ứng dụng bdt để tìm cực trị

Phép biến đổi tơng đơng
áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị
I - Phép biến đổi tơng đơng
1) Phơng pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngợc
lại)
- Một số ví dụ;
VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)
Lời giải:
Ta có a
3
+ b
3
+ abc

ab (a + b + c)

a
3
+ b
3
+ abc

a
2

b + ab
2
+ abc

(a+b)(a
2
_ab+b
2
)

ab (a+b)

(a+b) (a-b)
2


0
Ta có: a; b; > 0

a + b > 0
(a - b)
2


0

a, b

(a + b).(a - b)
2

0 (Luôn đúng)

a, b > 0

a3 + b3 + abc

ab (a+b+c) (ĐpCM)
VD2: Cho a, b, c > 0 CM:
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +
Lời giải:
Ta có
ab bc ca
a b c
c a b
+ + + +

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c

2
a
2


abc (a + b + c)

2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)

2 abc(a + b + c)

(a
2
b
2
+ b
2
c

2
- 2ab
2
c)+ (a
2
b
2
+ a
2
c
2
- 2a
2
bc) + (b
2
c
2
+ c
2
a
2
- 2abc
2
)

0

b
2
(a - c) + a

2
(b - c)
2
+ c
2
(a - b)
2


0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 )
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của

Cm:
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
a b c a c b
1
b c a c b a
+ + <
Bài làm
Đặt M =
a b c a c b
b c a c b a
+ +
có M =
a b b c c a
b a c b a c
+ +
2 2 2 2 2 2
a b b c c a

M
ab bc ac

= + +
2 2 2 2 2 2
1
M . ca cb ab ac bc ba
abc
= + +
(Vì a; b; c > 0)
( ) ( )
1
M . a c . b2 ac ab bc
abc
= +
( ) ( ) ( )
1
M . a c . c b . b a
abc
=
có
c a b>
a b c>

b c a>
a b . b c . c a a.b.c <
( ) ( ) ( )
1 1
. a b b c c a .abc 2
abc abc

M 1
< =
<
Vậy
a b c c b
1
b c a a a
+ + <
VD4 :Cho ab

1 CM:
1 1 2
(1)
a2 1 b2 1 ab 1
+
+ + +
Bài giải
Ta có (1)
2 2
2 2 2 2
a b 2 2
ab 1
a b 1 a b
+ +

+
+ + +

2
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
a b 2 . ab 1 . a b a b 12 + + + + + +
(Vì ab
1
)

3 3 2 2 2 2
a b ab 2a b a b 2ab 0 + +

( ) ( )
2 2 2 2
ab. a 2ab b a 2ab b 0 + +

( ) ( )
2
ab 1 . a b 0
( Luôn đúng
n
a 1
)

2
1 1 2
b2 1 ab 1
a 1
+

+ +
+
Dấu = xảy ra
a b
ab 1
=



=

VD5:Cho
a 1; b 1 ; c 1
CM:
3 3 3
1 1 1 3
1 abc
a 1 b 1 c 1
+ +
+
+ + +
Bài làm
áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có:
(
)
3 3 2
3 3
3
1 1 1 2
1 a 1 b

1 a b
1 a
+ =
+ +
+
+
Tơng tự:
3
4
1 1 2
1 abc
c 1
abc 1
+
+
+
+
3 3 3
3 3 4
1 1 1 1 1 1
1 abc
1 a 1 b 1 c
1 a b abc 1

+ + + +
ữ
ữ
+
+ + +
+ +

mà :
(
)
(
)
2 2
3 3 4
4 4
3 3 4
4
4 4 4
1 1 1 1
2
1 a b abc 1
1 a b 1 abc
2 4
2.
1 abc
1 a b c

ữ

+ = +
ữ
ữ
ữ
+ +
ữ

+ +
ữ

=
+
+
3 3 3
1 1 1 1 4
1 abc 1 abc
1 a 1 b 1 c
+ + +
+ +
+ + +
3 3 3
1 1 1 3
1 abc
1 a 1 b 1 c
+ +
+
+ + +
3
A
C
h
a
B
a
b
c
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

