BAI TAP NANG CAO HINH HOC 9.doc

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài tập Nâng cao Chương 1
Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên
(a) (b)
b) Tìm x, y, z trong hình c
(c)
Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các
tỉ số lượng giác của góc B. từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của
góc C.
b) Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn: sin24
0
; cos35
0
; sin54
0
; cos70
0
; sin78
0
.
c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ
tự từ nhỏ đến lớn:
cotg25
0
; tg32
0
; cotg18
0
; tg44
0

; cotg62
0
.
Bài 3: a) Dựng góc nhọn
α
, biết rằng
4
tg
5
α
=
.
b) Dựng góc nhọn
α
, biết rằng
1
cot g
2
α
=
.
c) Dựng góc nhọn
α
, biết
3
sin
5
α
=
Bài 4:

1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm,
µ
$
0 0
D 40 , F 58= =
. Kẻ đường cao EI của tam giác
đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.
b) Cạnh EF.
2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng
µ
0
A 90=
, AB = 5, BC = 7.
3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là
13 : 21.
Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy
điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân
giác của góc BAD không ?.
c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vò độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB, AD.
a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau.
Page 1
5
4
z

y
x
25
9
x
10
8
x
y
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) Tính sinICJ.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12
cm, AD = 10 cm.
a) Tính AH.
b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC.
c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức
2 2 2
1 1 1
?
AD AC AH
+ =
Bµi 8. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ⊥ AD. BiÕt
µ
D
= 58
0
, AC = 8.
a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC
b) Chøng minh AC
2

= AB.DC
Bài 9: Cho ABC có
µ
0
A 60=
. Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều
Bài 10: Cho ABC có
µ
A
là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=
1
2
AB.AC.sinA. p dụng: a) Tính
(ABC)
S
biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và
µ
0
A 60=
b) Biết
(ABC)
S
=
5 2
(cm
2
), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của
µ

A
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có
µ
A
< 90
0
. Chứng minh diện tích của hình đó
là
S =AB.AD.sinA. p dụng: Biết
(ABCD)
27 3
S
2
=
(cm
2
) , AB = 4,5 cm, AD = 6 cm.
Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD.
Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, tạo thành góc nhọn AOD.
Chứng minh:
·
(ABCD)
1
S AC.BD.sin AOD
2
=
. p dụng: Cho hình vuông ABCD (
µ
µ
0

A D 90= =
), AB = 12 cm, AD = 9 cm, DC = 18 cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O.
Tính
·
sin AOD
.
Bài 13: Cho ABC (
µ
A
< 90
0
). Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm
C’. Chứng minh:
(ABC)
(AB'C ')
S
AB.AC
S AB'.AC '
=
.
Bài 14: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc
µ
µ µ
A , B, C
theo thứ
tự là a, b, c. Chứng minh:
a b c
sin A sin B sin C
= =
.

Bài 15: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm,
µ
A
= 120
0
. Kẻ đường phân giác
AD của
µ
A
. Tính độ dài của AD.
Bài 16: Cho ABC có
µ
A
= 70
0
, AB = 10 cm. Số đo của các góc B và C tỉ lệ với 4
và 3. Tính độ dài của các cạnh CA, CB và S
(ABC)
.
Bài 17: Cho ABC có
µ
0
C 45=
, AB.AC =
32 6
, AB:AC =
6 : 3
. Tính số đo cạnh
BC;
µ

B
và S
(ABC)
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết đường chéo
AC = 14 cm,
Page 2
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
·
sin AOD 0,6=
. Tính
·
tgADB
và độ dài các cạnh hình chữ nhật.
Bài 19: Cho tam vuông ABC (
µ
A
= 90
0
), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết
·
sin AMB 0,8=
Tính tgB và S
(ABC)
.
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD (
·
0
ACD 90<
).
a) Chứng minh :

·
2 2 2
AD CD CA 2CD.CA.cos ACD= + -
.
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm,
·
1
cos ACD
3
=
thì tứ giác ABCD là hình gì?.
Tính diện tích của tứ giác đó.
Bài 21: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC;
µ
A
< 90
0
). Kẻ BK ⊥ AC.
a) Chứng minh :
µ
·
A 2.KBC=
.
b) Chứng minh :
A A
sin A 2.sin .cos
2 2
=
.
c) Biết

·
2
sin KBC
3
=
, tính sinA.
Bài 22: Cho tam giác vuông ABC (
µ
B
= 90
0
). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ⊥
BM, CK ⊥ BM.
a) Chứng minh :
·
CK BH.tgBAC=
.
b) Chứng minh :
·
2
MC BH.tg BAC
MA BK
=
.
Bài 23: Cho ABC có
µ
A
= 60
0
. Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.

