Bài giảng Thống kê y học - Bài 5: Phân phối xác suất

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Mục tiêu
Sau khi nghiên cứu chủ đề, học viên có khả năng:
­ Phân biệt được 3 phân phối xác suất phổ biến: phân phối nhị thức, phân phối Poisson  
và phân phối bình thường.
­ Tính xác suất của phân phối nhị  thức và phân phối poisson khi được cung cấp các  
tham số
­ Xác định được phân phối xác suất của phân phối chuẩn  ở   một giá trị  bất kì, được 
phép sử dụng bảng số của phân phối chuẩn.
­ Tính tỉ lệ của dân số có một đặc trưng nhất định về một đại lượng có phân phối bình  
thường khi được cung cấp các tham số và bảng số của phân phối chuẩn.
1. Phân phối xác suất
Như  đã trình bày,nếu chúng ta chỉ  quan tâm đến giá trị  đại lượng được xác định bởi  
kết cục của phép thử,chúng ta mô tả biến cố là biến số ngẫu nhiên. Thí dụ nếu chúng 
ta tung 3 đồng tiền mà chỉ  quan tâm đến số  đồng tiên ra mặt ngửa thì chúng ta tạo ra  
biến số  ngẫu nhiên X là số  đồng tiền ngửa. Khi đó chúng ta có thể  kí hiệu (X=1) để 
chỉ  biến cố  gồm các kết cuộc có số  đồng tiền ngửa là 1 (gồm 3 biến cố  Sấp ­Sấp ­  
Ngửa; Sấp ­ Ngửa ­ Sấp; Ngửa ­ Sấp ­ Sấp). Xác suất của biến cố này được được gọi  
là phân phối xác suất của X. Áp dụng vào thí dụ  trên chúng ta có phân phối xác suất  
của X như sau:
xi

Số biến cố thuận 
lợi

f(xi)=P(X=xi)

F(xi)=P(X ≤  x)

0

1

1/8

1/8

1

3

3/8

4/8

2

3

3/8

7/8

3

1

1/8

1

Ðịnh nghĩa: Phân phối xác suất của biến số  rời rạc là một bảng mô tả  những giá trị 
của biến số rời rạc cùng với xác suất và xác suất tích luỹ tương ứng của nó. 
Xác suất của các biến số ngẫu nhiên X được gọi là hàm khối (mass function) của X ­ 
kí hiệu là f(x). Xác suất tích luỹ của biến số ngẫu nhiên X được gọi là hàm phân phối  
(distribution function) của X và được kí hiệu là F(x)
Hai đặc tính cơ bản của phân phối xác suất của biến số rời rạc:
(1) 0 ≤  P(X=x) ≤  1
(2) Σ P(X=x) = 1
Có hai phân phối xác suất rời rạc được sử dụng rộng rãi nhất là phân phối nhị thức và  
phân phối Poision. Chúng ta sẽ  thảo luận về  hai phân phối này và phân phối bình  
thường trong các phần sau.


2. Phân phối nhị thức
Bài toán: Giả  sử  chúng ta thực hiện n phép thử  đồng nhất và độc lập với nhau, mỗi  
phép thử  có 2 kết cuộc là thành công hay thất bại với xác suất thành công trong mỗi 
lần thử là p. Hãy tính xác suất có x lần thành công.
Khi thực hiện n lần thử chúng ta sẽ có 2n kết cục. Trong đó số kết cục có x lần thành 
công là = px(1­p)n­x  và số kết cục có x lần thành công là nCr
Vì vậy, xác suất có x lần thành công sau n lần thử là
P( X

x)

n

C x p x (1 p ) ( n

x)

Do xác suất này phụ thuộc vào x nên nó là hàm số của x và được gọi là hàm khối xác  
suất nhị thức (binomial probability mass function) 
f ( x)

P( X

x)

n

C x p x (1

p) ( n

x)

