Giáo án Hình Học 10

Chơng i. Véc tơ
bài 1. Các định nghĩa
(Tiết 1, 2)
I.Mục tiêu
- Hiểu và biết vận dụng : Khái niệm véc tơ; véc tơ cùng phơng, cùng hớng; độ dài
véc tơ; véc tơ bằng nhau, véc tơ không.
- Biết xác định: điểm gốc ( hay điểm đầu), điểm ngọn (hay điểm cuối) của véc tơ;
giá, phơng, hớng của véc tơ, độ dài véc tơ, véc tơ bằng nhau véc tơ không. Cho điểm A và
a
dựng điểm B sao cho
AB
=
a
.
- Rèn luyện t duy lôgíc và trí tởng tợng không gian; biết quy lạ về quen. Cẩn thận,
chính xác trong tính toán và lập luận.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
- Đồ dùng dạy học: Thớc kẻ, compa, sách giáo khoa, sách bài tập.
III. Phơng pháp
- Kết hợp : Gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề và đan xen hoạt động nhóm
IV. Tiến trình tổ chức bài học
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ
3. Nội dung bài mới
Tiết thứ 1
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
HĐ1: Véc tơ và tên gọi.
Cho học sinh quan sát hình vẽ
SGK
GV giúp học sinh hiểu đợc có
sự khác nhau cơ bản giữa hai

chuyển động đó
Yêu cầu học sinh phát biểu
cảm nhận đó
Chính xác hoá và hình thành
định nghĩa
Yêu cầu học sinh nghi nhớ các
tên gọi và kí hiệu
GV giúp học sinh hiểu về kí
hiệu véc tơ
AB
và véc tơ
a
HĐ2: Phơng, hớng của véc tơ
1. Định nghĩa
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn A làm điểm đầu
B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hớng từ A
đến B . Khi đó ta nói đoạn thẳng AB là một đoạn
thẳng có hớng.

Véc tơ còn đợc ký hiệu là:
....y,x,c,b,a
Ví dụ 1:
Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C.
Hãy đọc các véc tơ (khác nhau) có điểm đầu và điểm
cuối lấy trong các điểm đã cho.
Chú ý:
Véc tơ
AB
có điểm đầu là A điểm cuối là B
Véc tơ

a
không chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.
2. Véc tơ cùng phơng, véc tơ cùng hớng
Đờng thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của
1
A
B
a
x
Định nghĩa:
Véc tơ là một đoạn thẳng có hớng.
Ký hiệu:
AB
đọc là véctơ AB
Cho học sinh quan sát hình vẽ
và cho nhận xét về giá của các
cặp véc tơ
Cho học sinh chỉ ra trên hình
vẽ các véc tơ cùng hớng, ngợc
hớng. Rút ra định nghĩa.
HĐ3: Củng cố kiến thhức.
Học sinh chia nhóm giải ví dụ,
báo cáo kết quả.
GV hớng dẫn học sinh chỉ ra
các véc tơ cùng phơng với véc
tơ
AB
GV hớng dẫn học sinh chỉ ra
các véc tơ cùng hớng với
PN

Hs ghi nhận kiến thức, kết quả
bài tập.
một véc tơ gọi là giá của véc tơ đó.
(a) (b)
(c)
(d) (e)
Định nghĩa :
Hai véc tơ gọi là cùng phơng nếu giá của chúng
song song hoặc trùng nhau
Hình (a); (c) là các véc tơ cùng hớng
Hình (b); (d) là các véc tơ ngợc hớng
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC có M, N, P theo thứ tự là
trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chỉ ra trên hình
vẽ các véc tơ có điểm đầu và điểm cuối (không trùng
nhau) lấy trong các điểm đã cho mà
a) cùng phơng với
?AB
b) cùng hớng với
?PN
Kết quả:
a) Các véc tơ cùng hớng với
AB
là

NM,MN,BP,PB,PA,AP,BA
b) Các véc tơ cùng hớng với
PN
là

BC,MC,BM
Nhậ xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ
khi hai véc tơ
AC,AB
cùng phơng
Tiết 2: Các định nghĩa (tiếp)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐ4: Hai véc tơ bằng nhau.
Hs tiếp cận kiến thức:
Với hai điểm A, B xác định
mấy đoạn thẳng? xác định
mấy véc tơ?
GV giới thiệu về độ dài véc tơ
và véc tơ đơn vị
GV giới thiệu định nghĩa hai
véc tơ bằng nhau
3. Hai véc tơ bằng nhau
Cho véc tơ
AB
độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ
dài véc tơ
AB
. Ký hiệu là
AB
. Vậy
AB
= AB
Véc tơ có độ dài bằng 1 gọi là véc tơ đơn vị
Định nghĩa:

Hai véc tơ
a
,
b
đợc gọi là bằng nhau nếu
chúng cùng hớng và có cùng độ dài .
Kí hiệu
a
=
b
Ví dụ 3:
2
a
u
v
b
a
v
u
v
u
Hớng dẫn học sinh xác định
điểm C. Yêu cầu học sinh
giải bài toán và nêu nhận xét.
GV nêu kết luận
Yêu cầu học sinh giải bài
toán
HĐ5: Véc tơ Không
GV nêu khái niệm véc tơ
không và nêu ví dụ.

Véc tơ không có độ dài bằng
bao nhiêu?
Véc tơ không cùng phơng,
cùng hớng với véc tơ nào?
GV hớng dẫn và yêu cầu học
sinh giải bài toán
Cho trớc véc tơ
AB
và điểm D. Tìm điểm C thoả
mãn
AB
=
DC
.
Kết luận
Khi cho trớc véc tơ
a
và điểm O ta luôn tìm đ-
ợc điểm A sao cho
aOA
=

Ví dụ 4:
Cho tam giác ABC có M, N, P theo thứ tự là
trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Hãy chỉ ra các
véc tơ bằng véc tơ
NP,PM,MN
4. Véc tơ - Không
Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm
cuối trùng nhau .

