GA Bam sát GT 12 Chuẩn (cả năm)

Khảo sát hàm số
Tuần 1 Chuyên Đề : Sự Đơn Điệu Của hàm số
A/ Các kiến thức cần nhớ:
1) Dấu hiệu của sự đồng biến, nghịch biến:
Nếu f(x) > 0

x
(a;b) thì f(x) đồng biến trên(a; b).
Nếu f(x) < 0

x
(a;b) thì f(x) nghịch biến trên(a; b).
2) Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến (Nghịch biến ) trên tập D là: f(x)

0,
(f(x)

0),

x
D.
Các kiến thức về tam thức bậc hai cần nhớ
Tìm tham số để bất phơng trình
0)(
2
++=
cbxaxxf
(1)
a) Nghiệm đúng với mọi x. b) Nghiệm đúng với mọi x >

c) Nghiệm đúng với mọi x

d) Nghiệm đúng với mọi
);(


x
Tìm tham số để bất phơng trình
0)(
2
++=
cbxaxxf
(2)
a) Nghiệm đúng với mọi x. b) Nghiệm đúng với mọi x >

c) Nghiệm đúng với mọi x



d) Nghiệm đúng với mọi
[ ]

;

x
B/ Các bài tập:
Bài tập 1.1 (Sbt trang 5)
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) y = 3x

2
8x
3
; b)
432
3
16
216 xxxxy
+=
;
c) y = x
3
6x
2
+ 9x; d) y = x
4
+ 8x
2
+5.
Hớng dẫn - đáp số
a) Hàm số đb trên khoảng
);(
4
1
0
, nghịch biến trên các khoảng
);( 0

và

+
;
4
1
.
b) Hàm số đb trên khoảng
);( 4

và
);( 11

. NB trên các khoảng
);( 44

và
( )
+
;1
.
c) Hàm số đb trên khoảng
);( 1

và
( )
+

;3
. NB trên các khoảng
);( 31
.
d) Hàm số đb trên khoảng
( )
+
;0
. NB trên khoảng
);( 0

.
Bài tập 1.2 (Sbt trang 6)
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a)
7
23
+

=
x
x
y
; b)
2
5
1
)x(
y

=
; c)
9
2
2

=
x
x
y
;
d)
x
x
y
48
4
+
=
; e)
1
32
2
+
+
=
x
xx
y
; g)

2
35
2

+
=
x
xx
y
Hớng dẫn - đáp số
a) y =
2
7
17
)x(
+

< 0,
7

x
. Hàm số nb trên khoảng
);( 7

và
( )
+
;7
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--
1
b) y =
3
5
2
)x(


, hàm số đb trên khoảng
);( 5

, nb trên khoảng
( )
+
;5
.
c) y =
22
2
9
92
)x(
)x(

+
, hàm số nb trên các khoảng
);( 3

,

);( 33

và
( )
+
;3
.
d) y =
2
4
163
x
)x(

, hs đb trên các khoảng
);( 2

và
( )
+
;2
, nb trên (- 2 ; 0), (0 ; 2).
e) y =
2
2
1
52
)x(
xx
+

+
; y = 0 x = -1
6
.
g) y =
20
2
74
2
2
>

+
x,
)x(
xx
hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Bài tập 1.3 (Sbt trang 6)
Xét tính đơn điệu của hàm số.
a)
2
25 xy
=
; b)
100
+
=
x
x
y

; c)
2
16 x
x
y

=
; d)
6
2
3

=
x
x
y
.
Hớng dẫn - đáp số
a) TXĐ: [-5 ; 5],
2
25 x
x
'y


=
, hàm số đb trên khoảng (-5 ; 0), nb trên khoảng (0 ; 5).
b) TXĐ: [0 ; +),
2
1002

100
)x(x
x
'y
+

=
, hàm số đb trên (0 ; 100), nb trên (100 ; +).
c) TXĐ: (-4 ; 4) hàm số đồng biến trên khoảng (-4 ; 4).
d) TXĐ:
);();(
+
66
, hs đb trên các khoảng (- ; -3), (3 ; +) và nb trên các
khoảng
);(),;( 3663

.
Bài tập 1.4 (Sbt trang 6)
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) y = x sinx, x [0 ; 2]; b) y = x + 2cosx,