Thí dụ: giả sử trong một dân số nhất định, tỉ lệ sinh con trai là 52%. Nếu chúng ta xem  
xét kết quả của 5 lần sinh. Để tính xác suất trong 5 lần sinh này có đúng 3 lần sinh là 
con trai có thể lập luận như sau:
­ Ðể trong 5 lần sinh có 3 lần sinh con trai, có 5C3 = 5!/[3!x2!] = 10 cách khác nhau (đó 
là TGTTG, TTTGG, TGGTT, TTGTG, TTGGT, TGTGT, GTTTG, GGTTT, GTGTT, 
GTTGT). Xác suất xảy ra của một cách như  vậy = 0,523(1­0,52)2= 0,2304 x 0,1406 = 
0,032. Như vậy xác suất trong 5 lần sinh có 3 lần sinh là con trai là 10 x 0,032 = 0,32.
­ Chúng ta cũng có thể xem 5 lần sinh là thử nghiệm nhị thức gồm 5 lần thử đồng nhất 
và mỗi lần thử có hai kết cuộc (sinh con trai và sinh con gái ) và xác suất sinh con trai  
là 0,52 không thay đổi trong các lần thử. Áp dụng hàm mật độ  xác suất nhị  thức ta  
được
f (3)

P( X

3)

5

C 3 0,52 3 0,48 ( 5

3)

0,32

Thí dụ: Cho rằng  10% thanh niên trong dân số  là hút thuốc lá.  Để  tính xác suất có  
đúng 2 thanh niên hút thuốc lá trong nhóm 10 thanh niên chúng ta có thể sử dụng hàm  
mật độ xác suất nhị thức với n = 10, x = 2, and p = 0,1. Trong tr ường h ợp này xác suất 
là 0,1937.
Thí dụ: Giả sử có 30% trẻ dưới 5 tuổi bị suy dinh duỡng. Trong một mẫu 10 trẻ dưới  
5, tính xác suất có đúng 4 bị suy dinh dưỡng.
3. Phân phối Poisson
Bài toán: Giả sử trong một đơn vị thời gian trung bình có λ lần xuất hiện kết cục quan 
tâm. Hãy tính xác suất trong một đơn vị thời gian có x lần xuất hiện kết cục này.
Giả định một đơn vị thời gian được chia thành N phân tử thời gian với N là một số vô  
cùng lớn. Khi đó xác suất xảy ra kết cục quan tâm trong một phân tử thời gian là   λ/N. 
Khi đó bài toán có thể được đặt dưới dạng: Thực hiện thử nghiệm nhị thức với N lần  
thử đồng nhất và xác suất xảy kết cuộc quan tâm trong mỗi lần thử là   λ/N. Áp dụng 
công thức hàm mật độ xác suất nhị thức ta được


f ( x)

P( X

x

x)

C x p (1 p )

N
N

x

Nx
1
x! N x
N

(

N ( N 1) ... ( N
x!

( N x)

x

x 1)
N

( N x)

1

N

x

)

e
x!

x

e
x!
để nắm vững các phép biến đổi đại số kể trên cần nhớ lại định nghĩa của số e (cơ số 
của logarithm Neper)
f (X

e

1
lim 1
U
U

x)

U

=2,7183

Bài toán: Giả sử trong một đơn vị thời gian trung bình có λ lần xuất hiện kết cục quan 
tâm. Hãy tính xác suất trong t đơn vị thời gian có x lần xuất hiện kết cục này.
Giả định một đơn vị thời gian được chia thành N phân tử thời gian với N là một số vô  
cùng lớn. Như vậy trong t đơn vị thời gian có Nt phân tử thời gian. Xác suất xảy ra kết 
cục quan tâm trong một phân tử  thời gian là    λ/N. Khi đó bài toán có thể  được phát  
biểu dưới dạng: Thực hiện thử nghiệm nhị thức với Nt lần thử đồng nhất và xác suất  
xảy kết cuộc quan tâm trong mỗi lần thử là  λ/N. Áp dụng công thức hàm mật độ xác 
suất nhị thức ta được
f ( x)

P( X

x)

x

Nt

x

N xt x
1
x! N x
N

C x p (1 p )
Nt

(

)

Nt ( Nt 1) ... ( Nt
x!

( Nt x )

Nt

x

tx
x!

1

N

(

)

( t)x e

x

x 1)

N

( Nt x )

1

N

t

x!

