Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao - ĐH Phạm Văn Đồng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.33 MB, 60 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ
*******
ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO
BÀI GIẢNG
SỨC BỀN VẬT LIỆU 1
NÂNG CAO
(Dùng cho sinh viên cao đẳng)
Quảng Ngãi, 12/2016
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
2
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
MỤC LỤC
Mục lục …………………..……………………………….......……..…………. 3
Lời nói đầu …………………..……………..…………….......……..…………. 4
Chƣơng 6. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN
6.1. Khái niệm ...........…………..........................................................……. 5
6.2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi ………...……..…. 6
6.3. Phương pháp tích phân không định hạn ……………..……...…..……. 7
6.4. Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) ….….......…… 11
6.5. Bài toán siêu tĩnh của thanh chịu uốn ………..………....……...…… 16
Câu hỏi ôn tập…………………………………………………………..……….. 18
Trắc nghiệm ………...…………………………………...……………..……….. 18
Chƣơng 7. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
7.1. Khái niệm …………….……………...………..……..……………… 20
7.2. Thanh chịu uốn xiên ………….………...…………..……......……… 20
7.3. Thanh chịu uốn và kéo - nén ……….......…………………....……… 35
7.4. Thanh chịu kéo - nén lệch tâm ….......…....……………..…..….…… 44
7.5. Thanh chịu uốn và xoắn ..………………..……..…….……….…….. 50
7.6. Thanh chịu lực tổng quát .......…………......……..……..….……….. 56
Câu hỏi ôn tập…………………………………………………………..……….. 57
Trắc nghiệm ………...………………………………...………………..……….. 57
Tài liệu tham khảo ………………………........……………..…………..…… 60
3
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
LỜI NÓI ĐẦU
(Cho lần điều chỉnh, bổ sung lần nhất)
Sức bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm
thuộc khối kiến thức kỹ thuật cơ sở được giảng dạy trong
các ngành kỹ thuật ở các trường đại học, cao đẳng. Mục
đích của môn học là cung cấp những kiến thức cần thiết về
cơ học vật rắn biến dạng nhằm giải quyết các vấn đề liên
quan từ thiết kế đến chế tạo, và hỗ trợ cho việc nghiên cứu
các môn học chuyên ngành khác trong lĩnh vực cơ khí và
xây dựng.
Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao được biên
soạn kế tiếp sau tài liệu Bài giảng Sức bền vật liệu 1 dành
cho sinh viên bậc cao đẳng ngành Cơ khí đào tạo theo học
chế tín chỉ của Trường đại học Phạm Văn Đồng. Bài giảng
gồm 2 chương. Trong mỗi chương đều có phần Câu hỏi ôn
tập và Trắc nghiệm giúp cho học viên củng cố các kiến
thức đã học. Đi kèm với Bài giảng này, chúng tôi có biên
soạn tài liệu Bài tập Sức bền vật liệu 1 nâng cao.
Bài giảng này được biên soạn nhằm giúp sinh viên cao
đẳng học chế tín chỉ có thêm tài liệu tham khảo. Tuy có điều
chỉnh và bổ sung nhưng chắc chắn không tránh khỏi những
sai sót, rất mong được sự đóng góp của bạn đọc để tài liệu
ngày càng được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành
cảm ơn.
Quảng Ngãi, tháng 12/2016
Người biên soạn
Mobil:
090 531 1727
Email:
4
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Chương 6.
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN
A. MỤC TIÊU
- Thiết lập phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi.
- Xác định được chuyển vị (độ võng, góc xoay) của dầm chịu uốn bằng các
phương pháp: tích phân không định hạn và đồ toán (tải trọng giả tạo).
B. NỘI DUNG
6.1. KHÁI NIỆM
6.1.1. Đƣờng đàn hồi, độ võng, góc xoay
- Đường đàn hồi: Trong uốn phẳng, dầm chịu tác dụng của ngoại lực trong
mặt phẳng quán tính chính trung tâm và trục của dầm bị uốn cong (H. 6.1).
Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi. Bán kính cong
của dầm tại một vị trí được xác định:
1 Mx
=
ρ EJ x
(6.1)
Z
y
Đường đàn
hồi
P
z
y
y dy
dy
dz
dz
b)
a)
Hình 6.1
- Chuyển vị: Chuyển vị của tiết diện được đặc trưng bởi chuyển vị thẳng của
trọng tâm và chuyển vị xoay của mặt phẳng tiết diện.
+ Chuyển vị thẳng: Chuyển vị thẳng có thể phân làm hai thành phần:
chuyển vị ngang u và chuyển vị đứng v. Với giả thiết biến dạng bé, nên thành
phần chuyển vị ngang u là số vô cùng bé bậc hai so với chuyển vị đứng v nên có
thể bỏ qua. Do đó chuyển vị thẳng được cho là chuyển vị đứng v và gọi là độ
võng của dầm:
y = y(z) = v(z).
5
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
+ Chuyển vị xoay: Chuyển vị xoay của tiết diện một góc so với vị trí ban
đầu gọi là góc xoay:
tan
dy
y' z
dz
Vì chuyển vị là bé (y << l) nên tan
dy
y' z .
dz
Vậy: Đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến
dạng.
6.1.2. Qui ƣớc dấu của độ võng và góc xoay
- Độ võng y > 0: nếu hướng theo chiều dương trục y, tức là hướng xuống
dưới.
- Góc xoay > 0: nếu quay trục z đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại
điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ, hay mặt cắt tại điểm khảo sát sau khi biến
dạng quay theo chiều kim đồng hồ.
6.1.3. Điều kiện cứng của dầm chịu uốn
Trong kỹ thuật, người ta khống chế độ võng lớn nhất của dầm ymax (điều
kiện cứng) theo công thức:
1
1
ymax
L 1000 100
ymax
1
1
.L
1000 100
(6.2)
Với L là chiều dài của dầm hoặc nhịp dầm.
6.2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GẦN ĐÚNG CỦA ĐƢỜNG ĐÀN HỒI
6.2.1. Phƣơng trình vi phân gần đúng
Theo hình học vi phân, ta có độ cong của hàm y(z) được xác định:
1
y"
3
2 2
1 y '
(6.3)
So sánh (6.1) và (6.3) ta được:
y"
(1+
3
2 2
y'
)
=±
Mx
EJ x
Khảo sát dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như hình vẽ (H. 6.2) ta thấy
y” và M x luôn luôn ngược dấu nên:
6
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
y"
3
2 2
(1+
=-
)
y'
Mx
EJ x
Vì dầm có chuyển vị bé nên: y ' 2 << 1, ta có phương trình vi phân gần đúng
của đuờng đàn hồi:
y' '
Mx
EJ x
(6.4)
O
z
Mx
y
Mx
Mx 0
y'' < 0
Mx 0
y' ' 0
Hình 6.2
6.2.2. Các phƣơng pháp xác định độ võng và góc xoay
Có ba phương pháp cơ bản để xác định độ võng và góc xoay:
1) Phương pháp tích phân không định hạn
2) Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo)
3) Phương pháp diện tích momen.
Ta sẽ khảo sát hai phương pháp xác định thường dùng.
6.3. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN
6.3.1. Phƣơng trình góc xoay và phƣơng trình đƣờng đàn hồi
Bằng phương pháp tích phân không xác định, ta lấy tích phân liên tiếp biểu
thức (6.4), ta được:
- Phương trình góc xoay:
y'
Mx
EJ
.dz C
(6.5)
x
- Phương trình đường đàn hồi:
y
.dz dz Cz D
x
Mx
EJ
(6.6)
Trong đó: C và D là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện
biên (điều kiện về chuyển vị và góc xoay tại các đầu dầm).
