Tự chọn Toán 9 (Đại số)

Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
I. MỤC TIÊU
Sau khi học xong chủ đề này HS được :
 Củng cố định nghĩa căn bậc hai, kí hiệu căn bậc hai số học, điều kiện tồn tại căn
bậc hai, các tính chất, quy tắc tính và biến đổi trên các căn bậc hai.
 Có kĩ năng tính nhanh, đúng các phép tính trên các căn bậc hai, kĩ năng thực hiện
các phép biến đổi đơn giản, rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai.
 Rèn tính cẩn thận, chính xác. Có tư duy linh hoạt sáng tạo trong giải tốn.
II. TÀI LIỆU HỔ TRỢ
 SGK Tốn 9 tập 1, SBT Tốn 9 tập 1.
 Tài liệu tham khảo : SGV Tốn 9 tập 1, Sách Thiết kế bài soạn Tốn 9, Tốn Bồi
dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 nhà xuất bản Giáo Dục (Hồng Chúng chủ biên).
III. NỘI DUNG
1) Ơn tập về : Định nghĩa căn bậc hai, kí hiệu căn bậc hai số học, điều kiện tồn tại
căn bậc hai, các tính chất, quy tắc tính và biến đổi trên các căn bậc hai.
2) Vận dụng các kiến thức trên để giải các bài tốn về căn thức bậc hai.
Hoạt động 1 (30 phút)
HS ơn tập : Định nghĩa căn bậc hai, kí hiệu căn bậc hai số học, điều kiện tồn tại căn bậc
hai, các tính chất, quy tắc tính và biến đổi trên các căn bậc hai.
1. Định nghĩa : Với a ≥ 0,
2
x 0
a x
x a

≥
= ⇔

=

2.

A có nghóa A 0⇔ ≥
3.
2
A
A A
A
nếu A 0
nếu A < 0

≥
= =

−

4.
AB A B =
(với A ≥ 0 và B ≥ 0)
5.
A A
B
B
(với A 0 và B > 0)= ≥
6.
2
A B A B (Với B 0)= ≥
Trần Mộng Hòe Trang - 1 -
Chủ đề
CĂN THỨC BẬC HAI
Tiết 1
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010

7.
2
A B A B (vôùi A 0 vaø B 0)= ≥ ≥
8.
2
A B A B (vôùi A < 0 vaø B 0)= − ≥
9.
A 1
AB
B
B
(vôùi AB 0 vaø B 0)= ≥ ≠
10.
A A B
B
B
(vôùi B > 0)=
11.
2
2
C C A B
A B
A B
( )
(vôùi A 0 vaø A B )= ≥ ≠
−
±
m
12.
C C A B

A B
A B
( )
(vôùi A 0, B 0 vaø A B)= ≥ ≥ ≠
−
±
m
GV lưu ý thêm, nếu A ≥ 0 thì
( )
3
3
A A A A= =
.
Hoạt động 2. (15 phút)
GV cho HS làm các bài tập :
Bài toán 1. Tính giá trị các biểu thức sau :
a) A =
( ) ( )
2 2
5 3 2 5− + −
b) B =
( ) ( )
10 2 6 2 5 3 5+ − +
Giải : a) A =
( ) ( )
2 2
5 3 2 5 3 5 5 2 1− + − = − + − =
c) B =
( ) ( )
10 2 6 2 5 3 5+ − +

2 5 1 6 2 5 3 5
5 1 6 2 5 6 2 5
5 1 6 2 5 5 1
6 2 5 6 2 5 36 20 16
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
= + − +
= + − +
= + − +
= + − = − =
Bài toán 2. Cho biểu thức K =
a 1 1 2
a 1
a 1 a a a 1
:
 
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a) Rút gọn K ;

b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
2
;
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
GV cho HS hoạt động nhóm, tìm cách giải. Sau đó gọi đại diện một nhóm lên bảng trình
bày lời giải của cá nhân mình.
Lược giải :
Trần Mộng Hòe Trang - 2 -
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
a) Điều kiện : a > 0 ; a
≠
1.
K =
( )
a 1 a 1 a 1
a 1
a
a a 1
:
 
