và  b = at , ở 
đây a là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên. Chúng ta cũng 
r

sử dụng V để biểu hiện giá trị  lớn nhất của hàm  V(r ) . Khi đó biên độ tán xạ trong 
(1.2.22) được viết lại dạng:
�ika VE ξ ( t ) �
1
f (θ ) = a ka tdtJ0 ( tkaθ ) �
e
− 1�
i 0
�
�
11 +
duV(at , au).
ở đây:  ξ ( t ) = −
2V −

                (1.2.24)
                (1.2.25)

Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh bằng biểu thức sau
dσ scatt (θ ) =| f (θ ) |2 d Ω =| f (θ ) |2 .2π sin(θ )dθ
�

dσ scatt (θ )

1
1
= 2 | f (θ ) |2 d Ω = 2 | f (θ ) |2 .2π sin(θ ) dθ
2
πa
πa
πa

Để tìm tiết diện tán xạ toàn phần ta lấy tích phân hai về biểu thức trên và thay biểu  
thức (1.2.24) vào ta nhận được
σ scatt (θ ) 2π
= 2 f (θ ). f * (θ ).sin(θ ) dθ
2
πa
πa
2
�+ ika VE ξ ( t ) ��−ika VE ξ ( t ') �
2π .a ( ka) 2
=
tdt
t
'
dt
'
e
− 1��
e
− 1�
�
�

�
0
0
π a2
�
��
�

                            

π
0

sin θ dθ J 0 ( tkaθ ) J 0 ( t ' kaθ )

�+ ika VE ξ ( t ) ��− ika VE ξ ( t ') �
= 2(ka ) 2 �tdt �t ' dt ' �
e
− 1��
e
− 1�
0
0
�
��
�
π
0

sin θ dθ J 0 ( tkaθ ) J 0 ( t ' kaθ )

Từ đó, chúng ta thu được biểu thức của tiết diện tán xạ toàn phần dạng:
�+ ika VEξ ( t ) ��− ika EVξ ( t ') � π
σ scatt
2
=
2
ka
tdt
t
'
dt
'
e
− 1��
e
− 1��sinθ dθ J0 ( tkaθ ) J0 ( t ' kaθ ) .
(
)
�
�
�
0
0
0
π a2
�
��
�

Dễ dàng nói rằng,  tỷ số 
xạ   θ . Nh vậy trong giới hạn 

     (1.2.26)

V
 là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán 
E

V
 <<1 chúng ta có thể viết  sinθ
E

hạn góc của tích phân theo  θ  từ  0 tới 

θ  và phạm vi giới 

V
.  Đa vào biến x = kaθ , tacó: 
E

19


�+ ika VEξ ( t ) ��− ika EV ξ ( t ') � ka VE
σ scatt
tdt �t ' dt ' �
e
− 1��
e

− 1�� xdxJ0 ( tx ) J0 ( t ' x ) .         (1.2.27)
            2 = 2�
0
0
0
πa
�
��
�

Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.24) và của  
tiết diện tán xạ toàn phần (1.2.26). Chúng ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học 
có thoả  mãn trong giới hạn eikonal hay không. Đối với các hố  thế không quá phức 
tạp, định lý quang học có thể viết được dạng:
                 σ scatt =

4π
Im f ( 0)
k

     (1.2.28)

Sử dụng phương trình (1.81) và (1.85) ta có:
              

σ scatt
� V
�
= 8 tdt sin2 �
ka ξ ( t ) �

.
2
0
πa
� E
�

     (1.2.29)

So sánh phương trình (1.2.27) và phương trình (1.2.29) ta kết luận rằng dưới điều 
2

kiện 

V
�V �
<< 1  và  ka � �<< 1  thì giới hạn eikonal không thoả  mãn các định lý quang  
E
�E �

học.                 Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong  
cơ  học lượng tử. Chúng ta có thể  làm cho các phép xấp xỉ  eikonal an toàn hơn từ 
việc vi phạm các định lý quang học hay không? Điều đó là có thể. Chúng ta nhận  
thấy rằng trong phương trình (1.2.27) nếu chúng ta lấy giới hạn   ka

V
E

  và sử 

dụng tính chất:
              

0

xdxJ0 ( tx ) J0 ( t ' x ) =

δ ( t − t ')
t

     (1.2.30)

     Khi đó chúng ta có chính xác biểu thức thoả  mãn định lý quang học. Như  vậy 
thông qua biểu thức của biên độ  tán xạ  trong giới hạn eikonal dẫn tới dưới những  
2

