Xác định vị trí vết nứt trong dầm FGM bằng phân tích wavelet dừng các dạng dao động riêng

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018. 12 (7): 20–33

XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẾT NỨT TRONG DẦM FGM BẰNG PHÂN
TÍCH WAVELET DỪNG CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG
Ngô Trọng Đứca , Trần Văn Liêna,∗, Nguyễn Thị Hườnga
a

Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,
55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam

Nhận ngày 23/10/2018, Sửa xong 26/11/2018, Chấp nhận đăng 29/11/2018
Tóm tắt
Bài báo trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc xác định vết nứt trong các kết cấu hệ dầm bằng vật liệu có
cơ tính biến thiên (FGM) dựa trên phân tích wavelet dừng (SWT) các dạng dao động riêng có kể đến ảnh hưởng
của nhiễu trắng Gausian. Các dạng dao động riêng được xác định từ mô hình phần tử thanh FGM chịu kéo, nén
và uốn có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng phương pháp độ cứng động lực (DSM). Kết quả nghiên cứu
cho thấy phương pháp đề xuất là một phương pháp khả thi và hiệu quả.
Từ khoá: vết nứt; FGM; DSM; SWT; dạng dao động riêng.
DETERMINATION OF CRACK LOCATION IN BEAM USING USING STATIONARY WAVELET TRANSFORM OF MODE SHAPES
Abstract
This paper proposed new crack identification method on multiple cracked beams made of functionally graded
material (FGM) by using stationary wavelet transform (SWT) of measured mode shapes. This study also investigated the influence of Gaussian noise to SWT. Cracks were modelled as equivalent springs and mode
shapes are obtained from multiple cracked FGM beam element model. The investigated results show that crack
identification method by using SWT of mode shapes is efficient and realizable.
Keywords: crack; FGM; DSM; SWT; mode shapes.
c 2018 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)

1. Tổng quan
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được làm từ hỗn hợp của gốm và kim loại, có khả năng chịu
nhiệt, chống ăn mòn của gốm và độ bền cơ học cũng như làm giảm ứng suất nhiệt của kim loại. Đây
là một loại vật liệu composite thế hệ mới, có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ

thuật trong môi trường nhiệt độ cao như là hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, máy phát điện
hay công nghiệp ô tô. Với các ưu điểm đó, vật liệu FGM được sử dụng cho các kết cấu, chi tiết quan
trọng thường xuyên làm việc trong môi trường khắc nghiệt.
Vết nứt hay hư hỏng xuất hiện trong kết cấu FGM ảnh hưởng nghiêm trọng đến khả năng làm việc
của cấu kiện. Do đó, vấn đề xác định vết nứt trong kết cấu FGM là thực sự cần thiết và đã thu hút sự
chú ý của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước. Hầu hết các nghiên cứu hiện nay về xác định vị
trí vết nứt trong kết cấu đều sử dụng phương pháp thí nghiệm không phá hủy dựa trên các đặc trưng
động lực như là tần số, dạng dao động riêng, hàm phản ứng tần số,... Các đặc trưng động lực học của
∗

Tác giả chính. Địa chỉ e-mail: (Liên, T. V.)

