Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT QG môn toán

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ


/>
Chương 3-Giải tích 12

NỘI DUNG CÂU HỎI
π
2

Câu 1. Tính tích phân I =

(sin 2x + sin x) dx
0

A. I = 5.

B. I = 3.

C. I = 4.

D. I = 2.

Lời giải.
π
2

Å

1
(sin 2x + sin x) dx = − · cos 2x − cos x
2

Ta có: I =
0

ã

π
2

= 2.
0

Chọn đáp án D
Câu 2. Tính nguyên hàm I =

Å
ã
3
2
2x −
dx.
x

2
A. I = x3 − 3 ln x + C.
3
2 3

C. I = x + 3 ln x + C.
3
Lời giải.
Å
ã
3
2
2
I=
2x −
dx = x3 − 3 ln |x| + C.
x
3
Chọn đáp án B

2
B. I = x3 − 3 ln |x| + C.
3
2
D. I = x3 + 3 ln |x| + C.
3

Câu 3. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi
quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại
với vận tốc vA (t) = 8 − 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB (t) = 12 − 4t (m/s).
Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (Giả sử hai quả bóng đều chuyển động
thẳng).
A. 36 mét.
Lời giải.

B. 32 mét.

C. 34 mét.

D. 30 mét.

Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn vA (t) = 0 ⇔ 8−2t = 0 ⇒ t = 4s.
4

(8 − 2t) dx = 16m

Quãng đường quả bóng A di chuyển SA =
0

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn vB (t) = 0 ⇔ 12 − 4t = 0 ⇒
t = 3s.

3

(12 − 4t) dx = 18m

Quãng đường quả bóng B duy chuyển SB =
0

Vậy: Khoảng cách hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = SA + SB = 34m.
Chọn đáp án C
π
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f
= −1 và với mọi x ∈ R ta có
2 π

4

f (x) · f (x) − sin 2x = f (x) · cos x − f (x). sin x. Tính tích phân I = f (x) dx.
0
√
√
2
− 1.
D. I = 2.
A. I = 1.
B. I = 2 − 1.
C. I =
2
Lời giải.
Ta có f (x) · f (x) − sin 2x = f (x) · cos x − f (x) · sin x ⇔ f (x) · f (x) − sin 2x = [f (x) · cos x] .
Lấy nguyên hàm hai vế: [f (x) · f (x) − sin 2x] dx = [f (x) · cos x] dx
f 2 (x) 1
⇔
+ cos 2x = cos x · f (x) + C.
2
2
π
Vì f
= −1 ⇒ C = 0 ⇒ f 2 (x) + cos 2x = 2 cos x · f (x) ⇔ f 2 (x) − 2 cos x · f (x) + cos2 x = sin2 x.
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

2

/>

/>
f (x) − cos x = sin x

⇔ (f (x) − cos x)2 = sin2 x ⇔
π
2

Vì f

Chương 3-Giải tích 12

f (x) − cos x = − sin x

.

= −1 nên nhân f (x) = cos x − sin x.
π
4

Vậy I =

π
4

0

π
4

(cos x − sin x) dx = (cos x − sin x)

f (x) dx =

0

0

=

√

2 − 1.

Chọn đáp án B
1

Câu 5. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn

5

f (x)dx = 3 và
0

f (x)dx = 6. Tính tích
0

1

f (|3x − 2|)dx

phân I =
−1

B. I = −2.

A. I = 3.

C. I = 4.

D. I = 9.

Lời giải.
2
3

1

1

f (|3x − 2|)dx =

Ta có
−1

−1

2
3

2
3

2
3

f (−3x + 2)dx = −

I1 =

f (3x − 2)dx = I1 + I2 .

f (−3x + 2)dx +

1
3

−1

f (−3x + 2)d(−3x + 2).
−1
5

1
2
Đặt t = −3x + 2 suy ra x = −1 ⇒ t = 5; x = ⇒ x = 0. Do đó I1 =
3
3

f (t)dt = 2.

0

1

f (3x − 2)dx =

I2 =

1
3

1f (3x − 2)d(3x − 2).
2
3

2
3

1

1
2
Đặt t = 3x − 2 suy ra x = 1 ⇒ t = 1; x = ⇒ x = 0. Do đó I2 =
3
3

f (t)dt = 1.
0

Vậy I = I1 + I2 = 3.

Chọn đáp án A
Câu 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 ex
A.

f (x) dx = ex

3 +1

+ C.

3 +1

B.

.
f (x) dx = 3ex

3 +1

+ C.

x3 3
1 3
f (x) dx = ex +1 + C.
D.
f (x) dx = ex +1 + C.
3
3
Lời giải.
1

1 3
3
3
Ta có x2 ex +1 dx =
ex +1 d(x3 + 1) = ex +1 + C.
3
3
Chọn đáp án C
C.

Câu 7. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

xex dx = ex + xex + C.

C.

xex dx =

x2 x
e + C.
2

B.

xex dx = −ex + xex + C.

D.

xex dx = ex +

x2 x
e + C.
2

Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

3

/>

/>
Ta có

xex dx =

x dex = xex −

Chương 3-Giải tích 12

ex dx = xex − ex + C.

Chọn đáp án B
Câu 8. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) =
1
ln |5x + 4| + C.
ln 5
1
C. F (x) = ln |5x + 4| + C.

5
Lời giải.
1
1
Ta có
dx = ln |5x + 4| + C.
5x + 4
5
Chọn đáp án C

1
.
5x + 4

B. F (x) = ln |5x + 4| + C.
1
D. F (x) = ln(5x + 4) + C.
5

A. F (x) =

Câu 9. Cho hàm số f (x) = 2x + ex . Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn
F (0) = 2019.
A. F (x) = ex − 2019.

B. F (x) = x2 + ex − 2018.

C. F (x) = x2 + ex + 2017.

D. F (x) = x2 + ex + 2018.

Lời giải.
(2x + ex ) dx = x2 + ex + C.

F (x) =

Do F (0) = 2019 nên 02 + e0 + C = 2019 ⇔ C = 2018.
Vậy F (x) = x2 + ex + 2018.
Chọn đáp án D
√
Câu 10. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: f (0) = 2 2, f (x) > 0 với mọi x ∈ R
1 + f 2 (x) với mọi x ∈ R. Khi đó giá trị f (1) bằng
√
√
√
B. 23.
C. 24.
D. 26.

và f (x).f (x) = (2x + 1)
√
A. 15.
Lời giải.

f (x) · f (x)
f (x) · f (x)
⇒
dx = (2x + 1) dx.
2
1 + f (x)

1 + f 2 (x)
f (x) · f (x)
Bây giờ ta tính I =
dx.
1 + f 2 (x)
Đặt 1 + f 2 (x) = t ⇒ 1 + f 2 (x) = t2 ⇒ 2f (x)f (x)dx = 2tdt ⇒ f (x)f (x)dx = tdt.
»
t
Do đó I =
dx =
dt = t + C = 1 + f 2 (x) + C.
t
√
Ta nhận được 1 + f 2 (x) + C = x2 + x. f (0) = 2 2 ⇒ C = −3.
Từ giả thiết ta có 2x + 1 =

Từ đó

1 + f 2 (x) − 3 = x2 + x. Khi x = 1 ta có

1 + f 2 (1) − 3 = 1 + 1 ⇒ 1 + f 2 (1) = 25 ⇒ f (1) =

√

24.

