ĐỀ CƯƠNG ôn tập GIỮA kỳ II toán 9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KỲ II –TOÁN 9
I.
DẠNG 1: Rút gọn
Bài 1:
Cho biểu thức A 

1
3 x 1
x 1
1
8 x
và B 
với x  0; x �


9
x x
3 x 1 3 x  1 9x 1

1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 4
2) Rút gọn biểu thức P  A.B
3) Tìm x nguyên sao cho biểu thức

1
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất
P

Bài 2:

x 2
. Tính giá trị của A khi x  3  2 2

x 2
� 1
1 � x 2

.
b) Rút gọn biểu thức B  �
(với x ≥ 0; x ≠ 4)
�
x 2� 2
� x 2

a) Cho các biểu thức A 

c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu

3
A  B là số nguyên.
2
7 x 2
x 3
x 3
36
 x �0, x �9 
Bài 3: Cho hai biểu thức A 
và B 


2 x 1
x 3
x 3 x 9

a. Tính giá trị biểu thức A khi x  36.
thức P 

b. Rút gọn biểu thức B.
c. Tìm x để hiệu A  B có giá trị là số tự nhiên.

Bài 4: Cho A =

x 3
và B =
x 3

�x  3 x  2

�
� x 9
�

1 � x 3
.
�
với x ≥ 0; x ≠ 9
x 3�
� x 1

1) Tính giá trị của A khi x = 16
2) Rút gọn biểu thức B

A
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

B
x
1
1
x 2


Bài 5:Cho 2 biểu thức A =
và B =
với x > 0, x ≠ 4.
x4
x 2
x 2
x
a) Tính giá trị của A tại x = 6  2 5 ;
A
b) Rút gọn biểu thức B và tính P  ;
B
c) Tìm x thỏa mãn xP �10 x  29  x  25
3) Cho P 

Bài 6: Cho biểu thức A 

x 1
x 1 3 x 1
với x �0, x �1


x


1
x 1
x 1

a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị của x để A  1
c) Tìm các giá trị của m để phương trình A  m có nghiệm
Bài 7: Cho A =

1
1
x 1

 x với x ≥ 0; x ≠ 1
và B =
x 1
x 1
2

a. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4
b. Rút gọn biểu thức P = A . B


c. Tìm m để phương trình ( x  1) P  m  x có nghiệm x.

x2
x
5 x 9

và B =

với x ≥ 0; x ≠ 1
x x 2
x 2
x 1
1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
9
A 5 x 9
b) Chứng minh rằng: 
B
x 1
A
c) Với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1, tìm tất cả các giá trị m để phương trình
= m có nghiệm x
B

Bài 8: Cho hai biểu thức: A =

Bài 7: Cho hai biểu thức A =

x 1
1
1

và B =
với x > 0; x ≠ 1.
2
x x
x 1
( x 1)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

B
.
A

b) Rút gọn biểu thức P =

c) Tìm x  � thỏa mãn 81x2 – 18x = P – 9 x + 4.
Bài 8: Cho hai biểu thức A =

2 x 3
và B =
x  x 1

1
2 x 1

với x ≥ 0; x ≠ 1
x 1 x x 1

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
2) Chứng minh B =

x
x  x 1

4B
có giá trị là số nguyên dương.

A
x 2
x 2
x 1

Bài 9: Cho hai biểu thức A =
và B =
với x > 0; x ≠ 1
x  2 x  1 x 1
x
3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P 

a) Tính giá trị của biểu thức B với x = 16
b) Rút gọn biểu thức P = A.B
c) Tìm x để |P + 1| > P + 1
Bài 10: Cho hai biểu thức A 

x 2
5 x
x  1 5x  2
và B 
với điều kiện


x
x 2
x 2 4x

x  0, x �4
a) Tính giá trị A biết 9x 2  4x

b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên.
� x
2 x
3x  9 �� x  2 �
25 x