20


Liờn, T. V. v cs. / Tp chớ Khoa hc Cụng ngh Xõy dng

dm FGM cú vt nt c xỏc nh bng cỏc phng phỏp gii tớch [16], phng phỏp bỏn gii tớch
Galerkin [7], phng phỏp phn t hu hn (FEM) [810], v phng phỏp cng ng lc (DSM)
[1114].
Trong s cỏc phng phỏp khỏc nhau s dng xỏc nh v trớ v s lng vt nt ca kt cu
[15], phng phỏp phõn tớch wavelet cú hiu qu ln, c bit l nhn dng cỏc h hng, vt nt nh
trong kt cu. Liew v Wang [16] chng minh rng v trớ vt nt trờn dm n gin cú th xỏc nh
c t phõn tớch wavelet cỏc ng x dao ng riờng o dc theo dm ti thi im nht nh. Nghiờn
cu ny tip tc c phỏt trin bi Wang v Deng [17] cho trng hp phn ng xung ca dm v
tm vi cỏc iu kin biờn khỏc nhau. Chang v Chen [18] ó xut mt phng phỏp xỏc nh
v trớ v sõu ca dm cú nhiu vt nt da trờn phõn tớch khụng gian wavelet cỏc dng dao ng
riờng. Vic d oỏn sõu vt nt c n gin húa bng cỏch s dng v trớ vt nt d oỏn v cỏc
tn s dao ng riờng. Zhong v Oyadiji [19] chng minh rng phõn tớch wavelet dng (SWT) l cụng
c hiu qu cho vic chn oỏn vt nt ch da trờn dng riờng ca kt cu dm. Hu ht cỏc nghiờn

cu ó cụng b u s dng phõn tớch wavelet chn oỏn vt nt trong kt cu dng dm, nhng
(SWT)
l cụng
qu
chnchoỏn
daqua
trờn
dng riờng ca kt cu dm.
nghiờn
cu vc
hhiu
kt cu
hcho
thanhvic
thng
cvt
thcnt
hinch
thụng
FEM.
Hu hti
cỏcvi
nghiờn
cu
ó
cụng
b
u
s
dng

phõn
tớch
wavelet

vt nt
trong kt
vt liu FGM, Banerjee v cng s [10] ó a ra hai phng chn
phỏp oỏn
khỏc nhau
nhn
cu dng
dng vt
dm,
nghiờn
cu v h
kt cu
h thanh
chcỏc
c
thcvhin
thụngng
qua FEM.
ntnhng
trong dm
Timoshenko
FGM.
phng
phỏpthng
th nht,
tỏc gi

lờn nhng
i ng
vi vt
liu
FGM,
Banerjee
v
cng
s
[10]
ó
a
ra
hai
phng
phỏp
khỏc
nhau

nhn
mc tn s da vo v trớ v kớch thc vt nt, v giao im ca cỏc ng ng mc ca tng dng
vt nt
trong
dml Timoshenko
FGM.
phng
phỏp
nht,Phng
cỏc tỏc
githvhailờn

ng
dng dao ng
c s d oỏn
v trớ
cng
nh chiu
sõuth
vt nt.
phỏp
danhng
trờn mụ
nghỡnh
mc
s ng
da(RSM)
vo vhi
trớquy
v c
kớch ti
thc
vtbng
nt,thut
v giao
im
cỏc(GA).
ng
ngNam,
mc ca
mttn
phn

u húa
toỏn gen
di ca
truyn
Ti Vit
tngtỏc
dng
dao
ng
l
c
s

d
oỏn
v
trớ
cng
nh
chiu
sõu
vt
nt.
Phng
phỏp
th
hai da
gi Khiờm v Huyờn [20] ó xut mt phng phỏp chn oỏn 1 vt nt trờn dm Timoshenko
trờn FGM
mụ hỡnh

mt
phn
ng
(RSM)
hi
quy
c
ti
u
húa
bng
thut
toỏn
gen
di
truyn
(GA).
da trờn biu thc gii tớch ca cỏc tn s dao ng riờng. Cỏc phng phỏp ny u cú im Ti
Vitchung
Nam,ltỏc
Khiờm,
Nguyn
Huyờn
[20]
mt chớnh
phng
dagi
trờnNguyn
cỏc tn sTin
dao ng

riờng
u tiờn,Ngc
tuy nhiờn
trong
thcót
vicxut
xỏc nh
xỏc phỏp
chnnhiu
oỏntn
1 vt
nt
trờn
dm
Timoshenko
FGM
da
trờn
biu
thc
gii
tớch
ca
cỏc
tn
s
dao
ng
s dao ng riờng l khú khn, hn na vt nt ti mt s v trớ trờn dm gn nh khụng
riờng.