a) Chứng minh : KH = BC.cosA.
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều.
Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a.
·
0
ACB 45=
. Về phía ngoài của ABC, vẽ
các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là
Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và P.
a) Chứng minh AEC = ABG.
b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
c) Biết
·
BGC
a
=
. Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và
a
.
Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD
( M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các
đường chéo của hình thoi. Biết AB = 7 cm.
·
tgBAC 0,75=
.
a) Tính diện tích hình thoi ABCD.
b) Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật
MNPQ đạt giá trò lớn nhất và tính giá trò lớn nhất đó.
Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ⊥ AD
và CK ⊥ AB.

a) Chứng minh CKH ~ BCA.
b) Chứng minh
·
HK AC.sin BAD=
.
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết
·
0
BAD 60=
, AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Page 3
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 27: Cho ABC (
µ
A
= 90
0
). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC. Nối AF
và BE.
a) Chứng minh AF = BE.cosC.
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính
·
sin AOB
.
Bài 28: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB
và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P.
a) Chứng minh CM ⊥ DN.
b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc
·

CMN
.
c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc
·
MDN
và diện tích tam giác
MDN.
Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD;
·
sin DAC
= 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD và DF
⊥ AC.
a) AC cắt BD ở O, tính
·
sin AOD
.
b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó.
c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và
tính diện tích của nó.
Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ
đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B.
a) Chứng minh :
2 2 2
4 1 1
MB AM AN
= +
b) Tính số đo các góc của MAB.
Bài 31: Cho tam giác vuông ABC (
µ
A

= 90
0
). Kẻ đường thẳng song song với cạnh
BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm,
trung điểm của MN và BC là E
và F .
a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của
EFG.
c) Chứng minh EFG ~ ABC.
Bài 32: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên
AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao
cho
AM OP ON 2
AB OB OC 5
= = =
. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN.
Page 4
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài tập Nâng cao Chương 2
1. Đònh nghóa và sự xác đònh đường tròn
Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R). dựng điểm N sao cho
MN vuông góc với OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước.
a) Tìm tập hợp điểm N.
b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON.
c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của
MON.
Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố đònh AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của

AB. K là trung điểm của IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy 1 điểm M sao cho
¼
¼
KMB MAB=
.
a) So sánh hai tam giác KMB và MAB.
b) Tìm tập hợp điểm M.
c) Dựng điểm M với a = 3 cm.
¼
0
BKx 120=
(không dùng thước đo góc).
Bài 3: Cho một hình vuông ABCD, cạnh bằng a. Một đoạn thẳng MN có độ dài
thay đổi, M chạy trên AB, N chạy trên CD sao cho chu vi tam giác AMN luôn luôn
không đổi và bằng 2a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN. Chứng
minh rằng H luôn nằm trên một đường tròn cố đònh.
Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tự đó.
a) Hãy dựng đường tròn (O), (O
1
), (O
2
), (O
3
) có đường kính là AD, AB, BC, CD.
b) CMR mọi điểm nằm trên (O
1
), (O
2
), (O
3

) không kể hai điểm A và D đều nằm
trong (O).
c) CMR mọi điểm nằm trên (O
2
) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O
1
)
và (O
3
)
Bài 5: Cho hai điểm A và B cố đònh. Một đ.thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối
xứng của B qua d.
a) Tìm q tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A.
b) Xác đònh vò trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất.
Bài 6 : Cho hình thang cân ABCD (AD // BC);
1
BC CD AD a
2
= = =
.
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác đònh tâm O và
bán kính của đường tròn này.
b) Chứng minh AC ⊥ OB.
Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.
Bài 8: Cho ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ
đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E,
cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K).
Page 5
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9

a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc
·
ABC
; CK, CH là những
đường phân giác của góc
·
ACB
.
b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật.
Bài 9: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại
O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH ⊥ OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao
cho OP = MH.
a) Tìm q tích các điểm P khi M chạy trên cung AC..
b) Tìm q tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ
M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O).
2. Tính chất đối xứng của đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng
nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB <
2R.
a) Chứng minh rằng AD // OO’.
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD.
c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố đònh
khi các dây AB, CD thay đổi vò trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C
luôn nằm giữa A, D.
Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn (O) sao cho AB là đường
kính. Gọi I, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường
thẳng CD. Chứng minh CI = DK.
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và đường kính CD vuông góc với dây AB tại điểm I.
a) Tìm công thức tính R theo AI, CI.
b) Miệng của một tháp nước hình vành khăn bò vỡ gần hết, chỉ còn sót lại một