Chọn đáp án C
1

1

f (x) dx = 2 và

Câu 11. Cho
0

1

0

A. −3.

[f (x) − 2g(x)] dx bằng

g(x) dx = 5, khi đó
0

C. −8.

B. 12.

D. 1.

Lời giải.
1

1

[f (x) − 2g(x)] dx =
0

1

f (x) dx − 2
0

g(x) dx = 2 − 2 · 5 = −8.
0

Chọn đáp án C
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

4

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

1
B. ex + x2 + C.
2
x
D. e + 1 + C.

A. ex + x2 + C.
1 x 1 2
C.
e + x + C.

x+1
2
Lời giải.
1
(ex + x) dx = ex + x2 + C
2
Chọn đáp án B
f (x) dx =

Câu 13.
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo

y

y = −x2 + 3

công thức nào dưới đây ?
2

2

(2x2 − 2x − 4) dx.

A.

(−2x + 2) dx.

B.

−1

2

(2x − 2) dx.

C.

2

−1
2

O

x

(−2x2 + 2x + 4) dx.

D.

−1

−1

y = x2 − 2x − 1

−1

Lời giải.
2

2

(−x2 + 3) − (x2 − 2x − 1) dx =

S=
−1

(−2x2 + 2x + 4) dx.
−1

Chọn đáp án D
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1 + ln x) là
A. 2x2 ln x + 3x2 .

B. 2x2 ln x + x2 .

C. 2x2 ln x + 3x2 + C.

D. 2x2 ln x + x2 + C.

Lời giải.

4x(1 + ln x) dx =

(1 + ln x) d(2x2 )

= 2x2 (1 + ln x) −

1
2x2 dx

x

= 2x2 (1 + ln x) − x2 + C
= 2x2 ln x + x2 + C.

Chọn đáp án D
1

x dx
= a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c
(x + 2)2

Câu 15. Cho
0

bằng
A. −2.

B. −1.

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

C. 2.
5

D. 1.
/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Lời giải.
1

1

x+2−2
dx
(x + 2)2

x dx
=
(x + 2)2
0

0
1

1

2
dx
(x + 2)2

x+2
dx −
(x + 2)2

=

0

0
1

1

1
dx −
x+2

=
0

2
dx
(x + 2)2
0

1

2
= ln |x + 2| +
x+2
0
1
= ln 3 − ln 2 − .
3

1

0

1
Nên a = − , b = −1, c = 1, suy ra 3a + b + c = −1.
3
Chọn đáp án B
Câu 16.
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như

B2

2

hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/m và
phần còn lại là 100.000 đồng/m2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần
nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2 = 8m, B1 B2 = 6m và tứ giác
M N P Q là hình chữ nhật có M Q = 3m ?

M

N

A1

A2

Q

A. 7.322.000 đồng.

B. 7.213.000 đồng.

C. 5.526.000 đồng.
Lời giải.

D. 5.782.000 đồng.

P

B1

x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
A1 A2 = 8
2a = 8
a=4
Theo giả thiết ta có
⇔
⇔
B1 B2 = 6
2b = 6
a=3
2
2
x
y
3√
Suy ra (E) :

+
=1⇒y=±
16 − x2 .
16
9
4
Diện tích của elip (E) là S(E) = πab = 12π (m2 ).
√ 3
√ 3
M = d ∩ (E)
3
Ta có: M Q = 3 ⇒
với d : y = ⇒ M (−2 3; ) và N (2 3; ).
2
2
2
N = d ∩ (E)
Giả sử phương trình elip (E) :

4

Khi đó, diện tích phần không tô màu là S = 4

(

√
2 3

√
3√

16 − x2 )dx = 4π − 6 3(m2 ).
4

√
Diện tích phần tô màu là S = S(E) − S = 8π + 6 3.
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là
√
√
T = 100.000 × (4π − 6 3) + 200.000 × (8π + 6 3) ≈ 7.322.000 đồng.
Chọn đáp án A
Câu 17. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là
x2
A. x2 + cos x + C.
B. x2 − cos x + C.
C.
− cos x + C.
2
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

6

D.

x2
+ cos x + C.
2

/>

/>

Chương 3-Giải tích 12

Lời giải.
(x + sin x) dx =

Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có

x2
− cos x + C.
2

Cách 2: Lấy đạo hàm các hàm số trên ta được kết quả.
Chọn đáp án C
2

2

g(x)dx = −1, khi đó

f (x)dx = 2 và

Câu 18. Cho
−1

2

−1

5
A. .

2
Lời giải.

−1

7
B. .
2

17
C.
.
2

2

2

[x + 2f (x) + 3g(x)]dx =

Ta có:
−1

[x + 2f (x) + 3g(x)] dx bằng

2

xdx + 2
−1

D.

11
.
2

2

f (x)dx + 3

−1

g(x)dx =

3
5
+4−3= .
2
2

−1

Chọn đáp án A
Å ã
1
201
. Giá trị F
là
Câu 19. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e và F (0) =
2

2
1
1
1
B. 2e + 200.
C. e + 50.
D. e + 100.
A. e + 200.
2
2
2
Lời giải.
1
Ta có F (x) = e2x dx = e2x + C.
2
201
1
201
Theo đề bài ta có F (0) =
⇔ e0 + C =
⇔ C = 100.
2
2
2
1
1
Vậy F (x) = e2x + 100 ⇒ F (2) = e + 100.
2
2
Chọn đáp án D

2x

Câu 20. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) · g(x) biết F (1) = 3, biết

f (x)dx = x + 2018

g(x)dx = x2 + 2019.

và

A. F (x) = x3 + 1.

B. F (x) = x3 + 3.

C. F (x) = x2 + 2.

D. F (x) = x2 + 3.

Lời giải.
f (x)dx = x + 2018 ⇒ f (x) = (x + 2018) = 1

Ta có

g(x)dx = x2 + 2019 ⇒ g(x) = (x2 + 2019) = 2x.

và

f (x) · g(x)dx = x2 + C.