Cỏc
phng
phỏp
ny
u
cú
im
chung
l
da
trờn
cỏc
tn
s
dao
ng
riờng
u
tiờn,
tuy
thay i mt tn s dao ng riờng nht nh, dn n khú khn trong vic s dng tn s chn
nhiờn trong thc t vic xỏc nh chớnh xỏc nhiu tn s dao ng riờng l khú khn, hn na vt
oỏn vt nt.
nt ti mt s v trớ trờn dm gn nh khụng thay i mt tn s dao ng riờng nht nh, dn n
Ni dung chớnh ca bi bỏo ny l s dng phõn tớch SWT chn oỏn vt nt trong cỏc kt cu
khú khn trong vic s dng tn s chn oỏn vt nt.
dm FGM nh dm n gin, dm liờn tc nhiu nhp,.... u tiờn, DSM c s dng xõy dng
Ni mụ
dung
chớnh

ca t
bidm
bỏocúny
l vt
s nt,
dng
chn
vt
trong
kt cu
hỡnh
ca phn
nhiu
t phõn
ú tớnhtớch
toỏnSWT
c
chớnh
xỏcoỏn
cỏc tn
s nt
v dng
daocỏc
ng
dmriờng
FGMca
nh
n FGM
gin,cú
dm

liờnvttc
nhiu
udng
tiờn,dao
DSM
ktdm
cu dm
nhiu
nt.
Tip nhp,....
theo, t cỏc
ngc
riờngs
tỡmdng
c,
tỏcxõy
gi dng
mụ hỡnh
ca
phn
t dm
vt v
nt,
c
vSWT
dng dao
xut
mt
phng
phỏpcú

nhiu
chn oỏn
trớ t
vtú
nttớnh
trờn toỏn
kt cu
dmchớnh
FGM xỏc
bngcỏc
cỏchtn
s s
dng
ngtrờn
riờng
ca kt
cudng
dmdao
FGM
nhiuNgoi
vt nt.
Tip theo,
t cỏc
dng
tỡm c,
tớn hiu
o cỏc
ngcúriờng.
ra nghiờn
cu cng

ó xột
ndao
nhng
hngriờng
ca nhiu
tỏc gi
n
xuthmt
phng
oỏn v trớ vt nt trờn kt cu dm FGM bng cỏch s
o c
s chi
tit caphỏp
phõn
tớchchn
wavelet.

dng SWT trờn tớn hiu o cỏc dng dao ng riờng. Ngoi ra nghiờn cu cng ó xột n nh
hng
ca nhiu o c n h s chi tit ca phõn tớch wavelet.
2. Xỏc nh dng dao ng riờng ca dm cú nhiu vt nt bng DSM
2. Xỏc nh dng dao ng riờng ca dm cú nhiu vt nt bng DSM
2.1. Cỏc h thc c bn

2.1. Cỏc h thc c bn
z

Et Gt rt àt

Trc trung hũa

h

x
Eb Gb rb àb

b

Hỡnh
1: Dm FGM cú nhiu vt nt
Hỡnh 1. Dm FGM cú nhiu vt nt
Xột dm cú chiu di L, tit din ch nht vi kớch thc A = b h c ch to t vt liu FGM
(Hỡnh 1) vi hm c trng vt liu cú dng ly tha
21 [21]
n

z 1
h
h
{R( z )} = {Rb } + {Rt - Rb } ổỗ + ửữ ; - Ê z Ê
2
2
ốh 2ứ

(1)


Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

Xét dầm có chiều dài L, tiết diện chữ nhật với kích thước A = b × h được chế tạo từ vật liệu FGM
(Hình 1) với hàm đặc trưng vật liệu có dạng lũy thừa [21]

