Bài giảng Kinh tế lượng: Chương 2 - Nguyễn Thị Thùy Trang

Chương 2. MƠ HÌ NH HỜ I QUY BỘI
2.1. Sự cần thiết của mơ hình hồi quy bội
2.2. Phương pháp bình phương nho nhâ
̉
́t
2.3. Các dạng hàm khác
2.4. Tính vững của ước lượng OLS
2.5. Mơ hình hồi quy sử dụng ngơn ngữ ma 
trận
  Bài tâp 
̣ ứng dung
̣


2.1. Sự cần thiết của mơ hì nh hờ i 
quy b
ộ
i

Sự vi phạm giả thiết cov(X,u)=0

Xét MH:

CT = β1 + β 2TN + u

Kể tên các yếu tố khác ngồi biến thu nhập ảnh 
hưởng đến chi tiêu
  Mối quan hệ của các yếu tố khác đó với biến thu 
nhập
 Giả thiết OLS nào bị vi phạm  nhược điểm của 
mơ hình hồi quy đơn




2.1. Sự cần thiết của mơ hì nh hờ i 
quy bội
Sự ưu việt của hàm hồi  quy bội:
Chất lượng dự báo tốt hơn
Cung cấp các dự báo hữu ích hơn
Sử dụng hàm phong phú hơn
Thực hiện các phân tích phong phú hơn


2.2. Mơ hì nh hờ i quy bội
Mơ hình hời quy bội (k biến ) gờm: 
­ 1 biến phụ thuộc + (k­1) biến độcl lập 
­ k hê sơ
̣ ́: 1 hệ số chặn  và (k­1) hệ số góc

•

Xét mơ hình hồi quy bội dạng tuyến tính 

PRF : E (Y / X 2i , X 3i ,..., X ki ) = β1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + ... + β k X ki
PRM :Yi = β1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + ... + β k X ki + U i (i = 1 N )
Với mẫu W = {(Xi, Yi), i = 1÷ n} tìm được một ước lượng điểm

 

ˆ
Y

 

ˆ

Y

ˆ

1

1

ˆ . X 2 ˆ . X 3 ... ˆ . X k
2
3
k
ˆ . X ˆ . X 3 ... ˆ . X k e
2
3
k


Ý nghĩa
       * Hệ số chặn β1 = E(Y/X2i = X3i = …= Xki = 0) là 
giá trị trung bình của Y khi X2i = X3i = …= Xki = 0.
       * Các hệ số góc βm cho biết khi Xm tăng (giảm) 1 
đơn vị thì trung bình của Y thay đổi như thế nào trong 
điều kiện các biến Xj khơng thay đ
(∀jổi. m)
E (Y / X 2 , X 3 ,..., X k )

βm =
(m = 2 k )
Xm


 Ví dụ:LP = 0.02 + 0.3m − 0.15 gdp + e
◦

LP: Tỷ lệ lạm phát (%)

◦

m: mức tăng trưởng cung tiền (%)

◦

gdp: mức tăng trưởng GDP (%)

 Giải thích ý nghĩa các hệ số của mơ 

hình? 
 Chú ý
◦


Các giả thiết của mơ hình
GT1: Biến độc lập là phi ngẫu nhiên
GT2: Kỳ vọng của các SSNN bằng 0 
E(Ui) = 0,   i 
GT3: Phương sai của các SSNN bằng nhau  

Var(Ui) = Var(Uj) =  2  ,  i ≠ j
GT4: Các biến giải thích khơng có quan hệ tuyến tính 
             
              GT5: Các SSNN khơng tuơng quan với nhau
Cov(Ui ,Uj) = 0 ,  i ≠ j
 GT6: Các SSNN và biến độc lập khơng tương quan với nhau
Cov(Ui , Xmi) = 0,    i,m
GT7: Các sai số ngẫu nhiên có phân phối chuẩn


Phương phá p bì nh phương nho ̉
nhấ t
Ý tưởng cua ph
̉
ương pháp:   Yi   ­ Ŷi = ei  => min
n
                                       
i

n
i 1

n
i 1

Y

| ei |

ei2

min

1

ei

0

E ( Y|X)

e (+)

e (­)

min

0

Ŷi  = fˆ(Xi )