Chẳng hạn nh
MM,BB,AA
kí hiệu là:
0
Độ dài véc tơ - Không bằng 0
Véc tơ
0
cùng phơng, cùng hớng với mọi véc tơ.
5. áp dụng:
a) Cho hình lục giác đều ABCDEF. Hãy chỉ ra
các cặp véc tơ bằng nhau
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành khi
và chỉ khi
DCAB
=
.
Hớng dẫn giải bài tập
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Yêu cầu học sinh trả lời
Yêu cầu học sinh trả lời và
cho nhận xét
Từ điều kiện hai véc tơ bằng
nhau em suy ra đợc điều gì?
Gợi ý trả lời:
Bài tập 1:
a) Khẳng định đúng
b) Khẳng định đúng
Bài tập 2: Các véc tơ cùng phơng:
a
và

b
;
x
và
y
;
u
và
v
;
w
và
z
;
Các véc tơ cùng hớng:
a
và
b
;
x
,
y
và
z
Các véc tơ ngợc hớng:
x
và
w
;
y

và
w
;
u
và
v
;
w
và
x
Các véc tơ bằng nhau:
x
=
y
Bài tập 3:
3
B
D
C



=
=
DC//AB
DCAB
DCAB
Điều kiện để tứ giác ABCD
là hình bình hành?
Yêu cầu học sinh trả lời

Yêu cầu học sinh dựng hình
và chứng minh. GV hớng
dẫn cách chứng minh.
Học sinh lên bảng giải, vẽ
hình
Suy ra tứ giác ABCD là
hình bình hành
Bài tập 4:
a)Các véc tơ cùng phơng với
OA
gồm có
FE,EF,CB,BC,DA,AD,DO,OD,AO
b) Các véc tơ bằng véc tơ
AB
gồm có:
FO,OC,ED
Bà itập 5: Cho hình bình hành ABCD.
Dựng
BCPQ,DCNP,DAMN,BAAM
====
Chứng minh
0AQ
=
Bài tập số 1.6 (SBT)
Xác định vị trí tơng đối của ba điểm A, B, C biết các
véc tơ
AB
và
AC
cùng hớng

và
AB
>
AC
4. Củng cố
- Hệ thống các nội dung cơ bản đã đợc học. Nêu trọng tâm của bài học?
- Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai:
a) Véc tơ là một đoạn thẳng
b) Véc tơ không ngợc hớng với một véc tơ bất kì
c) Hai véc tơ bằng nhau thì cùng phơng
d) Có vô số véc tơ bằng nhau
e) Cho trớc véc tơ
a
và điểm O có vô số điểm A thoả mãn
aOA
=
?
5. Bài tập
- Cần học thuộc và biết chứng minh để một tứ giác là hình bình hành.
- Bài tập về nhà 1,2,3,4,5,6,7 Sách bài tập (Trang 10)
Bài 2. Tổng và hiệu của hai véc tơ
(Tiết 3, 4 )
I.Mục tiêu
- Hiểu và biết cách dựng tổng, hiệu của hai véc tơ; biết vận dụng quy tắc tam
giác, quy tắc hình bình hành, biết véc tơ đối của một véc tơ; biết vận dụng quy tắc tìm
4
hiệu của hai véc tơ. Nắm vững các tính chất, các công thức về trung điểm đoạn thẳng và
trọng tâm tam giác.
- Có kỹ năng dựng tổng hiệu của hai véc tơ; chỉ ra đợc véc tơ đối của một véc tơ;
biết phân tích một véc tơ thành tổng của nhiều véc tơ; biết phân tích một véc tơ thành

hiệu của nhiều véc tơ. Nhận biết đợc điều kiện trung điểm của một đoạn thẳng. Biết vận
dụng kiến thức giải bài tập.
- Rèn luyện t duy phân tích, tổng hợp t duy lôgíc, trừu tợng, biết quy lạ về quen.
Cẩn thận, chính xác.
II. chuẩn bị
- Học sinh đã nắm vững định nghĩa véc tơ, phơng, hớng, độ dài của véc tơ.
- Đọc trớc bài ở nhà. Chuẩn bị đồ dùng học tập.
III. Phơng pháp
- Thuyết trình gợi mở vấn đáp, phát hiện vấn đề
- Tạo các nhóm hoạt động xây dựng bài
IV. Tiến trình tổ chức bài học
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ: 1. Định nghĩa hai vectơ bằng nhau?
2. Cho ABC, dựng điểm M sao cho
BCAM
=
;
CBAM
=
3. Nội dung bài mới
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐ1: Hình thành định
nghĩa.
Học sinh quan sát hình vẽ
SGK, cho biết hớng chuyển
động của con thuyền
Tổng của hai véc tơ cho kết
quả là gì?
Cách dựng tổng 2 véc tơ
HĐ2: Xây dựng các qui tắc

Quy tắc tam giác cho thấy
hai véc tơ cộng với nhau có
tính chất gì?
1.Tổng của hai véc tơ
Định nghĩa: (SGK)
Kí hiệu:
ba
+
Tổng của hai véc tơ còn gọi là phép cộng véc tơ
*Quy tắc xác định véc tơ tổng
+ Quy tắc tam giác:
ACBCAB
=+
(hoặc còn gọi là
quy tắc cộng hai véc tơ liên tiếp)
5
A
B
b
C
Quy tắc hính bình hành cho
thấy hai véc tơ cộng với
nhau có điểm gì chung?
Vẽ hình minh hoạ các véc
tơ tổng?
HĐ3: Các tính chất
Chứng minh các tính chất?
HĐ4: Củng cố kiến thức
Học sinh chia nhóm và thực
hiện các phép toán đã cho.