.�
 1�với
Bài 11: Cho biểu thức A 
và B  �
�
x

9
3
x

3
x

3
x 1
�
��
�
x �0, x �9
a) Tính giá trị của A khi x  19  8 3  19  8 3
b) Rút gọn B

c) Gọi M  A.B. So sánh M và M


Bài 12: Cho 2biểu thức P 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x sao cho P  3

x 2
x 1 x  4 x  9
x 5
; Q
với x �0, x �9


9x
x 3
x 3
3 x

1
2

c) Đặt M  P : Q. Tìm giá trị của x để M  .
Bài 13:
1) Tính giá trị của biểu thức A =
� x 4

7 �
:
�

�
x

1
2
x

2
�
�

2) Cho P = �
�



x 3
với x = 4.
x 3
x 3
với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9
x 1

b) So sánh P và P2

a) Rút gọn P
Bài 14: Cho hai biểu thức: A =

x 1
và B =

x 3

với x ≥ 0, x ≠ 1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
x
4 x


,
x 3
x 1 x  2 x  3

16
.
9

b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để
Bài

15:Cho

A 1 1
� .
B
2

2 biểu thức: P 

a 3
a 1

và

Q

a
1
3 a


a 1
a 2 a a 2

a �0; a �1.
1) Tính giá trị của biểu thức P khi a  16.
2) Rút gọn biểu thức Q.
3) Tìm a để biểu thức S  P.Q có giá trị lớn nhất.
x x 1 x x 1 4


và Q 
x x
x x
x
a. Tính giá trị của Q khi x  25
b. Rút gọn biểu thức A  P.Q

Bài 16: Cho biểu thức P 

x 1
với x  0; x �1 .
x 1

c. Tìm các giá trị của x để A x  8
II.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

Dạng 1: Hệ phương trình

y
 2x
�1 8
�10
� 27
1
32
  18

1

7
 x  1  y  1 3
�
�
�

�x y

�x  1 y  2
�2x  y x  3y
1) 
2) �5 4
3) �25
4) � 45
3
48
 x  3 y  1
�   51
�
�

2

 1
 x  1 y  1
�x y
�x  1 y  2
�2x  y x  3y

5)

6)

�
 x  15  .  y  2   x. y
�
�
7) � x  15  .  y  1  x. y

với


8)

9)

10)


2 x 6 3 y 1 5

5 x 6 4 y 1 1


x my 1(1)

mx y 1(2)


Bi 2: Cho hệ phơng trình

a. Giải hệ phơng trình với m = 3
b. Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;y)
mà x - 2y = 3
x y 1
(1)

mx y 2m(2)

Bi 3: Cho hệ phơng trình

a. Giải hệ phơng trình với m = 2
b. Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
(x; y) mà x,y là các số nguyên
Bi 4: Cho h phng trỡnh
a. Giải hệ phơng trình với m = 2
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x, y trỏi du
Bi 5: Cho h phng trỡnh
a. Giải hệ phơng trình với m = 2
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho tớch x.y cú giỏ tr nh
nht
III. Dng 3: Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh, h phng trỡnh
Bi 1: Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nếu
họ cùng làm trong 2 giờ sau đó ngời thứ nhất nghỉ thì ngời thứ hai phải
làm tiếp 4 giờ nữa mới xong. Hỏi mỗi ngời làm một mình trong bao lâu
thì xong công việc?
Bi 2: Theo k hoch, hai t sn xut phi lm c 700 sn phm trong mt thỏng. Nhng do
t I lm vt mc k hoch 15%, t II lm vt mc k hoch 20% nờn c hai t lm c
820 sn phm. Tớnh s sn phm m mi t phi lm trong mt thỏng.
Bi 3: Mt ụ tụ i t A n B vi vn tc xỏc nh v trong mt thi gian ó nh. Nu vn tc
ụ tụ gim 10km/h thỡ thi gian tng 45 phỳt. Nu vn tc ụ tụ tng 10km/h thỡ thi gian gim
30 phỳt. Tớnh vn tc v thi gian d nh i ca ụ tụ.
Bi 4: Trờn quóng ng AB di 200km cú hai ụ tụ chuyn ng ngc chiu. Xe th nht i
t A, xe th hai i t B. Nu cựng khi hnh thỡ sau 2 gi chỳng gpnhau. Nu xe th nht