Dấu = xảy ra

a = b = c = d
VD6: Cho

abc Với: A

B

C
a b c b a c
b c a a c b
h h h h h h
h h h h h h
+ + + +
(ha ; hb ; hc lần lợt là các đờng cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của

)
Bài làm:
Gọi S là diện tích

ABC
a a
1 2S
S a.h h
2 a
= =
tơng tự:

b c
2S 2S
h ; h
b c
= =
(1)
2S 2S 2S 2S 2S 2S
a b c b a c
2S 2S 2S 2S 2S 2
ab
S
b a c b
+ + + +

2 2 2 2 2 2
2
2
b c a a c b
a b c b a c
b c c a a b a c c b b a
c(b a)(a b) c (b a) ab(b a) 0
(b a)(ac bc c ab) 0
(b a)(c b)(a c) 0
+ + + +
+ + + +
+
+

Lại có A

B

C

a

b

c (Quan hệ cạnh góc trong

)
( ) ( ) ( )
b a 0
a c 0 b a c b a c 0
c b 0










Đpcm
Dấu= xảy ra (=)
a c
a b
c a

=


=


=

VD7 : CM: a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca
4
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh
Từ đó chứng minh:
8 8 8
3 3 3
a b c 1 1 1
a b c
a .b .c
+ +
+ +
Với a , b , c , > 0
Bài giải:
a

2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca (*)

2(a
2
+ b
2
+ c
2
) - 2.(ab + bc + ca)

0
(=) (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2


0 ( luôn đúng )
Dấu = xảy ra (=) a = b = c
Ta có : a
2

+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca
a
4
+ b
4
+ c
4

a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
a
8
+ b
8

+ c
8


a
4
b
4
+ b
4
c
4
+ c
4
a
4
áp dụng (*)

a
8
+ b
8
+ c
8


a
4
b
4

+ b
4
c
4
+ c
4
a
4


a
2
b
3
c
3
+ a
3
b
2
c
3
+ a
3
b
3
c
2
8 8 8 3 3 3
1 1 1

a b c a b c
a b c

+ + + +
ữ

8 8 8
3 3 3
a b c 1 1 1
a b c
a b c
+ +
+ +
Dấu đẳng thức xảy ra (=) a = b = c
VD 8: Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1

; p là nửa chu vi
Cm:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +
ữ


Bài giải
Từ bất đẳng thức
1 1 1
x y x y

+
+
(x ; y không âm ; xy

0 )
(Dễ dàng CM đợc BĐT Côsi)
Ta có:
1 1 4 4
p a p b 2p a b c
+ =


1 1 4
p b p c a
1 1 4
p c p a b
+

+

Cộng từng vế của BĐT trên ta đợc:
5
Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh

1 1 1 1 1 1
2 4
p a p b p c a b c


+ + + +

ữ
ữ




1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +
ữ


*Chú ý : Biến đổi ngợc lại ta sẽ đợc một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tơng đ-
ơng thực sự.
VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n
n N ; m N


m m n n
m m n n
a b a b
CM :
a b a b

>
+ +
(*)
Bài làm:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
m m n n n n m m
m n m n m n m n n m n m n m m n
m n n m
n n m n m n
(*) a b a b a b a b
a .a a .b b .a b .b a .a a .b b .a b .b
2 a .b a .b 0
2.a .b a b 0 (1)

+ > +
+ > +
>
>
Có a > b
m n m 1
a b

>

(1) luôn đúng

(*) luôn đúng

Đpcm
*Một số bài tập áp dụng:
1) Cho
z y x 0 >

C/m:
( ) ( )
1 1 1 1 1
y x z x z (*)
x z y x z

+ + + + +
ữ ữ

2) Cho a , b , c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1
CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ +
+ + +
( Chú ý BĐT Nesôlsit )
6