6
5

6

;

x
c) y =
x
sin
1
, (x > 0).
a) y = 1 cosx 0, x [0 ; 2] dấu = xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2.
Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0 ; 2].
b) y = 1 2sinx < 0 với mọi







6
5
6

;

x
, hàm số nghịch biến trên

6
5
6

;
.
Bài tập 1.5 (Sbt trang 6). Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tanx > sinx, 0 < x <
2

.
b)
+<<+<+<+
x,xx
x
x
0
2
1
11
82
1
1
2
.
Hớng dẫn - đáp số

a) Xét hàm số f(x) = tanx sinx trên [0 ;
2

), chứng minh f(x) đồng biến trên [0 ;
2

).
Bài tập nâng cao
1) Xét sự biến thiên của các hàm số:
a) y=-3x
3
+ 3x + 2 b) y=
x
x

1
c) y=
1
53
2

++
x
xx
2) Tìm m để hàm số
3)1()2(
2
1
3
1

223
+++=
xmxmxy
đồng biến trên
( )
+
;1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
2
3) Tìm m để hàm số
2)1(
2
)6(3
3
2
23
++



= mxmx
m
x
m
y
nghịch biến trên
( )
0;1

4) Tìm m để hàm số: y=
3
1
(m-4)x
3
+(m+2)x
2
+(m-1)x-2 nghịch biến với mọi x thỏa mãn:
1<
x
<3.
5) Cho hàm số: y=-x
3
+mx-m. Tìm m để hàm số đồng biến trên (1;2).
6) Cho hs: y= mx
3
-3mx
2
+3(m-1)x + m-1.Tìm m để hs nghịch biến trên một đoạn có độ
dài bằng 1.
7) Cho hàm số: y=
3
1
3
2
23
+
xx
.(C)
a) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến cuả hàm số.

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị (C) với Ox.
8) Cho hàm số: y =
xm
mx


1
. Tìm m để hàm số đồng biến trên(1;
+
).
9) Cho hàm số: y =
x
1x
+
(C). Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
10) Xác định m để hàm số y =
1
1
2

+
x
mxx
đồng biến trên từng khoảng xác định.
11) Xác định m để hàm số y =
mx
mxmx
+
++
1)1(2

2
nghịch biến biến trên khoảng (2;
+
).
12) Cho hàm số: y=
xm
mmxx

+
2
32
22
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+

).
13) Cho hàm số: y=
xcos
2
1x
2

. a) Tính y ; b) Giải pt y-(x-1)y=0.
Chứng minh rằng đồ thị hàm số có hai tiếp
Chứng minh rằng đồ thị hàm số có hai tiếp
Tuần 2 Chuyên Đề: cực trị Của hàm số
A/ Các kiến thức cần nhớ:
1) Định lí 1.
a)

+<
>
)hx;x(x,)x('f
)x;hx(x,)x('f
00
00
0
0
x
0
là điểm cực đại của hàm số f(x).
b)




+>
<
)hx;x(x,)x('f
)x;hx(x,)x('f
00
00
0
0
x
0
là điểm cực tiểu của hàm số f(x).

2) Định lí 2.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
3
a)




>
=
0
0
0
0
)x(''f
)x('f
x
0
là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
b)




<
=
0
0
0

0
)x(''f
)x('f
x
0
là điểm cực đại của hàm số f(x).
B/ Bài tập
a) y = -2x
2
+ 7x 5; b) y = x
3
3x
2
24x + 7;
c) y = x
4
5x
2
+ 4; d) y = (x + 1)
3
(5 x);
e) y = (x + 2)
2
(x 3)
3
.
Hớng dẫn - đáp số
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.
a) y = -4x + 7 = 0
4

7
=
x
, hàm số có cực đại là






8
9
4
7
;
.
b) Cực đại (-2 ; 35), cực tiểu (4 ; -73).
c) Cực đại (0 ; 4), hàm số có hai cực tiểu









4
9
2

5
;
.
d) Cực đại






16
2187
2
7
;
.
e) Cực đại (-2 ; 0), cực tiểu (0 ; -108).
Bài tập 1.9 (Sbt trang 11). Tìm cực trị của các hàm số sau.
a)
8
1
2
+
+
=
x
x
y
; b)
1

32
2

+
=
x
xx
y
; c)
1
5
2
+
+
=
x
xx
y
; d)
52
4
2
2
+

=
xx
)x(
y
.