⇒ f (x) · g(x) = 2x ⇒ F (x) =

Mặt khác F (1) = 3 ⇒ 12 + C = 3 ⇒ C = 2.
Vậy F (x) = x2 + 2.
Chọn đáp án C
2

Câu 21. Cho
0

1
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a, b, c là các số thực. Giá trị của
(x + 1)(x + 2)

a + b2 − c3 bằng
A. 3.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Lời giải.
3

3

Å

dx

=
(x + 1)(x + 2)

Ta có
2

1
1
−
x+1 x+2

ã
dx = ln

2

x+1
x+2

3

= ln
2

4
3
− ln = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5.
5
4

Suy ra a = 4, b = −1, c = −1. Vậy a + b2 − c3 = 6.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

7

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Chọn đáp án B
π
x
Câu 22. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên 0;
, thỏa mãn f (x) + tan xf (x) =
.
2
cos3 x
√
√
π
π
Biết rằng 3f
−f
= aπ 3 + b ln 3 trong đó a, b ∈ R. Giá trị của biểu thức P = a + b
3
6
bằng
14
2

7
4
A.
.
B. − .
C. .
D. − .
9
9
9
9
Lời giải.
x
x
x
Ta có f (x) + tan xf (x) =
⇔ cos x · f (x) + sin xf (x) =
⇔ [sin x · f (x)] =
.
3
2
cos x
cos x
cos2 x
x
x
Do đó [sin x · f (x)] dx =
dx ⇒ sin x · f (x) =
dx.
2

cos x
cos2 x
x
dx.
Tính I =
cos2 x

u = x
du = dx
Đặt
⇒
dx
 dv =
v = tan x.
cos2 x
d cos x
= x · tan x + ln | cos x|.
Khi đó I = x · tan x − tan x dx = x · tan x −
cos x
x · tan x + ln | cos x|
x
ln | cos x|
Suy ra f (x) =
=
+
.
sin x
cos x Å sin x
√
√ å

ã Ç √
√
√
√ 2π 2 ln 2
5π 3
π
3
π
π 3
Do 3f
−f
= aπ 3 + b ln 3 = 3
− √
+ 2 ln
=
ln 3.
−
3
6
3
9
2
9
3

a = 5
9 .
Khi đó

b = −1

4
Vậy P = a + b = − .
9
Chọn đáp án D
Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 − 1 là
x3
3
+ x + C.
C. 6x + C.
A. x + C.
B.
3
Lời giải.
Ta có

f (x)dx =

D. x3 − x + C.

(3x2 − 1) dx = x3 − x + C.

Chọn đáp án D
1

(2019x2018 − 1)dx bằng

Câu 24. Giá trị của
0

A. 0.

B. 22017 + 1.

C. 22017 − 1.

D. 1.

Lời giải.
1

1

(2019x2018 − 1)dx = 2019

1

x2018 dx −

dx = (x2019 − x + C)

1

=0
0

0

0

0

Chọn đáp án A
Câu 25. Hàm số f (x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là
1
A. − sin(4x + 7) + x. B. sin(4x + 7) − 3.
C. sin(4x + 7) − 1.
4
Lời giải.
1
Hàm số f (x) = cos(4x + 7) có một nguyên hàm là sin(4x + 7) − 3.
4
Chọn đáp án B
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

8

1
D. − sin(4x + 7) + 3.
4

/>

/>1

Câu 26. Biết

Chương 3-Giải tích 12

x2 + 2x
4

a
dx = − 4 ln với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
2
(x + 3)
4
b

0
2

2

a + b bằng
A. 25.

B. 41.

C. 20.

D. 34.

Lời giải.
1

I=
0
4

I=
3

⇒

x2 + 2x
dx. Đặt t = x + 3 ⇒ dt = dx, đổi cận
(x + 3)2

x=0⇒t=3

x = 1 ⇒ t = 4.
4 Å
ã
Å
ã
4
3
3 4 5
4
t2 − 4t + 3
= − 4 ln
1 − + 2 dt = t − 4 ln |t| −
dt =
2
t
t t
t 3 4
3

a=5

3

⇒ a2 + b2 = 34.

b=3
Chọn đáp án D
Å ã
1
1
thỏa mãn F
= 2 và F (e) =
Câu 27. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x ln x
e
Å ã
1
ln 2. Giá trị của biểu thức F
+ F (e2 ) bằng
e2
A. 3 ln 2 + 2.
B. ln 2 + 2.
C. ln 2 + 1.
D. 2 ln 2 + 1.
Lời giải.
1
d(ln x)
dx =
= ln |ln x| + C, x > 0, x = 1.
x ln x
ln x

ln(ln x) + C1 khi x > 1
Nên F (x) =
ln(− ln x) + C2 khi 0 < x < 1.
Å
ã
Å ã
1
1
= 2 nên ln − ln
+ C2 = 2 ⇔ C2 = 2; F (e) = ln 2 nên ln(ln e) + C1 = ln 2 ⇔ C1 = ln 2.
Mà F
e
e
ln(ln x) + ln 2 khi x > 1
Suy ra F (x) =
ln(− ln x) + 2 khi 0 < x < 1.
Å ã
Å
ã
1
1
2
Vậy F
+ F (e ) = ln − ln 2 + 2 + ln(ln e2 ) + ln 2 = 3 ln 2 + 2.
e2
e
Chọn đáp án A
π
Câu 28. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = cos x; y = 0; x = 0 và x = . Thể tích
2

vật thể tròn xoay có được khi (H) quay quanh trục Ox bằng
π2
π
π2
A.
.
B. 2π.
C. .
D.
.
4
4
2
Lời giải.
Ta có

Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có
π
2

π
2
2

V =π

(cos x) dx = π
0

1 + cos 2x

dx = π
2

0

Å

x sin 2x
+
2
4

ã

π
2
0

=

π2
.
4

Chọn đáp án A
Câu 29. Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M (1; 1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại A, B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể
tích là V . Giá trị nhỏ nhất của V bằng
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

9

/>

/>
A. 3π.

B.

Chương 3-Giải tích 12

9π
.
4

C. 2π.

D.

5π
.
2

Lời giải.
y

B
M

1

A
x

1

O

x y
b
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d : + = 1 ⇒ d : y = − x + b(1).
a b
a
1 1
Mà M (1; 1) ∈ d nên + = 1 ⇒ a + b = ab(2).
a b
b
b
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = − , theo giả thiết ta có − < 0 ⇒ ab > 0.
a
a
a<0
a
Nếu
thì a + b < 0 mâu thuẫn với (2). Suy ra a > 0, b > 0. Mặt khác từ (2) suy ra b =
a−1
b<0
kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy
r = a.

