Về phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song

Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC
ROBOT SONG SONG
Nguyễn Văn Khang1, Nguyễn Văn Quyền1, Nguyễn Ngọc Hà2*
Tóm tắt: Trong báo cáo này trình bày hai phương pháp giải bài toán động lực
học ngược robot song song là phương pháp sử dụng nhân tử Lagrange và phương
pháp thu gọn về các tọa độ suy rộng độc lập. Sau khi trình bày lý thuyết, đã tiến
hành tính toán mô phỏng một số ví dụ về giải bài toán động lực học ngược robot
song song phẳng 3RPR.
Từ khóa: Động học ngược, Động lực học ngược, Robot song song.

1. MỞ ĐẦU
Các robot song song là các hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng [1-3]. Như đã biết,
phương trình vi phân - đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng
có dạng [1]

 

M s s  b s , s  g s   τ  ΦTs s  λ

(1)

f s   0
Gọi qa  

na

(2)

là véc tơ các tọa độ khớp chủ động, z  

nz

là véc tơ tọa độ các khớp

suy rộng dư (bao gồm các tọa độ khớp bị động và có thể cả tọa độ thao tác). Ký hiệu:
T

s  qaT , zT 



, s

ns

, ns  na  nz

(3)

Trong các phương trình (1) và (2) ta có:

M s   
Φs 

ns ns

, f   r , ΦTs s   

ns r

, λ  r ,

f
n
n
n
, g s    s , b s,s    s , τ   s
s

Bài toán động lực học ngược được phát biểu dưới dạng: Cho biết quy luật chuyển động



 

của khâu thao tác x  x t , x   m và phương trình liên kết f x , q  0 ,

q   n , f   r . Xác định mô men (hoặc lực) dẫn động của khâu dẫn τ  

na

cần thiết

để tạo ra chuyển động mong muốn của khâu thao tác.
Trong các tài liệu [3-9] đã trình bày việc áp dụng các phương pháp nguyên lý công ảo,
phương trình Lagrange dạng nhân tử để giải bài toán động lực học robot song song. Trong
bài báo này áp dụng phương pháp tách câú trúc để thiết lập phương trình vi phân đại số
của các robot song song [10-11]. Sau đó, trình bày việc tính toán so sánh hai phương pháp
giải bài toán động lực học ngược robot song song.

2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG
2.1. Động lực học ngược dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử
Theo phương pháp này, phương trình liên kết (2) được sử dụng để giải bài toán động
học ngược. Khi giải xong bài toán này ta được

200

N. V. Khang, N. V. Quyền, N. N. Hà, “Về phương pháp giải bài toán… robot song song.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

s tk , s tk , s tk , k  0,1,..., N

(4)

Phương trình (1) dùng để tính các nhân tử Lagrange, các lực và mô men cần thiết của
các khâu dẫn. Trước hết, ta viết lại phương trình (1) dưới dạng





M s s  p1 t , s , s  τ  ΦTs s  λ

(5)

Ta tách ns phương trình (5) thành hai nhóm, nhóm thứ nhất gồm na phương trình có
chứa mô men (hay là lực) của khâu phát động, nhóm thứ hai gồm nz phương trình còn lại

1

1

1





M a s qa  M z s  z  p1 t , s , s  τa  ΦTa s  λ
2

2

M a s qa  M z

(6)

s  z  p  t , s , s  Φ s  λ
2

T
z

1

(7)

M 1 s M 1 s 

  z  

Trong đó
M s    a2

M a s  M z2 s 


ΦT s 

Φs  Φa , Φz   ΦTs s    Ta



Φ
s
 z  
Trường hợp r  nz , Φz là ma trận chính quy. Từ phương trình (7) ta được
2

2

ΦTz s  λ  M a s qa  M z

s  z  p  t , s , s
2

(9)

(10)

1

M 2 s q  M 2 s z  p 2 t , s , s 
 a   a

z  
1


Thế (11) vào phương trình (6) ta được phương trình xác định τa



(11)

τa  M a s qa  M z s  z  p1 t , s , s  ΦTa s  λ

(12)

λ  ΦTz s 


1



(8)

1

1

1





Các bước giải bài toán động lực học ngược theo phương pháp thứ nhất



Bước 1: Giải bài toán động học ngược. Cho biết x t





và f x,q = 0 . Tính

s t , s t , s t 
Bước 2: Từ phương trình vi phân đại số mô tả chuyển động của robot song song, tính

  

 

các ma trận M s ,b s ,s , Φs s , g s

Bước 3: Tính các nhân tử Lagrange từ phương trình (11)
Bước 4: Tính các mô men phát động từ phương trình (12)
2.2. Động lực học ngược dựa trên các phương trình vi phân thu gọn về các tọa độ tối
thiểu
Ý tưởng của phương pháp này là: Khử các tọa độ suy rộng dư z và các nhân tử
Lagrange λ , biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (1) và (2) về hệ phương trình vi phân
thường với các tọa độ là các thành phần của véc tơ qa , số lượng phương trình bằng số bậc
tự do của hệ.