 
− + −
 ÷
=
 ÷
 ÷
 ÷
−
−
 ÷

 
 
b) a = 3 +
2
2 2 2 1 a 2 1( )= + ⇒ = +

3 2 2 1
K 2
2 1
+ −
= =
+
c) Với a > 0 ⇒
a 0>
. Do đó K =
a 1
0 a 1 0 a 1
a
.
−
< ⇔ − < ⇔ <
Vậy K < 0 ⇔ 0 < a < 1.
GV cho HS nhận xét bài làm của bạn.
Hoạt động 1. (10 phút)
GV chia lớp thành 3 nhóm và cung cấp đề bài tập cho mỗi nhóm.
Nhóm 1:
Bài toán 1. Thu gọn các biểu thức sau :
a) A =
( )
2 3 6 2.− +

b) B =
8 2 2 2 3 2 2
3 2 2 1 2
+ +
− +
− −
Nhóm 2 :
Bài toán 2.
a) Tính A =
( ) ( )
2
2 3 3 3 3 3 1− − + +
b) Rút gọn biểu thức B =
( )
b a
a b b a
a ab ab b
 
− −
 ÷
 ÷
− −
 
Nhóm 3 :
Bài toán 3. Cho biểu thức P =
4 x 8x x 1 2
4 x
2 x x 2 x x
:
   

−
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
a) Rút gọn P ;
b) Tìm giá trị của x để P = –1 ;
c) Tìm m để với mọi giá trị của x > 9 ta có m(
x
– 3)P > x + 1.

Trần Mộng Hòe Trang - 3 -
Tiết 2
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
Hoạt động 2. (35 phút)
GV mời đại diện từng nhóm lên bảng trình bày bài làm của nhóm mình
GV cho HS nhận xét, sửa chữa thành bài giải hoàn chỉnh.
Nhóm 1.
Bài toán 1. Thu gọn các biểu thức sau :
a) A =
( )
2 3 6 2.− +
b) B =
8 2 2 2 3 2 2
3 2 2 1 2
+ +
− +
− −

Giải.

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
A 2 3 6 2 2 3 2 3 1
4 2 3 3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 2
. . .
. .

= − + = − +
= − + = − +
= − + =
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
8 2 2 2 3 2 2
B
3 2 2 1 2
8 2 2 3 2 2 2 3
2
2 2 1
3 2 3 2
2 2 1
24 8 2 6 2 4
2 3

7
2 1 2 1
4 2 2 2 3 2 2 1



+ +
= − +
− −
+ + +
= − −
−
− +
+
+ + +
= − − −
− +
= + − − − − = −
Nhóm 2.
Bài toán 2.
a) Tính A =
( ) ( )
2
2 3 3 3 3 3 1− − + +
b) Rút gọn biểu thức B =
( )
b a
a b b a
a ab ab b
 

− −
 ÷
 ÷
− −
 
Giải.
a) A =
( ) ( )
2
2 3 3 3 3 3 1− − + +
6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + =
B =
( )
b a
a b b a
a ab ab b
 
− −
 ÷
 ÷
− −
 
(Điều kiện : a > 0 ; b > 0 ; a
≠
b)
Trần Mộng Hòe Trang - 4 -
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010

( ) ( )
( )

( )
( )
b a
ab a b
a a b b a b
b a
ab a b b a
ab a b
.
 