1
1
a3
1
.
Thể tích khối nón là V = πr2 h = πa2 .b = π.
3
3
3 a−1
a3
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất.
a−1
x3
1
Xét hàm số f (x) =
= x2 + x + 1 +
trên khoảng (1; +∞).
x−1
x−1

x=0
2
1
x (2x − 3)

f (x) = 2x + 1 −
=
;
f

(x)
=
0
⇒
3.
(x − 1)2
(x − 1)2
x=
2
Bảng biến thiên
x

3
2
0

1
−

f (x)
+∞

+
+∞

f (x)

1
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng π.f
3

Chọn đáp án B

+∞

27
4
Å ã
3
9π
=
.
2
4
3

Câu 30. Cho hàm số f (x) thoả mãn

[2x ln(x + 1) + xf (x)] dx = 0 và f (3) = 1.
0

3

f (x) dx =

Biết

a + b ln 2
với a, b là các số thực dương. Giá trị của a + b bằng
2

0

A. 35.

B. 29.

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

C. 11.
10

D. 7.
/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Lời giải.
3

Tính I =

2x ln(x + 1) dx.
0

u = ln(x + 1)

Đặt

⇒

dv = 2x dx


3

3
2

I = x ln(x + 1) −
0

1
dx
x + 1 . Khi đó


du =

v = x2

x2
dx = 9 ln 4 −
x+1

Å

ã
x2
− x + ln |x + 1|

2

0

3
0

3
= 16 ln 2 − .
2

3

xf (x) dx.

Tính J =
0

uJ = x

Đặt

⇒

dvJ = f (x)dx

duJ = dx

3

J=

.

vJ = f (x)
3

xf (x) dx = xf

(x)|30

0
3

−

3

f (x) dx = 3 −
0

f (x) dx.
0

[2x ln(x + 1) + xf (x)] dx = 0

Mà
0

3

3
⇒ I + J = 0 ⇒ 16 ln 2 − + 3 −
2

3

f (x)dx = 0 ⇒
0

Suy ra

a=3

f (x) dx = 16 ln 2 +

3 + 32 ln 2
3
=
.
2
2

0

. Vậy a + b = 35.

b = 32
Chọn đáp án A
Câu 31. Cho f (x), g(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên R, k ∈ R. Trong các khẳng định

dưới đây, khẳng định nào sai?
A.

[f (x) − g(x)] dx =

C.

kf (x)dx = k

f (x)dx −

g(x)dx. B.

f (x)dx.

D.

f (x)dx = f (x) + C.
[f (x) + g(x)] dx =

f (x)dx +

g(x)dx.

Lời giải.
Khẳng định A, B, D đúng theo tính chất của nguyên hàm.
Khẳng định C chỉ đúng khi k = 0.
Chọn đáp án C
Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x (1 + 3x3 ) là
Å

ã
Å
ã
Å
ã
Å
ã
3 2
6x3
3 4
3 3
2
2
2
A. x 1 + x + C. B. x 1 +
+ C. C. 2x x + x + C. D. x x + x + C.
2
5
4
4
Lời giải.
Å
ã
6x5
6x3
3
4
2
2
Ta có f (x) dx = 2x (1 + 3x ) dx = (2x + 6x ) dx = x +

+C =x 1+
+ C.
5
5
Chọn đáp án B
1

Câu 33. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn

11

[f (x) − 3g(x)] dx = 4

f (x) dx = 3,
0

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

2

0

/>

/>2

2

[2f (x) + g(x)] dx = 8. Tính I =

và

Chương 3-Giải tích 12

0

f (x) dx.
1

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 3.

D. I = 0.

Lời giải.
2

Đặt a =

2

f (x) dx, b =
0

g(x) dx.
0

a − 3b = 4

Theo giả thiết, ta có

a=4

⇔

2a + b = 8
2

1

f (x) dx =

Ta có

b = 0.

0

2

f (x) dx ⇒

f (x) dx +
0

2

1

2

f (x) dx −

f (x) dx =
1

1

0

f (x) dx = 4 − 3 = 1.
0

Chọn đáp án A
Câu 34. Hai người A và B ở cách nhau 180(m) trên đoạn đường thẳng và cùng chuyển động theo
một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian , A chuyển động với vận tốc v1 (t) = 6t + 5(m/s), B
chuyển động với vận tốc v2 (t) = 2at − 3(m/s) (a là hằng số ), trong đó t (giây) là khoảng thời gian
tính từ lúc A và B bắt đầu chuyển động . Biết rằng lúc A đuổi theo B và sao 10(giây) thì đuổi kịp.
Hỏi sau 20(giây), A cách B bao nhiêu mét?
A. 320(m).

B. 720(m).

C. 360(m).

D. 380(m).

Lời giải.
10
10

(6t + 5) dt = 3t2 + 5t

Quảng đường A đi được trong 10 (giây) :

= 350(m).
0

0
10
10

(2at − 3) dt = at2 − 3t

Quảng đường B đi được trong 10 (giây) :

= 100a − 30(m).
0

0

Vì lúc đầu A đuổi theo B và sau 10 (giây) thì đuổi kịp nên ta có:
(100a − 30) + 180 = 350 ⇔ a = 2 ⇒ v2 (t) = 4t − 3(m/s)
20

(6t + 5) dt = 3t2 + 5t

Sau 20(giây) quãng đường A đi được :

20

= 1300(m) .
0

0
20

(4t − 3) dt = 2t2 − 3t

Sau 20(giây) quãng đường B đi được :

20

= 740(m).
0

0

Khoảng cách giữa A và B sau 20 (giây) 1300 − 740 − 180 = 380(m) .
Chọn đáp án D
1

Câu 35. Cho

9x + 3m
dx = m2 − 1. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m
9x + 3

0

A. P = 12.

1
B. P = .
2

C. P = 16.

D. P = 24.

Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

12

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Từ giả thiết ta có
1

9x + 3m
dx = m2 − 1
9x + 3

0
1

⇔

1

9x
dx + m
9x + 3

3
dx = m2 − 1
+3

9x
0

0
1

1

3
dx −
x
9 +3

⇔ m2 − m
0

9x
dx − 1 = 0
9x + 3

0

Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
a = 1
1

b = −

9x

3
dx
+3

0
1

c = −

9x
dx − 1
9x + 3

0

Áp dụng hệ thức Viet, tổng các giá trị của m là:
1

b
m1 + m2 = − =
a

9x

1
3
dx =
+3
2

0

(dùng máy tính bỏ túi tính tích phân xác định)
Chọn đáp án B
Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + cos x là
1
1
A. 2x − sin x + C.
B. x3 + sin x + C.
C. x3 − sin x + C.
3
3
Lời giải.
1
Ta có: (x2 + cos x)dx = x3 + sin x + C.