khởi hành trước xe thứ hai 2 giờ thì hai xe gặp nhau sau khi xe thứ hai đi được 1 giờ. Tính vận

tốc của mỗi xe.
Bài 5: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng thêm 2m thì diện
tích tăng thêm 60m2. Nếu giảm chiều rộng đi 3m và chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 85m2.
Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 6: Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bàng 10. Nếu đổi chỗ hai chữ số
của số đó cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 36 đơn vị. Tìm số đã cho.
Bài 7: Một ca nô xuôi dòng khúc sông dài 60km rồi ngược dòng khúc sông ấy 48 km hết 6 giờ.
Một lần khác, ca nô chạy xuôi dòng 40km và ngược dòng 80km trên khúc sông đó thì hết 7giờ.
Tính vận tốc ca nô và vận tốc tốc dòng nước?
Bài 8: Một tàu hỏa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu một toa chở 15 tấn hàng thì còn thừa
3tấn. Nếu mỗi toa chở 16 tấn hàng thì có thể chở thêm được 5 tấn nữa. Hỏi tàu hỏa đó có mấy
toa va phải chở baonhiêu tấn hàng?
Bài 9: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1
làm trong 4h người thứ 2 làm trong 3h thì được 50% công việc Hỏi mỗi người làm một mình
trong mấy giờ thì xong ?
Bài 10: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng
tuyển 84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao
nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?
Bài 11: Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong. Họ làm với nhau được 8
giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp
đôi, nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút. Hỏi nếu mỗi người
thợ làm một mình với năng suất như dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói
trên?
Bài 12: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường, sau 3 giờ thì hai
xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28
km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 156 km.
Bài 13: Hai máy ủi trong 12h thì san lấp được 1/10 khu đất. Nếu máy ủi thứ 1 làm một mình
trong 42h rồi nghỉ, sau đó máy ủi thứ 2 làm một mình trong 22h thì cả 2 máy ủi san lấp được
25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất trong bao nhiêu
lâu?

Bài 14 : Một chiếc thuyền di chuyển xuôi và ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết tất
cả 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km.
Tính vận tốc dòng nước ?
Bài 15 : Một dung dịch chứa 30% a xít nitơríc (tính theo thể tích) vào một dung dịch khác
chứa 55% a xít nitơríc. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 vào loại 2 để được
100 lít dung dịch 50% a xít nitơríc.
Bài 16: Ga xe lửa Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65 km. Xe khách ở Sài Gòn, xe tải ở Dầu Giây đi
ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe tải 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24
phút thì gặp xe tải . Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội (cùng chiều) thì sau 1
giờ hai xe gặp nhau . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng xe khách đi nhanh hơi xe tải?
Bài 17: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian qui định. Nếu giảm 3
người thì thời gian kéo dài 6 ngày, nếu tăng thêm 2 người thì thời gian sớm hơn 2 ngày. Hỏi
theo qui đinh thì cần bao nhiêu thợ làm việc và làm trong bao nhiêu ngày. (Biết rằng khả năng
lao động của mỗi công nhân đều như nhau).
Bài 18: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số
đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.