Một cách tổng quát, phân phối Poisson được dùng làm mô hình cho số  lần xuất hiện  
các biến số  thuận lợi trong một khoảng thời gian (t đơn vị  thời gian) khi đã biết  λ, 
trung bình số  lần xuất hiện biến cố  trong  một đơn vị  thời gian. Hàm khối xác suất  
Poisson được trình bày công thức sau
f (X

x)

( t)x e

t

x!

với λ là tham số của phân phối và là số lần xuất hiện trung bình của biến cố trong một 
khoảng thời gian nhất định (hay trong một không gian nhất định) và e=2,7183.
Thí dụ: Giả  sử số  lần nhập viện trong ngày cấp cứu  ở  một bệnh viện có phân phối  
Poisson với số lần nhập viện trung bình là 3 lần/ngày.

Tính xác suất
a. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có đúng 2 trường hợp cấp cứu.
b. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có 1 trường hợp cấp cứu nào.
c. Trong một tuần có 7 trường hợp cấp cứu.


Tỉ suất
Số lần xuất  hiện trung bình của biến cố trong một đơn vị thời gian, λ,  còn được gọi 
là tỉ suất (rate) hay mật độ mắc mới (incidence rate). Khác với xác suất,  λ là đại lượng 
có đơn vị. Qua hàm khối của phân phối Poisson có thể nhận xét nếu trung bình số lần 
xuất hiện của biến cố trong một đơn vị  thời gian là λ thì trung bình số lần xuất hiện 
của t đơn vị thời gian là λt.
4. Phân phối xác suất của biến liên tục
Giả sử ta muốn tìm phân phối xác suất của biến liên tục (thí dụ như trọng lượng của  
trẻ sơ sinh), ta có thể phân loại trọng lượng sơ sinh thành nhiều nhóm nhỏ (thí dụ như 
từ  2,0kg đến < 2,1 kg, từ   2,1kg đến < 2,2 kg, v.v). Khi đó biến liên tục sẽ  trở  thành  
biến số rời rạc và ta có thể dùng phương pháp phân phối xác suất của biến rời rạc cho 
loại biến số này.
Nếu chúng ta lại chia thành những nhóm nhỏ hơn, phân phối sẽ tinh vi hơn và:
­ Ða giác tần suất sẽ trở thành đường cong trơn và được gọi là hàm mật độ  (density  
function) của phân phối với kí hiệu là f(x)
­ Phần diện tích  ở  dưới đường cong, được bao quanh bởi trục x và hai đường thẳng  
vuông góc đi qua a và b sẽ là P (a < X ≤ b).
­ Phần diện tích ở dưới đường cong nằm ở bên trái của đường thẳng vuông góc đi qua  
x là xác suất biến số ngẫu nhiên nhỏ hơn hay bằng x, kí hiệu là P(X ≤ x) hay F(x) được 
gọi hàm phân phối (distribution function) của biến ngẫu nhiên X
5. Phân phối bình thường
Phân phối bình thường là phân phối xác suất liên tục phổ  biến nhất. Hình 2 là đồ  thị 
của phân phối xác suất bình thường với trung bình là 0 và độ lệch chuẩn là 1.

Hình 1. Phân phối xác suất bình thường 
­ Phân phối bình thường là phân phối có hàm mật độ:
f ( x)

1
2

e

(x

)2 /2

2


Với  µ  là trung bình của phân phối với   σ  và  σ2  là phương sai là độ  lệch chuẩn và 
phương sai của phân phối. Để thể hiện biến số X có phân phối bình thường với trung  
bình là µ và phương sai σ2 còn có thể sử dụng kí hiệu
X ∼  N(µ,σ2)
Phân phối bình thường có 4 đặc tính quan trọng sau:
­ Mật độ cao nhất tập trung ở quanh giá trị µ, càng xa giá trị µ hàm mật độ càng giảm
­ Hàm mật độ tiến tới zero ở các giá trị cách xa µ
­ Hàm mật độ đối xứng qua đường thẳng đứng đi qua µ
­ Ngoài ra từ hàm mật  độ của phân phối bình thường người ta chứng minh được nếu 
biến số có phân phối bình thường với trung bình là µ và độ lệch chuẩn σ, xác suất giá 
trị  biến số  nằm từ  trung bình – 1,96 độ  lệch chuẩn đến trung bình + 1,96 độ  lệch  
chuẩn là 95%.
X~N(µ,σ2)  =>  P(µ ­ 1,96σ Hay nói khác đi, chỉ có 5% giá trị của biến số X nằm ngoài khoảng  µ ±  1,96σ 

