Bài giảng Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
§1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản
1. Phân phối đều rời rạc:
X x1 x2……xk
P 1/k 1/k…….1/k
2. Phân phối không – một A(p):
Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p)

X 0 1
P q p
Định lý 1.1: X có phân phối A(P) thì E(X) = P, D(X) = p.q
3. Phân phối nhị thức B(n,p):
k
k n−k
Định nghĩa 1.2: Χ : Β ( n, p ) � Ρ ( Χ = k ) = Cn . p .q , k = 1, n
( n + 1) p �
Định lý1.2: Χ : Β ( n, p ) � Ε ( X ) = np, D ( Χ ) = npq, Mod Χ = k0 = �
�
�
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

1


4. Phân phối siêu bội
Bài toán: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại
là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (không hoàn
lại), n không lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối

xác suất của X là số bi trắng lấy được.
k
n−k
Giải:
CM
C
.
N −M
Ρ( Χ = k) =

C

n
N

, k = 0, n

Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối
siêu bội H(N,M,n)
Χ : H ( N , M , n) � Ε ( Χ ) = np,
Định lý 1.3: Giả sử
N −n
M
D ( Χ ) = npq
,p=
N −1
N
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4

@Copyright 2010

2


Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức
lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội
5. Phân phối Poisson P(a),a>0:
k
a
−a
Χ
:
Ρ
a
�
Ρ
Χ
=
k
=
e
. , k = 0,1, 2...
(
)
(
)
Định nghĩa 1.4:
k!
Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a

Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy:
P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)
Ρ ( 0 x 12 ) = 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …)
Ρ ( 6 X 12 ) = Ρ ( 0 X 12 ) − Ρ ( 0 Χ 5 )
Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch
vụ công cộng thì X tuân theo quy luật phân phối Poisson
P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

3


Ví dụ 1.2:
Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện.
Tính xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó.
Giải:
Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phút thì
X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy:
4
5
Ρ ( Χ = 4 ) = e −5 .
4!

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

4


§2: Các quy luật phân phối liên tục
2
1. Phân phối chuẩn Ν ( a, σ ) , σ > 0
Định nghĩa 2.1:
Χ : Ν ( a, σ 2 ) � f ( x ) =

1
e
σ 2π

−( x − a )

2

2σ 2

2
2
Định lý 2.1: X có phân phối Ν ( a, σ ) thì E(X) = a, D(X) = σ
Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn
1 − u 2 /2 (hàm mật độ
tắc N(0,1) nếu:
f ( u) =
e
Gauss).
2π

u

Định lý 2.2:
FU ( u ) = 0,5 +
0
U có phân phối N(0,1) thì
với

Φ(U )

1 −t 2 /2
e dt = 0,5 + Φ ( U )
2π

là tích phân Laplace (hàm lẻ)

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

5


Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có:

( 1) Ρ ( u1 < U < u2 ) = Φ ( u2 ) − Φ ( u1 ) ;
( 2 ) Ρ ( U < ε ) = 2Φ ( ε ) .

(

)

Định lý 2.4: Giả sử Χ : Ν a, σ 2 � U =

Khoa Khoa Học và Máy Tính

X −a
: Ν ( 0,1)
σ

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

6


Định lý 2.5: Giả sử

Χ : Ν ( a, σ 2 )

.Khi ấy ta có:

�β − a � �α − a �
1
Ρ
α
<
Χ

<
β
=
Φ
() (
) � �− Φ � �
�σ � �σ �
ε�
( 2 ) Ρ ( Χ − a < ε ) = 2.Φ �
��
�σ �

Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn
2
5
N(165,
).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao
nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn.
160 − 165 �
�
Ρ ( − < X < 160 ) = Φ �
�− Φ ( −
� 5
�

= −Φ ( 1) + Φ ( +
Khoa Khoa Học và Máy Tính

)

)

= −0, 34134 + 0, 5
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

7


Ví dụ 2.2: Cho U : Ν ( 0,1)
• Giải:
Ε(U m ) =

+
−

hãy tính kỳ vọng của

U

m

1 −u 2 /2
u .
e du = 0 nếu m lẻ vì cận đối xứng,
2π
m

hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.
+

1 − u 2 /2
1 − u 2 /2
Ε ( U ) = �u
e
du = �u.u
e
du
−
−
2π
2π
1 − u 2 /2
1 − u 2 /2
dv = u
e
�v = −
e
2π
2π
+
1 − u 2 /2 +
1 − u 2 /2
2
� Ε ( U ) = −u.
e
+
e
du = 1
−
−

2π
2π
2

+

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

8


Tương tự:

Ε(U ) =
4

+
−

1 −u2 /2
u .u
e du
2π
3

1 −u 2 /2
3
= −u .
e
2π

+
−

+ 3.

+
−

Ε ( U 6 ) = 5Ε ( U 4 ) = 5.3.1;

u

2

1 −u 2 /2
e du = 3.Ε ( U 2 ) = 3.1;
2π

Ε ( U 2 n ) = ( 2n − 1) !!
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

9


Ví dụ 2.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại gặp vàng thì dừng
.Tính xác suất để lấy được 3 trắng, 2 đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:
C 63 .C52 4
P =

5
15

C

.

