BAI 8 TICH PHAN CHỨA căn

HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

TÍCH PHÂN CHỨA CĂN
NĂM HỌC 2019-2020
(ĐỀ SỐ 01)
------------------------------------------------Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

A. LÝ THUYẾT
Dạng 1: Biến đổi căn thức đưa về nguyên hàm chứa căn cơ bản

1
a b

a b
a b
a  b  2 ab  a  b

 ax  b 
  ax  b  .dx  a.  1

 1






n

ax  b dx 

C

n
n 1
n
 ax  b   C
a  n  1

1
n
n 1
n
dx

 ax  b   C
n
a  n  1
ax  b
b





Dạng 2: I   f x, n u  x  dx . Đặt t  n u  x   t n  u  x   t n  u  x   nt n1dt  u '  x  .dx
a

Dạng 3: Đổi biến dạng lượng giác











I   f x, a 2  x 2 dx . Đặt x  a cos t hoặc x  a sin t




I   f x, a 2  x 2 dx . Đặt x  a tan t hoặc x  a cot t


.
B. ĐỀ THI
1

Câu 1:

Tích phân


0

A.

2
.
3

1
dx bằng
3x  1
B. 2 .

C.

1
.
6

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn.

A.

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO

HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
1

Ta có


0

1

1
2
1
1
2
2
d  3 x  1 
dx  
3x  1  .
0
3 0 2 3x  1
3
3
3x  1

1

Câu 2:

1



Tích phân

 3x  2 

0

A.

3

5 2 2 5
.
15

Chọn.

dx bằng
5 2 2 5
.
5

B.


0

D.

5 2 2 5
.
12

1
2
1 d  3x  2 
2 5
2  5 2 2 5
dx  

;.




 
3
 5
3
3
3
2
15
3
3
x

2

0
0


 3x  2 
 3x  2  2

1

1

1

Câu 3:

5 2 2 5
.
3
Lời giải

C.

A.
1

Ta có

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

2

Cho I   2  2 1  x dx 
0

a
với a, b là các số nguyên dương và b là số nguyên tố.
b

Giá trị của biểu thức a  b bằng
A. 19 .

B. 35 .

C. 11 .

D. 67 .

Lời giải
Chọn.

B.

1

1

I   2  2 1  x dx  
2

0

0

2
Suy ra I  
3
Cho I  
0

1  x 

3

x2  x  1

1

Câu 4:

1  x   2 1  x 1  x   1  x dx   

x  1 x



1

1  x  1  x dx ,

0
1

4 2
32
, do đó: a  32, b  3  a  b  35 .
 1  x   

0
3
3
3

dx 

a b
b
với a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối
c
c

giản. Giá trị của biểu thức a  b  c bằng
A. 45 .

B. 141 .

C. 139 .

D. 43 .

Lời giải

Chọn.

B.
1

Ta có I  
0

1 2
1
x  1  x 
x2  x 1
dx  
dx   x  1  x dx ;
x  1 x
0 x  1 x
0



2
1
Suy ra : I   x 2 
3
2
1

Câu 5:

Cho I  

0

1
x  1 x



1

7  128
, do đó: a  7, b  128, c  6  a  b  c  141 .
1  x   
6
0
3

dx 

a b
b
với a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số
c
c

tối giản. Giá trị của biểu thức a  b  c bằng
A. 81 .

B. 41 .

C. 39 .

D. 23 .

Lời giải
Chọn.

C.

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
1

Ta có I  
0

1

1

dx  

x  1 x



ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT



x  1  x dx 

0

2
3



 x  1

2

 x3



1


0

32  4
;
3

do đó: a  32, b  4, c  3  a  b  c  39 .
2

Câu 6:

[2D1-2] Cho



x

1

4
 4dx 
x

b
a b
với a, b, c là các số nguyên dương và
tối giản.
c
c

Giá trị của biểu thức a  b  c bằng
A. 51.

B. 49 .

C. 519 .

D. 529 .

Lời giải
Chọn D
2

Ta có


1

2

2
2
4
2 
2 
512  14


2 3
2
x   4dx    x 
d
x

x
dx  
x 4 x 
.





x
3
x
x
3
1

1
1

Suy ra a  b  c  529 .
2

Câu 7:

[2D1-2] Cho



x 2e2 x  e x 

1

A. 4 .

1

dx  e a  ln b . Giá trị của biểu thức a  b bằng
2
4x
C. 2  2 .

B. 6 .

D. 2  2 2 .

Lời giải
Chọn C
2

Ta có



2

1
1 
1 


dx    xe x   dx    xe x  dx  e2  ln 2 .
2
4x
2x 
2x 
1 

1
2

x 2 e2 x  e x 

1

2

Suy ra a  b  2  2 .
1

Câu 8:

[2D1-3] Cho


0

x

 x  1

2

dx  a  b với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu

thức a  b bằng
A. 22 .

B. 8 .

C. 14 .

D. 16 .

Lời giải
Chọn A
Ta có
1
x  1  1

dx  
dx   
0
3
2

0
0
 x  1
 x  1

1

x

1

1


x 1


dx   2 x  1  2  1  18  4


3
x 1  0
 x  1  
1

Suy ra a  b  22 .
2

Câu 9:

[2D1-3] Cho

  x  1
1

1
dx  a  b  c với a, b, c là các số nguyên dương.
x  x x 1

Giá trị của biểu thức a  b  c bằng
A. 46 .