7
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
6.3.2. Điều kiện biên của một số dầm đơn giản
a) Đầu ngàm của dầm console (H. 6.3a):
Chuyển vị và góc xoay đều bằng không.
yA A 0
b) Dầm đặt trên hai gối tựa (H. 6.3b):
- Tại các đầu khớp, gối đỡ của dầm đơn giản chuyển vị bằng không.
y A yB 0 .
- Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đàn hồi khác nhau:
chuyển vị và góc xoay của bên trái và bên phải bằng nhau.
yCtr yCph
Ctr Cph
A
C
A
yA A 0
yA 0
a)
b)
B
yB 0
Hình 6.3
Ví dụ 6.1: Cho dầm console như hình vẽ (H. 6.4). Biết: P, l, EJ = const.
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.
b) Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do của dầm.
Giải:
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.
P
z
l
P
MX
Hình 6.4
Momen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là:
8
l-z
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
M x + P (l – z) = 0
M x = - P (l – z)
Phương trình vi phân của đường đàn hồi:
y "= -
Mx
P
(l - z )
=
EJ x EJ x
Phương trình góc xoay:
y' z
Pl
P
.z
.z 2 C
EJ x
2 EJ x
Phương trình của đường đàn hồi:
y=
Pl 2
P 3
z z + Cx + D .
2 EJ x
6 EJ x
Điều kiện biên: tại O (z = 0): y’ = y = 0 C = D = 0.
Vậy: y' z
Và: y
Pl
P
.z
.z 2
EJ x
2 EJ x
P
z
.z 2 l .
2 EJ x 3
b) Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do của dầm.
Độ võng và góc xoay lớn nhất tại z = l:
A 0
y A ymax
Pl 3
3EJ x
A max
Pl 2
2 EJ x
nghĩa là mặt cắt ngang sau khi biến dạng xoay đi góc cùng chiều
kim đồng hồ và
y A 0 nghĩa là chuyển vị xuống phía dưới theo chiều dương
của trục y.
Ví dụ 6.2: Cho dầm đặt lên hai gối đỡ có chiều dài L chịu tác dụng của tải
trọng phân bố đều q như hình vẽ (H. 6.5a). Biết: EJ x = const.
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.
b) Tính giá trị độ võng và góc xoay lớn nhất.
Giải:
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm.
9
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Phản lực tại hai gối tựa: VA VB
qL
2
Momen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là:
qz 2
M x - V A .z +
=0
2
1
qLz qz 2
Mx
2
2
q
a)
B
A
1
VA
z
VB
L
Mx
b)
c)
y
d)
ymax
Hình 6.5
Phương trình vi phân của đường đàn hồi:
y "= -
Mx
q
( Lz - z 2 )
=EJ x
2 EJ x
Phương trình góc xoay:
q Lz 2 z 3
C
2 EJ x 2
3
(a)
q Lz 3 z 4
Cz D
2 EJ x 6
12
(b)
y'
Phương trình độ võng:
y
Điều kiện biên: tại A (z = 0): y(0) = 0 ; tại B (z = L): y(L) = 0
10
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Thay vào (a) và (b) ta được: C =
qL3
; D = 0.
24 EJ x
qL3
6z 2 4z3
Vậy: y '
1 2 3
24 EJ x
L
L
Và: y
qL3 z
24 EJ x
2z 2 z3
1
3.
L2
L
b) Tính giá trị độ võng và góc xoay lớn nhất.
L
- Độ võng lớn nhất tại giữa nhịp [vì y’ = 0]:
2
5qL4
L
ymax y
2 384 EJ x
- Góc xoay lớn nhất tại các gối tựa A (z = 0) và B (z = L) [vì tại đó có y” =
0]:
+ Tại A (z = 0): A max
qL3
24 EJ x
+ Tại B (z = L): B max
qL3
24 EJ x
* Nhận xét: Khi tính toán ta căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng mà
chia dầm thành nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn biểu thức của momen uốn nội
lực M x và độ cứng EJ x là các hàm liên tục. Nghĩa là ta phải lập phương trình
đường đàn hồi cho từng đoạn và ở mỗi đoạn ta phải xác định hai hằng số tích
phân.
