CHUYÊN ĐỀ DIỆN TICH

Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH
Hình học 9
A/. PHẦN I
Kiến thức cơ bản :
1) Tiên đề về diện tích : Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa
giác là một số dương.
2) Diện tích đa giác có các tính chất sau :
+Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
+Nếu một đa giác được chia thành những đa giác nhỏ không có điểm
trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
+Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì diện tích là 1 - Hình vuông đó
được gọi là hình vuông đơn vị.
I. DIỆN TÍCH TỨ GIÁC :
1) Cho tứ giác ABCD. Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC =
d
1
, BD = d
2
, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn
nội tiếp và p = (a + b + c + d) . Ta có :
d
a
b
c
d1
d2
m
I
A

D
B
C
a) S
ABCD
= S
ABC
+ S
ADC

= S
ABD
+ S
CBD
.
+Tổng các góc trong của tứ giác A + B + C + D = 360
0
= 2π
+Tổng bình phương của các cạnh : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
=
22
2
2

1
4mdd
=+

Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 1
α
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
(m là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đường chéo)
b) S
ABCD
= d
1
d
2
sinα
(α là góc tạo bởi hai đường chéo d
1
, d
2
)
*Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R)
a
b
d
c
d1
d2
O
A
B

C
D
c) S
ABCD
=
+Tổng hai góc đối diện A + C = B + D = 180
0
= π
+Tích các đườngchéo : d
1
d
2
= ac + bd.
p = (a + b + c + d)
* Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r).
d
a
b
c
r
M
O
A
B
C
D
d) S
ABCD
= p.r
+Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d

2)Diện tích các tứ giác đặc biệt :
a)Diện tích hình chữ nhật :
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 2
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
A a B
b d S
ABCD
= a.b
d =
D C
b)Diện tích hình vuông
A a B
S
ABCD
= a
2
a d d = a
S
ABCD
= d
2
D C
*Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích
lớn nhất .
c)Diện tích hình thang :
A a B
h S
ABCD
= (a + b).h
M m N

S
ABCD
= m.h
D H b C
d)Diện tích hình bình hành :

A B
S
ABCD
= a.h
h d
1

d
2
d
1
2
+ d
2
2
= 2(a
2
+ b
2
)
D H a C
e)Diện tích hình thoi :

A

h S
ABCD
= d
1
d
2
= a.h
D d
2
B d
1
2
+d
2
2
= a
2
d
1
a
H
C
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 3
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc
cạnh BC là AH = h
a
, r là bán kính đường tròn nội tiếp , R là bán kính đường
tròn ngoại tiếp ∆ABC và p = . Ta có các công thức sau :

1) S
ABC
= a.h
a
c
b
h
B
C
A
H
Chứng minh :
Kẻ đường cao AH, ta có : ∆ABH vuông tại H nên S
ABH
= AH.BH (1)
S
ACH
= AH.CH (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được :
S
ABH
+ S
ACH
= AH.BH + AH.CH
S
ABC
= AH.(BH + CH) = AH.BC
Hay S
ABC
= a.h

Tương tự ta cũng có : S
ABC
= b.k = S
ABC
= c.l
(k là chiều cao ứng với cạnh AC, l là chiều cao ứng với cạnh AB)
2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r)
S
ABC
= p.r
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 4
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
a
c
b
r
r
r
O
B
C
A
E
D
F
Chứng minh :
S
ABC
= S
AOB

+ S
BOC
+ S
COA
Mà : S
AOB
= r.c
S
BOC
=
2
1
r.a
S
COA
=
2
1
r.b
Cộng vế theo vế, ta được : S
AOB
+ S
BOC
+ S
COA
= r.c +
2
1
r.a +
2

1
r.b
S
ABC
= r.(c + a + b) = r. = p.r
( p = : nửa chu vi )
3)Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R)
S
ABC
=
a
c
b
h
O
B
C
A
H
D
Chứng minh :
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 5
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
Kẻ đường cao AH và đường kính AD.
S
ABC
= a.h
Xét ∆ABH vuông tại H và ∆ADC vuông tại C có :
ABH = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
=> ∆ABH ~ ∆ADC => = => AH = =

Vậy S
ABC
= a.h = .a . =
4) S
ABC
=
(Công thức Hêrông)
Chứng minh :
a
c
b
h
c'
b'
B
C
A
H
Giả sử B và C đều nhọn.
Kẻ đường cao AH (AH ⊥ BC) - đặt AH = h
BC = BH + CH hay a = b’ + c’ (1)
Để không mất tính tổng quát ta giả sử b > c => b’ > c’
∆ABH vuông tại H : AH
2
= AB
2
- BH
2
hay h
2