 
= − −
 
− −
 
 
−
= − = −
−
Nhóm 3.
Bài toán 3. Cho biểu thức P =
4 x 8x x 1 2
4 x
2 x x 2 x x
:
   
−
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

−
+ −
   
a) Rút gọn P ;
b) Tìm giá trị của x để P = –1 ;
c) Tìm m để với mọi giá trị của x > 9 ta có m(
x
– 3)P > x + 1.
Giải.
a) Điều kiện : x > 0 ; x
≠
4 ; x
≠
9.
(GV giải thích thêm về điều kiện x
≠
9, nếu HS chưa phát hiện được).
P =
4 x 8x x 1 2
4 x
2 x x 2 x x
:
   
−
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   

4 x 2 x 8x x 1 2 x 2
2 x 2 x x x 2
8 x 4x x 1 2 x 4
2 x 2 x x x 2
4 x 2 x 3 x 4 x 3 x
2 x 2 x x x 2 2 x x x 2
4x x 2 4x
2 x 3 x x 3
( ) ( )
:
( )( ) ( )
:
( )( ) ( )
( )
: :
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
   
− + − − −
=
   
+ − −
   
   
+ − − +
=
+ − −
+ − −

= =
+ − − − −
−
= =
− − −
b) P =
4x
1 4x 3 x 4x x 3 0
x 3
= − ⇔ = − ⇔ + − =
−
( ) ( )
4x 4 x 3 x 3 0
x 1 4 x 3 0
9
16
Vì x > 0 neân x =
⇔ + − − =
⇔ + − =
c) Với mọi giá trị của x > 9, ta có :
Trần Mộng Hòe Trang - 5 -
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
( )
4x
m x 3 P x 1 m x 3 x 1
x 3
m 4x x 1 x 4m 1 1
1
4
1

4m 1
1 5
9 m
4m 1 18
( ) ( )
. ( ) (1)
Vì x > 9 > 0 nên suy ra 4m - 1 > 0 m > (2)
Do đó : (1) x >
Để (1) đúng với mọi x > 9 thì : (thỏa mãn (2))
Vậy vớ
− > + ⇔ − > +
−
⇔ > + ⇔ − >
⇒
⇔
−
≤ ⇔ ≥
−
5
x 3 P
18
i m thì với mọi giá trò của x > 9 ta có m( ) > x + 1≥ −
Hoạt động 1. (10 phút)
GV chia lớp thành 3 nhóm và cung cấp đề bài tập cho mỗi nhóm.
Nhóm 1:
Bài tốn 1. Cho biểu thức : P =
1 x 1 1 x
x
x x x x
:

 
 
− −
− +
 ÷
 ÷
 ÷
+
 
 
a) Rút gọn P ;
b) Tính giá trị của P biết x =
2
2 3+
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn :
P x 6 x 3 x 4= − − −
Nhóm 2 :
Bài tốn 2. Cho biểu thức : B =
2
x 1 x 1 x 1
2
2 x x 1 x 1
.
   
− +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   

a) Rút gọn B ;
b) Tìm giá trị của x để B > 0 ;
c) Tìm giá trị của x để B = –2.
Nhóm 3 :
Bài tốn 3. Cho biểu thức A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
x 1
x x x x
:
− +
 
− +
−
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Rút gọn A ;
b) Tìm x ngun để A nhận giá trị ngun.

Hoạt động 2. (35 phút)
Trần Mộng Hòe Trang - 6 -
Tiết 3
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
GV mời đại diện từng nhóm lên bảng trình bày bài làm của nhóm mình.
GV cho HS nhận xét, sửa chữa thành bài giải hồn chỉnh.
Nhóm 1:

Bài tốn 1. Cho biểu thức : P =
1 x 1 1 x
x
x x x x
:
 
 
− −
− +
 ÷
 ÷
 ÷
+
 
 
a) Rút gọn P ;
b) Tính giá trị của P biết x =
2
2 3+
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn :
P x 6 x 3 x 4= − − −
Giải. a) Điều kiện : x > 0 ; x
≠
1
P =
( ) ( )
x 1 1 1 x x 1 x 1 1 x
x x x
x x 1 x x 1
: :

 
   
− − − − − + −
 
+ =
 ÷  ÷
 
+ +   
 
 

( )
2
x 1
x 1 x x 1
x x x 1 x
( )
. .
( )
+
− +
= =
−
b)
2
2 2 2 3
x 4 2 3 3 1 x 3 1
2 3 2 3 2 3
( )
( )