Vậy nếu dầm chia ra làm n đoạn, thì ta phải lập n phương trình đường đàn
hồi và xác định 2n hằng số tích phân. Do vậy bài toán áp dụng phương pháp trên
có nhược điểm là có khối lượng tính toán nhiều vì phải chia làm nhiều đoạn nên
ít được áp dụng để giải.
6.4. PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN (PHƢƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ
TẠO)
6.4.1. Khái niệm
Ở chương 1, ta đã xác lập các liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng phân
bố q(z) là:
11
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
d 2 M x dQy
q( z )
dz 2
dz
(a)
Đồng thời, ta cũng có liên hệ giữa nội lực và chuyển vị như sau:
y"
M
d2y
x
2
dz
EJ x
(b)
Như ta đã biết ở Chương 1, vẽ biểu đồ nội lực khi biết q(z) ta có thể suy ra
biểu đồ Qy và M x mà không cần tích phân (a).
Dựa vào sự tương tự giữa hai liên hệ vi phân (a) và (b), ta có thể tìm được
y(z) và y’(z) mà không cần tích phân (b).
Ta tưởng tượng tác dụng lên một dầm nào đó (gọi là dầm giả tạo) một tải
trọng phân bố giả tạo nào đó có cường độ là:
qgt
Mx
EJ x
(6.7)
Nghĩa là qui luật phân bố của tải trọng giả tạo qgt giống như qui luật phân
bố của
Mx
.
EJ x
Do đó, gọi momen uốn trên dầm giả tạo là M gt , thì:
d 2 M gt
Mx
d2y
qgt
dz 2
EJ x
dz 2
Hay:
Hoặc:
y"
2
d 2 y d M gt
qgt
dz 2
dz 2
dy ' dQgt
dz
dz
6.4.2. Chọn dầm giả tạo
Ta phải chọn dầm giả tạo và các điều kiện liên kết sao cho có sự tương ứng
giữa độ võng y của dầm thực với momen uốn giả tạo M gt của dầm giả tạo cũng
như sự tương ứng giữa góc xoay của dầm thực với lực cắt giả tạo Qgt của dầm
giả tạo.
y (dầm thực) = M gt (dầm giả tạo)
(dầm thực) = Qgt (dầm giả tạo)
12
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Như vậy, thay vì tính tích phân phương trình vi phân (6.4) ta chỉ cần tính
lực cắt giả tạo Qgt để có góc xoay và tính momen uốn giả tạo M gt để có độ
võng y của dầm thực.
Ta có thể chọn các dầm giả tạo tương ứng với các dầm thực theo Bảng 6.1
Bảng 6.1. Dầm giả tạo tương ứng với dầm thực
Dầm thực
Dầm giả tạo
y = 0;
y = 0;
0
0
y = 0;
y 0;
=0
0
y 0;
y = 0;
y = 0;
0
0
0
y 0;
y = 0;
y = 0;
y 0;
0
0
0
0
M gt = 0;
M gt = 0;
Q gt 0
Q gt 0
M gt = 0;
M gt 0;
Q gt = 0
Q gt 0
M gt 0;
M gt = 0;
M gt = 0;
Q gt 0
Q gt 0
Q gt 0
M gt 0;
M gt = 0;
M gt = 0;
M gt 0;
Q gt 0
Q gt 0
Q gt 0
Q gt 0
6.4.3. Xác định tải trọng giả tạo qgt , lực cắt giả tạo Qgt và momen giả tạo M gt
6.4.3.1. Xác định tải trọng giả tạo qgt .
Ta có: qgt
Mx
, nghĩa là qgt và M x luôn luôn ngược dấu nhau, do đó:
EJ x
13
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
- Nếu M x > 0 thì qgt < 0: chiều qgt hướng xuống phía dưới.
- Nếu M x < 0 thì qgt > 0: chiều qgt hướng lên phía trên.
6.4.3.2. Xác định lực cắt giả tạo Qgt và momen giả tạo M gt
Ta có:
Qgt qgt
(6.8)
và
M gt qgt . zC .