B. 47 .

C. 30 .

D. 31 .

Lời giải
Chọn D
ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
Có

 x  1

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

 x  1 x  x x  1   x  1 x  x x  1  1  1 .
1

2
x  x  1
x  x x  1  x  1 x  x 2  x  1
x
x 1





2
2
1
1 
 1
dx   

d
x

2
x

2
x

1
 32  12  1 .

1
x  x x 1
x
x 1 
1

2

  x  1
1

Suy ra a  b  c  46 .
2

Câu 10:

[2D1-2] Cho 3 2 x  2 x 2  1dx  a  b  c với a, b, c là các số nguyên dương. Giá
1

trị của biểu thức a  b  c bằng
A. 132 .

B. 152 .

C. 142 .

D. 162 .

Lời giải
Chọn D
Có 2 x  2 x 2  1   x  1   x  1  2

 x  1 x  1  

Ta có
2

2

3 2 x  2 x 2  1dx  3
1







x  1  x  1 dx  2

1

 x  1

x  1  x 1

3

2

 x  1

3



2

 12  2 

108  32 .

Suy ra a  b  c  142 .
4

Câu 11: Bằng phép đổi biến t  x , tích phân I  
0

2

A.

dx
trở thành:
x 1

4

tdt
0 t  1 .

B.

2

2tdt
0 t  1 .

C.

t 2 dt

0 t  1 .

2

D.

2tdt

 t 1 .
0

Lời giải
Chọn D
Ta có:

t  x  t 2  x  2tdt  dx .
Đổi cận:

2

Vậy I  
0

x

0

4

t

0

2

2tdt
.
t 1
4

Câu 12: Bằng phép đổi biến t  2 x  1 , tích phân I  
0

3

tdt
A.  2
.
t  t 1
1

4

tdt
B.  2
.
t  t 1
0

dx

trở thành:
2x  2x 1
3

2tdt
C.  2
.
t  t 1
1

3

D.

t
1

2

tdt
.
 t 1

Lời giải
Chọn A
Ta có:

t  2 x  1  t 2  2 x  1  2tdt  2dx .
ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO

HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Đổi cận:

x

0

4

t

1

3

3

tdt
.
t  t 1
1

Vậy I  

2

2

Câu 13: Cho tích phân

 1

xdx

 a  ln b , a, b 

4  x2

0

A. S  6 .

. Tính S  ab .

B. S  6 .

C. S 

2
.
3

2
D. S   .
3

Lời giải
Chọn C
Ta có:
Đặt t  1  4  x2  t  1  4  x2   t  1  4  x 2  2  t  1 dt  2 xdx .
2

Đổi cận:

1

Vậy I  

  t  1 dt

3

Vậy S 

1



0

2

t

3

1

1
 1
  1   dt   t  ln t  13  2  ln 3  2  ln .
t
3
3
3

2
.
3

3

Câu 14: Cho

x

2  1  x dx 

0

a
a b
với a, b, c là các số nguyên dương và
tối giản. Giá trị
c
c

của biểu thức a  b  c bằng:
A. 115 .

B. 58 .

C. 511.

D. 223 .

Lời giải
Chọn C
Đặt t  2  1  x  t 2  2  1  x  x   t 2  2   1  dx  4t  t 2  2  dt .
2

Đổi cận x  0  t  3 , x  3  t  2 .
3

  2  1  x dx 
0

2

 t.4t t

2

2

 2  dt  4  t 2  t 2  2  dt 

3

3

64  432
.
15

 a  64, b  432, c  15  a  b  c  511 .
8

Câu 15: Cho



1  1  x dx 

0

a
a b
với a, b, c là các số nguyên dương và
tối giản. Giá trị
c
c

của biểu thức a  b  c bằng:
A. 111 .

B. 239 .

C. 255 .

D. 367 .

Lời giải
Chọn D
ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Đặt t  1  1  x  t 2  1  1  x  x   t 2  1  1  dx  4t  t 2  1 dt .
2

Đổi cận x  0  t  2 , x  8  t  2 .
8

  1  1  x dx 
0

2

2

2
2
2

 t.4t t  1 dt  4  t  t  1 dt 
2

2

224  128
.
15

 a  224, b  128, c  15  a  b  c  367 .
2

Câu 16: Cho


1

6 x
a
dx  a  b  c với a; b; c là các số nguyên dương và và tối giản.
c
x 1  x 1

Giá trị biểu thức S  a  b  c bằng
A. S  247..

B. S  236. .

C. S  246. .

D. S  237.

Lời giải
Chọn D
Ta có
2


1





2 6 x
2
x 1  x 1
6 x
dx  
dx   3
2
x 1  x 1
1
1
x 1 x 1









x  1  x  1 dx=1+ 128  108

a  1; b  128; c  108

Vậy, S  a  b  c  237. .
3

Câu 17: Cho



x

2

4 
8 
a 23  b
a
với a; b; c là các số nguyên dương và và tối giản.
1  3 dx 
2 
c
x  x 
c

Giá trị biểu thức S  a  b  c bằng
A. S  109. .