mảng cung tròn. Hãy tìm cách đo đạc trên mảng còn lại đó để tính đường kính của
miệng tháp ấy.
Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B với AB < 2R. Dựng qua A, B hai
đường thẳng song song sao cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây
bằng nhau.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và giao điểm I của hai đường chéo.
Chứng minh rằng I là điểm chung duy nhất của đường tròn (O ; R) đi qua ba điểm I,
A, D với đường tròn (O’ ; R’) đi qua I, B, C.
Bài 6: Cho ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O ; R). Các đường
phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D
và F. Chứng minh ADEF là hình thoi.
Bài 7: Cho góc
·
0
xOy 60=
. Lấy điểm I cố đònh trên tia phân giác Ot của góc xOy làm
tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau
qua Ot). Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy.
a) Chứng minh DA = EB.
Page 6
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh TAI, TBI là các tam giác
đều. Xác đònh vò trí của T một cách nhanh nhất.
c) Tìm q tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn
cắt Ox, Oy).
d) Tìm q tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c).
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng
HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán
kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm
thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh:

a) AEF là tam giác cân.
b) DO ⊥ OE.
c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn.
Bài 9: Cho hai điểm A, B ở ngoài đường tròn tâm O. Hãy dựng một đường kính CD
sao cho
CA = DB.
3. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp
tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường
thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương
ứng tại các điểm Q, Q’.
a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra
M 'O ' MP
M 'P MO
=
.
b) Chứng minh rằng
O 'Q ' PQ
Q 'P QO
=
.
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng
hàng.
Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến
MBC đi qua O.
a) Chứng minh rằng các tam giác MAB, MCA đồng dạng. Suy ra: MA
2
= MB.MC.

bính R, biết MA = 20 cm ; MB = 8 cm.
Bài 3: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Các tiếp tuyến MA, MB có độ
dài bằng a và tạo với nhau một góc
α
.
a) Tính bán kính R theo a và
α
.
b) Dựa vào câu a, hãy nêu tên phương pháp tính bán kính đáy của một chiếc cột
hình trụ, của một cái chum đang đựng đầy nước.
Bài 4: Cho góc xAy và một điểm M nằm trong góc ấy. Tìm trên Ax một điểm I sao
cho khoảng cách từ I đến Ay bằng IM.
Page 7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 5: Cho tam giác cân OAB trong đó OA = OB và
·
AOB
α
=
, một đường tròn (O ;
R) với R < OA. Hạ đường cao OH của tam giác OAB và kẻ từ A, B các tiếp tuyến
AM, BN với đường tròn (O ; R) sao cho chúng không đối xứng với nhau qua OH.
Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BN là I. Chứng minh rằng độ lớn góc
AIB không phụ thuộc vào R.
Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy bằng 10 cm, các cạnh bên bằng 13 cm. Tính
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Bài 7: Tìm cạnh đáy của một tam giác cân, nếu tâm đường tròn nội tiếp chia đường
cao thành hai đoạn từ tâm dến chân đường cao và từ tâm đến đỉnh theo tỉ số
3
12

.
Bài 8: Tìm đường kính của đường tròn nội tiếp một tam giác vuông nếu cạnh huyền
bằng c và tổng các cạnh góc vuông bằng m.
Bài 9: Cho góc
·
0
xOy 60=
. Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox
tại A, tiếp xúc với Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt
Ox tại E, cắt Oy tại F.
a) Tính chu vi OEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trò không đổi khi M chạy trên
cung nhỏ AB.
b) Chứng minh
·
EIF
có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc
30
0
. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng:
a) OAC ~ CAD.
b) DB.DA = DC
2
= 3R
2
.
Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH
cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.
b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F.

Bài 12: Cho ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB.
Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại
C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E.
a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh HCE cân tại H.
c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By
với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp
tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là
giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng:
a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB
2
.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.
Page 8
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax
chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường
tròn đã cho.
a) Chứng minh:
·
·
BOC DAE=
.
b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này
·

·
BOC DAE+
=180
0
.
4. Vò trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A
và B. biết
OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D.
a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng;
b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông;
c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD;
d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD.
Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt
hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’). Gọi M là giao điểm của hai
đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng:
a)
·
0
90DME =
;
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R), một điểm A nằm trên đường tròn và một điểm B
không nằm trên đường tròn ấy.
a) Hãy nêu cách dựng qua B một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn đã cho
tại A.
b) Không cần dựng, hãy căn cứ vào các dữ kiện sau đây để xác đònh xem trường
hợp nào dựng được, trường hợp nào không dựng được đường tròn (O’) đi qua B tiếp

xúc trong với (O) (hoặc tiếp xúc ngoài (O)) tại A.
• R = 2 cm ; AB = 4 cm ; BO = 4,5 cm.
• R = 5 cm ; AB = 12 cm ; BO = 13 cm.
• R = 3 cm ; AB = 4 cm ; BO = 3,5 cm.
Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O
1
; r
1
) tiếp xúc trong với (O ;
R) và một đường tròn (O
2
; r
2
) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với
(O
1
; r
1
).
a) Tính chu vi tam giác OO
1
O
2
theo R.
b) Dựng hai đường tròn (O
1
; r
1
) và (O
2