3
Chọn đáp án B
2

5

1

A. −2.

5

f (x) dx = −1 thì

f (x) dx = 5,

Câu 37. Nếu

D. x3 + sin x + C.

2

f (x) dx bằng
1

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải.
5

2

f (x) dx =

Ta có
1

5

f (x) dx +
1

f (x) dx = 5 + (−1) = 4.
2

Chọn đáp án D
Câu 38. Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 được
tính theo công thức
0

2

x3 − 4x dx.

A. S =
−2

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

x3 − 4x dx.

B. S =
0

13

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

2

2

x3 − 4x dx.

C. S =

x3 − 4x dx.

D. S =

−2

−2

Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm của y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 là

x=2

x3 − 2x − 1 = 2x − 1 ⇔ x3 − 4x = 0 ⇔ 
x = 0 .
x = −2
Vậy diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x3 − 2x − 1 và y = 2x − 1 được tính
2

x3 − 4x dx.

theo công thức S =
−2

Chọn đáp án D
Câu 39 (2D3B1-3). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1)ex là
A. (2x − 1)ex + C.
B. (2x + 3)ex + C.
C. 2xex + C.

D. (2x − 2)ex + C.

Lời giải.

u = 2x + 1

Đặt

(2x + 1)ex dx.

f (x) dx =

Ta có

dv = ex dx

⇒

du = 2 dx
v = ex .

(2x + 1)ex dx = (2x + 1)ex −

⇒

2ex dx = (2x + 1)ex − 2ex + C = (2x − 1)ex + C.

Chọn đáp án A
x2 y 2
+
= 1 quay quanh trục Ox.
4
1
8π
8π 2
C.
.

D.
.
3
3

Câu 40. Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E) :

10π
64π
.
B.
.
9
3
Lời giải.
(E) có a2 = 4 ⇒ a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ A (−2; 0) và (2; 0).
x2 y 2
x2
Vì
+
= 1 ⇒ y2 = 1 − .
4
1
4
2
2 Å
ã
x2
8π
2

Do đó thể tích khối tròn xoay là VOx = π y dx = π
1−
dx =
.
4
3
A.

−2

−2

8π
Vậy VOx =
(đvtt).
3
Chọn đáp án C
1

Câu 41. Cho

x2

1
dx = a ln 2 + b ln 3, với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó a + b bằng
+ 3x + 2

0

A. 0.

B. 2.

D. −1.

C. 1.

Lời giải.
1

1

1
dx =
2
x + 3x + 2

Xét
0

1

Å

1
dx =
(x + 1)(x + 2)
0

0

1
1
−
x+1 x+2

ã

Å

x+1
dx = ln
x+2

ã

1

= 2 ln 2 −

0

ln 3.
Vậy a = 2, b = −1 ⇒ a + b = 1.
Chọn đáp án C
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

14

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Câu 42.
Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu theo hình giới hạn bởi một
√
đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính 2 mét (phần tô trong hình

y
2

vẽ). Biết rằng: để trồng mỗi m2 hoa cần ít nhất là 250000 đồng, số tiền tối

1

thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần bằng
A. 893000 đồng. B. 476000 đồng. C. 809000 đồng. D. 559000 đồng.

−1 O

1

x

−1
Lời giải.
Nửa đường tròn (T ) có phương trình y =

√

2 − x2 .

Xét parabol (P ) có trục đối xứng Oy nên có phương trình dạng: y = ax2 + c.
(P ) cắt Oy tại điểm (0; −1) nên ta có: c = −1.
(P ) cắt (T ) tại điểm (1; 1) thuộc (T ) nên ta được: a + c = 1 ⇒ a = 2.
Phương trình của (P ) là: y = 2x2 − 1.
Diện tích miền phẳng D (tô màu trong hình) là:
1

S=

Ä√

1

ä

2 − x2 − 2x2 + 1 dx =
−1

−1

1

Å
ã
2 3
−2x + 1 dx = − x + x
3

1

2

I1 =
−1

1

√

−1

1

√
2 − x2 dx +

−2x2 + 1 dx.
−1

2
= .
3

√

√
π π
2 sin t, t ∈ − ;

thì dx = 2 cost dt.
2 2
−1
π
π
Đổi cận: x = −1 thì t = − , với x = 1 thì t = , ta được:
4
4

Xét I2 =

2 − x2 dx, đặt x =

π/4

√
2 − 2sin2 t 2 cos tdt =

I2 =
−π/4

π/4

2cos2 tdt
−π/4

π/4

ã
Å

1
(1 + cos 2t) dt = t + sin 2t
2

=
−π/4

π/4

=1+
−π/4

π
.
2

5 π 2
+ m.
3 2
Å
ã
5 π
Số tiền trồng hoa tối thiểu là: 250000
+
≈ 809365 đồng.
3 2

Suy ra S = I1 + I2 =

x3

Câu 43. Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn f (x) = x. ln
x.f (x) − f (x)
Å

5

và f (1) = 0. Tính tích phân I =

f (x) dx.
1

A. 12 ln 13 − 13.

B. 13 ln 13 − 12.

C. 12 ln 13 + 13.

D. 13 ln 13 + 12.

Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

15

/>
ã


/>
Chương 3-Giải tích 12

Từ giả thiết và
ã
x3
f (x)
x3
f (x) = x. ln
⇔
= ln
.
x.f (x) − f (x)
x
x.f (x) − f (x)
f (x)
x.f (x) − f (x) f (x)
x3
⇔ e x =
⇔
.e x = x.
x.f (x) − f (x)
x2
ò
ï
f (x)
f (x)
.e x = x.
⇔
(1)
x
Å

Lấy nguyên hàm hai vế của (1) suy ra e

f (x)
x

=

x2
+ C.
2

f (x)
1
x2 + 1
x2 + 1
Do f (1) = 0 ⇒ C = , nên e x =
⇒ f (x) = x ln
với x ∈ (0; +∞).
2
2
2
5
5
x2 + 1
I = f (x) dx = x. ln
dx
(2).
2

1

1

x2 + 1
2x
x2 + 1
Đặt u = ln
⇒ du = 2
dx; dv = x dx, chọn v =
.
2
x +1
2
Theo công thức tích phân từng phần, ta được:
Å
I=

x2 + 1
x2 + 1
. ln
2
2

ã

5

5

x dx = 13 ln 13 −

−
1

x2
2

1

5

= 13 ln 13 − 12.
1

Chọn đáp án B
Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x .
A.

e2x dx = 2e2x + C.

C.

e2x dx =

e2x+1
+ C.
2x + 1

B.

e2x dx = e2x + C.

D.