X
8


Phương phá p bì nh phương nho ̉
nhấ t


Xác định các giá trị:

sao cho

βˆ j ( j = 1,k )

n

2
ˆ − βˆ X − ... − βˆ X )2
e
=
RSS
=
(Y
−
β
�i
�i 1 2 2
k k
i =1

min

        
ˆ , βˆ , .., βˆ
β
1
2
k
                             là nghi
ệm của hệ k phương trình 

n

i =1
n
i =1

(Yi − βˆ1 − βˆ 2 X 2 − .. − βˆ k X k ) = 0
X 2 (Yi − βˆ1 − βˆ 2 X 2 − .. − βˆ k X k ) = 0
...

n
i =1

X k (Yi − βˆ1 − βˆ 2 X 2 − .. − βˆ k X k ) = 0


Đô chi
̣
́ nh xá c cua ca
̉
́ c ướ c lượng 
σ
ˆ
 Phương sai của hệ sβ
ốˆ 2     :  Var( β 2 ) = ( 1 − R 2 )
2
2

Phương sai của hệ sốβˆ     :
j

 Trong đó:


◦

2
σ
Var( βˆ j ) =
( 1 − R 2j )

x22i
x 2ji

     : là h
ệ số xác định của mơ hình hồi quy
R2
2

X 2 = α1 + α 2 X 3 + .. + α k X k + v
◦
Và x2 i = X 2 i − X 2
◦

     ch
σ 2 ưa biết, được ước lượng bởσˆi2 =

n
i =1

ei2

n−k


Đô chi
̣
́ nh xá c cua ca
̉
́ c ướ c lượng 


Độ lệch chuẩn của βˆ j

2
ˆ
σ
RSS / ( n − k )
ˆ
se( β j ) =
=
, j = ( 2 , 3, ..,k )
2
2
2
2
( 1 − R j )�x ji
( 1 − R j )�x ji



Độ chính xác của ước lượng phụ thuộc:
◦

2
σ
Phương sai của yếu tố ngẫu nhiên

VIF j =
◦
 Nhân tử phóng đại phương sai:

1
( 1 − R 2j )

2
R
     thj ể hiện quan hệ tuyến tính giữa các biến độc 
lập
x 2ji
◦

Độ biến động của biến độc lập tương ứng


Đô chi
̣
́ nh xá c cua ca
̉
́ c ướ c lượng 
-

-

 Trung bình cua 
̉ ước lượng:   

 Phương sai cua các 
̉
ước lượng được biểu diễn dưới 
dạng ma trận hiệp phương sai của các hệ số: 
� Var ( βˆ1 )
Cov( βˆ1 , βˆ2 )
�
Cov( βˆ2 , βˆ1 )
Var ( βˆ2 )
�
ˆ
Cov( β ) = �
...
� ...
�
Cov ( βˆk , βˆ1 ) Cov ( βˆk , βˆ2 )
�

... Cov( βˆ1 , βˆk ) �
�
... Cov( βˆ2 , βˆk ) � 2 T
= σ (X X )
�
...

...
�
...
Var ( βˆk ) �
�


Độ phù hợp của hàm hồi quy
Hê sơ
̣ ́  xá c đinh
̣

ESS
RSS
R =
= 1−
TSS
TSS
2

R2 cho biết hàm hồi quy (các biến độc lập trong mơ hình) giải thích 
được bao nhiêu % sự thay đổi của biến phụ thuộc Y
 
 Nó được sử dụng để đặc trưng cho mức độ thích hợp của hàm hồi 
quy


Hê sô
̣ ́  xá c đinh đi
̣

ều 
chỉnh 

RSS /(n − k )
2 n −1
R = 1−
= 1 − (1 − R )
TSS /(n − 1)
n−k
2

-

Nếu k > 1 thì

=> số biến giải thích tăng lên thì

-

nhưng có thể

tăng chậm hơn
âm


2.3. Các dạng hàm khác
-

 Hàm tổng chi phí

­ Hàm sản xuất Cobb – Douglas
­ Hàm tuyến tính – loga 
­ Hàm loga – tuyến tính
­ Hàm dạng Hypecbol


Hàm tổng chi phí(đa thức) 


Dạng hàm

TCi = β1 + β 2Qi + β 3Qi2 + β 4Qi3 + U i ( β1 > 0, β 2 > 0, β 3 < 0, β 4 > 0)