B. S  73. .

C. S  181. .

D. S  57.

Lời giải
Chọn C
Đặt t  x 

4
4
8

 t 2  x  2  2tdt   1  3  dx
2
x
x
 x 

Đổi cận: x  2  t  1; x  3  t 

Khi đó I 

23
3


1

t.2tdt  2

23
3



t 2dt 

1

23
3

46 23  54
 a  46; b  54; c  81
81

Vậy, S  a  b  c  46  54  81  181. .
ln 3

Câu 18: Cho

 1
0

c d 

dx  a  b  ln 
 với a; b; c là các số nguyên dương. Giá trị biểu
e 1
 9 

ex

x

thức S  a  b  c  d bằng
A. 21 .

B. 15 .

C. 23 .

D. 27 .

Lời giải
Chọn C

t  e x  1  t 2  e x  1  e x  t 2  1  e x dx  2tdt
ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

x  0  t  2; x  ln3  t  2

t 2 1
 t  1 2tdt 
2
2

I

2
1
3 8
2
tdt

2
t

2
ln
|
t

1
|
 4  8  ln


 t 1
2
9

2
2

a  4, b  8, c  3, d  8 vàS  a  b  c  d  23. .


 với c là các số nguyên dương và a; b; d; e là số
1

nguyên tố. Giá trị biểu thức S  a  b  c  d  e bằng
3

Câu 19: Cho



1

c d
1
dx  a  b  ln 
2
x
e


A. S  10. .

B. S  14. .

C. S  24. .

D. S  17.

Lời giải
Chọn A
3


1

1
1  2 dx 
x

3


1

x2  1
dx
x
dx tdt
tdt
 2  2
x
x
t 1

t  x 2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2 xdx 
3


1

1
1  2 dx 
x

t2
 1 t 1 
 t 2 1dt   t  2 ln t  1 
2
2

2

2

1
2 1
1
I  2  2  ln
 2  2  ln
2 3 2 1
2







1 1
1
2 1
 2  ln  2  ln
2 3
2
2 1



2 1

2

3

 2  2  ln

( 2  1)
3

a  2; b  2; c  1; d  2; e  3

S  a  b  c  d  e  10 .
2

Câu 20: Cho


1

1 1
 dx  a 2  b 5 với a; b là các số hữu tỷ. Giá trị biểu thức S  a  b bằng
x8 x 6

7
A. S  . .
8

B. S 

11
..
24

7
C. S  . .
5

D. S 

11
.
5

Lời giải

ChọnA
2


1

t
2


1

1 1
1 1 1 
1
 6 dx   4  4  2 dx   2
8
x x
x x
x 
x
1
1
2

2

1 1
 dx
x4 x2

1
dx
 dt   2
x
x
1
2

1 1
1  1 1 
 6 dx   4  4  2 dx    t 4  t 2 dt
8
x
x
x x
x 
1
1
2

1
2

   t t 2  1dt  
1

1
2

1
(t 2  1) t 2  1
2
2
t

1
d
t

1



2 1
3

1

1
2

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT



ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

5 5
8  2 2  17 5  a  2 ; b  5  S  a  b  21  7 .
3
24
24 8
3
3
24

2 2

x3

1

Câu 21: Cho

  x  1

5

b
a b
với a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối
c
c

dx 

0

giản. Giá trị biểu thức a  b  c bằng
A. 14 .

B. 20 .

C. 28 .

D. 38 .

Lời giải
Chọn D

x3

1

Có

  x  1

5

dx  

0



1
x3 1
x  3  1   x  3  1  x  3 
dx


 d 
 
2

x  1  2   x  1  3  x  1 
x  1  x  1
0

1

0

3 32 2

3

31

0

27  8
.
3

Giá trị biểu thức a  b  c  38 .
1

Câu 22: Cho

1



 x  3 x  1

0

3

dx  a  b với a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức a b  b a

bằng
A. 17 .

B. 57 .

C. 145 .

D. 32 .

Lời giải
Chọn A
1

Có

1

1



 x  3 x  1

0

3

dx  
0

1

1
dx

2
x  3  x  1
0
x 1

1

1  1   x3
x3
 3 2
 d 

x 1 0
x  3  2   x 1 
x 1

b
a
2
3
Vậy a  b  3  2  17 .
1
3

Câu 23: Cho


1
8

x 1
dx  a  b ln 3  c ln 2, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị biểu thức a  b  c
x

bằng
31
A.

.
24

B.

7
.
24

C. 

5
.
24

D.

29
.
24

Lời giải
Chọn B
Đặt t 

x 1
x 1
1
2t
 t2 

 x 2
 dx  
2
x
x
t 1
 t 2  1

Đổi cận: x 

1
1
 t  3; x   t  2
8
3

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
1
3

x 1
2t 2
1  1
1 
 t 
dx  
dt 2   2  dt   


 dt
2
2
x
t 1 
2 2  t 1 t 1 
2  t  1
2
3



Suy ra

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

1
8

2

3

2

3

3
3

1  1
1
2 
1 1
1
t 1 
7 1
1
 

 2  dt   

 ln

 ln 3  ln 2.

2
2
2 2   t  1  t  1 t  1 
2  t 1 t  1
t  1  2 24 2
2

Vậy a 

7
1
1
7
; b  ; c    a  b  c  ..