( )( )
−
= = = − = − ⇒ = −
+ + −

( ) ( )
2
3 1 1 3 3 1
3
P
2
3 1 3 1
− + +
= = =
− −
c) Điều kiện x ≥ 4
( )
( )
( )
2
2
2
2
x 1
P 6 x 3 x 4 x 6 x 3 x 4
x
x 2 x 1 6 x 3 x 4 0
x 4 x 4 x 4 0 x 2 x 4 0
x 2 0 x 4 0
x 2 0

x 2 x 4 0 x 4
x 4 0
Vì ( ) và với mọi giá trò của x 4 nên :
+
= − − − ⇔ = − − −
⇔ + + − + + − =
⇔ − + + − = ⇔ − + − =
− ≥ − ≥ ≥

− =

− + − = ⇔ ⇔ =

− =


Nhóm 2 :
Bài tốn 2. Cho biểu thức : B =
2
x 1 x 1 x 1
2
2 x x 1 x 1
.
   
− +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   

a) Rút gọn B
Điều kiện : x > 0 ; x
≠
1
Trần Mộng Hòe Trang - 7 -
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
B =
2
x 1 x 1 x 1
2
2 x x 1 x 1
.
   
− +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
( ) ( )
2 2
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1 4 x 1 x
x 1 x 1
2 x 2 x x
.
 
− − +
 

   
 
− − − −
= = =
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷
− −
   
 
 
 
b)
1 x
B 0 1 x 0 x 1 x 0
x
(vì ). Vậy B > 0 khi 0 < x <1.
−
= > ⇔ − > ⇔ < >
c) Tìm giá trị của x để B = –2 :
( )
2
1
2 1 2 2 1 0 1 2
x
B x x x x x (TMĐK)
x
−
= = − ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ = ±

Nhóm 3 :
Bài tốn 3. Cho biểu thức A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
x 1
x x x x
:
− +
 
− +
−
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Rút gọn A ;
b) Tìm x ngun để A nhận giá trị ngun.
Giải. a) Điều kiện : x > 0 ; x
≠
1.
A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
x 1
x x x x
:
− +

 
− +
−
 ÷
 ÷
−
− +
 

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 x 1
x x 1 x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
2
x 1 x 1
:
. .
 
− + + + − + −
 
= −
 
− + − +
 

 
+ +
= =
− −
b)
x 1 x 1 2 2
A 1
x 1 x 1 x 1
+ − +
= = = +
− − −
Để A nhận giá trị ngun thì
x 1−
là ước của 2, suy ra :
1 1 4
1 1 0
1 2 9
1 2
x x ;
x x không thỏa mãn điều kiện ;
x x ;
x x (không có giá trò nào của x).
Vậy với x = 4 ; 9 thì A có giá trò nguyên.
− = ⇒ =
− = − ⇒ =
− = ⇒ =
− = − ⇒ ∈∅
Trần Mộng Hòe Trang - 8 -
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
Hoạt động 1. (10 phút)

GV chia lớp thành 3 nhóm và cung cấp đề bài tập cho mỗi nhóm.
Nhóm 1:
Bài toán 1. Cho biểu thức : A =
2 1 1
2
1 1 1
x x x
: (vôùi x > 0 ; x 1)
x x x x x
 
+ −
+ + ≠
 ÷
 ÷
− + + −
 
a) Rút gọn A ;
b) Chứng minh : 0 < A < 2 và A
2
3
≠
Nhóm 2 :
Bài toán 2. Xét biểu thức : y =
2
2
1
1
x x x x
x x x
+ +

+ −
− +
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2
b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y
y−
= 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Nhóm 3 :
Bài toán 3. Biết
(
)
(
)
2 2
5 5 5x x y y . Tính x + y.+ + + + =
Hoạt động 2. (35 phút)
GV mời đại diện từng nhóm lên bảng trình bày bài làm của nhóm mình.
GV cho HS nhận xét, sửa chữa thành bài giải hoàn chỉnh.
Nhóm 1:
Bài toán 1. Cho biểu thức : A =
2 1 1
2
1 1 1
x x x
: (vôùi x > 0 ; x 1)
x x x x x
 
