BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG NESBIT

VIII- Bất đẳng thức dạng á Nesbit
Bài 144. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng
2
3
ba
c
ac
b
cb
a

+
+
+
+
+
. (*)
( Bất đẳng thức Nesbit với ba số dơng )
Giải
Cách 1. (*) 2a(a + c)(a + b) + 2b(b + c)(b + a) + 2c(c + a)(c + b)
3(a + c)(a + b)(b + c)

222222333
bccbaccaabbac2b2a2
+++++++
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có

2233
2333
2333
abbaba

ab3bba
ba3baa
++





++
++
. (1)
.Dấu = xảy ra a
3
= b
3
a = b
Tơng tự, ta có
3 3 2 2
. (2)b c b c bc+ +
Dấu = xảy ra a
3
= b
3
b = c.

3 3 2 2
. (3)c a c a ca+ +
Dấu = xảy ra c
3
= a

3
c = a.
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc
222222333
bccbaccaabbac2b2a +++++++
. (đpcm)
Dấu = của (*) xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức a = b = c .
Cách 2. Đặt
ba
c
ac
b
cb
a
A
+
+
+
+
+
=
;
ba
a
ac
c
cb
b
B
+

+
+
+
+
=
;
ba
b
ac
a
cb
c
C
+
+
+
+
+
=
.
Suy ra B + C =
3
ba
ba
ac
ac
cb
cb
=
+

+
+
+
+
+
+
+
.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:
A + B =
3
3 . . 3; (1)
a b b c c a a b b c c a
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + +
+ + =
+ + + + + +
A + C =
3
3 . . 3. (2)
a c b a c b a c b a c b
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + +
+ + =
+ + + + + +
Cộng từng vế của (1), (2), ta có:
2A + B + C 6 2A 3 (do B + C = 3)
190
hay
2

3
A

(đpcm).
Dấu = của (*) xảy ra (1), (2) cùng xảy ra đẳng thức a = b = c .
Cách 3. Đặt









+
=
+
=
+
=

++
=++





=+

=+
=+
2
xzy
c
2
zyx
b
2
yzx
a
2
zyx
cba
zac
ycb
xba
Thay vào (*), ta có:
2
3
x2
xzy
z2
zyx
y2
yzx

+
+
+

+
+

6
z
y
y
z
x
z
z
x
x
y
y
x
+++++
.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:

6
z
y
y
z
x
z
z
x
x

y
y
x
2
z
y
y
z
2
x
z
z
x
2
x
y
y
x
+++++









+
+

+
. (đpcm)
Dấu = của (*) xảy ra x = y = z a + b = b + c = c + a a = b = c.
Cách 4. Đặt .
ba
c
ac
b
cb
a
A
+
+
+
+
+
=
.
191
Ta có






+
+
+

+
+
+






+
+
=+
1
ba
c
1
ac
b
1
cb
a
3A

+
+
+
+
+
++=
+
++
+
+
++
+
+
++
=
ba
1
ac
1
cb
1
)cba(
ba
cba
ac
cba

cb
cba
Theo bài 130, ta có
2(A + 3) =
[ ]
( ) ( ) ( )
9
ba
1
ac
1
cb
1
)ba()ca()bc(







+
+
+
+
+
+++++

2
3

Ahay
2
9
3A
+
. (đpcm)
Dấu = của (*) xảy ra a + b = b + c = c + a a = b = c.
Cách 5. Nhân hai vế của (*) với (a + b + c) đã đợc chứng minh ở bài trớc.??
Nhận xét:
Từ bất đẳng thức (*) nếu ta thay
z
1
c;
y
1
b;
x
1
a
===
thì đợc:

2
3
)zx(y
zx
)zy(x
yz
)yx(z
xy

+
+
+
+
+
.
Nếu ta cho xyz = 1 thì ta có bất đẳng thức đẹp sau:

2 2 2
1 1 1 3
. (**)
( ) ( ) ( ) 2z x y x y z y x z
+ +
+ + +
Để chứng minh
(**)
, bạn đọc có thể chuyển về bất đẳng thức (*) hoặc
chứng minh trực tiếp.
Bài 145. Cho x, y, z, t dơng thoả mãn xyzt = 1. Chứng minh rằng
3
4
)zxyzxy(t
1
)txxtyx(z
1
)txztxz(y
1
)tyztyz(x
1