điều   kiện  

ka

V
V�
<< 1   và   ka �
�
�<< 1 ,   chúng   ta   cũng   cần   đặt   điều   kiện   bổ   sung  
E
�E �

V
>> 1  để cho nó thoả mãn các định lý quang học. Như vậy, phép xấp xỉ eikonal 

E

hợp lệ dưới những điều kiện:

20


1
1
V
<< ka <<
            << 1              và               V
V
E
E
E

( )

Điều kiện thứ hai có thể được viết lại dạng:        1 << ka

2

     (1.2.31)

V
<< ka .
E

     (1.2.32)

                                                   CHƯƠNG II
BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL
           Trong lý thuyết trường lượng tử  biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ   hai 
hạt  ở  vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ  có thể    thu được bằng ba 
cách:khác nhau i/ Lấy tổng các giản đồ  Feynman ; ii/ Phương pháp chuẩn thế  ; iii/  
Phương   pháp   tích   phân   phiếm   hàm.Trong   chương   này   sử   dụng   phép   gần   đúng  
eikonal ta tính biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ  trên 
cơ sở của phương trình chuẩn thế Logunov­Tavkhelidze [4­10]
         2.1 Phương trình chuẩn thế
      Phương trình chuẩn thế là cơ  bản trong trường lượng tử, chính vì vậy ta giới  
thiệu cách thu nhận phương trình này. Trong hình thức luận không­ thời gian 4  
chiều phương trình chuẩn thế được tổng quát hóa từ  phương trình schrodinger trên  
cơ sở hàm Green hai hạt 2­ thời điểm trong lý thuyết trường lượng tử. 
      Hàm sóng của hệ 2 – hạt được xác định như sau:
ψ n ( x, y ) = 0 T (Φ a ( x)Φ b ( y)) n                                                                                 (2.1.1) 

      Trong đó  Φ a ,b  ­ là các toán tử Heisenberg tương ứng với hạt  a và  b .  T là toán tử 
trật tự thời gian, gọi tắt là T­tích. Véctơ trạng thái  0  mô tả trạng thái chân không 
của hệ ,  n  mô tả trạng thái cùng với xung lượng toàn phần 4­chiều  Pn :
r

                Pˆn n = Pµ ,n n ,         Pµ = ( P0 , P)  

(2.1.2)

      Trong đó  Pµ  là toán tử năng – xung lượng 4 – chiều mà thành phần “không” của 
nó là Hamilton của hệ
                 Pˆ0 = H                                                                                                      (2.1.3)

21


        Phương trình cho hàm sóng ψ n ( x, y ) cũng có thể  thu được trên cơ  sở  phương 
trình đối với hàm Green 4 – thời điểm,   mà trong biểu diễn Heisenberg được xác  
định bằng công thức sau đây:
         Ga ,b ( x, y, x ', y ') = 0 T (Φ a ( x)Φ b ( y )Φ + a ( x ')Φ + b ( y ')) 0                                        (2.1.4)
       Trong biểu diễn tương tác
Ga ,b ( x, y, x ', y ') =

0 T (Φ a ( x)Φ b ( y )Φ + a ( x ')Φ + b ( y ') S ) 0
0S0

                                           (2.1.5)

       Trong đó  Φ a ,b ­ là các toán tử trường tự do, S – là ma trận tán xạ thông thường  
và việc lấy trung bình theo trạng thái chân không  0 của các trường không tương 
tác.
Như    vậy ta đã biết muốn tìm các hàm (2.1.3) và (2.1.1) trong lý thuyết trường 
lượng tử ta phải sử dụng phương trình cho hàm Green 4 – thời điểm sau:
Ga ,b ( x, y, x ', y ') = S a ( x − x ') Sb ( y − y ') + dx1dx2 dy1dy2 S a ( x − x1 ) S b ( y − y1 )
K ( x1 , y1 , x2 , y2 )Ga ,b ( x2 , y2 , x ', y ')

                  (2.1.6)

Trong đó  S a ,b ­ là hàm Green của các hạt tự do:
S a ( x − x ') = 0 T (Φ a ( x)Φ + a ( x ') 0 =
rr

i

exp i (kx)
dk 2
                                       (2.1.7) 
4
(2π )
p − ma2 + iε

