ĐÁP án LIVESTREAM GIỚI hạn dãy số

Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429
GIẢI TÍCH 11
CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ
LIVESTREAM THỰC HIỆN BỞI: GV HỨA NHẬT VI
DẠNG 1: un là một phân thức hữu tỉ dạng un 

P n

Q n

( trong đó P  n  , Q  n  là hai đa thức của n).

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  ( hoặc
rút n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P  n  và Q  n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về
giới hạn.
Bài 1: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
2n 2  3n  1
a). un 
5n 2  3

 2n  1  3  4n3 
c). un 
3
2
 4n  2   2  n 
2

2n3  3n 2  4
b). un  4
n  4n 3  n

Lời giải: a). Ta thấy n 2 là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của un cho n 2 được:

2n 2  3n  1
3 1
2  2
2
2n  3n  1
n
n n . Ta có lim 3  0, lim 1  0 và lim 3  0 nên
un 


2
2
3
n
n2
n2
5n  3
5n  3
5

2
n
n2
200 2
lim un 
 .
50
5

4
b). Dễ dàng thấy n là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của un cho n 4 được:
2

2n3  3n 2  4
2 3 4
  2 4
4
2
3
4
4
2n3  3n 2  4
un  4
 4 n 3
 n n n . Ta có lim  0, lim 2  0, lim 4  0 , lim  0
3
4 1
n
n
n
n
n  4n  n
n  4n  n
1  3
4
n n
n
1
000

0.
và lim 3  0 . Do đó lim un 
n
1 0  0
2
2
 2n  1  3  4n3 
  2n  1  
1
2
2
3
c) un 
. Ta có  2n  1   n 
   n  2   , 3  4n
3
2
n
n



 
 4n  2   2  n 

2

3

2

 3  4n3 
 n3 

3
 n


  4n  2  
  2  n 
2
3
2

 3

3
22
 n  3  4  ,  4n  2    n 
   n  4   và  2  n    n 
   n   1 .
n

n 
n

  n 
  n 
3

2

3

2

2

1
1  3

 3
 

n 2  2   n3  3  4   2    3  4 
n
n n
n

 , mà lim 1  0, lim 3  0 , lim 2  0 . Do đó
Từ đó un  
3
2
3
2
n
n3
n
2 22 
2 2 


3
n  4   n   1
 4     1
n
n n 

n 


 2  0  0  4
lim un 
3
2
 4  0  0  2
2



1
.
16

DẠNG 2: un là một phân thức hữu tỉ dạng un 

P n

Q n

( trong đó P  n  , Q  n  là các biểu thức chứa

căn của n)
Bài 2: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 1/4


Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429
a). lim

9n 2  n  1
4n  2

4n 2  n  1  n

b). un 

b). lim

9n 2  3n

1 1 

n2  9   2 
n
n n 
9n  n  1

Lời giải: a) lim

 lim
 lim
2
4n  2

n4  
n

2

 4n 2  n  1 
n 
 n
n2


2

b). un 

lim

4n 2  n  1  n
9n 2  3n



 9n 2  3n 
n2 


2
 n


1
3
 0, và lim  0 . Nên lim un 
2
n
n

2n 4  3n  2
2n 2  n  3

1 1
1 1
9  2
9  2
n n  lim
n n  3.
2
2
2

4
n4  
n
n


1 1
1 1
 2 n
4   2 1
1
n n
n n
. Vì có lim  0,

n
3
3
n 9
9
n
n

n 4


4  0  0 1 1
 .
3
90

3 2 

n4  2  3  4 
n n 
2n  3n  2


b). lim
 lim
2
1 3
2n  n  3

n2  2   2 
n n 

4

3 2
3 2
 4
2 3  4
3
n n  lim
n n  2.
 lim
1 3
1 3
2

2  2
n2  2   2 
n n
n n 

n2 2 

DẠNG 3: un là một phân thức hữu tỉ dạng un 

P n

Q n

( trong đó P  n  , Q  n  là các biểu thức chứa

hàm mũ a n , b n , c n ,…. Chia cả tử và mẫu cho a n với a là cơ số lớn nhất ).
Bài 3 : Tìm giới hạn của dãy  un  biết :
3.2n  5n
a). un 
5.4n  6.5n

4n  2  6n 1
b). un  n 1
5  2.6n 3

c). un 

2

n2

1

n
2

3 2

Lời giải
n

2
3.2n  5n
3.2n 5n
3  1
n
n
 n
n
n
n
n
3.2  5
5
2
4

5
5
5
a). Ta có un 
. Ta có lim    0 và lim    0 .