IV. DNG 4: Phng trỡnh bc hai mt n
Bi 1: Cho phơng trình: x2 + 4x - m = 0 (1)
a. Giải phơng trình với m = 5
b.Tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm x = 5
c.Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
2x1 - x2 = - 5
Bi 2: Cho phng trỡnh x2 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Gii phng trỡnh khi m = 1.
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 tha món x12 + x22 = 3
Bi 3: Cho phơng trình: x2 - 5x - m = 0
a) Giải phơng trình với m = - 4
b)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 5x1 - x2

=7
Bi 4: Cho phng trỡnh x2 2(m 1)x m 2 0, vi x l n s
a) Gii phng trỡnh khi m 2
b) Tỡm m phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x1 v x2 . Tỡm h thc liờn h gia
x1 v x2 m khụng ph thuc vo m.
Bi 5: Cho phng trỡnh : x2 mx 2 = 0
a. Gii phng trỡnh vi m = 1.
b. Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1, x2 sao cho biu thc:
N = x12 ( x1 2)( x2 2) x22 cú giỏ tr nh nht.
V. DNG 5: Tng giao gia ng thng v parabol
Bi 1:Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P) và đờng thẳng (d): y = x
+m-1
a. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số khi m = 3.
b. Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm
phân biệt ở bên phải trục tung
Bi 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P) và đờng thẳng (d): y = x
+m-1
a. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số khi m = 7.
b. Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm
phân biệt ở hai phía của trục tung.


Bi 3: Cho Parabol (P): y =

và đờng thẳng (d): y = 2x - m + 1

a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) v (P) khi m = 2.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phõn
bit cú ta (x1 ; y1 ) v (x2 ; y2 ) sao cho

.

Bi 4: Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y=2(m + 1)x - 2m - 1
a) Với m = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
b) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
x1, x2 l hai cnh gúc vuụng ca mt tam giỏc vuụng cú cnh huyn bng

.

Bi 5: Cho Parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = 4x - m + 1
a) Xác định tọa độ giao điểm (d) v (P) khi m = 4.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm
phân biệt ở bên phải trục tung.
Bi 6: Cho parabol (P): y = x2 v ng thng (d): y = 2mx m2 + 4
a) Tỡm to giao im ca hai th ú khi m = 1.
b) Tỡm giỏ tr ca m ng thng (d) ct Parabol (P) ti hai im phõn bit cú honh x1,
x2 thỏa mãn 3x1 +2 x2 = 7
VI. DNG 6: Hỡnh hc
Bi 1: Cho ng tron (O) cú ng kinh AB = 2R v iờm C thuc ng tron ú (C
B). Lõy iờm D thuc dõy BC (D

A,

B, C). Tia AD ct cung nho BC ti iờm M, tia AC ct tia

BM ti iờm N.
a) Chng minh t giỏc CDMN ni tiờp
b) Chng minh DA.DM = DB.DC.
c) Chng minh
=

. Gi I l tõm ng tron ngoi tiờp t giỏc CDMN,
chng minh IC l tiờp tuyờn ca ng tron (O).
d) Cho biờt DF = R, chng minh tan
=2
Bi 2: Cho ng trũn (O; R), ng thng d khụng qua O v ct ng trũn ti hai im A,
B. C

d ( C nm ngoi ng trũn (O)), ke hai tip tuyn CM, CN vi (O) (M, N

H l trung im ca AB, ng thng OH ct tia CN ti K.
a) Chng minh t giỏc COHN ni tiờp.
b) Chng minh KN.KC = KH.KO
c) on CO ct ng tron (O) ti I, chng minh I cỏch u CM, CN, MN.

(O)), Gi


d) Một đương thăng đi qua O và song song vơi MN căt các tia CM, CN lân lươt tại E
và F. Xác đinh vi tri của C trên d sao cho diện tich tam giác CEF là nh o nh ât.
Bài 3: Cho đương tron (O;R) đương kinh AB. Bán kinh CO vuông góc vơi AB. E là đi êm
bât ky trên cung nho AC ( E

A, C). BE căt AC tại K. Gọi I là hinh chiêu của K trên AB.

