Tính toán dao động uốn tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp bằng phương pháp giải tích - số

CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015

TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN TỰ DO ĐỐI XỨNG CỦA CẦU TREO DÂY
VÕNG 3 NHỊP BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH - SỐ
CALCULATING THE SYMMETRIC FREE BENDING VIBRATION OF THREE
SPANS SUSPENSION BRIDGE BY ANALYTICAL - NUMERICAL METHOD
ThS. LÊ TÙNG ANH
Khoa Công trình, Trường ĐHHH Việt Nam
Tóm tắt
Ưu điểm nổi bật của cầu treo dây võng là khả năng vượt nhịp lớn, tuy nhiên nó lại dễ
mất ổn định. Tần số dao động tự do đóng vai trò rất quan trọng trong việc tính toán ổn
định động lực học công trình cầu nói chung và cầu treo dây võng nói riêng. Trong bài
báo này, tác giả trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn tự do
của cầu treo dây võng ba nhịp sau đó so sánh với các phương pháp gần đúng khác.
Abstract
Outstanding advantage of suspension bridge is the ability to large span, but it easily
leads to instability. The free vibration frequency plays an important role in the
calculation of general bridges dynamic stability and particular suspension bridge. In this
paper, the author presents the analytical - numerical method to calculate the free
bending vibration of three spans suspension bridge then compares with other
approximate methods.
Key words: free vibration, frequency, suspension bridges, analytical - numerical method.
1. Đặt vấn đề
Trong
tính
toán ổn định động
lực học công trình
f
cầu, một vấn đề
quan trọng là tính
toán dao động tự do

của cầu. Trên cơ sở
l1,q1,J1
l1,q1,J1
tính toán dao động
l,q,Jz
tự do, chúng ta có
thể tránh được hiện
Hình 1. Sơ đồ cầu treo dây võng 3 nhịp
tượng cộng hưởng
do tác dụng của đoàn tải trọng di động cũng như có thể tính toán tiếp dao động cưỡng bức của
cầu. Hiện nay, để tính toán tần số dao động tự do thường thực hiện theo các phương pháp gần
đúng Ritz, Rayleigh…, đối với dự án lớn mới có điều kiện thí nghiệm trên mô hình vật lý. Trong
phạm vi bài báo này, tác giả sẽ nghiên cứu áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán tần số
dao động uốn tự do đối xứng cho cầu treo dây võng 3 nhịp (hình 1). Phần cuối của bài báo là ví dụ
tính toán mô phỏng số, áp dụng cho một công trình cầu treo dây võng. Sau đó sẽ so sánh với kết
quả tính toán bằng các phương pháp gần đúng khác, từ đó rút ra độ tin cậy của phương pháp và
chương trình tính.
2. Mô hình tính toán và phương trình vi phân dao động uốn
Khảo sát tiết diện ngang dầm cứng của cầu treo dây võng (hình 2).
B
Hg

Hg

y
Sg

z

Sg

η(x,t)

S1
S2

φ(x,t)

Hình 2. Chuyển vị thẳng và xoay của tiết diện dầm

Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải

Số 42 – 04/2015

121


CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015

Khi hệ dao động thì ngoài các ngoại lực (như lực gió…) trên tiết diện còn chịu tác dụng của
các phản lực đàn hồi từ các thanh treo S(x). Do tiết diện của dầm thực hiện chuyển vị góc  cho
nên các phản lực này xuất hiện tại 2 bên thành dầm cứng sẽ khác nhau (S1 ≠ S2) và do đó lực
căng ngang động trong 2 dây cáp cũng khác nhau. Ở trạng thái tĩnh 2 dây cáp đối xứng, lực căng
ngang tĩnh trong 2 dây bằng nhau và kí hiệu là Hg. Khi hệ dao động, lực căng ngang động của 2
dây cáp là H1d và H2d.
Phương trình dao động uốn của cầu treo dây võng [3] được viết đầy đủ như sau:
4

EJ z

  ( x, t )

x

4

2



2

  ( x, t )
q   ( x, t )
P
 2H g
 2 y ( x ) H d  P
2
2
g t
x
(1)

Trong đó:

EJ z - Độ cứng chống uốn của tiết diện;
q - Trọng lượng 1 đơn vị dài của hệ (gồm cả dầm và cáp treo);

H g - Lực căng ngang tĩnh, H g  ql 2 / 8 f [6], [7];
H d - Lực căng ngang động trung bình, H d   H1d  H 2d  / 2 ;
P

P

P - Lực cưỡng bức tác dụng lên tiết diện;

 ( x, t ) - Chuyển vị của tiết diện;
y( x) - Hàm biểu diễn hình dạng dây cáp ở trạng thái tĩnh với quan hệ: y( x)  q / H g .
Phương trình dao động uốn tự do sẽ nhận được khi P  0 :
4

EJ z

( x, t )
x

2

q

4

g

( x, t )
t

2

2

( x, t )

2H g

x

2

q

2

Hg

P

Hd

(2)

0
P

Sử dụng phương pháp tách biến, đặt:  ( x , t )  X ( x )T (t ) và H d  H d T (t )