Phân phối bình thường chuẩn hay còn gọi là phân phối chuẩn là phân phối bình thường 
có trung bình là zero và độ lệch chuẩn =1.
2
1
f ( z)
e z /2
2
Lưu ý: trong phân phối chuẩn, trục x được gọi là  trục z. Phân phối bình thường có thể 
biến thành phân phối chuẩn nếu ta  tạo biến ngẫu nhiêu mới z = (x­µ)/σ.
Thí dụ: Cho một phân phối bình thường, tính P(Z ≤  2,71).
Thí dụ: Cho một phân phối chuẩn, tìm diện tích nằm dưới đường cong, trên trục Z, 
nằm giữa z=­1 và z=2.
Thí dụ: tính xác suất Z được chọn bất kì trong dân số có phân phối bình thường có giá 
trị từ ­2,55 đến +2,55.
6. Ứng dụng phân phối bình thường
Mặc dù trong thực tế, không có một phân phối nào là phân phối bình thường một cách  
chính xác, có nhiều phân phối có thể được coi là xấp xỉ bình thường. Khi đó, nếu dùng  
mô hinh phân phối bình thường thì chúng ta có thể có những suy luận xác suất tiện lợi  
hơn rất nhiều so với việc sử  dụng những phương pháp phức tạp khác. Những phân 
phối được coi là xấp xỉ  bình thường là trọng lượng trẻ  sơ  sinh, chiều cao người  
trưởng thành, thương số thông minh.


Hình 3. Phân phối của phần trăm so với trọng lượng chuẩn của 1750 trẻ em học sinh nhà trẻ 
Hoa Hướng Dương 15, Q11, Thành phố Hồ Chí Minh (trung bình=92, độ lệch chuẩn =10)

a. Ước lượng tỉ lệ dân số có một thuộc tính nhất định
Thí dụ:Thương số thông minh trong một dân số  có trung bình =100 và độ  lệch chuẩn 
15. Chọn ngẫu nhiên một người trong dân số  này, tính xác suất người này có thương 
số thông minh nhỏ hơn 120.

P(IQ<120) = P(Z<(120­100)/15) = P(Z<1,33) =0,9082
Thí dụ: Giả sử trọng lượng của đàn ông ở thành phố Hồ chí Minh có phân phối chuẩn  
và có trung bình là 56 kg và độ  lệch chuẩn 10 kg. Tính xác suất một người đàn ông  
được chọn ngẫu nhiên có trọng lượng ở giữa 40 kg và 68 kg.
P(40 < TL < 68) = P(­1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2)  –  P(Z <­1,6) 
Áp dụng quy tắc: muốn tìm P(Z trừ cho số đó
P(Z ta có P(Z< ­ 1,6) = 1 ­ P(Z<|1,6|)
Ta được:
P(40   <   TL   <   68)   =   P(­1,6   <   Z   <   1,2)   =   P(Z<   1,2)     –     P(Z   <­1,6)  
=  0,8849 – (1 – 0,9452) = 0,8301
Thí dụ: Trong thành phố Hồ chí minh có cả thẩy 1.000.000 đàn ông trên 20 tuổi. Chấp  
nhận giả  định  ở  thí dụ  trên, hãy  ước tính ở  thành phố  Hồ  Chí Minh có bao người có 
trọng lượng lớn hơn 80 kg.
P(TL > 80) = P(Z> (80­56)/10) = P(Z>2,4) = 1­ P(Z<2,4) = 1­0,9918 = 0,0082
Vì vậy số đàn ông nặng hơn 80 kg = 1.000.000 x 0,00820 = 8200 người