a) Chưng minh tư giác CBIK nội tiêp.
b) Chưng minh
=
c) Trên đoạn BE lây điêm H sao cho BH = AE. Chưng minh tam giác HCE là tam giác
vuông cân.
d) Gọi d là tiêp tuyên của đương tron (O) tại A. P là một đi êm nằm trên d sao cho

hai điêm P, C nằm trên cung một nưa măt phăng bơ Ab và

= R. Chưng

minh đương thăng PB đi qua trung điêm của đoạn IK.
Bài 4: Cho đường tròn (O). Đường thẳng d qua đi qua O và cắt đường tròn (O) tại hai điểm
A,B. C

d ở ngoài đường tròn (O). Vẽ đường kính PQ vuông góc với AB tại D (P

cung lớn

AB). Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, AB cắt IQ tại K.
Chưng minh tư giác PDKI nội tiêp.
Chưng minh CI.CP = CK. CD
Chưng minh IC là phân giác của góc ngoài ơ đinh I của tam giác AIB.
Cho ba điêm A, B, C cô đ inh. Đương tron (O) thay đ ôi nhưng vân đi qua A và B.
Chưng minh IQ luôn đi qua một đi êm cô đinh.
Bài 5: Cho đường tròn (O) , dây BC cố định. Trên cung lớn BC của (O), lấy điểm A ( A khác
B,A khác C). Hai tiếp tuyến qua B và C của (O) cắt nhau tại E.
1. CHứng minh tứ giác BOCE nội tiếp
2. AE cắt (O) tại điểm thứ hai là D (D#A). Chứng minh EB2 = ED.EA.
3. Gọi F là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và song song với EC cắt BC tại G.
Chứng minh FG song song với AC.
4. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH=AC. Chứng minh khi điểm A thay đổi
trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định.
Bài 6: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). từ điểm A vẽ các tiếp tuyến AB,AC với B,C
là tiếp điểm, và cát tuyến AMN với đường tròn (O). ( với MN không đi qua tâm và AM1. CHứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
2. Chứng minh AM.AN=AB2

3. Tiêp tuyến tại N của (O) cắt đường thẳng BC tại điểm F. chứng minh đường thẳng FM
là tiếp tuyến của (O;R)
4. Gọi P là giao điểm của dây BC và dây MN, E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp
tam giác MNO và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ( E khác O)
Chứng minh P,E,O thẳng hàng
Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O)
cắt BC tại S. Gọi I là trung điểm của BC.
a)
b)
c)
d)

a)
b)
c)
d)

Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp
Vẽ dây cung AD vuông góc với SO tại H. Chứng minh SD = SA
Gọi giao điểm của AD và BC là K. Chứng minh SK.SI = SB.SC
Vẽ đường kính PQ qua điểm I (Q thuộc cung CD), SP cắt đường tròn (O) tại M. Chứng
minh 3 điểm M, K, Q thẳng hàng.


Bài 8:Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một
điểm P sao cho AP > R. Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, P, M, O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh BM // OP
c) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là
hình bình hành

d) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh 3
điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 9: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AC > R).
Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M trên đường tròn (O) sao cho AM =
R
. Tia BM cắt đường thẳng d tại điểm P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia
2

PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.
a) Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh NQ // PC
c) Tính thể tích của hình tạo thành khi quay tam giác MAB một vòng quanh AM theo R
d) Gọi H là giao điểm của QN và AB. Gọi E là giao điểm của MB và QN, tia AE cắt
đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh AE.AK + BE.BM = 4R2.
e) Chứng minh rằng ba điểm B, N và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NEK thẳng hàng.
Bài 10: Cho đường tròn (O; R), vẽ dây AB cố định không đi qua tâm O. Lấy điểm S bất kỳ
thuộc tia đối của tia AB. Kẻ hai tiếp tuyến SM, SN với (O) (M, N là các tiếp điểm, NN thuộc
cung nhỏ AB). Gọi H là trung điểm AB.
a) Chứng minh tứ giác MNHO nội tiếp.
NA MA