{R(z)} = {Rb } + {Rt − Rb }

z 1
+
h 2

n

h
h
;− ≤ z ≤
2
2

(1)

trong đó R lần lượt là mô-đun đàn hồi E, mô-đun trượt G và mật độ khối lượng ρ; chỉ số t và b ký hiệu
vật liệu lớp trên và lớp dưới; z là tọa độ tính từ mặt giữa của dầm. Giả thiết biến dạng bé, các chuyển
vị của dầm Timoshenko tại một điểm trên tiết diện có dạng
u(x, z, t) = u0 (x, t) − (z − h0 ) θ(x, t); w(x, z, t) = w0 (x, t)

(2)

trong dó u0 (x, t), w0 (x, t) là chuyển vị của điểm trên trục trung hòa; h0 là khoảng cách từ trục trung
hòa đến trục x; θ là góc xoay của tiết diện quanh trục y. Cách xác định h0 cũng như xét ảnh hưởng của
vị trí thực đường trục trung hòa đến dao động của dầm FGM đã được trình bày trong [21]. Ký hiệu
(A11 , A12 , A22 ) =

E(z) 1, z − h0 , (z − h0 )2 dA;

A33 = η

A

(I11 , I12 , I22 ) =

G(z)dA
A

(3)

ρ(z) 1, z − h0 , (z − h0 ) dA
2

A

và các ma trận, véc-tơ

 A11 −A12 0

0
[A] =  −A12 A22

0
0
A33



0

0

 0


0
0
A
[Π]
;
=
33


0 −A33 0


 2
−ω2 I12
0

 ω I11


2
2
[D]
;
=
0


 −ω I12 ω I22 − A33
0
0
ω2 I11






∞

{z} = {U, Θ, W} =

{u0 (x, t), θ(x, t), w0 (x, t)}T e−iωt dt

T

−∞

(4)
Trong miền tần số, phương trình dao động của dầm có dạng [21]
[A] z

+ [Π] z + [D] {z} = {0}

(5)

trong đó z là đạo hàm theo không gian của hàm z. Nghiệm tổng quát của phương trình (5) khi không

có vế phải có thể viết dưới dạng
(6)
{z0 (x, ω)} = [G(x, ω)]{C}
với {C} = (C1 , . . . , C6 )T là các hằng số độc lập và

 α1 ek1 x α2 ek2 x α3 ek3 x α1 e−k1 x
α2 e−k2 x
α3 e−k3 x
 k1 x

k2 x
k3 x
−k1 x
−k2 x
[G(x, ω)] =  e
e
e
e
e
e−k3 x

β1 ek1 x β2 ek2 x β3 ek3 x −β1 e−k1 x −β2 e−k2 x −β3 e−k3 x







(7)

Đối với dầm có vết nứt tại tiết diện có tọa độ e, vết nứt được mô hình hóa bằng hai lò xo: lò xo
dọc có độ cứng T và lò xo xoắn có độ cứng R (Hình 2). Điều kiện liên tục tại vị trí vết nứt là [21]
U(e + 0) = U(e − 0) + γ1 U x (e); Θ(e + 0) = Θ(e − 0) + γ2 Θ x (e); W(e + 0) = W(e − 0)
U x (e + 0) = U x (e − 0); Θ x (e + 0) = Θ x (e − 0); W x (e + 0) = W x (e − 0) + γ2 Θ x (e)
22

(8)


{z 0 ( x, w)} = [G( x, w )]{C}

(6)

vi {C} = (C1 ,...,C 6 ) l cỏc hng s c lp v
T

ộa 1e k1x a 2 e k2 x a 3 e k3 x a 1e - k1x
a 2 e - k2 x
a 3 e - k3 x ự
ờ k1x
ỳ
[G(x, w )] = ờ e
e k2 x
e k3 x
e -k1x
e -k2 x
e - k3 x ỳ
Liờn,ờT. V.k1v
hc Cụng

k3 x
x cs. / Tp
b 2 e k2 x chớ
b 3 eKhoa
b1e -k1x ngh
- b 2Xõy
e -k2 xdng
- b 3 e -k3 x ỳỷ
ở b1e