24
2
2
24

9
16

a
1
a  b ln 2
với a, b, c là các số nguyên dương và
tối giản. Giá
dt 
c
c
x 1  x 1



Câu 24: Cho

0

trị của biểu thức a  b  c bằng
A. 43 .

B. 48 .

C. 88 .

D. 33 .

Lời giải
Chọn D

 x 1  x  t
2
2  t 4  1
1

 1
dt
Đặt t  x  1  x  
1  2 x  t   4 x   t    4dx 
t
t3
 t
 x 1  x 
t

9
Đổi cận: x  0  t  1; x   t  2.
16
9
16

Suy ra



0

2
2
2
2
1
t 4 1
1  t  1  t  1
1 t 3  t 2  t 1
dt   3
dt  
dt  
dt
2t  t  1
21
t3
21
t3
x 1  x 1
1

1  1 1 1
1
1 1 
9  8ln 2
  1   2  3  dt   t  ln t   2  
.
2 1 t t t 
2

t 2t  1
16
2

2

Vậy a  9; b  8; c  16  a  b  c  33..
2

Câu 25: Cho

2
dx  a  b  c  d , với a, b, c, d là các số nguyên dương.
x x x4

  x  4
1

Giá trị của biểu thức a  b  c  d bằng.
A. 14 .

B. 56 .

C. 28 .

D. 33 .

Lời giải
Chọn A
Ta có

 x  4
2

Do đó

2

x x x4

  x  4
1

x  x  4



2
x4 x





x4  x
2 x  x  4

2
1
1 


dx   

 dx 
x x x4
2
x

4
2
x


1
2





x4  x

1
2 x





1

2 x4

2

 6  2  5 1
1

Vậy a  b  c  d  6  2  5 1 14..

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

a c
x  x3
a c
với a, b, c, d là các số nguyên dương và , là các phân số
dx   3
4
b d
x
b d

2 3



Câu 26: Cho

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

1

tối giản. Giá trị biểu thức a  b  c  d bằng
A. 48 .

B. 66 .

C. 41 .

D. 61 .

Lời giải
Chọn A
Ta có biến đổi căn thức
3
3

xx

x4
3

Đặt t 

3

x  x3
x


x3

3

x  x3
x3 
x3

3

1
1
x2
.
x3

1
1
2
1
3t 2
3
2
 1  t  2  1  3t dt   3 dx  3 dx  
dt .
x2
x
x
x

2

3
Đổi cận: x  1  t  0; x  2  t  3  .
4
2 3


1

xx
dx 
x4
3

3



3
4


0

 3t 
3
t.  
 dt  
2

 2 
2

3




0

3
4

3

3
t dt   t 4
8 0



3

3
4



9 33
32 4

Suy ra a  9; b  32; c  3; d  4 .
Vậy a  b  c  d  48 .

x2
dx  a  ln b với a , b là các số hữu tỉ dương. Giá trị biểu thức ab bằng
x2

10
3
2



Câu 27: Cho

A. 64 .

B. 24 .

C. 36 .

D. 32 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t 

2  t 2  1
x2

x2
8t
2
2
2
t 
  t  1 x  2  2t  x   2
 dx 
dt .
2
2
x2
x2
 t  1
t

1
 

Đổi cận: x  2  t  0; x 

10
1
t  .
3
2

1
1
1

1
x2
8t
t2
t 
1
1 
2
2
2
dx   2 t.
d
t

8
d
t

8
d
t

2




 dt
2
2

2



0
0
0
0
2
2
x2
t

1
t

1
t

1




t

1
t

1

 
 
2

10
3
2



2

1

1
2
0

 2

 1
 1
1
2 
1
t 1  2 8


 2  dt  2  


 ln
   ln 9
2
2
  t  1  t  1 t  1 
t 1 t 1
t 1  0 3




8
Suy ra a  ; b  9 .
3
Vậy ab  24 .
Câu 28: Cho



6

2

1
dx  ln a  b với a , b là các số hữu tỉ dương. Giá trị biểu thức ab
2x 1 4x 1

bằng
ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO

HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
1
.
72

A.

B.

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

1
.
128

C.

1
.
8

D.

1
.
24

Lời giải
Chọn C

Đặt t  4 x  1  t 2  4 x  1  2tdt  4dx  dx 

1
t dt .
2

Đổi cận: x  2  t  3; x  6  t  5 .



6

2

5
5
5 1
1
1
1
t
1 

dx  
.
t
d
t

d

t


3 t  12 3  t  1 t  12  dt
3
2
 t 2 1 
2x 1  4x 1


2
 1 t
 4 

5

1 
3 1

  ln t  1 
  ln 
t 1  3
2 12

3
1
Suy ra a  ; b  .
2
12
1

Vậy: ab  .
8
Câu 29: Cho



2

1

3x 4  3x  3
dx  a  b  c , với a, b, c là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức
x2  x  1

a  b  c bằng
A. 59 .