Báo cáo kết quả.
Giáo viên chỉnh sửa cho học
sinh ghi nhận kiến thhức.
+ Quy tắc hình bình hành:
ACADAB
=+
(hoặc còn gọi là quy tắc cộng hai véc tơ chung gốc)
* Để xác định lực tổng hợp của hai lực
1
F
và
2
F
ta
sử dụng quy tắc hình bình hành.
2.Tính chất của phép cộng véc tơ
Với ba véc tơ tuỳ ý
a
,
b
,
c
ta có
a
+
b
=
b
+
a

(tính chất giao hoán)
(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
) (tính chất kết hợp)
a
+
0
=
0
+
a
(tính chất véc tơ không)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC hãy thực hiện các phép
toán sau:
BCAB)a
+

ACBA)b
+
Ví dụ 2: Cho ABC có D, E, F lần lợt là trung điểm

của các cạnh BC, CA, AB. Thực hiện các phép toán
sau:
(Tiết 4). Tổng và hiệu của hai véc tơ (tiếp)
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
HĐ5: Hiệu hai véc tơ
4. Hiệu của hai véc tơ
6
A
B
D
C
B
A
C
F
D
E
HS quan sát trên hình vẽ
Nhận xét về độ dài và hớng
của hai véc tơ
AB
và
CD

Ghi nhận khái niệm véc tơ đối
Học sinh vẽ hình
Vẽ các véc tơ bằng nhau trong
ví dụ
Cho
AB

+
BC
=
0
hãy
chứng tỏ
BC
là véc tơ đối của
AB

Hãy giải thích vì sao hiệu của
hai véc tơ
OB
và
OA
là véc
tơ
AB

Xây dựng qui tắc
Vẽ hình
HĐ6: Củng cố kiến thức thông
qua bài tập áp dụng
Học sinh nêu cách chứng
minh bài toán?
Lấy I là trung điểm BC dựng
a)Véc tơ đối
Vẽ hình bình hành ABCD
GV nêu khái niệm véc tơ đối
Véc tơ đối của véc tơ

a
là -
a
Véc tơ
AB
có véc tơ đối là
BA
nghĩa là
-
AB
=
BA

Véc tơ đối của véc tơ
0
là
0

Ví dụ: nếu D, E, F lần lợt là trung điểm các cạnh BC,
CA,
AB
của ABC khi đó ta có
EF
= -
DC
;
BD
= -
EF
;

EA
= -
EC

b)Định nghĩa hiệu của hai véc tơ
GV nêu định nghĩa: Cho hai véc tơ
a
và
b
. Ta gọi
hiệu của hai véc tơ
a
và
b
là véc tơ
a
+ (-
b
), ký
hiệu
a
-
b
.
Nh vậy
a
-
b
=
a

+ (-
b
)
Với ba điểm O, A,
b
tuỳ ý ta có:

AB
=
OB
-
OA



Chú ý:
1)Phép tìm hiệu của hai véc tơ còn gọi là phép trừ véc
tơ
2) Với ba điểm tuỳ ý ta luôn có
AB
+
BC
=
AC
(quy tắc ba điểm)
AB
-
AC
=
CB

(quy tắc trừ)
5. áp dụng
a)Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ
khi
IA
+
IB
=
0
b) Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
GA
+
GB
+
GC
=
0
7
D
A
C
B
O
A
O
B
O
hình bình hành BGCD
Ghi nhận công thức về trung
điểm và trọng tâm tam giác

Giải:
b) Gọi I là trung điểm của AB lấy điểm D đối xứng
với điểm G qua I. Khi đó BGCD là hình bình hành và
G là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Suy ra
GB
+
GC
=
GD
và
GA
+
GD
=
0
Ta có:
GA
+
GB
+
GC
=
0
Ngợc lại , giả sử
GA
+
GB
+
GC

=
0
. Vẽ hình
bình hành BGCD có I là giao điểm của hai đờng chéo.
Khi đó
GB
+
GC
=
GD
, suy ra
GA
+
GD
=
0
Nên G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Do đó ba
điểm A, G, I thẳng hàng,
GA
= 2
GI
. Vởy G là trọng
tâm tam giác ABC.
4. Củng cố
Củng cố lại cho học sinh về quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trừ
hai véc tơ, và các tính chất của tổng và hiệu các vectơ.
Củng cố lại về điều kiện cần và đủ để điểm I là trung điểm của đoạn thẳngAB,
điểm G là trọng tâm của tam giác ABC
5. Bài tập
Hớng dẫn giải bài tập 1,2, 10 cho học sinh về nhà làm.