; r
2
) biết R = 3 cm ; r
1
= 1 cm.
Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường
tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A.
Page 9
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, đường tròn tâm A, bán kính AB cắt đường tròn
đường kính CD tại điểm M (M ≠ D). Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua
trung điểm I của BC.
Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc trong đường tròn (O’ ; R’) , R’ > R, tại điểm
A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn ấy lần lượt tại điểm thứ hai B, B’. Chứng
minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn đường kính OO’, BB’ đi qua
A.
Bài 8: Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B. Trong cùng
nửa mặt phẳng bờ OO’, vẽ hai bán kính OC và O’D song song với nhau. Gọi D’ là
điểm đối xứng của D qua O’.
a) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán
kính AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp
đường thẳng DE tại F.
a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau.
b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A cố đònh thuộc đường tròn (O). Cho đường
thẳng d ở ngoài đường tròn. Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d
đồng thời tiếp xúc với (O) tại A.
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài

nhau tại A. Đường thẳng d
1
qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d
2
vuông góc với d
1
tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’.
a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố đònh.
b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M.
c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm q tích điểm I khi d
1
và
d
2
thay đổi vò trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau).
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay
xung quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C.
a) Chứng minh OB // O’C.
b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng.
c) Qua O vẽ d ⊥ AB, nó cắt BC tại M. Tìm q tích điểm M khi các dây AB, AC
thay đổi vò trí nhưng vẫn vuông góc với nhau.
Bài 13: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC có bán kính lần lượt
là R và r. Tính diện tích ABC biết rằng
µ
µ
$
µ
A C B A− = −
.
Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán

kính R tiếp xúc với AC tại E, tiếp xúc với CB tại F. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc
với nửa đường tròn (D) tại K, và tiếp xúc với hai cạnh AC và BC của ABC.
a) Chứng minh C, O, D thẳng hàng.
b) Tính bán kính đường tròn tâm O biết AC = b, BC = a,
·
ACB
α
=
.
Page 10
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9
5. ôân tập chương II
Bµi 1: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tun chung
ngoµi cđa (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iĨm. TiÕp tun chung trong cđa hai ®trßn t¹i A
c¾t BC t¹i M.
a) Chøng minh r»ng A, B, C thc ®êng trßn ( M ; BC/2 )
b) §êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®êng trßn ( M ; BC/2 )
c) X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iĨm O cđa AB. Trªn mét nưa mỈt ph¼ng bê AB kỴ
hai tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By
t¹i C vµ D. Gäi C’ lµ giao ®iĨm cđa tia CO víi tia ®èi cđa tia By. Chøng minh:
a) Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n.
b) §êng th¼ng CD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh AB.
c) §êng trßn ngo¹i tiÕp COD lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh khi gãc
vu«ng t¹i O thay ®ỉi
Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tun chung ngoµi MN, PQ
( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ).
a) CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®êng th¼ng OO’.
b) CMR: 4 ®iĨm M, N, P, Q n»m trªn mét ®êng trßn.

c) Nèi MQ c¾t (O), (O’) t¬ng øng t¹i c¸c ®iĨm thø hai A, B. Chøng minh MA =
QB.
Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) vµ tiÕp tun xy t¹i tiÕp ®iĨm C n»m trªn (O).
a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB.
b) CMR nÕu mét ®êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xóc víi (O) t¹i
mét ®iĨm D th× 3 ®iĨm C, O, D th¼ng hµng.
c) Cho hai ®êng th¼ng song song d
1
, d
2
c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét
®iĨm M n»m gi÷a hai ®êng th¼ng d
1
, d
2
vµ c¸ch d
1
mét kho¶ng b»ng 1 cm.
H·y dùng mét ®êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d
1
, d
2
.
Bµi 5: Cho 2 ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A kỴ ®êng th¼ng a c¾t
(O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC //
B’C’.
Bài tập Nâng cao Chương 3
(Góc với đường tròn)
§1. Góc ở tâm - Số đo của cung - Liên hệ giữa cung và dây
Bài 1: Trên đường tròn (O ; R) có 5 điểm A, B, C, D, E trong đó AB là đường kính;

C là điểm chính giữa của cung AB; Tia OE nằm giữa các tia OA, OC và dây CD
bằng R. Ngoài ra, D và E không thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
·
0
DOE 90=
. Tính độ lớn của tất cả các góc ở tâm nhỏ hơn 360
0
có chứa OC.
Bài 2: Gọi điểm chính giữa của một cung của một đường tròn (O ; R) là I, trung
điểm của dây trương cung ấy là K. Chứng minh rằng đường thẳng IK đi qua O.
Page 11