(3)

Thay các biểu thức (2) vào (1) ta được phương trình biên độ:
EJ z X

IV

q 2
X
g

2H g X

q

2

Hg

Hd

(4)

0

Phương trình (4) có nghiệm tổng quát dưới dạng:

X  C1 sin 2 x  C2 cos 2 x  C3sh1x  C4ch1x 
trong đó:
2

1 , 2 - Các hệ số phụ thuộc
4

1      k

4

; 2

2

4

2 gH d

(5)

2

 Hg

q ,  , H g , EJ z , được xác định như sau:

     k

4

;k 

q

2

gEJ z

;



Hg
EJ z

Để xác định các hằng số tích phân Ci , trước tiên xét nhịp giữa sau đó sẽ xét tất cả các nhịp.
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải

Số 42 – 04/2015

122


CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015

2.1. Nhịp giữa
Từ (5) ta có các giá trị đạo hàm như sau:

X   2C1 cos 2 x  2C2 sin 2 x  1C3ch1x  1C4 sh1x
2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

X   2 C1 sin 2 x  2 C2 cos 2 x  1 C3 sh1x  1 C4ch1x

(6)

X   2 C1 cos 2 x  2 C2 sin 2 x  1 C3ch1x  1 C4 sh1x
X

IV

 2 C1 sin 2 x  2 C2 cos 2 x  1 C3sh1x  1 C4ch1x

Sử dụng điều kiện biên: X (0)

X  0   C2  C4 

2 gH d
2

 Hg

X (0)

0 và X (l )

X (l )

0 ta có hệ phương trình sau:

0

X   0  2 C2  1 C4  0
2

2

(7)

X  l   C1 sin 2l  C2 cos 2l  C3 sh1l  C4ch1l 

2 gH d
2

 Hg

0

X   l   2 C1 sin 2l  2 C2 cos 2l  1 C3 sh1l  1 C4ch1l  0
2

2

2

2

Từ (7) ta biểu diễn được 4 hằng số tích phân Ci theo H d như sau:

C1  

2 gH d 1  Z
2 gH d Z  1 2 l
2 gH d Z  1 1l
2 gH d Z  1
.
(8)
.
tg
.
.
th
; C2   2
; C3  2
; C4  2
2
 H g 2Z

 H g 2Z
2
 H g 2Z
 H g 2Z
2

trong đó:
Z

2

1



4

4

 k 

2

2  


2

2

2



1  

2

2



Mặt khác ta có quan hệ giữa H d và X như sau:
Hd 

qEc Fc l
 Xdx
Lc H g 0

(9)

trong đó:

Lc - Chiều dài dây cáp giữa hai trụ;
Ec Fc - Độ cứng kéo của dây cáp.
Thay các hằng số Ci vào (5) được biểu thức của X rồi thay vào (9), sau khi thực hiện tích
phân và chia cho H d , rút gọn sẽ được phương trình tần số:

 lZ
2



Z 1
Z 1

tg

2l
2



Z 1
Z 1

th

1l



2

Lc

3 2

2

 l Hg

2

.
Z ( Z  1)  0
Ec Fc 32 2qf

(10)

Để giải phương trình (6) tìm tần số dao động, tác giả sử dụng phương pháp lặp Newton Raphson. Sau đó sẽ xác định được hàm dao động riêng như sau:

X 

H d  Z  1 cos2  0, 5l  x  Z  1 ch1  0, 5l  x  

1 

 l ( Z  1) H g 
2Z
cos  0,52l 
2Z
ch  0, 51l  
32 f

2 2

2

Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải

Số 42 – 04/2015

(11)

123


CHO MNG NGY THNH LP TRNG 01/04/2015

2.2. Tt c cỏc nhp
Tng t nh nhp gia, khi xột ton b cỏc nhp ta cú quan h sau:
Hd

qEc Fc l


l1
Xdx 2 X1dx

Lc H g 0
0


(12)

trong ú: Lc - Chiu di ton b dõy cỏp.
i vi tng nhp s cú hm dao ng riờng i xng dng (11) (chỳ ý i vi nhp bờn cn
thay , Z , f , l ln lt bng 1 , Z1 , f1 , l1 ). Nu cng v trng lng riờng ca cỏc nhp nh sau
2

s cú: 1 ; Z Z1 . t l1 / l (do ú f1 / f ), t ú phng trỡnh tn s cú dng:
lZ

(1 2 )

2l
2l
tg 2tg

2
2
Z 1

Z 1

2

3 2

L l
1l
1l
c
th

2
th

.