Về nhà học bài, làm bài tập về nhà 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (SGK trang 12)
Tiết 5. Bài tập
I. Mục tiêu
- Củng cố các phép toán tổng, hiệu các véc tơ, vận dụng giải bài tập.
- Rèn kỹ năng giải bài tập, biết vận dụng đợc các công thức một cách linh hoạt khi
làm bài.
- Rèn luyện t duy phân tích, tổng hợp t duy lôgíc, biết quy lạ về quen. Cẩn thận,
chính xác.
II. Chẩn bị
- Học sinh đã đợc chuẩn bị làm bài tập ở nhà.
III. Phơng pháp
Phát vấn gợi mở vấn đáp phát hiện vấn đề, hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình lên lớp
1. ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Học sinh lên bảng làm bài tập
8
3. Nội dung bài học
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
Học sinh vẽ hình theo yêu
cầu bài tập 1
Cho biết vị trí của điểm M
Nêu cách chứng minh bài
toán
Phân tích các véc tơ theo
điểm B và D.
Sử dụng các véc tơ bằng nhau
đa các véc tơ đã cho về công
thức tìm hiệu hai véc tơ.
Bài 1: Vẽ hình minh hoạ bài tập
Bài 2:

MA
+
MC
=
MB
+
BA
+
MD
+
DC

=
MB
+
MD
+
BA
+
DC
=
MB
+
MD
Bài 4:
RJ
+
IQ
+
PS

=
RA
+
AJ
+
IB
+
BQ
+
PC

+
CS
= (
RA
+
CS
) + (
AJ
+
IB
) + (
BQ
+
PC
)
=
0
Bài 6:
a)

CO
-
OB
=
OA
-
OB
=
BA

b)
AB
-
BC
=
AB
-
AD
=
DB

c)
DA
-
DB
=
BA
,
OD
-

OC
=
CD

vì
BA
=
CD
nên
DA
-
DB
=
OD
-
OC
.
d)
DA
-
DB
+
DC
=
BA
+
DC
=
0
,

vì
BA
= -
DC

Bài 9: Gọi I là trung điểm của AD và J là trung
điểm của BC. Ta có
AB
=
CD

AI
+
IJ
+
JB
=
CJ
+
JI
+
ID

9
A
C
A
B
A
M

A
D
A
C
A
B
A
M
A
A
C
A
B
A
D
A
O
A
B
A
D
A
A
C
A
Học sinh vẽ hình minh hoạ?
Xác định lực tổng hợp của ba
lực
1
F

,
2
F
,
3
F
.
Xác định cờng độ lực tổng
hợp
4
F
.
(
AI
-
ID
) +
IJ
=
JI
+ (
CJ
-
IB
)

IJ
=
JI

IJ
=
0
I J.
Bài 10:
Vật đứng yên là do
0FFF
321
=++
. Vẽ hình thoi
MAEB ta có
MEFF
21
=+
và lực
MEF
4
=
có cờng
độ là
3100
. Ta có
0FF
43
=+
do đó
3
F
Là véc tơ đối của
4

F
. Nh vậy
3
F
có cờng độ là
3100
(N) và ngợc hớng với
4
F
.
4. Củng cố
Hệ thống lại các công thức, kỹ năng vận dụng giẩi bài tập.
Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có:
AB
+
BC
=
AC
;
AB
=
CB
-
CA

I là trung điểm của AB
IA
+
IB
=

0
G là trọng tâm của tam giác ABC
GA
+
GB
+
GC
=
0

5. Bài tập: Về nhà làm các bài tập số 8, 9, 11, 13, 14, 15 (SBT trang 21) .
Đọc trớc bài Tích của véc tơ với một số.
BàI 3. Tích của véc tơ với một số
10
A
M
B
M
E
M
0
60
2
F
1
F
4
F
3
F

M
Tiết 6, 7
I. Mục tiêu:
- Hiểu và nắm vững định nghĩa, tính chất của tích véc tơ với một số.
- Cho véc tơ
a
và số k biết dựng véc tơ k
a
. Biết vận dụng giải bài tập.
- Sử dụng đợc các điều kiện cần và đủ để hai véc tơ cùng phơng:
a
và
b
cùng ph-
ơng có số k để
a
= k
b
(
b

0
)
- Cho hai vec tơ
a
và
b
không cùng phơng và véc tơ
x
tuỳ ý. Biết tìm hai số h và

k sao cho
x
= k
a
+ h
b
.
- Phát triển t duy logic, khái quát. Biết phân tích, tổng hợp. Tích cực chủ động,
sáng tạo trong học tập.
II. Chuẩn bị
- Đọc trớc bài ở nhà, chuẩn bị đồ dùng dạy học.
III. Phơng pháp:
- Thuyết trình gợi mở vấn đáp phát hiện vấn đề, hoạt động nhóm
IV. Tiến trình tổ chức giờ học
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ : Cho
a
dựng các véc tơ:
a
+
a
;
a
+
a
+
a
, nhận xét về h-
ớng, độ dài của các véc tơ đó. So sánh với véc tơ
a

.
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐ1: Hình thành định nghĩa
Học sinh xác định tổng của
hai véc tơ
a
+
a

Cho biết độ dài và hớng của
véc tơ đó so với
a

Tìm véc tơ đối của các véc tơ
k
a
và 3
a
- 4
b

HĐ2: Tính chất
GV hớng dẫn học sinh cách
chứng minh các tính chất.
1.Định nghĩa
GV cho ví dụ: Cho véc tơ
a

0

. Xác định độ dài
và hớng của véc tơ
a
+
a

Định nghĩa: GV nêu trong SGK
Quy ớc 0
a
=
0
, k
0
=
0

Ví dụ: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, D và E
lần lợt là trung điểm của BC và AC. Khi đó ta có
GA
= (-2)
GD
,
AD
= 3
GD
,
GA
=
AB)
2