B. 104 .

C. 111 .

D. 147 .

Lời giải
Chọn D
có



2

1







 



2
4
x  1 x2  x  1
2 3  x  x  1
23 x 
3x 4  3x  3
dx   2
dx  
dx
1
1
x2  x  1
x  x 1
x2  x  1
2





1



3 x  3 x  1 dx   x 3  2

2

2

 x  1   8  6 3  1  4 2
1
3



 7  6 3  4 2  7  32  108
ậy a  7; b  32; c  108  a  b  c  147 .
Câu 30: Cho

1
2
0



1  2 x 1  x 2 dx 

a  b  c
với a, b, c là các số nguyên dương. Giá trị biểu
24

thức a  b  c bằng
A. 32 .

B. 35 .

C. 14 .

D. 28 .

Lời giải
Chọn A
Đặt x  sin t ; 


2

t 


2

 dx  cos tdt

Đổi cận:

x  0t  0
ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
x

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

1

t 
2
6

có


1

I   2 1  2 x 1  x 2 dx   6 1  2sin t 1  sin 2 t costdt
0

0





0

0

 cost  sin t 

I   6 1  2sin t cot t costdt   6




0

0

2

costdt

I   6 cost  sin t costdt   6  cos 2 t  sin t cos t  dt 

1 6
1  cos 2 t  sin 2t  dt
2 0



1 1
1
 6 2  27  3
.

I   t  sin 2t  cos 2t  
2 2
2
24
0
ậy: a  2 ; b  27 ; c  3  a  b  c  32 .
a b

1



Câu 31: Biết rằng

x2  6x  5

4

dx 


6

, với a , b là các số nguyên dương và 4  a  b  5 .

Tổng a  b bằng
A. 5 .

B. 7 .

C. 4 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn D
Ta có I 

a b

1



x  6x  5
2

4

dx 

a b

1



4   x  3

4

2

dx .

Đặt x  2 sin t  3  dx  2 cos tdt .
Đổi cận: x  4  t 
k

I


1
4  4 sin t
2


6

a b 3
k


2



, x  a  b  t  arcsin 
k





6

2 cos tdt   dt  k 

6




6

6

a b 3 
 arcsin 
 .

 3
2





a b 3
3

a b  3 3 .

2
2

a  3

Mà 4  a  b  5 nên 

b  3

.

Vậy a  b  6 .
a b

Câu 32: Cho


1

1
4   x  1

2

dx 


3

, với a , b là các số nguyên dương và 2  a  b  3 . Giá trị

biểu thức a  b bằng
A. 4 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn A
ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
Ta có I 

a b

1



4   x  1

1

2

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

dx .

Đặt x  2 sin t  1  dx  2 cos tdt .
 a  b 1
k


2



Đổi cận: x  1  t  0 , x  a  b  t  arcsin 

k
 a  b 1 
2cos tdt   dt  k  arcsin 


 3
2
4  4sin 2 t
0



k

1

I
0

Suy ra

a  b 1
3
 a  b  1 3

2
2

a  1

Do 2  a  b  3 nên 

b  3

.

Vậy a  b  4 .
1

Câu 33: Cho

 x
0

1
x 1
2

dx 

1
 4b bằng
a2
A. 2 .

1
ln a  b với a, b là các số thực dương. Giá trị của biểu thức
2

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn C

et  e  t e 2 t  1

 e2t  2 xet  1  0  et  x 2  1  x  t  ln
Đặt x 
t

2
2e



et  e  t
dt
2

ln(1 2 )

I

x2  1  x

e2t  2  e2t et  e t

4
2

x2  1 

dx 




0




ln(1
t
t 

1
e e
1
.
 t t
 dt 
t
t
2 
2 0
e e  e e
2
 2


2)

1
(1  e )dt 
2
2 t

ln(1 2 )



0

1
dt 
4

ln(1 2 )



(e 2t )d(-2t )

0

1
1  2
 ln 1  2 
.
2
2





 a  1  2, b 
3
5

Câu 34: Cho

 x
0

1  2
1
 2  4b  1 .
2
a

1
x2  x  1

thức a  b  c bằng
23
A.
.
10

dx  a  b ln 2  c ln

B.

17
.
10

5
với a , b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu
3

11
.
10
Lời giải
C.

D.

3
.
10

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Chọn D

1
3 et  e  t
3 e 2t  1

 3e 2t  2  2 x  1 et  3  0
Đặt x  
t
2
2

2
2 2e

 2 x  1

(2 x  1) 

e 
t

2

3

3

 (2 x  1) 2  3  2 x  1 

 t  ln 


3



2

1 3
3 t t


x  x 1   x    
e e .
2 4
4




2

3 et  e  t
.
dt .
2
2

dx 
ln

5
3

ln 3

5
3

ln



5
3

3
2 ln 3

e 

ln

t



ln

Ta có I1 
ln



3
2 ln 3

dt 

5
3

3
2 ln 3

5
3

3
I2 
2 ln 3



3et  1

5
3

e 

e 



 
et



dt 
ln



3et  1
ln

3et  1

ln





t

t



 et  e  t 

5
3

et  e  t 

1
3 t t
3

.
dt 
dt
 e  e  dt   
2 ln 3 3et  1
2 
3 t t 1
3 t t 4
ln 3 2et 
e  e   2  4 e  e 


4
3

ln



I



3
dt 
t
2 ln 3
3e  1



5
3

1
2 ln 3

5
3

dt  I1  I 2 .