n

5.4n  6.5n 5.4n  6.5n 5.4n 6.5n
5
5
4


 n
5   6
n
n
5
5
5
5
3.0  1
1
 .
Do đó lim un 
5.0  6
6

b). Ta có un 

4n  2  6n 1
5n 1  2.6n 3

4n.42  6n.6
4n.42 6n.6
 n
4n.42  6n.6

6n
6n
6
 n 1


5 .5  2.6n.63 5n.51  2.6n.63 5n.51 2.6n.63

6n
6n
6n

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 2/4


Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429
n

4
4   6
n
n
6
4
5

. Ta có lim    0 và lim    0 .


n
6
6
1  5 
3
5    2.6
6
2

Do đó lim un 

42.0  6
1
.

1
3
5 .0  2.6
72
n
2

n

2.2  1

 2 2 1
2.
n
n

n
   n
n
1
n2
2
2
3
2
2
2
2
2
2  1 2  1 2.2  1


3 . Vì
 1  lim    0 ,
c). Ta có un  n
 n
 n
 n3

2
3
3
1 n
32  2
32  2
32  2

32  2
n
32
32
1
2
2.0  0
 0.
lim n  0 và lim n  0 . Do đó lim un 
1

0
32
32

DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:
Bài 4: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un  n2  3n  5  n
b). un  3 n3  3n2  n
c). lim

n2  n  n
4n 2  3n  2n

Lời giải:


 2n 2  3n  5 
3 5
3 5


n

n
2



n

n
2



1
a). un  2n  3n  5  n  n 

 do


n2
n n2
n n2




2

2



3
5
3 5
 lim 2  0 nên lim  2   2  1  2  1 và limn   do đó lim un  .


n
n
n n


(cụ thể các bạn xem phương pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vô cực).
lim

b). un  3 n3  3n 2  n 







3




n3  3n 2  n 




3

un 

n3  3n2

  n.
2

3

. Ta có

2


3
3
n2  3 1    n2 .3 1   n2
n
n


c). Ta có


n n n 

  n.

  n.

n3  3n 2  n 2

3

n3  3n 2  n 2

3n 2

n3  3n 2

n3  3n 2

3

3n2

3



n2  n  n

2

3

3


n3  3n 2  n 2 


3

3
3
 3 1   3 1 1
n
n






2  1  

 n3  3n 2 
3
n3  3n 2  3 n3 
  n. 3 1  . Do đó
3

n
 n


2

n2  n  n

n n n
2

2

2





, ta có lim

3
 0 . Nên lim un  1
n

n
1

và
1

1
n 1  n
1 1
n
n

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 3/4


Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429


4n  3n  2n 

4n 2  3n  2n

2



4n 2  3n  2n

4n  3n  2n
2



3n

3

.
3
3
n 4   2n
4 2
n
n

3
2
2
n
Do đó lim un  lim
 .

1  3
3  1   1
n 

4

Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
1
1
1
a). un 

  

1.2 2.3
n(n  1)
b). un 

12  22  32    n2
n(n  1)(n  2)

 1

1
1

  
c). lim 

n(n  1)(n  2) 
 1.2.3 2.3.4
Lời giải:
1
k 1 k
k 1
k
1
1
a). Ta có



 
,  k  1, 2,..., n  . Từ đó

k  k  1 k  k  1 k  k  1 k  k  1 k k  1

un 

1
1
1
1 1 1
1
1
1

  
 1       
 1
.
1.2 2.3
n(n  1)
2 2 3
n n 1
n 1

1 
1

 1 0  1 .
Nên lim un  lim 1 
  lim1  lim
n 1
 n 1 

b). un 

n  n  1 2n  1
12  22  32    n2
. Ta có tổng 12  22  32    n2 
(được chứng minh bằng
6
n(n  1)(n  2)

1
2n  1
n vì lim 1  lim 2  0 do đó lim u  2  1 .
phương pháp quy nạp). Nên un 

n
n
n
6 3
6(n  2)
 2
6 1  
 n
2

 1

1
1


  
c). lim 

n(n  1)(n  2) 
 1.2.3 2.3.4

Ta có


1
1
1
1 1
1

  
  
(Chứng minh dựa vào nguyên lý quy
1.2.3 2.3.4
n( n  1)( n  2) 2  2 ( n  1)( n  2) 


1 1
1
1
1
1
1
 lim  lim
 0  .

nạp). Do đó L  lim  

2  2 (n  1)(n  2) 
4
2(n  1)(n  2) 4
4

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 4/4