1
(


11
A
E
Ghi nhận kiến thhức
HĐ3: Ap dụng
Học sinh nêu lại điều kiện để
điểm I là trung điểm của
đoạn thẳng AB
Điểm G là trọng tâm của tam
giác ABC. Sử dụng mục 5
của Đ2 để chứng minh khẳng
định trên.
HĐ4: ĐK hai véc tơ cùng ph-
ơng
Véc tơ
AB
= k
AC
có kết
luận gì đối với ba điểm A, B,
C.
Học sinh vẽ hình theo hớng
dẫn của giáo viên.
Ghi nhận kiến thức.
HĐ5: Phân tích véc tơ
Hai véc tơ

a
và
'OA
có tính
2. Tính chất
Với hai véc tơ
a
và
b
bất kỳ, với mọi số h và k, ta
có:
k(
a
+
b
) = k
a
+ k
b
;
(h + k)
a
= h
a
+ k
b
;
h(k
a
) = (hk)

a

1.
a
=
a
, (-1).
a
= -
a

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của
tam giác
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với
mọi điểm M ta có
MA
+
MB
= 2
MI

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với
mọi điểm M ta có
MA
+
MB
+
MC
= 3
MG

4. Điều kiện để hai véc tơ cùng phơng
Điều kiện cần và đủ để hai véc tơ
a
và
b
(
b

0
)
cùng phơng là có một số k để
a
= k
b
.
Thật vậy, nếu
a
= k
b
thì hai véc tơ
a
và
b
cùng
phơng. Ta lấy k =
b
a
nếu
a

và
b
cùng hớng và
lấy k = -
b
a
nếu
a
và
b
ngợc hớng. Khi đó ta có
a
= k
b
.
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C, thẳng hàng
khi và chỉ khi có số k khác 0 để
AB
= k
AC
5. Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không
cùng phơng.
Cho
a
=
OA
,
b
=
OB

là hai véc tơ không cùng
phơng và
x
=
OC
là một véc tơ tuỳ ý.
Kẻ CA // OB và CB // OA. Khi đó
x
=
OC
=
'OA
+
'OB
. Vì
'OA
và
a
là hai véc tơ cùng ph-
ong nên có số h để
'OA
= h
a
. Vì
'OB
và
b
cùng
phơng nên có số k để
'OB

= k
b
.
Vậy
x
= h
a
+ k
b
.
12
B
C
D
G

O
A
A
C
B
B


chất gì?
Hai véc tơ
b
và
'OB
có tính

chất gì?

Cho hai véc tơ
a
và
b
không cùng phơng. Khi đó
mọi véc tơ
x
đều phân tích đợc một cách duy
nhất theo hai véc tơ
a
và
b
, nghĩa là có duy nhất
cặp số h, k sao cho
x
= h
a
+ k
b
.
4. Củng cố
Hệ thống các kiến thức trọng tâm của bài, các công thức véc tơ tích, tính chất, công thức
trung điểm đọa thẳng, trọng tâm tam giác.
5. Bài tập
Về nhà học kỹ bài và làm các bài tập 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 (SGK trang 17).
Tiết 8. Bài tập
I. Mục tiêu
Củng cố định nghĩa, tính chất phép nhân vectơ với một số, vận dụng giải bài tập.

Rèn kỹ năng vận dụng các công thức một cách linh hoạt khi làm bài tập.
- Rèn luyện t duy phân tích, tổng hợp t duy lôgíc, biết quy lạ về quen. Cẩn thận,
chính xác.
II. Chẩn bị
- Học sinh đã đợc chuẩn bị làm bài tập ở nhà. Chuẩn bị đồ dùng học tập.
III. Phơng pháp
Phát vấn gợi mở vấn đáp phát hiện vấn đề, đan xen hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình tổ chức giờ học
1. ổn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ: Kiểm tra bài cũ trong quá trình làm bài tập.
3. Nội dung bài mới
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Học sinh lên bảng làm bài tập
Sử dụng quy tắc hình bình
Bài 1:
AB
+
AC
+
AD
=
AB
+
AD
+
AC

=
AC
+

AC
= 2
AC

13
hành tính tổng các véc tơ.
Phân tích véc tơ
AB
theo
điểm G.
Phân tích véc tơ
BC
thành
hiệu hai véc tơ theo điểm A
Phân tích véc tơ
CA
thành hai
véc tơ
AB
và
BC
.
Phân tích véc tơ
MN
theo
điểm A và C.
Phân tích véc tơ
MN
theo
điểm B và D.

Phân tích véc tơ
MN
theo
điểm B và C.
Phân tích véc tơ
MN
theo
điểm A và D.
Tính tổng hai véc tơ
MA
+
MB
Từ đó suy ra M là trung điểm
của CC
Bài 2:
AB
=
AG
+
GB
=
BM
3
2
AK
3
2

=
)vu(

3
2

=
BC
AC
-
AB
= 2
AM
-
AB
=
= 2(
AG
+
GM
)
AB
=
v
3
4
u
3
2
)v
3
2
u

3
2
()v
3
1
u
3
2
(2
+=+

CA
= -
AC
= -(
AB
+
BC
)
=
v
3
2
u
3
4
)v
3
4
u

3
2
()vu(
3
2
=+
Bài 5:
BDACMN2
DNBDMBMN
CNACMAMN
+=
++=
+
++=

ADBCMN2
DNADMAMN
CNBCMBMN
+=
++=
+
++=
Bài 7:
Gọi C là trung điểm của AB
MA
+
MB
+ 2
MC
=

0
2
'MC
+ 2
MC
=
0


'MC
+
MC
=
0

Vậy M là trung điểm của trung tuyến CC
Bài 8:
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR và G là trọng
tâm tam giác NQS. Ta có
14
B
A
M
A
A
D
A
N
A
C

V
A
Nêu ra nhận xét để hai tam
giác ABC và ABC có cùng
trọng tâm là G và G,
'GG3'CC'BB'AA
=++
0)GFGEGDGCGBGA(
2
1
GRGPGM
=+++++=
=++
0)F'GE'GD'GC'GB'GA'G(
2
1
S'GQ'GN'G
=+++++=
=++
Do đó:
=+++++
GFGEGDGCGBGA
=
F'GE'GD'GC'GB'GA'G
+++++
6
'GG
=
0
G G