(6.9)
Do đó ta cần xác định diện tích qgt và hoành độ trọng tâm diện tích zC
của hình giới hạn bởi đường cong. Bảng 6.2 cho ta các số liệu của một số hình
thường gặp.
Bảng 6.2. Diện tích và vị trí trọng tâm của một số hình thường gặp
q gt
Hình
h
Đường
C
bậc nhất
Vị trí
trọng tâm
zC
Lh
2
2L
3
Lh
3
3L
4
2Lh
3
5L
8
Diện tích
zC
Đường
h
L
C
bậc hai
zC
lõm
Đường
h
L
bậc hai
C
lồi
zC
Đường
h
L
Lh
n +1
C
bậc n
zC
L
14
n +1 L
n+2
Đường
h
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
bậc hai
C
2Lh
3
đối xứng
L
2
zC
L
6.4.4. Trình tự tìm góc xoay và độ võng
1) Vẽ biểu đồ M x : căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng.
2) Chọn dầm giả tạo tương ứng: theo Bảng 6.1.
3) Đặt tải trọng giả tạo qgt lên dầm giả tạo:
qgt
Mx
EJ x
4) Tính :
= Qgt qgt
5) Tính y:
y = M gt = qgt . zC
Ví dụ 6.3: Cho một dầm console chịu tải trọng phân bố đều q như hình vẽ
(H. 6.6a).
Tính độ võng và góc xoay tại đầu tự do của dầm. Biết dầm có độ cứng EJ x
là hằng số.
Giải:
- Vẽ biểu đồ momen uốn (H. 6.6b): M x là đường cong bậc hai lõm ( M x < 0
vì làm căng thớ trên).
- Chọn dầm giả tạo: như hình 6.6c.
- Đặt tải trọng giả tạo qgt lên dầm giả tạo: qgt
Mx
> 0 (vì M x < 0) có
EJ x
chiều hướng lên trên (H. 6.6c).
- Tính góc xoay và độ võng y:
Góc xoay và độ võng y tại đầu tự do của dầm cũng là lực cắt giả tạo Qgt
và momen uốn giả tạo M gt tại B của dầm giả tạo.
Ta có:
15
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
B = QgtB qgt AB
1 qL2
qL3
x
xL
0
3 2 EJ x
6 EJ x
qL3
qL4
3
y = M gt = qgt AB . zC
x L
0
6 EJ x 4
8EJ x
Mặt cắt sau biến dạng chuyển vị hướng phía dưới và xoay theo chiều kim
đồng hồ.
q
A
B
a)
Mx
b)
L
qL2
2
qL2
2EJx
c)
Hình 6.6
6.5. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH CỦA THANH CHỊU UỐN
Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà ta không thể xác định được các phản lực và
nội lực bằng các phương trình cân bằng tĩnh học, vì số ẩn số cần tìm luôn lớn hơn
số phương trình cân bằng tĩnh học thiết lập được.
Để giải bài toán siêu tĩnh, ta cần thiết lập thêm một số phương trình cần
thiết dựa vào điều kiện biến dạng.
Ta có thể dùng phương pháp đồ toán để tính độ võng và góc xoay cho các
phương trình biến dạng.
Ví dụ 6.4: Vẽ biểu đồ nội lực Q y và M x của dầm siêu tĩnh chịu lực q =
const như hình vẽ (H.6.7a). Biết dầm có độ cứng EJ x là hằng số.
16
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Giải:
- Xác định các phản lực ở ngàm A và gối đỡ B
Ta có bốn ẩn số (phản lực liên kết) cần tìm nhưng chỉ có ba phương trình
cân bằng tĩnh học.
Vì vậy ta cần phải thiết lập thêm một phương trình theo điều kiện biến dạng.