.
b) Phân giác của góc AMB cắt AB tại K. Chứng minh SMK cân và
NB MB
1�
�
 NOH
c) Chứng minh: NMK
.
2

�
d) Gọi I là trung điểm của NB. Kẻ IF  AN (F �AN) . Giả sử AOB
 120o . Chứng minh
rằng khi điểm S di động trên tia đối của tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định
và tính bán kính của đường tròn này theo R.
Bài 11: Cho đường tròn (O ; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), qua M kẻ tiếp
tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD sao cho MC
< MD. Đoạn thẳng MO cắt AB tại H.
a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MB2  MC.MD .

� .
c) Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp và HA là tia phân giác của CHD
d) Giả sử M cố định, chứng minh khi cát tuyến MCD thay đổi, trọng tâm G của tam
giác BCD thuộc một đường tròn cố định.
Bài 12: Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax của  O  , C là điểm bất kì thuộc  O  ,  C �A, C �B  . Tia BC
cắt Ax tại D .
a) Chứng minh rằng AC  BD và BC.BD  4 R 2 .


b) Tiếp tuyến tại C của  O  cắt đoạn AD tại M , OM cắt AC tại K . Chứng minh rằng
OM / / BC và M là trung điểm của AD.
c) Gọi N là trung điểm của BC , I là hình chiếu của C trên AB . Chứng minh rằng  IN là
tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI .
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để chu vi của COI là lớn nhất.
Bài 13: Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định không đi qua O. A là một điểm di động
trên cung lớn BC (AB < AC) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại
H. Gọi H là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC.
1) CHứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh KB.KC = KE. KF.
3) Gọi M là gia điểm của AK với đường tròn (O) (M khác A). Chứng minh MH vuông
góc với AK.
4) Chứng minh đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên cung
lớn BC.
Bài 14: Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP
và AQ của đường tròn (O) với P và Q là hai tiếp điểm. Từ P kẻ PM song song với AQ với M
thuộc đường tròn (O). Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O) (N
thuộc AM). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
1) Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
�
�
2) Chứng minh NAK
và KA 2  KN.KP .
 APN
�
3) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O). Chứng minh NS là tia phân giác của PNM
và
�  AMP
�
�
.
PAN
 2MNS
�
4) Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng AO và PK. Tính tan AGK
theo bán kính R.
Bài 15: Cho đường tròn  O, R  và dây AB cố định, khác đường kính. Gọi K là điểm chính
giữa cung nhỏ AB . Kẻ đường kính IK của đường tròn  O  cắt AB tại N . Lấy điểm M bất
kỳ trên cung lớn AB  M �A, M �B  . MK cắt AB tại D . Hai đường thẳng IM và AB cắt

nhau tại C.
1. Chứng minh bốn điểm M, N, K và C cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh IB2  IM.IC  IN.IK
3. Hai đường thẳng ID và CK cắt nhau tại E. Chứng minh điểm E thuộc đường tròn
�
 O  và NC là tia phân giác của góc MNE.
4. Chứng minh khi điểm M thay đổi trên cung lớn AB  M �A, M �B  , đường thẳng
ME luôn đi qua một điểm cố định.


Bài 16: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên
Ax lấy điểm K (

. Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn (O). Đường thẳng d

vuông góc với AB tại O, d cắt MB tại E.
a) Chứng minh bốn điểm K, A, O, M thuộc một đường tròn.
b) OK cắt AM tại I. Chứng minh OI.OK = R2.
c) Chứng minh KAOE là hình chữ nhật.
d) Gọi H là trực tâm tam giác KMA. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên Ax thì H
luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 17: Cho đường tròn (O;R) , dây cung AB cố định không đi qua O. Lấy điểm M bất
kỳ trên tia BA sao cho M nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ M vẽ hai tiếp tuyến MC, MD
với đường tròn (O;R) (C, D là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB
a) Chứng minh tứ giác OCMD nội tiếp
b) Chứng minh MC2 = MA.MB
c) Đường thẳng qua A và song song với MC cắt CD tại E. Chứng minh rằng HE//BC;
d) Chứng minh OH luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên tia BA.
Bài 18: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho

tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh: tứ giác ACMO là tứ giác nội tiếp.
b) BC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh CM2 = CE.CB.
c) Tia BM cắt Ax tại F, tia FE cắt (O) tại điểm thứ hai là K, kẻ MH vuông góc với AB
tại H. Chứng minh CFE đồng dạng với CBF và M, H, K thẳng hàng.
d) HM cắt BE tại I. Xác định vị trí của M để AIB có diện tích lớn nhất. Tim diện tích
lớn nhất đó.
VII. DẠNG 7: Nâng cao
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
1) � 2
�x  x  xy  2 y 2  2 y  0
3)

5)

�
�x 2  y 2  1
�

3
3
�
�x  y  1
�2
2
3
�x y  2 xy  y  2

(2)

�x 2 ( y  1)( x  y  1)  3x 2  4 x  1
�
�
2
�
�xy  x  1  x

�x 2  xy  y 2  37
(1)
�
�
�x 4  x 2 y 2  y 4  481
(2)
6) �
( x  1)( y  1)  8
�
�
�x ( x  1)  y ( y  1)  xy  17

2)

(1)

(1)
(2)

4)

(1)

�x  y  xy  11
�2
2
�x  y  3  x  y   28
(2)
6) �
(1)
�x 2  y 2  xy  1
�
�x3  y3  x  3 y
(2)
�

8) �
�x 2  x  xy  2 y 2  2 y  0
�
�x 2  y 2  1
�

(1)
(2)


3
3
2
�
�x  y  3x  6 x  3 y  4  0
9) � 2
2

�x  y  3x  1

Bài 2: Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn: a  b  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  4a  1  4b  1 .
Bài 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a 3  b3  c3  3 . Chứng minh rằng:
�1 1 1 �
4 �   � 5  a 2  b 2  c 2  �27
�a b c �
Bài 4: Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( a +b- 2) ( a2 +b2 )
P =
a +b
Bài 5: Cho các số thực dương a, b,c Chứng minh rằng:
2

2

2

�a � �b � �c � 3
�
� �
� �
��
�a  b � �b  c � �c  a � 4
Bài 6: Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y �1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

�1 1 �
M  �  �1  x 2 y 2 Bài V (0,5 điểm) Cho a  0 ; b  0 và a 2  b 2  a  b . Tìm giá trị
�x y �

2020
4
4
nhỏ nhất của biểu thức P  a  b 
2 .
 a  b
Bài 7:Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x  y �3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
28 1
P  2x2  y2 
 .
x y
1 �
�
2 �
�

Bài 8: Cho các số thực a, b, c ∈ � ;1�. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
=

a
b
c


b  c 1 c  a 1 a  b 1

Bài 9: Với a, b là các số thực thỏa mãn a 2  b 2  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  a 4  b 4  ab .
Bài 10: Cho x, y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

2
x  y
x  y


.
S 2

x  y2
xy

Bài 11: Cho a, b

0; a2 + b2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M=a

+b


Bài 12: Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12 x  10 y  15 z �60 . Tìm giá trị lớn nhất
của T  x 2  y 2  z 2  4 x  4 y  z .
Bài 13: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.
1

1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2  y 2  xy
Bài 14: Giải các PT:
b) x2 + 3x + 1 = (x + 3)

4
1
5
 x -  x + 2x a) x
x
x

c)

4x  1  3x  2 

x 3
5

d)

g)



2

x+8 x+3



9
 14  2 x  1  y  1
y 1

7x2  7x 

e) 10 x + 1 = 3  x + 2 
3

8

x 1

f)



x 2  11x + 24  1  5

x 2 1

4x  9
28 .