Ta có :  kx = k0 x0 − kx
 Hàm sóng  (2.1.1) thỏa mãn phương trình thuần nhất:
ψ n ( x, y ) = dx1dx2 dy1dy2 S a ( x − x1 )Sb ( y − y1 ) K ( x1 , y1 , x2 , y2 )ψ n ( x2 , y2 )                          (2.1.8)
     Cần khẳng định  K ( x, y, x ', y ') là nhân của phương trình và sẽ  tìm được bằng lý 
thuyết nhiều loạn. Xác định  ảnh Fourier của nó có mặt trong phương trình (2.1.6) 
bằng cách dưới đây:
Ga ,b ( x, y, x ', y ') =

1
dpdqdp ' dq ' Ga ,b ( p, q, p ', q ') exp(ipx + iqy − ip ' x '− iq ' y ')        (2.1.9)
(2π )12

� Ga ,b ( x2 , y2 , x ', y ') =

1
dpdqdp ' dq ' Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ') exp(ip1 x2 + iq1 y2 − ip ' x '− iq ' y ')
(2π )12

1
dpdqdp ' dq 'exp(ipx + iqy − ip ' x '− iq ' y ') K ( p, q, p ', q ')
(2π )12
1
� K ( x1 , y1 , x2 , y2 ) =

dp dq1dp ' dq 'exp(ipx1 + iqy1 − ip ' x2 − iq ' y2 ) �K ( p, q, p ', q ')
1
(2π )12
i
exp i ( x − x ') p
i
exp i ( px − p ' x ')
S a ( x − x ') =
dp 2
=
dpdp ' δ ( p − p ')
4 �
2
4 �
(2π )
p − ma + iε
(2π )
p 2 − ma2 + iε
i
exp i( px − p1 x1 )
S a ( x − x1 ) =
dpdp1δ ( p − p1 )
                                                  (2.1.10)
4
(2π )
p 2 − ma2 + iε
i
exp i ( y − y ')q
i
exp i (qy − q ' y ')

Sb ( y − y ') =
dq 2
=
dqdq ' δ (q − q ')
4 �
2
4 �
(2π )
q − ma + iε
(2π )
q 2 − ma2 + iε
K ( x, y, x ', y ') =

22


i
exp i (qy − q1 y1 )
dqdq1δ ( q − q1 ) 2
4
(2π )
q − ma2 + iε
1
Fa ,b ( p, q ) = − 2
                                                                 (2.1.11) 
2
( p − ma + iε )(q 2 − ma2 + iε )

Sb ( y − y1 ) =

Thay (2.1.10)  và (2.1.11) vào (2.1.6) ta được:
Ga ,b ( x, y , x ', y ') =
=

1
dpdqdp ' dq ' Ga ,b ( p , q , p ', q ') exp(ipx + iqy − ip ' x '− iq ' y ')
(2π )12
−1
exp i( px − p ' x ')
exp i (qy − q ' y ')
dpdqdp ' dq ' δ ( p − p ')
δ (q − q ') 2
−
8
2
2
(2π )
p − ma + iε
q − ma2 + iε

1
exp i ( px − p1 x1 )
dx1dx2 dy1dy2 dpdqdp ' dq ' dp1dq1δ ( p − p1 )
32
(2π )
p 2 − ma2 + iε

δ (q − q1 )

exp i ( qy − q1 y1 )

Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ') exp(ip1 x2 + iq1 y2 − ip ' x '− iq ' y ')
q 2 − ma2 + iε

exp(ipx1 + iqy1 − ip ' x2 − iq ' y2 ) K ( p, q, p ', q ')

(2.1.12)

Biến đổi số hạng thứ nhất ở vế phải (2.1.12) ta được:
1
dpdqdp ' dq 'exp i ( px + qy − p ' x '− q ' y ')δ ( p − p ')δ (q − q ') Fa ,b ( p, q )                 (2.1.13)
(2π )8

Biến đổi số hạng thứ hai ở vế phải (2.1.12) ta được:
1
1
1
dp dq1dp ' dq ' dpdq
dx exp(−ix1 ( p1 − p ))
d y1 exp(−iy1 (q1 − q ))
16 � 1
4 �1
(2π )
(2π )
(2π ) 4 �
1
1
dx exp(−ix2 ( p '− p1 ))
d y2 exp(−iy2 (q '− q1 ))
4 �2
(2π )

(2π ) 4 �
K ( p, q, p ', q ')Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ') exp i ( px + qy − p ' x '− q ' y ')

−

1
p − ma2 + iε
2

1
q − ma2 + iε

(2.1.14)