2222

++
+
++
+
++
+
++
. (*)
( Toán học & tuổi trẻ )
Giải. Nhân hai vế của (*) với (xyz + yzt + ztx + txy), ta có

2 2 2
2
1 1
(*)
( ) ( ) ( )
1 1 4
( ).
( ) 3
yzt xzt xyt
x yz zt ty x y xz zt tx y z yx xt tx
xyz
xyz yzt ztx txy
z t xy yz zx t
+ + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ +

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:
192

2
2
2
( ) 9 3
1 1 1 1 2
. (1)
( ) 9 3
yzt yz zt ty
x yz zt ty yzt x
yzt
hay
x yz zt ty y z t x
+ +
+
+ +

+ + +
ữ
+ +

Tơng tự, ta có:
2
1 1 1 1 2
; (2)
( ) 9 3
ztx

y xz zt tx x z t y

+ + +
ữ
+ +


2
1 1 1 1 2
; (3)
( ) 9 3
txy
z xy yt tx x y t z

+ + +
ữ
+ +


2
1 1 1 1 2
. (4)
( ) 9 3
xyz
t xy yz zx x y z t

+ + +
ữ
+ +

Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta đợc

+
++
+
++
+
++
)txxtyx(z
xyt
)txztxz(y
xzt
)tyztyz(x
yzt
222
+
)
t
1
z
1
y
1
x
1
(
3
1
)zxyzxy(t
xyz

2
+++
++
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 4 1 1 1 1 4
( ) ( ) ( 1).
3 3
yzt xzt xyt xyz
x yz zt ty y xz zt tx z yx xt tx t xy yz zx
xyz yzt ztx txy xyzt
x y z t x y z t
+ + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + = + + + =

Dấu = của (*) xảy ra (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức và xyzt = 1
x = y = z = t = 1.
Nhận xét: Nếu ta đặt
d
1
t;
c
1
z;
b
1
y;
a
1

x
====
thì ta đa đợc (*) về bất đẳng thức
quen thuộc
3
4
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a

++
+
++
+
++
+
++
.
Bài 146. Cho n
*
; a
1
, a
2
,, a

n
là n số thực sao cho a
1
+ a
2
++ a
n
= 1. Hỏi
bất đẳng thức sau có đúng không?
n2
1
aa
a
...
aa
a
aa
a
2
1
2
n
4
n
2
3
2
2
4
2

2
2
2
1
4
1

+
++
+
+
+
. (*)
( Olypic toán Singapore 2001 )
Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:
193
4 2 2
2
1 1 2
1
2 2
1 2
(1);
4
a a a
a
a a
+
+
+

)2(a
4
aa
aa
a
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
4
2

+
+
+
;


4 2 2
2
1
2 2
1
. ( )

4
n n
n
n
a a a
a n
a a
+
+
+
Cộng từng vế của(1), (2),.., (n), ta đợc

2
a...aa
aa
a
...
aa
a
aa
a
2
n
2
2
2
1
2
1
2

n
4
n
2
3
2
2
4
2
2
2
2
1
4
1
+++

+
++
+
+
+
. (**)
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có

2
1
2
11
2

2
1
n2
1
n
a
2
a
n
a
2
n
1
a
+
. (1)
Tơng tự,
2
2 2
2
1
2 2
a a
n n

; (2)


2
n

2
n
n2
1
n
a
2
a

. (n)
Cộng từng vế của (1), (2),..., (n), ta đợc

n2
1
n2
1
n
1
n2
n
n
a...aa
2
a...aa
2
n21
2
n
2
2

2
1
==
+++

+++
.
Kết hợp với (**) suy ra (*) đúng dấu = xảy ra (1), (2),, (n) ; (1),
(2),, (n) cùng xảy ra đẳng thức và a
1
+ a
2
++ a
n
= 1
n
1
a...aa
n21
====
.
Bài 147. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng

++
++

+
+
+
+
+
222
333
22
3
22
3
22
3
cba
cba
2
3
ba
c
ac
b
cb
a
. (*)
Giải. Ta có
(*)

)cba(
2
3
c
ba
c
b
ac
b
a
cb
a
3333
22
5
3
22
5
3
22
5
+++
+
++
+
++
+


2

cba
ba
c
ac
b
cb
a
333
22
5
22
5
22
5
++

+
+
+
+
+

.
194