2
2
h) x - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x + 2x - 3


Bài 1: Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và
gặp nhau sau 5h . Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe
kia 40 phút thì hai xe gặp nhau sau 5h 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc của
mỗi xe?
Bài 3: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy, sang tháng thứ 2 tổ 1 vượt mức

15% tổ 2 vượt mức 20%. Do đó cuối tháng, hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong
tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể cạn, sau 4h48 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ 1
chảy trong 9h, sau đó mở vòi thứ 2 chảy trong 6/5h nữa thì đầy bể . Hỏi nếu mỗi vòi chảy
một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể ?


Bài 6: Một hình chữ nhật có chu vi là 70 m , nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài 5m
thì diện tích như cũ . Hãy tìm chiều rộng và chiều dài ?
Bài 7: Hai người cùng làm chung 1 công việc hết 6h. Nếu làm riêng mỗi người làm nửa công
việc thì tổng số giờ làm là 12 h 30 phút. Hỏi nếu mỗi người làm 1 mình xong cả công việc thì
mất bao nhiêu giờ ?
Bài 8: Một người mua hai loại mặt hàng A và B . Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và mặt
hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng. Nếu giảm giá cả hai mặt hàng 10% thì
người đó phải trả tất cả 180 nghìn đồng . Tính giá tiền mỗi loại lúc đầu ?
Bài 9: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước sau 12h thì đầy bể. Sau khi hai vòi chảy 8h thì
người ta khoá vòi 1 lại còn vòi 2 tiếp tục chảy, do tăng công suất lên gấp đôi nên vòi 2 chảy
đầy phần còn lại của bể sau 3,5 h. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể ?
Bài 10: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số
đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.
Bài 11 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ
nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, còn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến
nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường
AB?
Bài 12 : Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280 m người ta làm đường đi xung quanh rộng
2m nên diện tích phần còn lại để trồng vườn là 4256m 2. Tính kích thước ban đầu của khu vườn
?
Bài 13 : Một chiếc thuyền di chuyển xuôi và ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết tất
cả 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km.
Tính vận tốc dòng nước ?

Bài 14 : Một dung dịch chứa 30% a xít nitơríc (tính theo thể tích) vào một dung dịch khác
chứa 55% a xít nitơríc. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 vào loại 2 để được
100 lít dung dịch 50% a xít nitơríc.
Bài 15: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5 km. Một
người đi xe đạp từ A đến B mất 40 phút và đi từ B về A mất 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống
dốc lúc đi và lúc về bằng nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc.
Bài 16: Ga xe lửa Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65 km. Xe khách ở Sài Gòn, xe tải ở Dầu Giây đi
ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe tải 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24
phút thì gặp xe tải . Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội (cùng chiều) thì sau 1
giờ hai xe gặp nhau . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng xe khách đi nhanh hơi xe tải?
Bài 17: Một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm
3m thì diện tích tăng thêm 100m 2. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích
giảm đi 68 m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó?
Bài 18: Tính chu vi của một hình chữ nhật. Biết rằng, nếu tăng mỗi cạnh của hình chữ nhật lên
5 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 225 m 2. Nếu tăng chiều chiều rộng thêm 2 m và giảm
chiều dài đi 5 m thì diện tích hình chữ nhật bằng diện tích ban đầu?
Học sinh tự giải
Bài 19: Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh. Anh Quang góp 15 triệu đồng,
anh Hùng góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỷ lệ với
vốn góp hãy tính số tiền lãi mỗi người được hưởng?
Bài 20: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian qui định. Nếu giảm 3
người thì thời gian kéo dài 6 ngày, nếu tăng thêm 2 người thì thời gian sớm hơn 2 ngày. Hỏi
theo qui đinh thì cần bao nhiêu thợ làm việc và làm trong bao nhiêu ngày. (Biết rằng khả năng
lao động của mỗi công nhân đều như nhau).
Bài 24: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt
mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được


404 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.