2

Sử dụng tính chất hàm delta trong không – thời gian 4 chiều:
1
(2π ) 4
1
              
(2π ) 4
1
(2π ) 4
1
             
(2π ) 4

dx1 exp(−ix1 ( p1 − p )) = δ ( p1 − p )
dx2 exp(−ix2 ( p '− p1 )) = δ ( p '− p1 )

d y1 exp(−iy1 (q1 − q )) = δ ( q1 − q)
d y2 exp(−iy2 (q '− q1 )) = δ (q '− q1 )                                                     (2.1.15)

 Thay (2.1.15) vào (2.1.14) ta nhận được:

23


1
dp dq1dp ' dq ' dpdqFa ,b ( p, q )δ ( p1 − p )δ ( p − p1 )δ (q − q1 )
1
(2π )16
              K ( p, q, p ', q ')δ ( p '− p1 )δ (q '− q1 )Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ') exp i ( px + qy − p ' x '− q ' y ')
1
Fa ,b ( p, q ) dp dq1dp ' dq ' dpdqK ( p, q, p1 , q1 )Ga ,b ( p1 , q1 , p ', q ')
1
(2π )16
                 exp i( px + qy − p ' x '− q ' y ')                                                                  (2.1.16)
=

Thay (2.1.16) và (2.1.13) vào (2.1.12) ta thu được kết quả cuối cùng:
Ga ,b ( p, q, p ', q ') = (2π ) 4 Fa ,b ( p, q)δ ( p − p ')δ ( q − q ') +
 
                 (2.1.17)
(2π ) −4 Fa ,b ( p, q) dp1dq1 K ( p, q, p1 , q1 )G ( p1 , q1 , p ', q ')
Trong đó
i
p − ma2 − iε

S a ( p, p ') = δ ( p − p ')

2

S a ( p, p ') Sb (q, q ') = δ ( p − p ')δ (q − q ') Fa ,b ( p, q )
Fa ,b ( p, q ) = −

1
                                                                 (2.1.18)
( p − m + iε )(q 2 − ma2 + iε )
2

2
a

       Phương trình Belthe­ Salpeter (2.1.8) cho hàm sóng (2.1.1) không thỏa mãn điều 
kiện chuẩn hóa à cũng không sử  dụng được để  giải thích xác suất cho hệ  nhiều 
hạt. Nếu chúng ta xét hàm sóng (2.1.1) để  cho các giá trị  riêng của nó mà vecto 4  
chiều x và y có các thời điểm như nhau thì ta thu được hàm sóng cho cùng một thời  
điểm như sau:
r r
r
r
        X n (t , x , y ) = 0 Φ a (t , x )Φ b (t , y ) n                                                                     (2.1.19)
      Như đã biết hàm sóng cùng một thời điểm  X cho phép sự giải thích xác suất và 
thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Điều kiện chuẩn hóa của  X ở đây cần thiết để cho 
hàm sóng hai thời điểm (2.1.1) có ý nghĩa vật lý.
           Bây giờ  ta cần tìm phương trình cho hàm sóng cùng một thời điểm. Muốn  
vậy,cần dẫn ra khái niệm hàm Green hai thời điểm,một cách tương tự  như  đã tìm 
phương trình cho hàm sóng hai thời điểm. Hàm Green hai thời điểm trong lý thuyết  
trường lượng tử được xác định bằng cách sau đây:

r r

r r

r

r

r

r

  Ga ,b (t , x , y; t ', x ', y ') = 0 T (Φ a (t , x )Φ b (t , y )Φ a+ (t ', x ')Φ b+ (t ', y ')) 0                             (2.1.20)
 Giả thiết  t > t ' . Lúc đó sử dụng tính đủ của hệ trong các trạng thái dừng  n . 
I=

n n , thì biểu thức (2.1.20) có thể viết lại dưới dạng sau:
r r r r
r
r
r
r
Ga ,b (t , x , y; t ', x ', y ') = 0 T (Φ a (t , x )Φ b (t , y ) n n Φ a+ (t ', x ')Φ b+ (t ', y ')) 0                    (2.1.21)

Từ định nghĩa hàm sóng ở cùng một thời điểm của hêh 2­ hạt:

r r
r
r
X n ( t , x , y ) = 0 Φ a (t , x ) Φ b ( t , y ) n

r r
r
r
X n+ (t , x , y ) = n Φ +a (t , x )Φ b+ (t , y ) 0                                                                           (2.1.22)

  Suy ra 

r r r r
Ga ,b (t , x , y; t ', x ', y ') =

n

r r
r r
X n (t , x , y ) X n+ (t , x , y )                                                           (2.1.23)