Giả sử bỏ gối đỡ tại B và thay bằng một phản lực VB (H. 6.7b). Ta được một
dầm tĩnh định chịu tác dụng bởi lực phân bố đều q và lực tập trung VB (chưa
biết).
q
A
B
a)
B
VB
b)
L
q
A
qL2
2EJx
c)
VB.L
E.Jx
5 qL
8
+
_
1 qL2
8
3
8
qL Qy
d)
Mx
9 qL2
128
Hình 6.7
Điều kiện biến dạng là độ võng của đầu tự do B phải bằng không: y B = 0.
17
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Do đó để thiết lập biểu thức y B = 0 ta áp dụng phương pháp đồ toán:
y B = M gtB =
hay: y B =
qgt .xC
AB
1 qL2
3
1 V .L
2
x
xLx L x B xLx L 0
3 2 EJ x
4
2 EJ x
3
V .L3
qL4
B
0
8EJ x 3EJ x
3
8
Suy ra: VB qL
- Vẽ biểu đồ nội lực Qy và M x
Tính được VB ta dễ dàng vẽ biểu đồ nội của dầm tĩnh định ở hình 6.7b và
cũng là biểu đồ nội lực của dầm siêu tĩnh đã cho (H. 6.7d).
C. CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Thế nào là đường đàn hồi, độ võng, góc xoay khi uốn? Phương trình vi phân
gần đúng của đường đàn hồi?
2. Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân không định hạn.
3. Thế nào là dầm giả tạo, tải trọng giả tạo? Cách chọn dầm giả tạo và xác định
tải trọng giả tạo?
4. Trình tự xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp đồ toán.
D. TRẮC NGHIỆM
1. Đường đàn hồi là:
a) đường cong của trục dầm sau khi bị uốn.
b) đường đồ thị biểu diễn độ võng của dầm khi bị uốn.
c) đường đồ thị biểu diễn góc xoay của dầm khi bị uốn.
2. Góc xoay là dương khi:
a) quay từ trục đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại điểm khảo sát theo
chiều kim đồng hồ.
b) mặt cắt sau khi biến dạng quay theo chiều kim đồng hồ.
c) cả hai câu đều đúng.
3. Độ võng y là dương khi:
a) hướng theo chiều âm của trục y (hướng lên trên).
b) hướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới).
c) tùy ý chọn.
18
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
4. Khi tính chuyển vị bằng phương pháp tích phân không định hạn ta chia dầm
thành nhiều đoạn sao cho:
a) trên mỗi đoạn có độ cứng EJ x là 1 hàm số liên tục.
b) trên mỗi đoạn có biểu thức momen uốn M x là 1 hàm số liên tục.
c) cả hai điều kiện trên.
5. Tải trọng giả tạo qgt :
a) dương (> 0) có chiều hướng lên trên.
b) luôn ngược chiều với momen uốn M x .
c) cả hai câu trên đều đúng.
19
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Chương 7.
THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
A. MỤC TIÊU
- Nắm vững các kiến thức cơ bản khi khảo sát thanh chịu lực phức tạp: uốn
xiên, uốn và kéo - nén, kéo - nén lệch tâm, kéo và xoắn và chịu lực tổng quát.
- Xác định được các nội lực, ứng suất, đường trung hòa, biểu đồ ứng suất,
điều kiện bền trong từng trường hợp chịu lực.
B. NỘI DUNG
7.1. KHÁI NIỆM
Trong các trường hợp đã xét khi thanh chịu lực kéo - nén đúng tâm, chịu
xoắn thuần tuý, chịu uốn thuần tuý phẳng trên mặt cắt ngang chỉ có một thành
phần nội lực được gọi là thanh chịu lực đơn giản.
Thực tế là trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện nhiều thành phần nội lực
được gọi là thanh chịu lực phức tạp.
Để giải bài toán này, ta áp dụng “nguyên lý cộng tác dụng” để thiết lập
công thức về ứng suất và biến dạng; nghĩa là: ứng suất và biến dạng do nhiều yếu
tố tác động đồng thời gây ra trên một thanh bằng tổng ứng suất và biến dạng do
từng yếu tố một gây ra trên thanh đó.