Biến đổi
Q2i = Qi2 , Q3i = Qi3
� TCi = β1 + β 2Qi + β3Q2i + β 4Q3i + U i



Ý nghĩa các hệ số

5


Hàm tăng trưởng


Dạng hàm

Yt = Y0 (1 + r )t

Trong đó: r là tốc độ tăng trưởng
  Biến đổi

ln Yt = ln Y0 + t ln(1 + r )

β1 = ln Y0 , β 2 = ln(1 + r )
� ln Yt = β1 + β 2t


Ý nghĩa các hệ số 
5


Hàm sản xuất Cobb – Douglas
(Hàm mũ)


Dạng hàm:



 Biến đổi:

Lưu ý: ý nghĩa của các hệ số trong mơ hình
             hàm sản xuất thay đổi theo quy mơ
             quy luật năng suất cận biên giảm dần


5


Hàm tuyến tính – loga 


Dạng hàm



Biến đổi

Yi = β1 + β 2 ln X i + U i

X = ln X i
*
i

� Yi = β1 + β 2 X + U i
*
i



Ý nghĩa: khi X tăng 1% thì Y tăng β2 đơn vị (?)

5


Hàm loga ­ tuyến tính



Dạng hàm



Biến đổi

ln Yi = β1 + β 2 X i + U i

Yi = ln Yi
*

� Yi = β1 + β 2 X i + U i
*



Ý nghĩa: khi X tăng 1 đơn vị thì Y tăng β2 % (?)

5


Hàm dạng Hypecbol


Mơ hình chi phí trung bình phụ thuộc vào sản lượng:
Yi = β1 + β 2



Mơ  hình  chi  tiêu  phụ  thuộc  vào  thu  nhập  (đường  cong 
Engel):
1
Yi = β1 + β 2





1
+ U i ( β1 , β 2 > 0)
Xi

Xi

+ U i ( β1 > 0, β 2 < 0)

Mơ hình lạm phát phụ thuộc vào tỷ lệ thất nghiệp (đường 
cong Philips):

Biến đổi

1
Yi = β1 + β 2
+ U i ( β1 < 0, β 2 > 0)
Xi
X i* =

1

� Yi = β1 + β 2 X i* + U i
Xi
5


TÍNH VỮNG CỦA CÁC ƯỚC LƯỢNG 
OLS
βˆ2

β2

n
 Tính 

chất  vững  phản  ánh  chất  lượng 

của ước lượng khi mẫu lớn. 
 Nếu UL khơng chệch nhưng khơng vững 

     lấy  nhiều  mẫu  ngẫu  nhiên  cùng  kích 22


TÍNH VỮNG CỦA CÁC ƯỚC LƯỢNG 
OLS
Trong  thực  hành  KTL,  thường  chỉ  có  1  mẫu  quan 
sát, do đó u cầu tính vững của ước lượng.
 Định  lý  2.4:  Khi  các  giả  thiết  1­  4  thỏa  mãn  thì  các 
ước  lượng  OLS  khơng  chỉ  là  các  ước  lượng  BLUE, 
lim P(| βˆ (j n ) − β j |> ε ) = 0
mà cịn là ước lượng vững, nghĩa là:                               

n
0 ọi         .
      vεớ>i m
(n)
ˆ
ˆ
β j ước lượng    v
β j ới kích thước mẫu  n 
    Trong đó     là 
(Chứng minh_tr. 108)


23


MƠ HÌNH HỒI QUY DẠNG MA TRẬN


Xét mơ hình k biến:

Y = β1 + β 2 X 2 + .. + β k X k + u


Với n quan sát

Y1 = β1 + β 2 X 21 + .. + β k X k1 + u1

Y2 = β1 + β 2 X 22 + .. + β k X k 2 + u2
...
Yn = β1 + β 2 X 2 n + .. + β k X kn + un



Hệ phương trình dưới dạng ma trận

Y = Xβ +u
24


MƠ HÌNH HỒI QUY DẠNG MA TRẬN
 Xem thêm các nội dung
•

Các giả thiết của OLS (dạng ma trận)

•

Phương  pháp  OLS  đối  với  mơ  hình 
dạng ma trận

•

Ma trận phương sai ­ hiệp phương sai 
của các hệ số 
25