= c
2
- c’
2
∆ACH vuông tại H : AH
2
= AC
2
- CH
2

hay h
2
= b
2
- b’
2

=> c
2
- c’
2
= b
2

- b’
2
<=> b
2
- c

2
= b’
2
- c’
2
<=> b
2
- c
2
= (b’ + c’).(b’ - c’)
b
2
- c
2
= a.(b’ - c’) => b’ - c’ = (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :





−
=−
=+
a
cb
cb
acb
22
''

''
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 6
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
Giải hệ phương trình :





−
=−
=+
a
cb
cb
acb
22
''
''
<=>





−+
=
=+
a
cba

b
acb
222
'2
''
<=>







+−
=
−+
=
a
cba
c
a
cba
b
2
'
2
'
222
222
Do đó h

2
= b
2
- b’
2
= b
2
-
( )
2
2
222
2
2
222
4
2
a
cba
b
a
cba −+
−=









−+
=
( )
( )
( )
2
222
2
2
2
22222
4
2
4
4
a
cbaab
a
cbaba
−+−
=
−+−
=
( ) ( )
2
222222
4
2.2
a

cbaabcbaab
+−−−++
=
( )
[ ]
( )
[ ]
2
222222
4
2.2
a
babaccbaba
+−−−++
=
( )
[ ]
( )
[ ]
2
2
22
2
4
.
a
baccba
−−−+
=
( )( )( )( )

2
4a
bacbaccbacba
+−−+−+++
=
( ) ( ) ( ) ( )
2
4
222
a
acbabcbaccbacba
−++−++−++++
(Đặt a + b + c = 2p)
=
( )( )( ) ( )( )( )
22
4
16
4
2222222
a
cpbpapp
a
apbpcpp
−−−
=
−−−
=
( )( )( )
2

4
a
cpbpapp
−−−
=> h

=
( )( )( )
( )( )( )
cpbpapp
a
a
cpbpapp
−−−=
−−−
24
2
Vậy S
ABC
=
2
1
a.h =
2
1
a.
( )( )( )
cpbpapp
a
−−−

2
=
( )( )( )
cpbpapp
−−−
NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN
TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN :
Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính
được diện tích hình đó bằng những công thức mà ta đã biết. Ngược lại các
công thức tính diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng. Sử
dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn
thẳng.
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 7
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó bằng phương pháp diện tích,
ta chú ý các điểm sau :
1)Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
2)Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó
bằng một đẳng thức có chứa các độ dài.
3)Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai
đoạn thẳng cần so sánh.
Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích ta cần nắm vững :
+Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích của các hình.
+Sử dụng tính chất :
-Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng
tỉ số hai diện tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều
cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích.
-Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ
ba thuộc đường thẳng song song với đáy.
-Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai

phần có diện tích tỉ lệ với 1 : 3
-Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần
có diện tích bằng nhau.
-Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là
ba cạnh thì có diện tích bằng nhau.
-Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều
cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.
B/.PHẦN II
I.CÁC BÀI TOÁN MẪU :
Bài 1 :
Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm O ở trong tam giác, ta kẻ OH ⊥
AB, OK ⊥ AC, OI ⊥ BC. Chứng minh rằng khi O di động trong tam giác thì
tổng OH + OK + OI không đổi.
Giải
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 8
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
H
I
K
A
B
C
O
Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a và chiều cao là h, thì S
ABC
= a.h và AB
= BC = CA = a
Ta có S
ABC
= S

AOB
+ S
BOC
+ S
COA
S
AOB
= AB.OH
S
BOC
= BC.OI
S
COA
= BC.OI
Cộng vế theo vế ta được : a.h = AB.OH + BC.OI + BC.OI
<=> a.h = a.OH + a.OK + a.OI <=> a.h = a(OH + OK + OI)
<=> h = OH + OK + OI . Mà h : không đổi => OH + OK + OI không đổi
+Nếu O thuộc cạnh của tam giác đều thì bài toán trên vẫn đúng.
+Nếu thay tam giác đều bằng một đa giác đều thì tổng khoảng cách từ điểm
O bất kỳ nằm trong đa giác đến các cạnh của đa giác vẫn không đổi.
Bài 2 :
Chứng minh định lý Py-ta-go : Trong một tam giác vuông bình phương của
cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Ta đã biết chứng minh định lý này bằng cách sử dụng hệ thức lượng
trong tam giác vuông. Ta sẽ sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh
định lý này :
Chứng minh
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 9
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
G