1





3et  1

e 

d





3et  1 

1
ln 2 .
2

t



t
t
Đặt u  e  du  e dt . Khi đó I 2 

 

3et  1 e2t
3
2

5
3



3



dt

1

 

3u  1 u 2

5
3

du

3  1
3
3 
31





 du 
  3 ln u  3 ln
2



2 3 u
u
2 u
3u  1 
1 3 5 3

   ln    ln 2 .
5 2 3 2






3u  1 


5
3

3

1 3 5
Do đó I    ln    2 ln 2 .
5 2 3
1
3
3
Suy ra a   ; b  2; c    a  b  c  .
5
2
10
21

Câu 35: Cho
5

1
x x

4

dx

a ln 3

b ln 5

c ln 7 với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau

đây đúng?
A. a

b

2c .

B. a

b

c. .

C. a

b

c.

D. a

b

c.

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT
Lời giải

Chọn A
Đặt t

x

Đổi cận x
5

5

2tdt
2
(t

4)t

I
3

1
3
ln
2
7
Vậy a

t2

4

ln

b

3 và x

5

dt
2)(t

1
ln 3
2

1
x2

0

thức a

t

21

5

1 t
ln
2 t

2)

ln 7

dx.

2
2

5

3

1
ln 3
2

ln 5

1
ln 5
2

1
ln 7
2

2c. .

1

Câu 36: Cho

(t

3

2tdt

4

t

2

1
5

x

4x

3

dx

2 ln

2

a

1

b

, với a, b là các số nguyên dương. Giá trị biểu

b bằng
C. 9 .

B. 11 .

A. 5 .

D. 3

Lời giải
Chọn A
Đặt t

x

x

1

3

1
2

x
(x

1)(x

Đổi cận x

0

t

dt

2

2

I
1
2

Câu 37: Cho
0

3

x

1

2dt
t

2

x

2

x

dx

1

t

2

2

1

3

2

1

3

2 ln

b 2

2 x

1

3 và x
2

a

2 x
2dt
t

3)

1

1

dx

3

2 ln | t |

1

dt

3

dx

dx
(x

1)(x

2

3)

2

. Suy ra a

3. Vậy a

2, b

b

5. .

c, với a , b , c là các số nguyên. Giá trị biểu thức

a b c bằng
A. 3 .

B. 4 .

C.

1.

D. 2

Lời giải
Chọn A
Đặt

x

2 cos u với u

Đổi cận x

0

Khi đó: I

4

u
2

4

2
2

2

;x

0;

2

2

. Suy ra x

u

4

2 cos u
sin 2 udu
2 cos u

4 cos2 u

dx

4 sin2udu.

.
2

cos2

16
4

u

cos udu
2

2

8

1

cos u cos udu

4

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
2

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

2

cos udu

8

(1

cos 2u)du

8 sin u

4u

2

2 sin 2u

6.

4

Suy ra a

1;b

4, c

1

Câu 38: Cho

4 2

4

4
4

2

2
2
 x x  1dx 

6. Vậy a



a b  ln 1  b
c

0

b



c

3. .

với a,b,c là các số nguyên dương và

a
là phân số
c

tối giản. Giá trị a  b  c bằng.

B. 13 .

A. 14 .

C. 15 .

D. 12 .

Lời giải
Chọn B
Đặt x 





et  e  t e 2 t  1

 et  x  x 2  1  t  ln x  x 2  1 .
2
2et
2

Khi đó,

 e2t  1 
e4t  2e2t  1 et  et
.
x 1  


1


t 
2e2t
2
 2e 
2

Vậy

nên
2

2

ln 3
ln 3
 et  e  t   et  e  t 
1
1
2t
2 t 2
4t
4 t
0 x x  1dx  0  2   2  dt  16 0  e  e  dt  16 0  e  e  2  dt
.
1
ln 3
81   8 ln 3  2

4t
4 t
e  e  8t
81


64
64
0
1

ln 3

2

2

Do đó a  b  c  13 .


1
1
1 
a3 c
a
3 x
3
với a,b,c là các số nguyên dương,
là phân số


2

dx

2
8
11 
1 

b
x
x
x
b


2

Câu 39: Cho

tối giản và c  a . Giá trị a  b  c bằng.
A. 51.

B. 67 .

C. 39 .

D. 75 .

Lời giải

Chọn B
2
2
2

1
1
1 
1
x3  1 
1
x3  1 
I    3 x  2  2 3 8  11  dx    3 x  2  2 3 11  dx    3 x  2  2 3 9 2  dx


x
x
x 
x
x 
x
x .x 
1
1
1

2
1
2
  3 x  2  3


x
x
1

Đặt t  3 x 

3

2

x3  1 
1
2
3 x
dx

 3


2
2


x 
x
x
1

3

x

1
x2

2

1
 dx   3 x  2
x
1


2

1  3  dx
 x 

1
1

2
 t 3  x  2  3t 2dt  1  3  dx
2
x
x
 x 

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO

HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Đổi cận x  1  t  0 và x  2  t 
3

Lúc đó I 

7
4


0

3

7
4

3

3

7
4

7

4
3
21 3 7 21 3 7 21 3 7 3 2 21 3 14 a 3 c
t.3t dt   3t dt  t 4 




4 0
16 4 16 3 4 16 3 4 3 2
32
b
0
2

3

Do đó a  b  c  21  14  32  67 .
b
x3
1 b

dx  ln   d  với a,b,c,d là các số nguyên dương và là phân số tối
c
x 1
a c


1

Câu 40: Cho


1
2

giản. Giá trị a  b  c  d bằng.
B. 10 .