+ −
+ + ≠
 ÷

 ÷
− + + −
 
a) Rút gọn A ;
b) Chứng minh : 0 < A < 2 và A
2
3
≠
Giải.
a) Với x > 0 ; x
≠
1, ta có :
A =
2 1 1
2
1 1 1
x x x
: (vôùi x > 0 ; x 1)
x x x x x
 
+ −
+ + ≠
 ÷
 ÷
− + + −
 
Trần Mộng Hòe Trang - 9 -
Tiết 4
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010

( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 1 1
2
1
1 1
1
2 2
1 1
1 1
x x x x x
.
x
x x x
x
. .
x x x
x x x
 
+ + − − + +
 
=
 
−
− + +
 
 

−
= =
− + +
− + +
b) Vì x
≠
1 nên
2 2 2
1 1 2 0
3
1 1
x x và x > 0 nên
x x x x
+ + > ⇒ ≠ < >
+ + + +
Vậy 0 < A < 2 và A
≠

2
3
.
Nhóm 2 :
Bài tốn 2. Xét biểu thức : y =
2
2
1
1
x x x x
x x x
+ +

+ −
− +
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2
b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y
y−
= 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Giải.
a) Điều kiện : x > 0.
( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 1
1
1
1 2 1 1
x x x x x x
y
x x x
x x x x x x x
+ − + +
= + −
− +
= + + − − = − = −
b) Với x > 1 thì
1 0 1 0 0x y x( x ) y y y y− > ⇒ = − > ⇒ = ⇒ − =
c)
2
2
1 1 1 1 1 1
2

2 4 4 2 4 4
y x x ( x) x. x .
 
= − = − + − = − − ≥ −
 ÷
 
1 1 1
0
4 2 4
Vậy giá trò nhỏ nhất của y là - khi x hay x =− =
Nhóm 3 :
Bài tốn 3. Biết
(
)
(
)
2 2
5 5 5x x y y . Tính x + y.+ + + + =
Giải.
Trần Mộng Hòe Trang - 10 -
Trường THCS Nguyễn Huệ Năm học 2009 - 2010
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
5 5 5
5
5 5 5 5
5
5 5 5 5 5
Ta co ù : x x y y (1)
Nhân hai vế của (1) với x x ta được :
5. y y x x x y x y (2)
Nhân cả hai vế của (1) với y y ta được :
5. x x . y y x y y x (3
+ + + + =
+ −
+ + = + − ⇔ + = + − +
+ −

+ + = + − ⇔ + = + − + )
Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được :
2(x + y) = 0 x + y = 0⇔
Hoạt động 1. (10 phút)
GV chia lớp thành 3 nhóm và cung cấp đề bài tập cho mỗi nhóm.
Nhóm 1:
Bài tốn 1. Chứng minh rằng : A =
2 2 1 2
1 1 1
2 1
a a a
. với a > 0 ; 1.
a a a
a a
 
+ +
− = ≠
 ÷
 ÷
− − −
+ +
 
Nhóm 2 :
Bài tốn 2. Tính B =
3 3
20 14 2 20 14 2+ + −
Nhóm 3 :
Bài tốn 3. Cho C = 1 :
2 1 1
1

1 1
x x x
.
x
x x x x
 
+ + +
+ −
 ÷
 ÷
−
− + +
 
a) Rút gọn C ;
b) Chứng minh : C > 3
0x ; x 1.∀ > ≠
Hoạt động 2. (35 phút)
GV mời đại diện từng nhóm lên bảng trình bày bài làm của nhóm mình.
GV cho HS nhận xét, sửa chữa thành bài giải hồn chỉnh.
Nhóm 1:
Trần Mộng Hòe Trang - 11 -
Tiết 5