10

2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK)
λ
e
3. Phân phối mũ
:(Xem SGK)
4. Phân phối khi bình phương:(Xem SGK)
5. Phân phối Student:(Xem SGK)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

10


§3. Các định lý giới hạn.
1. Định lý Chebyshev (Xem SGK)
2. Định lý Bernoulli (Xem SGK)
3. Các định lý giới hạn trung tâm.
Định lý 3.1(Lyapounov): Giả sử Χ1 , Χ 2 ,..., Χ n đôi một độc
n
lập và
3
E X k − E( X k )
lim k =1
=0
3/2
n
n
�
�
D
Χ
� ( k)�
�k =1
�
Khi ấy ta có:
U=

1 n
1 n

Χ i − �E ( Χ i )
�
n i =1
n i =1
1
n

n
i =1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

D ( xi )

N ( 0,1)

khi n đủ lớn ( n

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

30 )
11


Hệ quả 3.1:Giả sử thêm vào đó ta có

E ( X i ) = a, D ( X i ) = σ 2 , i = 1, n
1 n
( . X i − a ). n

n i =1
�U =
�N (0,1)
σ

m
− p). n
U= n
p(1 − p )
(

Hệ quả 3.2:

Khoa Khoa Học và Máy Tính

N (0,1)

khi n đủ lớn

khi n đủ lớn

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

12


Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến
ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối: Χ1 , Χ 2 ..., Χ n với
phương sai: D ( Χ k ) = 5 ( k = 1, 2,..n )

Xác định n sao cho với xác suất không bé hơn 0,9973.
a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt quá 0,01
b) Trị tuyệt đối của X-E(X) không vượt quá 0,005.
Bài giải:

1
Χ=
n

n
i =1

Χi , E (Χi ) = a � E ( X ) = a � D ( Χi ) = σ 2 = 5

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

13


a )Ρ ( Χ − E ( Χ )
.

0, 01)

.

0, 9973

� ( Χ − a ) n 0, 01 n �
� Ρ�
U=
�
��0, 9973
�
�
σ
5
�
�
�0, 01 n �
� Φ�
+ 0, 5 �0, 9973
� 5 �
�
�
�
�0, 01 n �
� Φ�
�
0,
4973
=
Φ
2,
785
(
)

�
� 5 �
�
�
0, 01 n
۳
5

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

2, 785 ۳ n

�2,875. 5 �
�
� 0, 01 �
�
�
�
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

14


.

b)
.

Ρ( U = Χ − E ( Χ ) < 0, 005)

0, 9973

�
0, 005 n �
� 2.Φ �
�
0,
9973
�
�
�
5
�
�
�
0, 005 n � 0, 9973
� Φ�
�
= Φ ( 3)
�
�
�
2
5
�
�
0, 005 n

۳
5
Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

3

n

�3 5 �
�
�
�
�
0,
005
�
�
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

15


$4.Các công thức tính gần đúng
1. Công thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức.
Định lý 4.1:Khi nN
Nghĩa là:

k
n−k

CM .CN − M
Ρ( X = k) =
CNn

Cn k . p k .q n − k

Ví dụ 4.1: Giả sử cho 1 hộp có N=1000 bi trong đó có
M=600 bi trắng còn lại là bi đen. Rút ngẫu nhiên ra 20
bi,tính xác suất để lấy được đúng 12 bi trắng.
12
8
C600
.C400
Ρ ( X = 12 ) =
20
C1000
Khoa Khoa Học và Máy Tính

12
C20
.0, 612.0, 48

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

16

2. Nhị thức và Poisson:
Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé Ρ B ( n, p )
( a ) với
a=np
k
Nghĩa là: Ρ ( X = k ) = C k . p k .q n − k e − a . a , k = o, n
n

k!

Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho.
Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm
xác suất để khi vận chuyển:
a) Có đúng sáu chai bị vỡ
b) Có không quá 12 chai bị vỡ.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

17


. Giải: Gọi X là số chai bị vỡ thì X có phân phối B(n,p)

n = 8000, p = 0, 001 � a = np = 8
6
1)Ρ ( Χ = 6 ) = C8000
. p 6 .q 8000−6

2)Ρ ( 0

Χ 12 )

6
8
e −8 . = 0,1221338
6!

0,936204

Chú ý: Khi p rất lớn thì q rất bé vậy ta có thể coi q là p mới
( tức là đổi p thành q,q thành p).

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

18


3. Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn
Định lý: Khi n đủ lớn,p không quá bé và cũng không quá lớn
thì B(n,p)
N(np,npq), nghĩa là:

Ρ( Χ = k)
Ρ ( k1

Χ

Khoa Khoa Học và Máy Tính

�k − np �
.f �
�
�
npq � npq �
�
�k2 − np � �k1 − np �
k2 ) Φ �
− Φ�
�
�
� npq � � npq �
�
� �
�
1

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

19


Ví dụ 4.3:Xác suất trúng đích của một viên đạn là 0,2. Tìm
xác suất để khi bắn 400 viên thì có tất cả:

a)70 viên trúng
b)Từ 60 đến 100 viên trúng.
Giải: Gọi X là là số đạn bắn trúng thì

�70 − 80 � 1
a )Ρ ( Χ = 70 ) = C . p .q
f�
�= . f ( 1, 25 )
� 8 �8
�100 − 80 � �60 − 80 �
b)Ρ ( 60 Χ 100 ) Φ �
�− Φ �
�= 2.Φ ( 2,5 )
� 8 � � 8 �
70
400

Khoa Khoa Học và Máy Tính

70

330

1
=
8

Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010

20