Hớng dẫn - đáp số
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.
a)
22
2
8
82
)x(
xx
'y
+
+
=
,



=
=
=
2
4
0
x
x
'y
hàm số đạt cực đại tại (2 ;), cực tiểu (-4 ; -
8
1
).

b)
2
2
1
12
)x(
xx
'y


=
,




+=
=
=
21
21
0
x
x
'y
CĐ
);( 2221

và CT
);( 2221

+
.
c)
10
1
62
2
2
>
+
++
=
x,
)x(
xx
'y
hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định, không có cực
trị.
d)
22
52
1342
)xx(
)x)(x(
'y
+
+
=
hàm số đạt CĐ

4
13
3
1
;
, CT (4 ; 0).
Bài tập 1.10 (Sbt trang 11). Tìm cực trị của các hàm số sau.
a)
3
2
6 xxy
=
; b)
3
57
=
x)x(y
;
c)
2
10 x
x
y

=
; d)
6
2
3

=
x
x
y
.
Hớng dẫn - đáp số
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.
a) Hàm số đạt CĐ tại (0 ; 0), đạt CT tại (64; -32).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
4
b) Hàm số đạt CĐ tại
);(
3
392

không có cực tiểu.
c) Hàm số luôn đồng biến trên TXĐ không có cực trị.
d) Hàm số đạt CĐ tại (-3 ; -
39
), đạt CT tại (3 ;
39
).
Bài tập 1.12 (Sbt trang 11). Xác định m để hàm số

5
3
2
23
++=
x)m(mxxy
Có cực trị tại x = 1, khi đó hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu? Tính cực trị tơng ứng.
- Hớng dẫn học sinh về nhà làm
- Đáp số: m =
3
7
, khi đó hàm số đạt cực tiểu tại (1 ;
3
16
).
Bài tập 1.14 (Sbt trang 11). Xác định m để hàm số sau không có cực trị
mx
mxx
y

+
=
32
2

- Hớng dẫn học sinh về nhà làm: Hàm số không có cực trị khi đạo hàm không đổi dấu trên
tập xác định. Tính đạo hàm, xét dấu tử số.
- Đáp số: -1 m 1.
Tuần 3 Chuyên Đề
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Của hàm số

A/ Các kiến thức cần nhớ:
1. Định lí:
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì tồn tại GTLN và GTNN trên [a ; b].
Cách tìm
- Tìm x
i
[a ; b] (i = 1, 2, ... n) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Tính các giá trị f(a), f(b), f(x
i
), (i = 1, 2, ... n)
- Từ đó suy ra GTLN, GTNN.
2. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó, từ đó suy ra GTLN, GTNN.
B/ Bài tập
Bài tập 1.15 (Sbt trang 15). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau.
a) f(x) = -3x
2
+ 4x 8 trên đoạn [0 ; 1]
b) f(x) = x
3
+ 3x
2
9x 7 trên đoạn [-4 ; 3].
c) f(x) =
2
25 x

trên đoạn [-4 ; 4].
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--

5
d) f(x) =
23
2
+
xx
trên đoạn [-10 ; 10].
Hớng dẫn - đáp số
a) áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Đs.
80
10
==
)(f)x(fmin
];[
;
3
20
3
2
10
=






=
f)x(fmax

];[
b)
121
34
==

)(f)x(fmin
];[
;
( )
203
34
==

f)x(fmax
];[
.
c)
344
44
===

)(f)(f)x(fmin
];[
;
( )
50
44
==

f)x(fmax
];[
.
d) Chia khoảng phá dấu giá trị tuyệt đối
Đs. GTLN là f(-10) = 132, GTNN là f(1) = f(2) = 0.
Bài tập 1.16 (Sbt trang 15). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau.
a)
2
4 x
x
y
+
=
trên khoảng (- ; +); b)
xcos
y
1
=
trên khoảng






2
3
2

;