1
e2x dx = e2x + C.
2

Lời giải.
e2x dx =

Ta có

1
2

1
e2x d(2x) = e2x + C.
2

Chọn đáp án D
Câu 45. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) được tính theo công
thức
b

A. S =

b

f (x)dx .

B. S =

a

b

f (x)dx.

C. S = π

a

b
2

f (x)dx.
a

|f (x)| dx.

D. S =
a

Lời giải.
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) được tính theo công thức
b

|f (x)| dx.

S=
a

Chọn đáp án D
5

dx
.
1 − 2x

Câu 46. Tính tích phân I =
1

A. I = − ln 9.

C. I = − ln 3.

B. I = ln 9.

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

16

D. I = ln 3.

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Lời giải.
5

5

d(1 − 2x)
1
= − ln |1 − 2x|
1 − 2x
2

dx
1
=−
1 − 2x
2

Ta có I =
1

5

= − ln 3.
1

1

Chọn đáp án C
Câu 47. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường
thẳng x = −1,x = 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm.
17
15
cm2 .
B.
cm2 .
C. 17 cm2 .
D. 15 cm2 .
A.
4
4
Lời giải.
2

Ta có S =

0

x

3

dx =

−1

2

x
−1

3

dx +

0

x

3

dx = −

x4
x dx = −
4

0

3

x dx +

−1

0

Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên S =

2
3

0

−1

x4
+
4

2

=
0

17
.
4

17 2
· 2 cm2 = 17 cm2 .
4

Chọn đáp án C
e

Câu 48. Biết

√
ln x
√ dx = a e + b với a,b ∈ Z. Tính P = ab.
x

1

A. P = 4.
B. P = −8.
Lời giải.



 du = dx
 u = ln x
x
Đặt
dx ⇒ 
√ , ta có

 dv = √
v=2 x
x
e

Từ đó suy ra

e

1

√
ln x
√ dx = 2 x ln x − 2
x
e

1

a = −2

D. P = −4.

C. P = 8.

1
√
√
dx
√ = 2 x ln x − 4 x
x
e

1

√
= −2 e + 4.

e

1

. Vậy P = ab = −8.

b=4
Chọn đáp án B
Câu 49.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h)
có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1; 1) và trục đối xứng song

v
10

song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật đi được trong 4
giờ kể từ lúc xuất phát.
40
46
A. s = (km).
B. s = 8(km).
C. s = (km).
D. s = 6(km).
3
3
2
1
O

t
1

4

Lời giải.
Vì đồ thị của hàm số v(t) có dạng là một phần của parabol nên v(t) = at2 + bt + c (a = 0, t ≥ 0).
Đồ thị hàm số v(t) đi qua các điểm (0; 2), (1; 1), (4; 10) nên ta có hệ phương trình




c
=
2
a=1




⇔ b = −2
a+b+c=1






16a + 4b + c = 10
c = 2.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

17

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Do đó v(t) = t2 − 2t + 2.
4

Vậy quãng đường mà vật đi được là s =

4

(t2 − 2t + 2) dt =

v(t) dt =
0

40
(km).
3

0

Chọn đáp án A

Câu 50.
Cho hàm số y = f (x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
2xf (x2 − 1) dx = −3. Phương

xf (x − 1) dx = 7 và

Biết

y

2

4
1

1

2

trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ
x = 3 là

1
5
B. y = x − .
2
2
D. y = 3x − 10.

A. y = x − 4.
C. y = 2x − 7.

x
O

Lời giải.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra f (0) = 2 và f (0) = 0.
2

2xf (x2 − 1) dx. Đặt u = x2 − 1 ⇒ du = 2x dx.

Xét tích phân
1

Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0; x = 2 ⇒ u = 3.
2

3
3

2xf (x2 − 1) dx =

Do đó

= f (3) − f (0) ⇒ f (3) − f (0) = −3 ⇔ f (3) = −1.

f (u) du = f (u)
0

1

0
4

xf (x − 1) dx. Đặt u = x − 1 ⇒ x = u + 1 ⇒ dx = du.

Xét tích phân
1

Đổi cận x = 1 ⇒ u = 0; x = 4 ⇒ u = 3.

4

3

3

3
3

⇒

xf (x − 1) dx =

(u + 1) df (u) = (u + 1)f (x) −

(u + 1)f (u) du =

f (u) du

0
1

0

0

0
3

= 4f (3) − f (0) − f (u)

= 4f (3) − f (0) − f (3) + f (0).
0

Do đó 4f (3) − f (0) − f (3) + f (0) = 7 ⇔ 4f (3) = 7 + f (3) − f (0) = 4 ⇔ f (3) = 1.
Như vậy, f (3) = −1, f (3) = 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành
độ x = 3 là y = x − 4.
Chọn đáp án A

Câu 51.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

18

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Đồ thị trong hình bên là của hàm số y = f (x), S là diện tích hình

y

phẳng (phần tô đậm trong hình). Chọn khẳng định đúng.

0

1

A. S =

f (x) dx +
−2
1

f (x) dx.
0

−2

B. S =

f (x) dx.

O

−2
−2

C. S =

1

x

1

f (x) dx +
0

f (x) dx.
0

0

1

f (x) dx −

D. S =
−2

f (x) dx.
0

Lời giải.
Từ đồ thị ta có f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−2; 0] và f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [0; 1].
1

1

|f (x)| dx =

Do đó S =
−2

1

|f (x)| dx +
−2

0

|f (x)| dx =

1

f (x) dx −
−2

0

f (x) dx.
0

Chọn đáp án D
3

Câu 52. Cho hàm số f (x) biết f (0) = 1, f (x) liên tục trên [0; 3] và

f (x) dx = 9. Tính f (3).
0

A. f (3) = 9.

B. f (3) = 10.

C. f (3) = 8.

D. f (3) = 7.

Lời giải.
3

f (x) dx = 9 ⇔ f (x)|30 = 9 ⇔ f (3) − f (0) = 9 ⇔ f (3) = 9 + f (0) = 9 + 1 = 10.