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

201


Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

Xét các phương trình liên kết (2)





f s   f qa , z  0 , f  r , z   z , qa  
n

na

(13)

Giả sử số lượng các tọa độ dư bằng số các phương trình liên kết bổ sung r=na . Từ

phương trình (13) ta suy ra:

f 

f
s  Φs s  s  0
s

(14)

Gọi s là nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (14), ta có:

Φs s  s  Φa s  qa  Φz s  z  0

Viết lại phương trình (1), ta có:

(15)

 

ΦTs s  λ  M s s  b s , s  g s   τ

(16)

Chuyển vị hai vế của phương trình (16) ta được:
T

 

λT Φs  M s s  b s , s  g s   τ 



Nhân hai vế của phương trình (17) với s ta được:
T
λT Φs s  M s s  b s , s  g s   τ  s


Chú ý đến công thức (15), Φs s  s  0 , từ (18) ta suy ra

 

(17)

(18)

T

 

M s s  b s , s  g s  τ  s  0 T
  
  

(19)

Mặt khác từ phương trình (15) ta có:

z  Φz 1 s  Φa s  qa

Chú ý rằng véc tơ qa có thể viết lại dạng qa  En qa

a

(20)
(21)

Kết hợp hai phương trình (20) và (21) ta có:


q  
En
 q
a
s   a   
 a
1

z

Φ
s
Φ
s
  
z  
a  


En

a

Nếu ta đưa vào ký hiệu
R s   

1

Φ
s
Φ
s

z  
a  
s  R s  qa
Thì phương trình (22) có dạng

(22)

(23)
(24)

s  R s qa (25)

Từ (24) ta suy ra:

Thế biểu thức (24) vào phương trình (19) ta có

 

T

M s s  b s , s  g s  τ  R s q  0 T
     a
  
Do qa , qa ,..., qa
1

2

na

là các biến phân độc lập, nên từ phương trình (26) ta suy ra:

 

RT s  M s s  b s , s  g s   τ   0



202

(26)

(27)

N. V. Khang, N. V. Quyền, N. N. Hà, “Về phương pháp giải bài toán… robot song song.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

Phương trình (27) có thể viết lại dưới dạng

 

RT s  τ  RT s  M s s  b s , s  g s 



(28)

Từ phương trình (23) ta có:

τ 
RT s  τ  [Ena ,  (Φz 1(s)Φa (s))T ]  a 
 τ z 
1
T
 τa  (Φz (s )Φa (s)) τ z

(29)

Thế (29) vào phương trình (28) ta được:

 

τa  RT s  M s s  b s , s  g s 


+(Φz 1(s)Φa (s))T τ z

(30)

Các bước giải bài toán động lực học ngược theo phương pháp thứ hai :



Bước 1: Giải bài toán động học ngược. Cho biết x t





và f x,q = 0 tính

s t , s t , s t 











Bước 2: Tính các ma trận Φz s , Φa s , Φz 1 s , R s ,M s , b(s, s), g (s )
Bước 3: Tính các mô men (hay lực) của các khâu dẫn động theo công thức (30)
3. ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG 3RPR
Trong mục này, ta xét chuyển động của robot song phẳng 3RPR (Hình 1). Robot song
phẳng 3RPR có 3 bậc tự do (k=3). Ta sẽ giải bài toán động lực học ngược robot song

phẳng 3RPR trong hai trường hợp như sau:
* Khâu chủ động là P1A1, P2A2 , P3A3

* Khâu chủ động là A1B1, A2B2 , A3B3

 
u 
x 
 1
 1
 P




qa  2  , q p  u2  , x  yP 
 
 
 
3 
u 3 
 

u 
 
x 
 1
 1
 P





qa  u2  , q p  2  , x  yP 
 
 
 
u 3 
3 
 

3.1. Thiết lập phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động của robot
Sáu phương trình liên kết của robot:





1 
3

1 
3

x P  u1  l2  cos 1 
h cos + , yP  u1  l2  sin 1 
h sin + 




2 
3
6 
2 
3
6 





1 
3

1 
3

x P  c  u2  l2  cos 2 
h cos   , yP  u2  l2  sin 2 
h sin   
2 
3
6 
2 
3
6 





xP 


c 
1 
3
3
1 
3
 u3  l2  cos 3 
h sin , yP 
c  u3  l2  sin 3 
h cos 


2 
2 
3
2
2 
3


Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

203


Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

Hình 1. Robot song song phẳng 3RPR.
Sử dụng phương pháp tách cấu trúc, tách robot thành các cấu trúc con như Hình 2, 5.
Từ đó, với mỗi chân của robot, sử dụng phương trình Lagrange loại 2 và sử dụng
phương trình Newton-Euler cho bàn máy động, ta thu được 9 phương trình vi phân