4. Củng cố
Củng cố lại về các phép toán cộng trừ véc tơ, phân tích véc tơ, tính chất trung
điểm, tính chất trọng tâm.
Chứng minh hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm.
Cách dựng véc tơ k
a
+ h
b
, phơng pháp phân tích và chứng minh
5. Bài tập
Về nhà ôn tập, làm các bài tập số: 23, 24, 26, 27, 31, 32 (SBT trang 31, 32).
Chuẩn bị kiểm tra 1 tiết (tiết 9).
Tiết 9. Kiểm tra
Đề bài.
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD.
Thực hiện các phép toán sau:
a)
DOCOBOAO
+++
b)
ACADAB
++
c)
ODOC

Câu 2. Cho tứ giác ABCD, M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA. Chứng minh rằng:
a)
QPMN
=

b)
MQMNMP
+=
Câu 3. Cho ABC, trọng tâm G; M, N, P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA.
Chứng minh rằng:
OGPGNGM
=++
Đáp án
Câu 1(3 điểm)
a)
ODOCOBOAO
=+++
15
b)
ACACADAB 2
=++
c)
DCODOC
=
Câu 2 (4 điểm)
a)
ACQPMN
2
1
==
(đờng trung bình trong tam giác)
b) Tứ giác MNPQ là hình bình hành nên có:
MQMNMP
+=
Câu 3(3 điểm)

OGCGBGA)GAGCGCGBGBGA(GPGNGM
=++=+++++=++
2
1
BàI 4. Hệ trục toạ độ
Tiết 10, 11
i. Mục tiêu
- Biểu diễn các điểm và các véc tơ bằng các cặp số trong hệ trục toạ độ đã cho
Ngợc lại xác định đợc điểm A và véc tơ
u
khi cho biết toạ độ của chúng
- Biết tìm toạ đọ các véc tơ
u
+
'u
,
u
-
'u
, k
u
khi biết toạ độ
u
và
'u
và số k.
- Biết sử dụng công thức toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng và toạ độ
trọng tâm một tam giác.
ii. Phơng pháp
- Thuyết trình phát vấn gợi mở vấn đáp

- Đặt vấn đề cho học sinh giải quyết
- Hoạt động nhóm của học sinh
iii. Tiến trình tổ chức giờ học
1. ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ
3. Nội dung bài giảng
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
16
Nêu vấn đề:
Giúp học sinh tái hiện lại về
trục số thực.
Gắn toạ độ vào các véc tơ trên
trục (O ;
e
).
Độ dài đại số của đoạn thẳng
Học sinh vẽ hình minh hoạ
Hình vẽ SGK học sinh phân
tích các véc tơ đã cho theo các
véc tơ
i
và
j

1. Trục và độ dài đại số trên trục
a) Trục toạ độ
Kí hiệu là : (O ;
e
),
e

gọi là véc tơ đơn vị của trục
b) Cho M là một điểm tuỳ ý trên trục (o ;
e
).
Khi đó có duy nhất số thực k sao cho
OM
= k
e
.
Ta gọi số k đó là toạ độ của điểm M đối với trục
đã cho.
c) Cho hai điểm A và B trên trục (O ;
e
).
Khi đó có duy nhất số thực a sao cho
AB
= a
e
.
Ta gọi số a đó là độ dài đại số của véc tơ
AB
đối
với trục đã cho và kí hiệu là a =
AB
Nhận xét: Nếu
AB
cùng hớng với
e
thì
AB

= AB,
còn nếu
AB
ngợc hớng với
e
thì
AB
= - AB.
Nếu hai điểm A và B trên trục (O ;
e
) có toạ độ lần
lợt là a và b thì
AB
= b a.
2. Hệ trục toạ độ
a) Định nghĩa: (SGK)
Kí hiệu: Oxy hay còn gọi là mặt phẳng Oxy
b) Toạ độ của véc tơ
Phân tích các véc tơ
a
và
b
theo hai véc tơ
i
và
j
.
17
x
i

j
y
O


x
i
j
y
O
M
O
O

O
x
1
1
y
O
x
i
j
y
O


A
1
A

2
A
Em hãy phân tích véc tơ
u

theo
i
và
j
.
Phân tích véc tơ
OA
theo hai
véc tơ
i
và
j

Xác định toạ độ của các điểm
A, B, C trên hình vẽ sau?
Chứng minh công thức dựa
vào véc tơ
OA
và
OB

u
= (x ; y)

u
= x
i
+ y
j
cặp số (x ; y) gọi là
toạ độ của véc tơ
u
, x gọi là hoành độ, y gọi là
tung độ.
Nếu
u
= (x ; y) ,
'u
= (x ; y) thì



=
=
=
'yy
'xx
'uu
c) Toạ độ của một điểm
M = (x ; y)
OM
= x
i
+ y

j


d) Liên hệ giữa toạ độ của véc tơ và của điểm
Cho A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) . Ta có toạ độ của véc
tơ
AB
= (x
B
x
A
; y
B
- y
A
)
Tiết 11. Hệ trục toạ độ (tiếp)
18
A
x
i
j

y
O
C
B
C
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hớng dẫn học sinh:
Chứng minh công thức tổng
của hai véc tơ?
Phát biểu định lý:
Suy ra cách chứng minh các
công thức còn lại.
Tính toạ độ véc tơ 2
a
,
Tính 2
a
+
b
Tính 2
a
+
b
+
c