A. 12 .

C. 18 .

D. 15 .

Lời giải
Chọn B





et  e  t e 2 t  1

 et  x  x 2  1  t  ln x  x 2  1 .
Đặt x 
t
2
2e

2

 e2t  1 
e4t  2e2t  1 et  et
.
x 1  
1 

t 
2e2t
2
 2e 
2

Khi đó,
Vậy nên

2

2

ln 3
ln 3
 et  e  t   et  e  t 
1
1
2t
2 t 2
x
x


1
dx

dt

e

e
dt



 e4t  e4t  2  dt
0
0  2   2 
16 0
16 0
.
1
ln 3
81   8 ln 3  2
4t
4 t
e  e  8t
81


64
64

0
1

ln 3

2

2

Do đó a  b  c  13 .
3

Câu 41: Cho


0

x 1
dx  a  b ln 2  c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức
x 8

T  a  2b  c bằng:
B. 1 .

A. 5 .

C. 11 .

D. 7

Lời giải
Chọn A
Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx
x  0  t 1
Đổi cận:
x 3t  2
3


0

x 1
t
2t 2
3
3 

dx   2
.2tdt   2 dt    2 

dt
x 8
t 1  8
t 9
t 3 t 3
1
1
1
2

  2t  3ln t  3  3ln t  3 

2

2
1

2

 2  3ln 2  3ln 5  3ln 4  2  3ln 2  3ln 5  a  b ln 2  c ln 5

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

Suy ra: T  a  2b  c  5 .
2

Câu 42: Cho


0

2 x
dx  a  b 2  c ,với a, b, c là các số hữu tỷ.Giá trị của biểu thức
2 x

T  a  b  c bằng:
A. 1 .

B. 11 .

C. 3 .

D. 24

Lời giải
Chọn C
Đặt: x  2cos t  x  4cos2 t  dx  4cos t .sin tdt

x 0t 
Đổi cận:

x 2t 


2



4


2


0



2
2 x
2  2 cos t
1  cos t
dx  
.4 cos t.sin tdt  4 2 
.cos t.sin tdt
2  2 cos t
1  cos t
2 x


2

4



4



t
2
2
t
2 .cos t.sin tdt  16 cos 2 .cos tdt  8 1  cos t .cos tdt

 2

t


sin 2
4
4
2

cos 2

2

 8


4







2
1  cos 2t 
1 cos 2t 



 8  cos t  cos 2 t .dt  8   cos t 
.
dt

8

 cos t  
.dt 2

2
2
2 


 
 
2

2

4

4

4


t sin 2t  2

 8  sin t  

    4 2  6  a  b 2  c
2
4 

4
Suy ra: T  a  b  c  3 .
1

Câu 43: Cho

 3x  5
0

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỷ.Giá trị của biểu
3x  1  7

thức T  a  b  c bằng:
10
5
A.  .
B.  .
3
3

C.

10
.
3

D.

5
3

Lời giải
Chọn A
Đặt: t  3 x  1  t 2  3 x  1  2tdt  3dx  dx 
Đổi cận:

2t
dt
3

x  0  t 1
x 1 t  2

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

dx
1
2
2
t

2  3
2 
0 3x  5 3x  1  7  1 t 2  5t  6. 3 tdt  3 1 (t  3)(t  2) dt  3 1  t  3  t  2 dt
1



2

2

2

2
2
20
4
3ln t  3  2 ln t  2    ln 2  ln 3  2 ln 5  a ln 2  b ln 3  c ln 5

1
3
3
3

Suy ra: T  a  b  c  
8

Câu 44: Cho

dx

 xx

x 1

3



10
.
3

1 a c
a c
ln  với a, b, c, d là các số nguyên dương, và , là các phân
2 b d
b d

số tối giản. Giá trị của a.b.c  d bằng:
A. 6 .

B. 18 .

D. 3 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn.

A.
8

Ta có: I  
3

8

dx
dx

2
x  x x 1 3 1 x 1
x 1 1







Đặt t  x  1  1,  t  1  x  1  t  1 hay x  t 2  2t  dx  2  t  1 dt
Đổi cận: - Với x  3  t  3 .
- Với x  8  t  4 .

4
4
4
2  t  1 dt 4 t  t  2

1
1 
dt 1  1
1

d
t


d
t


  dt
 2


2
2
2




t t  2 3 t t  2
t
t (t  2) 
t
2 3t 2 t 
3

3
3
4

Khi đó: I  

4
1
1
1 1 1
1 1 3
  ln t  2  ln t      ln 2  ln 4 ln1 ln 3   ln .
3
t3 2
4 3 2
12 2 2
4

= 

 a  3, b  2, c  1, d  12  a.b.c  d  6 .
2

Câu 45: Biết


1

x3dx
x2  4  2

 a 5  b 2  c với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của a  b  c bằng:

A. 10 .

B.

7
.
2

C. 20 .

D.