1 2



 m l  m u 2  I  I    2m u  u   1 m l  m u  g cos 
11
2 1
1
2 1
2 1 1 1
11
2 1
1
 4
2




1 
1 
 1  X1 u1  l2  sin 1 Y1 u1  l2  cos 1
2 
2 



2
m2u1  m2u11  m2g sin 1  F1  X1 cos 1 Y1 sin 1
1 2



 m l  m u 2  I  I    2m u  u   1 m l  m u  g cos 
2 2
1
2 2
2 2 2 2
2 2
2
 4 1 1
 2 1 1




1 
1 
 2  X2 u2  l2  sin 2 Y2 u2  l2  cos 2


2 
2 
m2u2  m2u222  m2g sin 2  F2  X 2 cos 2 Y2 sin 2
1




 m l 2  m u 2  I  I    2m u  u   1 m l  m u  g cos 
2 3
1
2 3
2 3 3 3
11
2 3
3
 4 1 1

 2



1 
1 
  3  X 3 u 3  l2  sin 3 Y3 u 3  l2  cos 3

2 
2 

m2u3  m2u 332  m2g sin 3  F3  X 3 cos 3 Y3 sin 3

204

N. V. Khang, N. V. Quyền, N. N. Hà, “Về phương pháp giải bài toán… robot song song.”

Nghiên cứu khoa học công nghệ

mxP  X1  X 2  X 3 , myP  mg  Y1  Y2  Y3



 
3 X1 sin    Y1 cos  


I  
h
6 
3 
X 3 cos  Y3 sin 




 

 
  X 2 sin     Y2 cos   


6 
6 
6 




Hình 3. Chân thứ hai.

Hình 2. Chân thứ nhất.

Hình 5. Bàn máy động.
Hình 4. Chân thứ ba.
3.2. Mô phỏng số động lực học ngược
Các tham số của robot song song phẳng 3RPR [7] được cho trong bảng 1. Quy luật
chuyển động của bàn máy:


 


 
x P  0.15 3  0.025 1  sin t , yP  0.15  0.025 cos t,   1  cos t 

3 
3
12 
3 

x P m 
i
yP m 
i

i=1

0
0

i=2

Bảng 1. Các tham số của robot.
i=3

0.3 3

0.15 3

0

0.45

l1  l2  0.2 m  , h  0.3 3 m  , m1  3, m2  1.5, m  5 kg 
Các kết quả tính toán trên phần mềm MATLAB cho trên các hình từ hình 6 đến hình
13. Trong đó, đưa ra hai phương án: Phương án 1 mômen dẫn động đặt vào các khâu quay

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

205


Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

nối giá, phương án 2 lực dẫn động đặt tại các khâu chuyển động tịnh tiến tương đối. Ta
thấy, các công suất của từng động cơ trong hai trường hợp khác nhau nhưng tổng công
suất trong hai trường hợp là như nhau.

Về hiệu quả của hai phương pháp tính, nếu chọn số bước tính toán N=150, ta có thể so
sánh thời gian tính toán theo hai phương pháp như bảng 2.
Bảng 2. Thời gian tính toán của hai phương pháp.

Phương pháp dựa trên phương trình Truyền động bằn mô men
Lagrange dạng nhân tử
Truyền động bằng lực

0.235(s)

Phương pháp dựa trên các phương trình Truyền động bằng mô men
vi phân thu gọn về tọa độ tối thiểu
Truyền động bằng lực

0.218(s)

0.234(s)
0.212(s)

3.2.1. Kết quả động lực học ngược dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử
a) Trường hợp dẫn động mô men
0.5

30
torque1
torque2
torque3

10

0

Total Power(W)

Torque(Nm)

20

0
-10
-20
-30

-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5

0

0.5

1

1.5
t(s)

2

2.5

-3

3

0

Hình 6. Đồ thị mô men các động cơ.

0.5

1

1.5
t(s)

2

2.5

3

Hình 7. Đồ thị tổng công suất.

b) Trường hợp dẫn động bởi lực
0.5

80

0

60

Force(Nm)

40
20

Total Power(W)

force1
force2
force3

0
-20

-1
-1.5
-2
-2.5

-40
-60

-0.5

-3
0

0.5

1

1.5
t(s)

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5
t(s)

2

2.5

3

Hình 9. Đồ thị tổng công suất.