;
c)
4
1
1
x
y
+
=
trên khoảng (- ; +); d)
xsin
y
1
=
trên khoảng
( )
;0
.
Hớng dẫn - đáp số
áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
a) Lập bảng biến thiên ta đợc GTLN là f(2) =
4
1
, GTNN là f(-2) = -
4
1
.
b) Lập bảng biến thiên ta đợc GTLN là f() = -1, không có GTNN.
c) Lập bảng biến thiên ta đợc GTLN là f(0) = 1, không có GTNN.

c) Lập bảng biến thiên ta đợc GTNN là f(
2

) = 1, không có GTLN.
Tuần 4 Chuyên Đề : đờng tiệm cận
A/ Các kiến thức cần nhớ:
Kí hiệu (C) là đồ thị của hàm số y = f(x).
1. Đờng tiệm cận đứng
ng thng x = x
0
c gi l tim cn ng ca th hm số y = f(x) nu ít nht
mt trong các iu kin sau c tho mãn:
0
lim ( )
x x
f x
+

= +

0
lim ( )
x x
f x


=
0
lim ( )
x x

f x
+

=

0
lim ( )
x x
f x
+

= +
2. Đờng tiệm cận ngang
ng thng y = y
0
l tim cn ngang ca th hm số y = f(x) nu ít nht mt trong
các iu kin sau c tho mãn:
0
lim ( )
x
f x y
+
=
;
0
lim ( )
x
f x y

=

B/ Bài tập
Bài số 1.21. Tìm các đờng tiệm cận của mỗi hàm số sau.
a)
2
12
+

=
x
x
y
; b)
13
23
+

=
x
x
y
; c)
x
y
32
5

=
; d)
1
4

+

=
x
y
.
Hớng dẫn - đáp số
áp dụng quy tắc tìm tiệm cận của hàm số.
a) TCĐ x = -2, TCN y = 2; b) TCĐ x = -
3
1
, TCN y = -
3
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
6
c) TCĐ x =
3
2
, TCN y = 0; d) TCĐ x = -1, TCN y = 0
Bài số 1.22. Tìm các đờng tiệm cận của mỗi hàm số sau.
a)
54
2712
2
2
+
+
=

xx
xx
y
; b)
2
2
1
2
)x(
xx
y


=
; c)
4
3
2
2

+
=
x
xx
y
; d)
34
2
2
+

=
xx
x
y
.
Hớng dẫn - đáp số
áp dụng quy tắc tìm tiệm cận của hàm số.
a) TCN y = 1, không có TCĐ.
b) TCĐ x = 1, TCN y = 1.
c) Có hai TCĐ x = 2 và x = -2, TCN y = 1
d) Có hai TCĐ x = 1 và x = 3, TCN y = 0
Bài số 2 Sgk. Tìm các đờng tiệm cận của mỗi hàm số sau.
a)
2
9
2
x
x
y


=
; b)
2
2
523
1
xx
xx

y

++
=
; c)
1
23
2
+
+
=
x
xx
y
; d)
1
1

+
=
x
x
y
.
Hớng dẫn - đáp số
a) Có hai TCĐ x = 3 và x = -3, TCN y = 0
b) Có hai TCĐ x = -1 và x =
5
3
, TCN y =

5
1

c)TCĐ x = -1.
d)TCĐ x = 1, tiệm cận ngang (bên phải) y = 1.
Tuần 5 Chuyên đề
Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số
A/ Các kiến thức cần nhớ:
I. Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x)
1) Tập xác định
2) Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên
b) Cực trị
c) Giới hạn Tiệm cận (nếu có)
d) Bảng biến thiên
3) Đồ thị
II. Các hàm số cơ bản
1. Hàm số bậc ba: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 0)
2. Hàm số bậc bốn trùng phơng: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 0)
3. Hàm số phân thức
)bcad,c(
dcx

bax
y 00

+
+
=
.
III. Sự tơng giao của các đồ thị
1. Biện luận số nghiệm phơng trình bằng đồ thị
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C
1
), hàm số y = g(x) có đồ thị (C
2
).
Số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
2. Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị.
Hàm số y = f(x) có đồ thị (C), điểm M(x
0
; f(x
0
)) (C), f(x) có đạo hàm tại x
0
.
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
y y
0

= f(x
0
)(x x
0
)
B/ Bài tập
Bài số 1.24 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--
7