Điều kiện để sử dụng nguyên lý này là dựa trên các giả thiết về vật liệu:
- Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi và tuân theo định luật Hooke.
- Chuyển vị và biến dạng là bé.
Ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền trong bài toán chịu lực phức tạp là rất
nhỏ nên có thể bỏ qua. Nếu cần tính đến thì áp dụng theo “nguyên lý cộng tác
dụng”.
7.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN
7.2.1. Khái niệm
Một thanh gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành phần
nội lực là momen uốn M x và M y nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung
tâm của mặt cắt ngang (H. 7.1a).
20
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Đường tải trọng
Mx
My
z
O
Mu
V
z
O
Mx
My
Mu
x
x
y
y
a)
b)
Hình 7.1
Biểu diễn các momen uốn M x , M y bằng các vectơ momen M x , M y . Gọi
M u là vectơ tổng của các vectơ M x , M y . Ta có:
M u M x2 M y2
Momen uốn M u nằm trong mặt phẳng (V), chứa trục z nhưng không trùng
với với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Mặt phẳng (V) gọi là mặt
phẳng tải trọng. Giao tuyến của mặt phẳng (V) với mặt cắt ngang gọi là đường
tải trọng.
Trong uốn xiên đường tải trọng đi qua gốc toạ độ và vuông góc với phương
của vectơ tổng M u , nhưng không trùng với một trục quán tính chính trung tâm
nào (H. 7.1b).
* Nhận xét: Đối với thanh có mặt cắt tròn, mọi đường kính đều là trục đối
xứng, nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng đối xứng và
đều là trục quán tính chính trung tâm. Do đó thanh mặt cắt tròn chỉ có uốn
phẳng mà không có uốn xiên.
7.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Gọi là góc của đường tải trọng hợp với trục x, ta có:
M x M u .sin .
M y M u . cos
Hệ số góc của đường tải trọng:
21
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
tan
Mx
My
(7.1)
Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ trên mặt
cắt ngang có toạ độ (x, y) sẽ là tổng ứng suất do từng M x , M y gây ra, do đó:
z
M
Mx
. y y .x
Jx
Jy
(7.2)
* Chú ý:
1) Theo (7.1) ta có > 0 khi quay từ phần dương trục x đến đường tải
trọng ngược chiều kim đồng hồ.
2) Trong biểu thức (7.2), các giá trị M x , M y , x và y là các số đại số, được
xác định như sau:
- M x / M y >0 khi làm căng (kéo) phần dương của trục y/x và M x / M y < 0 khi
nén phần dương của trục y/x.
- (x, y) lấy theo hệ trục tọa độ đã xác định.
3) Trong thực hành, người ta dùng công thức kỹ thuật sau để tính toán:
z
My
Mx
.y
.x
Jx
Jy
(7.3)
Dấu “+ / -“ tuỳ theo momen uốn M x và M y gây ra ứng suất kéo/nén ở
điểm đang xét.
Ví dụ 7.1: Tại tiết diện hình chữ nhật b x h chịu uốn xiên như hình vẽ (H.
7.2) với M x = 8kNm, M y = 6kNm, h = 2b = 40cm.
Tính ứng suất pháp tại các góc của mặt cắt ngang.
Giải:
* Cách 1: Tính theo công thức (7.2)
Ta có công thức tính ứng suất tại một điểm:
z
M
Mx
. y y .x
Jx
Jy
Với: M x = 8kNm = 800kNcm, M y = - 6kNm = - 600kNcm.
Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục:
22
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
bh3 20 x 403 320.000
cm4
12
12
3
Jx
hb3 40 x 203 80.000
Jy
cm4
12
12
3
B
B
Mx
A
x
+
A
_O
z
My
D
_
A
O
B
_
z
+
+
C
y
C
+
x
y
D
z
O
Mx
_
x
D
C
y
My
Hình 7.2
Ứng suất tại các góc của mặt cắt ngang là:
- Tại A ( xA 10 cm; yA 20 cm) :
A
800
600
. 20
.10 0,15 0,225 0,375 kN / cm2
320000 / 3
80000 / 3
- Tại B ( xB 10 cm; yB 20 cm) :
B
800
600
. 20
. 10 0,15 0,225 0,075 kN / cm2 .