Hình 8. Đồ thị lực dẫn động.
3.2.2. Động lực học ngược dựa trên phương pháp thu gọn về tọa độ tối thiểu
a) Trường hợp dẫn động mô men

206

N. V. Khang, N. V. Quyền, N. N. Hà, “Về phương pháp giải bài toán… robot song song.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ
0.5

30
torque1
torque2
torque3

10

0

Total Power(W)

Torque(Nm)

20

0
-10
-20

-30

-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5

0

0.5

1

1.5
t(s)

2

2.5

-3

3

Hình 10. Đồ thị mômen các động cơ.
b) Trường hợp dẫn động bởi lực

1

1.5
t(s)

2

2.5

3

0.5
0

60

20

Total Power(W)

force1
force2
force3

40

Force(Nm)

0.5

Hình 11. Đồ thị tổng công suất.

80

0
-20
-40
-60

0

-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5

0

0.5

1

1.5
t(s)

2

2.5

3

Hình 12. Đồ thị lực dẫn động.

-3

0

0.5

1

1.5
t(s)

2

2.5

Hình 13. Đồ thị tổng công suất.

4. KẾT LUẬN
Tính toán động lực học ngược robot song song là một bài toán quan trọng trong việc
điều khiển robot song song. Có nhiều phương pháp giải bài toán động lực học ngược,
trong bài báo này, chúng tôi sử dụng 2 phương pháp đó là: phương pháp dựa trên phương
trình Lagrange dạng nhân tử và phương pháp dựa trên phương trình vi phân thu gọn về tọa
độ khớp chủ động.
Dựa vào kết quả mô phỏng số ta thấy rằng, sử dụng cả hai phương pháp đều đạt độ
chính xác cao hay sai số nhỏ (khoảng 10-13 mm). Tuy nhiên, sử dụng phương pháp dựa
trên phương trình vi phân thu gọn về tọa độ khớp chủ động thì thời gian tính toán nhỏ hơn
sử dụng phương pháp dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử. Các kết quả trùng
khớp với phương pháp truy hồi truyền thống trước đây [6-7].

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật , NXB KHKT, Hà Nội 2007.
[2]. J.P Merlet, “ Parallel robots” Springer-Verlag, 2006.
[3]. L-W Tsai, “Robot analysis”, The mechanics of serial and parallel manipulator. John
Wiley & Sons, Inc, 1999.

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017

207

3


Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông

[4]. Th. Geike.; J. McPhee, “Inverse dynamic analysis of parallel manipulators with full
mobility”, Mechanism and Machine Theory 38 (2003) 549 – 562.
[5]. W. A. Khan.; V.N. Krori.; S.K. Saha.; J. Angeles, “ Recursive kinematics and inverse
dynamics for a planar 3 R parallel manipulator”, Journal of Dynamic Systems,
Measuremwnt, and Control 127 (2005), pp. 529-536.
[6].
S. Staicu, D. Zhang, R. Rugescu, “ Dynamic modeling of a 3-DOF parallel
manipulator using recursive matrix relations”, Robotica 24 (2006), pp.125-130.
[7]. S. Staicu, “Power requirement comparision in the 3-RPR planar parallel robot
dynamics”, Mechanism and Machine Theory 44 (2009) 1045 – 1057.
[8]. S. Staicu, “Inverse dynamics of the 3-PRR planar parallel robot”, Robotics and
Autonomous Systems 57 (2009), pp. 556-563.
[9]. Do Thanh Trung, Jens Kotlarski, Bodo Heimann and Tobias Ortmainer, “ A new
program to automatically generate the kinematic and dynamic equations of general
robots in symbolic form”, Proc. of the ISRM 2009, Bach Khoa Publishing House

2009, pp 122-128.
[10].Nguyen Van Khang, “Inverse dynamics of constrained multibody systems using the
projection matrix”, Vietnam Journal of Mechanics, 35 (2013).
[11].Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ. Cơ sở robot công nghiệp ,NXB Giáo dục, Hà Nội
2011.
ABSTRACT
ON THE METHODS FOR INVERSE DYNAMICS ANALYSIS
OF PARALLEL ROBOTS
In this paper, two methods using Lagrange multiplier and using coordinate
reduction are proposed for calculating inverse dynamics of parallel manipulator.
After addressing the principles of two methods, an example – a 3 RPR planar
parallel manipulator – is demonstrated for the efficiency of the proposed methods in
the analysis of inverse dynamic problem.
Keywords: Inverse Kinematics, Inverse Dynamics, Parallel Robots.

Nhận bài ngày 20 tháng 5 năm 2017
Hoàn thiện ngày 10 tháng 07 năm 2017
Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 07 năm 2017
Địa chỉ:

1

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên.
* Email:
2

208

N. V. Khang, N. V. Quyền, N. N. Hà, “Về phương pháp giải bài toán… robot song song.”