F
H
M
N
D
A
B
E
K
C
Lấy các cạnh của tam giác ABC có Â = 90
0
làm cạnh dựng ra ngoài tam giác
các hình vuông BCDE, ABFG , ACMN lần lượt có diện tích là : S
BCDE
=BC
2

= a
2
, S
ABFG
= AB
2
= c
2
, S
ACMN
= AC
2

= b
2
Ta phải chứng minh S
BCDE
= S
ABFG
+ S
ACMN
hay a
2
= b
2
+ c
2
Kẻ đường cao AH của ∆ABC kéo dài cắt DE tại K.
+ Ta chứng minh S
ABFG
= S
BHKE
.
Nối AE và CF : ∆ABE = ∆CBF (c-g-c) => S
ABE
= S
CBF
(1)
∆FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy
này là bằng AB => S
CBF
= S
ABFG

(2)
∆ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với
cạnh đáy này bằng BH => S
ABE
= S
BHKE
(3)
Từ (1), (2) và (3) => S
ABFG
= S
BHKE
(*)
+Ta chứng minh S
ACMN
= S
CDKH

Nối BM và AD
∆BCM = ∆DCA (c-g-c) => S
BCM
= S
DCA
(4)
∆BCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao bằng
nhau và bằng AC => S
BCM
= S
ACMN
(5)
∆ACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao

bằng nhau và bằng KD => S
ACD
= S
CDKH
(6)
Từ (4), (5) và (6) => S
ACMN
= S
CDKH
(**)
Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta được : S
BHKE
= S
ABFG
S
CDKH
= S
ACMN

Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 10
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
S
BCDE
= S
ABFG
+ S
ACMN

Hay a
2

= b
2
+ c
2
Bài 3 :
Cho tam giác ABC. Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC
lấy các điểm D, E, F (B nằm giữa A và D ; C năm giữa B và E ; A nằm giữa
C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC. Gọi s là diện tích của
∆ABC. Tính diện tích ∆DEF theo s.
Giải
GT ∆ABC có diện tích là s
AB = BD ; BC = CE ; AC = AF
KL S
DEF
?
B
C
A
D
E
F
Cách 1 : Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích
Xét ∆ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) => S
ABC
= S
ACE
= s
=> S
ABE
= S

ABC
+ S
ACE
= 2s
∆AED có EB là trung tuyến (AB = BD) => S
ABE
= S
BED
= 2s
=> S
AED
= S
ABE
+ S
BED
= 4s
∆BCF có BA là trung tuyến (AC = AF) => S
ABC
= S
BAF
= s
∆CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) => S
ACE
= S
AEF
= s
=> S
CEF
= S
ACE

+ S
AEF
= 2s
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 11
Chuyên đề BD.HSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình học 9
∆AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) => S
DBF
= S
BAF
= s
=> S
AFD
= S
DBF
+ S
BAF
= 2s
S
DEF
= S
AED
+ S
AFE
+ S
AFD
= 4s + s + 2s = 7s
Vậy S
DEF
= 7s
Cách 2 :

Kẻ BI ⊥ AC và EH ⊥ CF
Chứng minh ∆vuông BIC = ∆ vuông EHC (Cạnh huyền và góc nhọn)
=> BI = EH
Ta có AC = AF và AC + AF = CF => CF = 2AC
=> S
CEF
= 2S
ABC
= 2s (hai tam giác có cung đường cao nhưng
cạnh đáy CF của ∆CEF gấp hai lần cạnh đáy AC của ∆ABC)
Tương tự ta cũng chứng minh được S
ADF
= 2S
ABC
= 2s
Và S
BDE
= 2S
ABC
= 2s
Mà S
DEF
= S
ABC +
S
BED
+ S
CFE
+ S
AFD

= s + 2s + 2s + 2s = 7s
Vậy S
DEF
= 7s
Bài 4 :
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD và CD.
Nối BN và CM cắt nhau tại E. Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp
5 lần diện tích tam giác BEC .
GT Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA = a
Và AM = MD , NC = ND
KL S
ABCD
= 5S
BEC

Giải
Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN . . . . HH / 12