20
.
3

Lời giải
Chọn.

D.
2

Ta có: I  
1

x3dx
x 4 2

2

2



x

2

 4  4  .xdx
x 4 2
2

1

2


1





x 2  4  2 xdx

Đặt t  x2  4,  t  0  x2  t 2  4  xdx  tdt
Đổi cận: - Với x  1  t  5 .
- Với x  2  t  2 2

2 2

I 



5

 t3

 t  2  tdt    t 2 
3


2 2


5

5
16
5
2 3
3
3

5
16
20
 a   ,b  ,c  3 a  b  c 

.
3
3
3

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
3



dx

 1 x 

Câu 46: Cho



 a  b 2  c 3  d ln 3 2  3 với a, b, c, d là các số hữu tỷ. Giá trị

1  x2

1

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT

của biểu thức a  b  c  d bằng:

A. 0 .

C. 

B. 3 .

1
.
2

D.

5
.
2

Lời giải
Chọn.

A.

Vì x  1; 3  nên I 

1

2

3



1

dx 1

x 2

3

3

1
1 dx  2


1

3

3

dx

 1 x 
1



1  x2

1  x  1  x2

 1  x   1  x 
2

2

dx 

1

1  x2
1
1
3
xdx  ln x 1 
2
x
2
2



1  x  1  x2
dx
1
2x
3

 

1
3 1 
2

3

1

1  x2
xdx
x2

Đặt t  x2  1,  t  0  x2  t 2 1  xdx  tdt
Đổi cận: - Với x  1  t  2 .
- Với x  3  t  2 .

1
1
 I  ln 3 
2
2



2

t2
Ta có:  2 dt 
t 1
2



3 1 

1
2

2

t
2

2

t
tdt
1

1 

 1  t 2  1  dt 
2
2

 1 1
1 
 1 t 1 
 1  2  t  1  t  1   dt   t  2 ln t  1 
2

2

2

2

2
1 1
2 1 
1 1 1
 2  2   ln  ln
  2  2  ln  ln 2  1
2 3
2 3 2
2 1 
2
1
1
1
1 1 1
 I  ln 3 
3  1   2  2  ln  ln 2  1 
2
2
2
2 3 2












3 1
1
1
 
3
2  ln 3 2  3
2 2
2
2
3
1
1
1
 a   ,b  ,c  , d 
2
2
2
2
 a bc  d  0.

x
x4 1







trên khoảng  ; 1  1;   là





B. ln x 2  x 4  1  C .

A. x ln x 2  x 4  1  C .
C.





Câu 47: Nguyên hàm của hàm số f  x  





1
x ln x 2  x 4  1  C .

2

D.





1
ln x 2  x 4  1  C .
2

Lời giải
Chọn D





x2  x4 1
1
 1
2
4
Ta có  ln x  x  1  C   .
2
 2 x2  x4 1





ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO


HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT


1
1
4 x3 
 .
. 2x 

2 x2  x4  1 
2 x4 1 

x
x4 1

.

1

 x x  x  3 dx  a ln 3  b , với a, b là các số hữu tỷ. Giá trị của 4a  9b bằng

Câu 48: Biết

0

B. 3 .

A. 3 .

D. 2 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn B
1

1

1

Ta có 2 x x  x  3 dx    2 x  3 x  3x dx  3
2

0

0

0

2

3 9


 x    dx
2 4


1

1

đi tính h i tích phân s u I    2 x  3 x  3 x dx , J  
2

0

0

2

3 9

 x    dx .
2 4


1

16
2

I    2 x  3 x 2  3x dx    2 x  3 x 2  3x  

3
0 3
0
1

2

3 9

 x    dx
2 4


1

J 
0

5
2
3
9
Đặt t  x  suy ra J   t 2  dt .
2
4
3
2

Xét bài toán tổng quát K   x 2  a dx

x

dx
u  x 2  a
du 

Đặt 
x2  a
v  x
dv  dx

Nên K   x 2  a dx  x x 2  a  
 x x 2  a   x 2  a dx  a 

Suy ra K 

dx
x a
2

x2  a

dx  x x 2  a  

x2  a  a
x2  a

dx

 x x 2  a   x 2  a dx  a ln x  x 2  a  C

1
a
C
x x 2  a  ln x  x 2  a  .
2
2
2
5
2

Áp dụng bài toán trên ta có J  
3
2



x2

1
9
9 9
9
t 2  dt   x x 2   ln x  x 2 
2
4
4 8
4


5

2

3
2

5 9
 ln 3 .
2 8

8 3 5 9
13 27

 x x  x  3 dx  3  2  2  8 ln 3   12  16 ln 3.
1

Vậy

0

Từ đó suy r a 

27
13
, b    4a  9b  3 .
16
12

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO

HỌC TOÁN CÙNG THẦY HÀO KIỆT
Chú ý: Ta đã sử dụng bổ đề

ĐĂNG KÍ HỌC IB THẦY HÀO KIỆT



dx
x a
2

 a ln x  x 2  a  C chứng minh bằng cách lấy

đạo hàm.

ĐĂNG KÍ KÊNH YOUTOBE “ THẦY HÀO KIỆT TOÁN” ĐỂ XEM NHỮNG CÂU DỤNG CAO