320000 / 3
80000 / 3
- Tại C ( xC 10 cm; yC 20 cm) :
C
800
600
.20
. 10 0,15 0,225 0,375 kN / cm2 .
320000 / 3
80000 / 3
- Tại D ( xA 10 cm; yA 20 cm) :
D
800
600
.20
.10 0,15 0,225 0,075 kN / cm2 .
320000 / 3
80000 / 3
Vậy: A 0,375 kN / cm2 ; B 0,075 kN / cm2 ; C 0,375 kN / cm2 ;
D 0,075 kN / cm2 .
* Cách 2: Tính theo công thức (7.3)
Áp dụng công thức kỹ thuật:
z
My
Mx
.y
.x
Jx
Jy
23
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Ta xét dấu của ứng suất do momen M x , M y gây ra như hình 7.2.
Ta có: M x 800 Ncm; M y 600 Ncm; x 10 cm; y 20 cm.
Do đó ứng suất tại các điểm như sau:
A
800
600
.20
.10 0,375 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3
B
800
600
.20
.10 0,075 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3
C
800
600
.20
.10 0,375 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3
D
800
600
.20
.10 0,075 kN / cm2
320.000 / 3
80.000 / 3
7.2.3. Đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp
7.2.3.1. Đường trung hoà
Công thức ứng suất ở (7.2) là phương trình của mặt phẳng trong hệ trục
Oxyz. Nó biểu diễn giá trị của ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. Mặt phẳng này
gọi là mặt ứng suất.
Đường tải trọng
x
O
Đường trung
hòa
y
Hình 7.3
Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là tập hợp những điểm có
z = 0. Đó là đường trung hoà của mặt cắt ngang trong uốn xiên (H. 7.3).
Phương trình đường trung hoà là:
My
Mx
.y
.x 0
Jx
Jy
Hay:
y
M y Jx
. .x
Mx Jy
24
(7.4)
Sức bền vật liệu 1 nâng cao
Gọi là góc hợp bởi đường trung hòa với trục x.
Đặt:
tan
M y Jx
.
Mx Jy
y tan .x
Do đó:
(7.5)
(7.6)
Đường trung hòa là đường thẳng qua gốc tọa độ O(0,0) với tan là hệ số
góc.
Ta có:
tan . tan
M y Jx Mx
J
. .
x <0
Mx Jy My
Jy
(7.7)
* Nhận xét:
1) Ta nhận thấy 0 khi đi từ phần dương trục x đến đường trung hoà
ngược chiều kim đồng hồ và 0 khi đi từ phần dương trục x đến đường trung
hoà cùng chiều kim đồng hồ.
2) Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm mặt cắt ngang và
không vuông góc với đường tải trọng.
Vì theo biểu thức (7.6) đường trung hòa có dạng y = ax và theo (7.7)
thường J x J y tan . tan 1
3) Đường tải trọng và đường trung hoà không bao giờ nằm cùng trong một
góc phần tư của hệ trục toạ độ (H. 7.3).
Vì từ biểu thức (7.7) thì góc và luôn luôn trái dấu nhau.
4) Đối với các mặt cắt ngang của thanh là hình tròn hoặc đa giác đều thì
không xảy ra hiện tượng uốn xiên.
Vì khi đó ta có đường tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung
tâm, còn đường trung hoà sẽ trùng với với trục quán tính chính trung tâm thứ hai
vuông góc với đường tải trọng. Từ biểu thức (7.7) đối với hình này Jx = Jy nên:
tan . tan 1 , đó là bài toán uốn phẳng.
7.2.3.2. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Ta nhận thấy:
- Các điểm nằm trên đường đường trung hoà thì có cùng trị số ứng suất
pháp bằng 0.
25
