De thi HSG Toan Nam Dinh cac nam

Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 10 chuyên
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
CÂU I ( 4,0 điểm)
Giả sử a, b, c là các số nguyên khác không; sao cho phơng trình
ax
2
+ by
2
+ cz
2
= 0 có nghiệm nguyên (x, y, z) khác (0, 0, 0). Chứng minh rằng:
Phơng trình ax
2
+ by
2
+ cz
2
= 1 có nghiệm hữu tỉ (x, y, z).
Câu II (4điểm)
Cho a và b là các số nguyên sao cho có hai số nguyên liên tiếp c và d để: a
b = a
2
c - b
2
d. Chứng minh rằng a - blà một số chính phơng.
CÂU III ( 5,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c = 1. Chứng minh
rằng :
1abc32cba

222
+++
.
CÂU IV ( 7,0 điểm)
Cho đờng tròn (O, R). Giả sử có 6 đờng tròn thay đổi nằm bên trong (O;R)
là (I
1
), (I
2
), (I
3
), (I
4
) , (I
5
) , (I
6
) thoả mãn tính chất : chúng lần lợt tiếp xúc trong với
(O, R) tại A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6

; đồng thời đờng tròn (I
1
) tiếp xúc ngoài với đờng
tròn (I
2
), đờng tròn (I
2
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I
3
), đờng tròn (I
3
) tiếp xúc
ngoài với đờng tròn (I
4
), đờng tròn (I
4
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I
5
), đờng tròn
(I
5
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I
6
), đờng tròn (I
6
) tiếp xúc ngoài với đờng tròn
(I
1
).
1) Chứng minh rằng: A

1
A
2
.A
3
A
4
.A
5
A
6
= A
2
A
3
.A
4
A
5
.A
6
A
1
2) Cho đờng tròn (I , r) nằm bên trong (O;R) . Gọi d = OI; chứng minh rằng: Tồn
tại 6 đờng tròn (I
1
), (I
2
), (I
3

), (I
4
), (I
5
), (I
6
) thoả mãn tính chất đã nêu ở đề bài và
đồng thời 6 đờng tròn này lại đều tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I , r) khi và chỉ khi
( R r )
2
d
2
=
3
4
Rr .
---------------------------------



Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 11 chuyên
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
CÂU I ( 4,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
2
1
y1x1
xy1yx

2
1
22

++
+

))((
))((

Luôn đúng với mọi số thực x, y.
CÂU II ( 4,0 điểm)
Cho dãy số ( a
n
) đợc xác định: a
1
=
2
1
và
1nn
a
n2
3n2
a


=
, khi n
N

và n>1.
Với mỗi n

N
*
, gọi b
n
=

=
n
1k
k
a
. Chứng minh dãy số ( b
n
) có giới hạn.
CÂU III ( 4,0 điểm)
Xác định hàm số
R
2
1
0f

);(:
, liên tục và thoả mãn điều kiện:
f(xy) = xf(x) + yf(y) với mọi x, y thuộc khoảng ( 0;
2
1

)
CÂU IV ( 5,0 điểm)
Trong không gian, cho tứ diện ABCD.
1) Chứng minh rằng 6 mặt phẳng lần lợt đi qua trung điểm của mỗi cạnh và
vuông góc với cạnh đối diện (của tứ diện ABCD) luôn đồng qui tại một điểm.
2) Giả sử tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm bên trong tứ diện
ABCD. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh của tứ diện ABCD để O nhìn cạnh
đó dới một góc

sao cho
3
1

cos
CÂU V ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực x và y sao cho
+
22
yx
, ta đều có :
cosx + cosy

1 + cos(xy)
--------------------------------------------------

Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 12 chung
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu I ( 6 điểm)

Cho hàm số f(x) =
m2x2xmx2
2
++
, với m là tham số.
1) Khi m =
2
3

; hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R .
Câu II ( 4 điểm)
Tính tích phân I =


+++
+
1
1
x24
2
dx
1e1xx
1x
))((
Câu III (7 điểm)
Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đờng parabol (P) có ph-
ơng trình: y = x
2
và đờng tròn (C) có phơng trình: x

2
+ y
2
2x 6y + 1=0
1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt.
2) Cho điểm A(1, 6) thuộc đờng tròn (C) . Hãy lập phơng trình đờng tròn đi qua
điểm M( 2, - 1) và tiếp xúc với đờng tròn (C) tại điểm A.
3) Giả sử đờng thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm
phân biệt T
1
, T
2
. Gọi (d
1
) , (d
2
) thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm T
1
,
T
2
. Biết rằng (d
1
) cắt (d
2
) ở điểm N; hãy chứng minh điểm N nằm trên một đ-
ờng thẳng cố định.
Câu IV (3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng ( 0 ;
1

2


) , ta đều có:

33
3
1xxx1x1xx )cos(.cossin.)cos()sin(.cos
+>++
------------------------------------------
Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 11 chung
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu I (6 điểm)
Cho phơng trình :
0m
x2
x21
x
x21
=+



sincos
. Với m là tham số.
1) Khi m = 0; hãy tìm tất cả các nghiệm x

( - 50 ; -

2
1
) của phơng trình.
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm x
);(
2
1
2
1
+

Câu II (3 điểm)
Biết rằng số đo 3 góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với
công bội q = 2 . Gọi (O, R) là đờng tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác
ABC.
1) Tính độ dài đoạn OG theo R .
2) Biết R = 57; hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC ( lấy đến 5 chữ số
sau đấu phảy).
Câu III (3 điểm)
Cho tam giác ABC thỏa mãn :
2
34
2
A
2
C
2
B
32
+

=++
sin)cos(cos
Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC .
Câu IV (8 điểm)
Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi
A
1
, B
1
, C
1
thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
1) Chứng minh tam giác A
1
B
1
C
1
là tam giác nhọn.
2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C . Gọi

là số đo của góc nhị diện
[ C
1
, OA
1
, B
1
] ; tìm cos

theo B và C .
3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn
nhất trong độ dài 3 đờng cao của tam giác ABC .
Chứng minh :
hdh
3
6
<

-----------------------------
Sở Giáo Dục và Đào Tạo Đề Thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
NAM Định Năm học 2004 2005
****** Môn Toán Lớp 10 chung
Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút)
Câu I ( 6 điểm)
Giải và biện luận bất phơng trình sau theo tham số m :

02m3mx2x
++
)(
Câu II ( 3 điểm)
Giải phơng trình :
1x1x2xx
32
+=+

Câu III (5 điểm)
Chứng minh rằng với tam giác ABC , ta luôn có hệ thức:
R(
gC

ab
c
gB
ac
b
gA
bc
a
cotcotcot
++
) = 1
Câu IV ( 3 điểm)
Cho hệ phơng trình :






=++
=++
=++
xcbzaz
zcbyay
ycbxax
2
2
2
Với ẩn ( x, y, z) và các hệ số thực a, b, c trong đó a

0 .
Chứng minh rằng: Nếu (b 1)
2
4ac < 0 thì hệ đã cho vô nghiệm.
Câu V ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC là một tam giác đều và điểm M thay đổi thuộc miền trong
của tam giác đó. Gọi A
1
, B
1
, C
1
thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các
cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh: 3(MA
2
+ MB
2
+ MC
2
)

4( MA
1
+ MB
1
+ MC
1
)
2

.

----------------------------------------