Ta có
0

Vậy f (3) = 10.
Chọn đáp án B
Câu 53. Cho hàm số f (x) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0; 2] và thỏa mãn 2[f (x)]2 −
f (x) · f (x) + [f (x)]2 = 0 với ∀x ∈ [0; 2]. Biết f (0) = 1; f (2) = e6 .
0

Tích phân I =

(2x + 1)f (x) dx bằng
−2

A. 1 + e.

B. 1 − e2 .

C. 1 − e.

D. 1 − e−1 .

Lời giải.
2

2

2[f (x)]2 − f (x) · f (x) + [f (x)] = 0 ⇔ f (x) · f (x) − [f (x)] = 2[f (x)]2
Å
ã
f (x) · f (x) − [f (x)]2
f (x)
⇔
=2⇔
=2
[f (x)]2
f (x)
Å
ã
f (x)
f (x)
⇔
dx = 2dx ⇔
= 2x + C1
f (x)
f (x)
f (x)
⇔
dx = 2x + C1 ⇔ ln |f (x)| = x2 + C1 x + C2

f (x)
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

19

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

Ta có
f (0)

= 1 ⇒ ln 1 = C2 ⇒ C2 = 0

f (2)

= e6 ⇒ 6 = 4 + 2C1 ⇒ C1 = 1
2 +x

⇒ ln |f (x)| = x2 + x ⇒ f (x) = ex
0

⇒

I

(2x + 1)ex

=

2 +x

dx = ex

2 +x

0
−2

= 1 − e2

−2

Chọn đáp án B
Câu 54. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e−x + cos x. Tìm khẳng định đúng.
A. F (x) = e−x + sin x + 2019.
C. F (x) = − e−x + sin x + 2019.

B. F (x) = e−x + cos x + 2019.
D. F (x) = − e−x − cos x + 2019.

Lời giải.
Áp dụng công thức

( e−x + cos x) dx = − e−x + sin x + C, với C là hằng số

Cho C = 2019 ta có F (x) = − e−x + sin x + 2019.
Chọn đáp án C
√

10x2 − 7x + 2
√
Câu 55. Nếu f (x) = (ax2 + bx + c) 2x − 1 là một nguyên hàm của hàm số g (x) =
2x − 1
Å
ã
1
trên khoảng
; +∞ thì a + b + c có giá trị bằng
2
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
Lời giải.
√
1
(2ax + b) (2x − 1) + (ax2 + bx + c)
2
√
√
Ta có: g (x) = f (x) = (2ax + b) 2x − 1+
(ax + bx + c) =
.
2x − 1
2x − 1
5ax2 + (3b − 2a) x + c − b
√
=
.

2x − 1
10x2 − 7x + 2
√
nên
Theo bài ra: g (x) =
2x − 1




5a = 10
a=2




2
2
5ax + (3b − 2a) x + c − b
10x − 7x + 2
√
√
=
⇒ 3b − 2a = −7 ⇔ b = −1


2x − 1
2x − 1





c = 1.
c−b=2
Vậy a + b + c = 2 .
Chọn đáp án C
3

Câu 56. Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên [1; 3] và thỏa mãn

[f (x) + 3g(x)] dx = 10;
1

3

3

[2f (x) − g(x)] dx = 6. Tính tích phân I =
1

[f (x) + g(x)] dx bằng
1

A. I = 6.

B. I = 7.

C. I = 8.

D. I = 9.

Lời giải.



3
3
3
3















[f (x) + 3g(x)] dx = 10
f (x) dx + 3 g(x) dx = 10
f (x) dx = 4










1
1
1
1
Ta có
⇔
⇔
3
3
3
3
















[2f (x) − g(x)] dx = 6
2 f (x) dx − g(x) dx = 6
g(x) dx = 2.









1

1

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

1

20

1

/>

/>3

Vậy I =

3

[f (x) + g(x)] dx =
1

Chương 3-Giải tích 12

3

f (x) dx +
1

g(x) dx = 4 + 2 = 6.
1

Chọn đáp án A
Câu 57. Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần
lượt là 2 dm và 4 dm. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là
√
đồ thị hàm số y = x − 1. Tính thể tích bình cắm hoa đó.
14π
15π
15π
dm2 .
C.
dm3 .
D.
dm3 .

A. 8π dm2 .
B.
2
3
2
Lời giải.
y

2
1
O

1

2

5

x

Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm nên đáy và miệng có bán kính
đáy lần lượt là 1 dm và 2 dm.
√
√
Ta có x − 1 = 1 ⇔ x = 2 và x − 1 = 2 ⇔ x = 5.
5

Vậy thể tích bình hoa là S = π

√

15π
( x − 1)2 dx =
dm3 .
2

2

Chọn đáp án D
Câu 58. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là
x4 x3
A.
+
+ C.
B. x4 + x3 .
C. 3x2 + 2x.
4
3
Lời giải.
x4 x3
+
+ C.
x3 + x2 dx =
4
3
Chọn đáp án A

D.

1 4 1 3
x + x.

4
4

0

ex+1 dx bằng

Câu 59. Giá trị của
−1

A. 1 − e.

B. e − 1.

C. −e.

D. e.

Lời giải.
0

0

ex+1 dx = ex+1

Ta có
−1

= e1 − e0 = e − 1.
−1

Chọn đáp án B
Câu 60. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) =

1
trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e+1) = 4
x−1

. Tìm F (x) .
A. F (x) = 2 ln(x − 1) + 2.
C. F (x) = 4 ln(x − 1).

B. F (x) = ln(x − 1) + 3.
D. F (x) = ln(x − 1) − 3.

Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

21

/>

/>
Chương 3-Giải tích 12

1
dx = ln(x − 1) + C.
x−1
F (e + 1) = 4 ⇒ ln e + C = 4 ⇒ C = 3.

Ta có F (x) =

Vậy F (x) = ln(x − 1) + 3 .
Chọn đáp án B
Câu 61. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x − x2 , y = 0. Quay (H) quanh trục
hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là
2

2
2

(2x − x )dx.

A.

(2x − x ) dx.

B. π

0

2
2 2

(2x − x ) dx.

C.

0

2
2 2

0

(2x − x2 )dx.

D. π
0

Lời giải.
Ta có 2x − x2 = 0 ⇔

x=0

.
x=2
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có
2

(2x − x2 )2 dx

V =π
0

Chọn đáp án B
2

2

g(x)dx = −1. Giá trị của

f (x)dx = 3 và

Câu 62. Cho
0

2

0

A. 12.

[f (x) − 5g(x) + x] dx bằng
0

B. 0.

C. 8.

D. 10.

Lời giải.
2

2

2

[f (x) − 5g(x) + x] dx =

Ta có
0

f (x)dx − 5
0

2

1
xdx = 3 − 5 · (−1) + (22 − 0) = 10.
2

g(x)dx +
0

0

Chọn đáp án D
Câu 63. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là
A. x3 + 3(x sin x + cos x) + C.
C. x3 + 3(x sin x − cos x) + C.

B. x3 − 3(x sin x + cos x) + C.
D. x3 − 3(x sin x − cos x) + C.

Lời giải.
Ta có I =

3x(x + cos x)dx =

Tính J =

x cos xdx. Đặt

3x2 + 3x cos x dx = x3 + 3

x=u

dx = du

⇒

cos xdx = dv
sin xdx = x sin x + cos x + C.

⇒ J = x sin x −

sin x = v

x cos xdx.

.