b. Chẩn đoán cho cá nhân
Thí dụ: Theo tổ chức y tế thế giới, đứa trẻ 32 tháng bình thường có trọng lượng trung  
bình là 14 kg với độ lệch chuẩn là 1,5 kg. Một đứa trẻ 32 tháng nặng 13 kg có phải là  
bất bình thường về dinh dưỡng hay không?
Ðể  trả  lời câu hỏi này chúng ta phải xét hiện tượng đứa trẻ  32 tháng nặng 13 kg có 
phổ biến hay không.
P(TL <13) =  P(Z < ­ 0,66) = 1 – P(Z>0,66) = 1 – 0,7454 = 0,2546
Vì có đến 25,46%  trẻ  32 tháng có trọng lượng 13 kg hay nhẹ hơn nên cân nặng này  
không phải là bất thường.
Ðứa trẻ 32 tháng nặng 9 kg có phải là bất thường về dinh dưỡng hay không?
Tương tự như câu hỏi trước đó, chúng ta phải xét hiện tượng đứa trẻ 32 tháng nặng 9  

kg có phổ biến hay không.
P(TL <9) =  P(Z < ­ 2,66) = 1 – P(Z>2,66) = 1 – 0,9961 = 0,0039
Nghĩa là trong 1000 trẻ chỉ có khoảng 4 trẻ có trọng lượng 9 kg hay nhẹ hơn. Vì vậy  
đứa trẻ này được xem là suy dinh dưỡng.
Người ta quy  ước nếu xác suất xảy ra  một trị số  nào đó hay cực đoan hơn trị  số  đó  
nhỏ  hơn 5% thì trị  số đó là bất thường. Áp dụng tính chất thứ  tư  của phân phối bình  
thường, điều này có thể  phát biểu là nếu giá trị  nào nằm ngoài khoảng µ ±  1,96σ là 
giá trị  bất thường và giá trị  nằm trong khoảng µ ±  1,96σ là giá trị  bình thường. Phát 
biểu theo cách khác nếu khoảng cách giữa một trị  số  đến  giá trị  trung bình lớn hơn 
1,96 lần độ  lệch chuẩn (tương  ứng với |Z|>1,96) thì giá trị  đó là bất bình thường. Và 
giá trị tương ứng với |Z|<1,96 là giá trị bình thường.
Thí dụ: nếu đường huyết có phân phối bình thường với trung bình là 100 mg% và độ 
lệch chuẩn là 10 mg%. Hỏi khoảng giá trị bình thường của đường huyết là bao nhiêu?
Khoảng giá trị bình thường của  đường huyết tương ứng với   ­ 1,96 < Z < 1,96 hay 
100 ­ 1,96 ×  10 <  đường huyết <  100  + 1,96 ×  10 hay từ  80­120 mg%
Bài tập
Bài tập phân phối nhị thức
1. Giả  sử  bệnh nhân bị  viêm màng não có tỉ  lệ  tử  vong là 10%. Trong khoa lây của  
bệnh viện, hiện có 10 bệnh nhân bị viêm màng não. Tính xác suất:
a. Không có ai sống sót
b. Có ít nhất hai người bị chết
c. Có đúng 3 người bị chết
Bài giải:
Có thể xem diễn tiến của một bệnh nhân viêm màng não là một phép thử. Như 
vậy quan sát 10 phép thử đồng nhất và độc lập với nhau, mỗi phép thử có 2 kết  
cuộc là thành công hay thất bại với xác suất thành công trong mỗi lần thử  là  
0,9. Gọi X là số lần thành công ta có 
f ( x)