2 Ec Fc 32
Z 1 2

Z 1

2

Hg

2

Z ( Z 1) 0

(13)

2qf

3. Tớnh toỏn mụ phng s
Vớ d tớnh toỏn õy l cu treo dõy vừng Ca i, tnh Qung Nam [2] c xõy dng mụ
hỡnh vi s cu chớnh di 650m gm 3 nhp 150m+350m+150m nh hỡnh 3, tit din dm
khụng i th hin trờn hỡnh 4. Cỏc thụng s chớnh nh sau:
q = q1 = 102,91kN/m; Ec = 1,9.108kN/m2; Fc = 80,12cm2; Hg = 45,03.103kN;
E = 2,1.108kN/m2; Jz = J1 = 0,1401.102m4; Lc = 668m; f = 35m.
+81.598 m

+81.598 m

35000

1500

2000

+41.970 m

2500

4000

+8.756m

+40.100 m

2000

2000

2000

MNCN 18.80M

5000

6000

+7.817m

+9.956 m

1100
4000

MNTN 16.80M
6000

1100

1000

+40.100 m
4000
+35.736 m

2000

+7.927 m
14000

5000

+7.927 m

3500

3500

14000

- 31.244 m

Dặ

KI
N1 GI
NGCHầ
M
D22.7x28.0m- L = 40 m

-42.073 m

-42.073m

M3

Hỡnh 3. Mụ hỡnh d ỏn cu treo dõy vừng Ca i, Qung Nam
16500/2
1800

250

2000

15X480

10500/2

250

250

LớP PHủ MặT CầU BÊTÔNG NHựA DàY 7CM
I=1.5%

400
400
400
812
200

307

780

250

2000

15X480

250

1800
300

I=1.5%

2500

2365
900
1465

16500/2
10500/2

250

300

614

6X5
00
594
3700

200

8X657

8X657

11700/2

11700/2

594
3700

19100

Hỡnh 4. Tit din dm cu in hỡnh

Trong vớ d ny, tỏc gi s dng phn mm Matlab tớnh toỏn tn s dao ng t do
theo cỏc phng phỏp gii tớch - s, phng phỏp Ritz [1], [3] v phng phỏp Rayleigh [1], [3].
Sau ú lp bng so sỏnh kt qu tớnh toỏn theo cỏc phng phỏp ú v kt qu tớnh toỏn theo
phng phỏp phn t hu hn (PTHH) bng cỏch s dng phn mm Sap 2000 (hỡnh 5).

Hỡnh 5. Mụ hỡnh cu trong Sap2000

Tp chớ Khoa hc Cụng ngh Hng hi

S 42 04/2015

124


CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015

Bảng 1. So sánh kết quả tính toán theo các phương pháp
Tần số tự do
(rad/s)

Phương pháp
giải tích – số

Phương pháp
Ritz

Phương pháp
Rayleigh

Phương pháp
PTHH

ω1

1,926

2,213

2,235

2,018

4. Kết luận
Mục đích của bài báo này là trình bày phương pháp giải tích - số để tính toán dao động uốn
tự do đối xứng của cầu treo dây võng 3 nhịp sau đó so sánh với 1 số phương pháp gần đúng
khác. Phương pháp này đặc biệt thích hợp với việc lập trình tính toán trên máy tính. Từ bảng 1
trên đây cho thấy kết quả tính toán theo phương pháp giải tích chính xác hơn các phương pháp
Ritz, Rayleigh và cho giá trị gần đúng với kết quả tính theo phương pháp PTHH (sai số 4,56%).
Chương trình tính đã thiết lập cho kết quả tính toán phù hợp tốt với kết quả tính toán bằng phần
mềm Sap 2000, điều đó khẳng định sự đúng đắn và độ tin cậy của chương trình tính. Như vậy,
trong thiết kế sơ bộ cầu treo dây võng nên áp dụng phương pháp giải tích - số để tính toán sẽ hợp
lý hơn các phương pháp Ritz, Rayleigh thường đang áp dụng. Hướng phát triển tiếp của bài báo là
nghiên cứu tính toán dao động uốn - xoắn của cầu treo dây võng bằng phương pháp đã nêu trên.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình, Ổn định và động lực học công
trình, NXB ĐH&THCN, Hà Nội, 1974.
[2] Lê Văn Lạc, Nguyễn Văn Mỹ, Đặng Phước Toàn, Lập trình tính toán cầu treo dây võng dầm
cứng 3 nhịp, Đại học Bách khoa Đà Nẵng, Đà Nẵng.
[3] Nguyễn Văn Tỉnh, Cơ sở tính dao động công trình, NXB KH&KT, Hà Nội, 1987.
[4] Nguyễn Viết Trung, Hoàng Hà, Thiết kế cầu treo dây võng, NXB GTVT, Hà Nội, 2003.
[5] T. Hayashikawa, N. Watanabe, Dynamic behavior of suspension bridge under moving loads,
Hokkaido University, Hokkaido, Japan, 1982.
[6] T. Huynh, P. Thoft Christensen, Suspension bridge flutter for girders with separate control flaps,
Journal of Bridge Engineering, Vol. 6, pp. 168-175, 2001.
[7] S. R. K. Nielsen, T. Huynh, Vibration theory, Vol. 7A. Special Structures: Aerodynamics of
suspension bridges, ISSN 1395-8232 U9902, Aalborg University, Denmark, 1999.
Người phản biện: PGS.TS. Hà Xuân Chuẩn; TS. Hoàng Mạnh Cường

Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải

Số 42 – 04/2015

125