Vậy I = x3 + 3(x sin x + cos x) + C.
Chọn đáp án A
4

Câu 64. Cho

x2

5x − 8
dx = a ln 3 + b ln 2 + c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị 2a−3b+c
− 3x + 2

3

bằng
A. 12.

B. 6.

C. 1.

D. 64.

Lời giải.
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

22

/>

/>4

Chương 3-Giải tích 12

4

5x − 8
dx =
2
x − 3x + 2

Å

ã
4
3
2
Ta có
+
dx = 3 ln |x − 1| + 2 ln |x − 2|
x−1 x−2
3
3
3


 a=3
= 3 ln 3 − 3 ln 2 + 2 ln 2 = − ln 2 + 3 ln 3 ⇒
b = −1 ⇒ a − 3b + c = 6 .


c=0

4
3

Chọn đáp án D
Câu 65.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) trên [−3; 2] như hình bên

y

(phần cong của đồ thị là một phần của parabol y = ax2 +bx+c).
Biết f (−3) = 0, giá trị của f (−1) + f (1) bằng
31
35
9
23
.
B.
.
C.
.
D. .
A.
6
6
3
2

2
1
x
−3

−2

−1

O

1

2

Lời giải.
Parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh I(−2; 1) và đi qua điểm (−3; 0) nên ta có


b



a = −1
−
=
−2


 2a

2
4a − 2b + c = 1 ⇔ b = −4 ⇒ y = −x − 4x − 3.







c = −3
9a − 3b + c = 0
Do f (−3) = 0 nên
f (−1) + f (1) = [f (1) − f (0)] + [f (0) − f (−1)] + 2 [f (−1) − f (3)]
1

=

−1

0

f (x) dx +

f (x) dx + 2
−1

0

(−x2 − 4x − 3) dx

−3

−1

= S1 + S2 + 2

(−x2 − 4x − 3) dx

−3

3 8
31
=1+ + = .
2 3
6
Với S1 , S2 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và hai
đường thẳng x = −1, x = 0 và x = 0, x = 1.
Chọn đáp án B
π
4

ln(sin x + 2 cos x)
dx = a ln 3 + b ln 2 + cπ với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị
cos2 x

Câu 66. Cho I =
0

của abc bằng
15
A.
.
8
Lời giải.

B.

5
.
8

Đặt u = ln(sin x + 2 cos x) ⇒ du =

C.

5
.
4

D.

17
.
8

cos x − 2 sin x
dx.
sin x + 2 cos x

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

23

/>

/>

dv =

Chương 3-Giải tích 12

dx
sin x + 2 cos x
, chọn v = tan x + 2 =
. Khi đó
2
cos x
cos x

I = (tan x + 2) · ln(sin x + 2 cos x)

π
4

π
4

Å
ã
sin x
1−2
dx
cos x

−

0

0

√
3 2
= 3 ln
− 2 ln 2 − (x + 2 ln(cos x))
2
√
√
3 2
π
2
= 3 ln
− 2 ln 2 − − 2 ln
2
4
2
5
1
= 3 ln 3 − ln 2 − π.
2
4

π
4

0

15
.

8
Chọn đáp án A
Vậy abc =

Câu 67. Cho hai hàm số f (x) và f (−x) liên tục trên R và thỏa mãn 2f (x) + 3f (−x) =

1
.
4 + x2

2

Tính I =

f (x) dx.
−2

A. I =

π
.
20

B. I =

π
.
10

C. I = −

π
.
20

D. I = −

π
.
10

Lời giải.
Đặt t = −x ⇒ dx = −dt.
Đổi cận x = −2 ⇒ t = 2; x = 2 ⇒ t = −2, ta có
−2

I=−

2

f (−x) dx.

f (−t) dt =
−2

2

Theo bài ra ta có
2

1
2f (x) + 3f (−x) =
⇔2
4 + x2

2

2

f (x) dx + 3

−2

1
dx
4 + x2

f (−x) dx =

−2

−2

2

1
dx
4 + x2

⇔ 3I + 2I =

−2
2

⇔I=

1
5

1
dx.
4 + x2
−2

1
Đặt x = 2 tan u ta có dx = 2 2 du = 2 (1 + tan2 u) du.
cos u
π
π
Đổi cận x = −2 ⇒ u = − ; x = 2 ⇒ u = , ta có
4
4
π
4

1
I=
5

2

π
4

2 (1 + u )
1
du =
2
4 + 4 tan u
10
− π4

1
du =
u
10
− π4

π
4

=
− π4

1 π π
+
10 4
4

=

π
.
20

Chọn đáp án A
Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

24

/>

/>2

4

f (x) dx = 2. Hãy tính

Câu 68. Cho
1

Chương 3-Giải tích 12

√
f ( x)
√
dx.
x

1

A. I = 4.

1
C. I = .
2

B. I = 1.

D. I = 2.

Lời giải.
√
1
1
Đặt t = x ⇒ dt = √ dx ⇒ √ dx = 2dt.
2 x
x
Đổi cận x = 1 ⇔ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2, ta có
2

2

I=2

f (x) dx = 2 · 2 = 4.

f (t) dt = 2
1

1

Chọn đáp án A
−2

5

f (x) dx = 8 và

Câu 69. Cho
−2

5

−2

5

A. I = 13.
Lời giải.

[f (x) − 4g (x) − 1] dx.

g (x) dx = 3. Tính I =

C. I = −11.

B. I = 27.

D. I = 3.

Theo tính chất của tích phân ta có
5

5

5

5
5

[f (x) − 4g (x) − 1] dx =

I=
−2

f (x) dx − 4
−2

g (x) dx −

−2

dx = 8 · 4 · (−3) − x

−2

= 13.

−2

Chọn đáp án A
2

Câu 70. Tích phân

x2

x
dx bằng
+3

0

1
7
A. log .
2
3
Lời giải.

7
B. ln .
3

C.

1 3
ln .
2 7

D.

1 7
ln .
2 3

1
Đặt u = x2 + 3 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = du.
2
Đổi cận x = 0 ⇒ u = 3; x = 2 ⇒ u = 7, ta có
7

1
I=
2

1
1
du = ln |u|
u
2
3

7

=
3

1
1 7

1
ln 7 − ln 3 = ln .
2
2
2 3

Chọn đáp án D
Câu 71. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A.

2ex dx = 2 (ex + C).

B.

x3 dx =

x4 + C
.
4

1
dx = ln x + C.
D.
sin x dx = − cos x + C.
x
Lời giải.
1
Ta có
dx = ln |x| + C nên mệnh đề ở phương án C sai.
x

Chọn đáp án C
C.

Câu 72. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 52x ?
A.

52x dx = 2.52x ln 5 + C.

Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em

B.
25

52x dx = 2.

52x
+ C.
ln 5

/>