P( X

x)

n

C x p x (1 p ) ( n

x)


a. Xác suất không có ai sống sót = Xác suất số thành công bằng 0 = P(X=0)=
= 10C0 p0(1­p)(10­0) =10C10 . 0,90.0,110  =10!/(0!10!).0,110=1/(1010)
Xác suất là 1 phần mười tỉ.
b. Ta có
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+.......+P(X=10) = 1
It nhất hai người bị chết nghĩa là là có từ 0 đến 8 người sống. Do đó, xác suất  
có ít nhất hai người bị chết là:
P(X=0)+P(X=1)+.......+P(X=8) = 1­ P(X=9)­P(X=10)
Với P(X=10) = 10C10 p10(1­p)(10­10) = 0,910 = 0,3486
Và P(X=9) = 10C9 p9(1­p)(10­9) = 0,99 = 0,3874
Nên xác suất có ít nhất 2 người bị chết bằng: 1 ­ 0,3486 ­ 0,3874 = 0,264
c. Xác suât có đúng 3 người bị chết là = Xác suất có 7 người sống:
P(X=7) = 10C7 p7(1­p)(10­7) = 120 . 0,97 . 0,13 = 0,0574.
Bài tập phân phối Poisson
Biết rằng số  chuột trung bình trong mỗi hộ  gia đình  ở  Cần thơ  là 1,4 con. Nếu số 
chuột tuân theo phân phối Poisson, tính xác suất ở một gia đình nhất định có:
a. Không có con chuột nào?
b. Có một con chuột?
c. Có từ 3 con chuột trở lên?
Bài giải:

a. Sử dụng công thức
x

P(X=x) =

f ( x)

e

x!

với λ = 1,4 và x = 0 ta được  P(X=0) = 0,247 x 1,40  / 0! = 0,247
b. P(X=1) =  0,247 x 1,41  / 1! = 0,346
c. Vì P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X≥ 3) =1
Ta có P(X(3) = 1 ­ P(X=0)  ­ P(X=1)  ­ P(X=2)
Với  P(X=0) = 0,247 x 1,40  / 0! = 0,247
 
P(X=1) =  0,247 x 1,41  / 1! = 0,346
P(X=2) =  0,247 x 1,42  / 2! = 0,242
Nên 

P(X ≥  3) = 1 ­ 0,247 ­ 0,346 ­ 0,242 = 0,165

Phân phối bình thường
1. Hãy liệt kê 10 biến số ngẫu nhiên mà anh chị nghĩa rằng nó là phân phối xấp xỉ bình 
thường.
2. Nếu hàm lượng cholesterol  huyết thanh là phân phối xấp xỉ bình thường với trung  
bình là 200mg/100 ml và độ  lệch chuẩn là 20 mg/100ml. Tính xác suất một cá nhân 

được chọn ngẫu nhiên có giá trị  cholesterol (a) từ 180 đến 200 mg/100ml (b) lớn hơn 
225 mg/100 ml (c) nhỏ hơn 150 mg/100ml (d) giữa 190 và 210 mg/100 ml.
Bài giải
1. 
Những biến số có phân phối xấp xỉ bình thường là : chiều cao của đàn  
ông  trưởng thành, trọng lượng trẻ sơ sinh, hemoglobin máu, Hct, đường huyết,  
chu vi vòng cánh tay, nhịp tim, tuổi dậy thì của phụ nữ, cholesterol huyết thanh, 
tỉ trọng nước tiểu.
2.a.  

P(180 < cholesterol ≤  200) = P{(180­200)/20 < Z ≤  (200­200)/20} 
= P(­1 < Z ≤  0) = P(0 < Z ≤  1) = P(Z ≤  1) ­ P(Z ≤  0) = 0,8413 ­ 0,5 
= 0,3413

2.b.  

P(cholesterol > 225) = 1­P(cholesterol ≤  225) = 1­ P{Z ≤  (225­200)/20} 
= 1 ­ P(Z ≤  1,25) = 1 ­ 0,8944 = 0,1056

2.c. 

P(cholesterol  ≤   150)   =     P{Z  ≤   (150­200)/20}   =   P{Z  ≤   ­2,5}=   P{Z 
>2,5}= 1­P{Z ≤  2,5}=1­0,9938=0,0062

2.d. 

P(190 < cholesterol ≤  210) = P{(190­200)/20 < Z ≤  (210­200)/20} 
= P(­0,5 < Z ≤  0,5) = P(Z ≤  0,5) ­ P(Z ≤  ­0,5) = P(Z ≤  0,5) ­ P(Z >0,5)= 
P(Z ≤  0,5) ­ 1 + P(Z ≤  0,5)=2 x 0,6915 ­ 1 = 0,3830.