Phân tích véc tơ
c
theo hai
véc tơ

a
và
b
mà em đã đợc
học.
áp dụng hai véc tơ bằng nhau
để tìm h và k?
Chứng minh công thức dựa
vào
AI
=
IB

Chứng minh công thức dựa
vào
GA
+
GB
+
GC
=
0

áp dụng công thức tính toạ độ
điểm I.
Tính toạ độ trọng tâm G của
tam giác ABC
3. Toạ độ của các véc tơ
u
+

v
,
u
-
v
, k
u
.
Cho
u
= (x ; y) và
v
= (x ; y). Khi đó
u
+
v
= (x + x ; y + y)
u
-
v
= (x x ; y y)
k
u
= (kx ; ky)
Ví dụ1: Cho
a
= (1 ; - 2),
b
= (3 ; 4),
c

= (5 ; -1)
Tìm toạ độ véc tơ
u
= 2
a
+
b
+
c

Ta có: 2
a
= (2 ; - 4), 2
a
+
b
= (5 ; 0),
2
a
+
b
+
c
= (0 ; 1). Vậy
u
= (0 ; 1)
Ví dụ 2: Cho
a
= (1 ; - 1),
b

= (2 ; 1). Hãy phân
tích véc tơ
c
= (4 ; - 1) theo
a
và
b
.
Giả sử
c
= k
a
+ h
b
= (k + 2h ; - k + h)
Ta có



=
=




=+
=+
1h
2k
1hk

4h2k
Vậy
c
= 2
a
+
b
.
Nhận xét: Hai véc tơ
u
= (x ; y) và
v
= (x ; y)
với
v

0
cùng phơng khi và chỉ khi có một số k
sao cho x = kx, y = ky.
4. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng. Toạ độ của
trọng tâm tam giác.
a) Cho đoạn thẳng AB có A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
).

Ta chứng minh đợc toạ độ trung điểm I(x
I
; y
I
) của
đoạn thẳng AB là:

2
yy
y,
2
xx
x
BA
I
BA
I
+
=
+
=

b) Cho tam giác ABC có A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B

),
C(x
C
; y
C
). Khi đó toạ độ trọng tâm G(x
G
; y
G
) của
tam giác ABC đợc tính theo công thức:

3
yyy
y,
3
xxx
x
CBA
G
CBA
G
++
=
++
=
Ví dụ 3: Cho A(2 ; 0), B(0 ; 4), C(1 ; 3). Tìm toạ độ
trung điểm I của đoạn thẳng AB và trọng tâm G
của tam giác ABC.
Ta có

1
2
02
x
I
=
+
=

2
2
40
y
I
=
+
=

1
3
102
x
G
=
++
=

3
7
3

340
y
G
=
++
=
19
4. Củng cố
- Hệ thống các kiến thức trong bài, khắc sâu các công thức trọng tâm.
- Khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, của điểm, các tính chất.
- Hớng dẫn học sinh làm bài tập số 5.
5. Bài tập
Học thuộc các công thức vận dụng làm các bài tập 1,2, 3, 6, 7, 8 (SGK trang 27).
Tiết 12. Bài tập
I. Mục tiêu
- Biểu diễn các điểm và các véc tơ bằng các cặp số trong hệ trục toạ độ đã cho
Ngợc lại xác định đợc điểm A và véc tơ
u
khi cho biết toạ độ của chúng
- Biết tìm toạ đọ các véc tơ
u
+
'u
,
u
-
'u
, k
u
khi biết toạ độ

u
và
'u
và số k.
- Biết sử dụng công thức toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng và toạ độ
trọng tâm một tam giác.
II. Phơng pháp
- Thuyết trình phát vấn gợi mở vấn đáp
- Gợi mở vấn đề
- Cho học sinh làm bài theo nhóm
Iii. Tến trình tổ chức giờ học
1. ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ
Em hãy viết các công thức đã học trong bài Hệ trục toạ độ
3. Nội dung bài học
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
20
Học sinh đọc bài tập số 2 và
trả lời xem mệnh đề nào
đúng?
Học sinh đọc bài tập số 4 và
trả lời các khẳng định đúng?
Em hãy cho biết biểu diễn của
véc tơ
a
qua hai véc tơ đơn vị
i
và
j

Em hãy vẽ hệ trục toạ độ Oxy
Vẽ điểm A, điểm B, điểm C.
Cho học sinh lên bảng làm.
Trong hình bình hành ABCD
ta có các cặp véc tơ nào bằng
nhau?
AB
=
DC
khi nào?
Các tứ giác ABAC,
BABC, CBCA là hình gì?
Từ đó suy ra cách xác định
đinht thứ 4 của hình bình hành
đó,
Trả lời các bài tập 2, 4.
Bài 2: a) đúng; b) đúng; c) sai; d) đúng
Bài 4: a) đúng; b) đúng; c) đúng; d) đúng
Bài 1:
AB
= 3,
MN
= - 5
Bài 3:
a)
a
=(2 ; 0); b)
b
= (0 ; - 3)
c)

c
= (3 ; - 4) d)
)3;2,0(d
=
Bài 5:
a) A(x
0
; - y
0
)
b) B(- x
0
; y
0
)
c) C(- x
0
; - y
0
)
Bài 6: ABCD là hình bình hành ta có :
AB
=
DC

AB
= (4 ; 4);
DC
= (4 x
D

; - 1 y
D
).
21
M
O

O
A
O
B
O
N
O
y
y
y
y
y
y
M
y
y

y
B

Phân tích véc tơ
c
theo hai

véc tơ
a
và
b
.
Ta có:



=
=




=
=
5y
0x
y14
x44
D
D
D
D
Vậy D = (0 ; - 5).
Bài 7:

=
=




=+
=
=
1y
8x
32y
62x
'B'AA'C
A
A
A
A



=
=




=
=
=

5y
4x
6y1
0x4
'B'C'BA
B
B
B
B



=
=




=
=+
=
7y
4x
61y
04x
'B'CC'A
C
C
C
C

Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G(0 ; 1) và
toạ độ của trọng tâm tam giác ABC là G(0 ; 1).
Vậy G G.
22
C
B
C
A
B
A
Bài 8:
Giả sử
c
= h
a
+ k
b
. Khi đó



=
=




=+
=+
1k

2h
0k4h2
5kh2
. Vậy
c
= 2
a
+
b
.
4. Củng cố
Củng cố về toạ độ của véc tơ, toạ độ của véc tơ đối, toạ độ của điểm đối xứng, toạ
độ trung điểm của đoạn thẳng, toạ độ của trọng tâm tam giác, biểu diễn một véc tơ theo
hai véc tơ không cùng phơng theo toạ độ.
5. Bài tập
Về nhà học kỹ lại bài và làm các bài tập ôn tập chơng I trong SGK.
Làm các bài tập 40, 41, 42, 43, 44, 45 (SBT trang 42).
Tiết 13. Ôn tập chơng i
I. Mục tiêu
Ôn tập lại toàn bộ kiến thức đã học ở chơng I; Véc tơ: véc tơ cùng phơng, véc tơ
cùng hớng, hai véc tơ bằng nhau. Phép cộng véc tơ: quy tắc cộng tam giác, quy tắc hình
bình hành. Phép trừ véc tơ: véc tơ đối của một véc tơ, quy tắc trừ véc tơ. Tích của véc tơ
với một số: tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác, phân tích một véc tơ theo
hai véc tơ không cùng phơng. Toạ độ trong mặt phẳng: toạ độ véc tơ, toạ độ của điểm,
công thức toạ độ trung điểm, công thức toạ độ trọng tâm tam giác, xác định toạ độ hai
véc tơ bằng nhau.
II. Phơng pháp
- Thuyết trình kết hợp với phát vấn gợi mở
- Đặt vấn đề. Thảo luận nhóm
III. Tiến trình lên lớp

1. ổn định tổ chức lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Thông qua việc giải bài tập.
3. Nội dung bài giảng
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Học sinh trả lời theo câu hỏi
I. Ôn tập lại các kiến thức đã học
23
phát vấn các nội dung sau:
- Véc tơ, véc tơ cùng phơng,
véc tơ cùng hớng, véc tơ bằng
nhau.
- Quy tắc cộng véc tơ
- Quy tắc trừ véc tơ
- Nhân véc tơ với một số
- Toạ độ véc tơ, toạ độ của
điểm.
Từ giả thiết bài toán
AB
=
DC
em suy ra ABCD là hình
gì?
Sử dụng quy tắc hình bình
hành xác định tổng hai véc tơ?
Phân tích véc tơ
MP
theo
điểm S?
Phân tích véc tơ
NQ

theo
điểm P?
Phân tích véc tơ
RS
theo
điểm Q?
Học sinh vẽ hình.
Tính toạ độ véc tơ tổng?
- Véc tơ, véc tơ cùng phơng, véc tơ cùng hớng, véc
tơ bằng nhau.
- Quy tắc cộng véc tơ
- Quy tắc trừ véc tơ
- Nhân véc tơ với một số
- Toạ độ véc tơ, toạ độ của điểm.
II. Bài tập
Bài 1: Các véc tơ bằng
AB

Bài 3: Nếu
AB
=
DC
thì ABCD là hình bình
hành. Lại có
BCAB
=
. Vậy ABCD là hình thoi.
Bài 6: a)
3aACAB
=+

b)
aACAB
=
Bài 7:
MP
+
NQ
+
RS
=

RQNPMS
)QSPQSP(RQNPMS
QSRQPQNPSPMS
++=
+++++=
+++++=

Bài 8:
a)
OM
=
2
1
OA

b)
OAOB
2
1

OAONAN
==
c)
MN
=
OA
2
1
OB
2
1
)OAOB(
2
1
AB
2
1
==
d)
MB
=
OB
-
OM
=
OBOA
2
1
+
Bài 11:

a)
u
= (40 ; - 13);
b)
x
=
b
-
c
-
a
= (8 ; - 7)
c) k
a
+ h
b
= (2k + 3h ; k 4h)
24
A
B
C
D
E
F
O
AB
=
OC
=
FO

=
ED

O
M
A
N
B
Điều kiện cần và đủ để hai véc
tơ
u
và
v
cùng phơng?
c
= k
a
+ h
b




=
=




=

=+
1h
2k
2h4k
7h3k2
Bài 12:
u
= (
2
1
; - 5),
v
= (m ; - 4). Hai véc tơ cùng ph-
ơng
5
2
m
5
4
2
1
m
=


=
4. Củng cố
Biết thực hiện phép cộng véc tơ, phép trừ véc tơ, tích vectơ với một số.
Nắm vững hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, của điểm, các phép toán về tọa độ.
Biết sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng và đối với phép trừ. Biết sử dụng

quy tắc hình bình hành để cộng, trừ hai véc tơ và tọa độ vectơ giải bài tập.
Biết phân tích một véc tơ thành tổng của hai véc tơ không cùng phơng
Biết chứng minh hai véc tơ cùng phơng và biết chứng minh ba điểm A, B, C thẳng
hàng bằng phơng pháp véc tơ.
5. Bài tập
Về nhà làm các bài tập còn lại và trả lời các câu hỏi trắc nghiệm ở cuối chơng,
Làm bài tập trong sách bài tập hình học.
25