24


 với  (t > t ')
     Như  vậy nếu ta thu được phương trình không thuần nhất cho hàm Green 2­ thời 
r r
điểm, thì phương trình thuần nhất sẽ cho hàm sóng cùng một thời điểm  X (t , x, y ) .
      Bây giờ  ta đi tìm các phương trình cho hàm Green 2­ thời điểm. Hàm Green 2­  
thời điểm liên quan đến hàm Green 4 – thời điểm bằng hệ thức sau đây:
r r
r r
Ga ,b ( x0 , x , y; x0' , x ', y ') = dy0 dy0' δ ( x0 − y0 )δ ( x0' − y0' )Ga ,b ( x, y; x ', y ')                           (2.1.24)
Xác định ảnh Fouruer của hàm Green 2­ thời điểm như sau:
r r

r r
Ga ,b ( x0 , x , y; x0' , x ', y ') =

1
r r r r
r r
r r
dp dp0' dpdqdp ' dq ' G% a ,b ( p0 , p, q; p0' , p ', q ')
12
0
(2π )
'

'

rr

rr

r r

r r

      eip0 x0 −ip0 x0 −ipx −iqy +ip ' x ' +iq ' y '                                  (2.1.25)

Thay (2.1.25) và (2.1.9) vào (2.1.24) ta sẽ thu được mối liên hệ của các hàm Green 2 
– thời điểm và 4 – thời điểm:
rr rr r r r r
' '
1

r r r r
r r
r r
dp dp0' dpdqdp ' dq ' G% a ,b ( p0 , p, q; p0' , p ', q ') eip0 x0 −ip0 x0 −ipx −iqy +ip ' x '+ iq ' y ' =
12
0
(2π )
1
dy0 dy0' δ ( x0 − y0 )δ ( x0' − y0' )
dpdqdp ' dq 'Ga ,b ( p, q, p ', q ')eipx +iqy −ip ' x ' −iq ' y '
�
(2π )12 �
' '
r r
r r
� G% ( p , p, q; p ' , p ', q ') = dy dy ' δ ( x − y )δ ( x ' − y ' )G ( p, q, p ', q ')e ip0 x0 −ip0 x0
a ,b

0

0

0

0

0

0

0

0

a ,b

' '
r
r
r
r
= dq0 dq0' Ga ,b ( p0 , p, q0 , q; p0' , p ', q0' , q ')eip0 x0 −ip0 x0

 Đặt  q0 = p0 + ε ; q0' = p0' + ε '; dq0 = d ε ; dq0' = d ε '

'
'
r r
r r
r
r
r
r
G% a ,b ( p0 , p, q; p0' , p ', q ') = d ε d ε ' ei ( p0 +ε ) x0 −i ( p0 +ε ') x0 Ga ,b ( p0 , p, p0 + ε , q; p0' , p ', p0' + ε ', q ')
r
r r
r
= d ε d ε ' Ga ,b ( p, p0 + ε , q , ε ; p ', p0' + ε ', q ', ε ')                                                           (2.1.26)

    Viết lại phương trình (2.1.17) dưới dạng kí hiệu:

G = α F + α −1 FKG
α = (2π ) 4                                                                          (2.1.27)
     Giải phương trình (1.17) bằng gần đúng phương pháp lặp, ta thu được:
G = α F + α −1 FK (α F + α −1FKG )
= α F + FKF + α −1 FKFKF + ...
= α F + FKF + α −1 FKFKF + α −2 FKFKFKF + α −3 FKFKFKFKF + ...                      (2.1.28)
Thay (2.1.28) vào phương trình (2.1.26) ta nhận được khai triển dưới đây cho hàm 
Green 2 – thời điểm:
~~~~~~

~~~~~~~~~

G% = α F% + FKF + α −1 FKFKF + ...                                                                            (2.1.39) 

Dấu ~ ở đây ký hiệu phép lấy tích phân được thực hiện theo công thức (2.1.26). Cụ 
thể (2.1.18) có nghĩa:
r r
r r
r
F%a ,b = d ε d εδ ( p − p ')δ ( q − q ')δ ( p0 + ε − p0' − ε ') Fa ,b ( p, p0 + ε ; q, ε )
r r
r r
= −δ ( p − p ')δ (q − q ')δ ( p0 − p0' ) d ε

(

1
r
r                   (2.1.30)
( p0 + ε ) − m − p 2 ε 2 − mb2 − q 2

2

Để thuận tiện ta đặt:
25

2
a

)(

)