(7)

R

a
h

a)
b)
T
Hỡnh 2: Dm FGM vi vt nt m v mụ hỡnh hai lũ xo tng ng
Dm
FGM
mvtvnt
mục
hỡnhmụ
haihỡnh
lũ xo
tng
i vi dm Hỡnh

cú vt2.nt
ti tit
dinvi
cúvt
tant
e,
húa
bngng
hai lũ xo: lũ xo dc
cú cng T v lũ xo xon cú cng R (hỡnh 2). iu kin liờn tc ti v trớ vt nt l [21]

U (e + 0) = U (e - 0) + g U Â (e) ; Q(e + 0) = Q(e - 0) + g QÂ (e) ; W (e + 0) = W (e - 0)

x
2
x
Cỏc tham s 1 , 2 trong (8) l1 hm
ca cỏc tham s vt liu
nh mụ-un n hi, chiu(8)
cao dm,
U x (e + 0) = U x (e - 0) ; QÂx (e + 0) = QÂx (e - 0) ;Wx (e + 0) = Wx (e - 0) + g 2 QÂx (e)
h s n ngang Poisson,... bao gm c trng hp dm ng nht Et = Eb = E0 hay RE = 1

Cỏc tham s g1, g2 trong (8) l hm ca cỏc tham s vt liu nh mụ-un n hi, chiu cao dm, h
s n ngang
dm ng
nht E =E =E hay R 2=1
1 = Poisson,...
A11 /T = bao
2 gm

1 c
v2trng
h1 fhp
1 (s);
2 = A22 /Rt =b6 0 1 vE h2 f2 (s)

g 1 = A11 / T = 2p (1 -n 2 )hs 1 f1 (s) ; g 2 = A22 / R = 6p (1 -n 2 )hs 2 f 2 (s)

(9)

(9)

trong útrong ú
1 (RE , n) =

2 ( R + n)
3RE ++nn 2 R2R
+n
R + n E2 ử+ n Et
2424 ổ3R
s21 ((R
RE ,En)+=n) ;E (R ; s, n)
- E E a++n E + R
a ữ ; RE =2 ; R = Et
2 ( R=
E , n) =
ỗ E
2
E
R

+
1
1
+
n
R
+
1
3(3
+
n
)
2
+
n
1
+
n
Eb E
(
)(
)
ố
ứ n
E
E
(RE + 1) (1 + n)
RE + 1 3(3 + n)
2+n
1+

Eb
3
4
5
f1 ( s) = s 2 (0.6272 - 0.17248s + 5.92134
s 2 - 10.7054
2
2
3 s + 31.5685s4 - 67.47 s +5

f1 (s) = s (0,6272 0,17248s + 5,92134s 10,7054s + 31,5685s 67,47s +
+ 139.123s 6 - 146.682s 7 + 92.3552 s8 )

7
+ 139,123s6 146,682s
+ 92,3552s8 )
2

(10)

f 2 ( s ) = s (0.6272 - 1.04533s + 4.5948s 2 - 9.9736s 3 + 20.2948s 4 - 33.0351s 5 +

3
f2 (s) = s2 (0,6272 1,04533s + 4,5948s2+47.1063
9,9736s
+ 20,2948s4 33,0351s5 +
s 6 - 40.7556s 7 + 19.6s8 )

+ 47,1063s6 40,7556s7 + 19,6s8 )

Vi a = 1 2 + h0 h , s = a h v a l chiu sõu vt nt. Ký hiu {z c ( x, w )} l nghim riờng ca (5)
tha món cỏc iu kin ban u

(10)
vi = 1/2 + h0 /h, s = a/h v a l chiu sõu vt Tnt. Ký hiu {zc (x, )}T l nghim riờng ca (5) tha
(11)
{z c (0)} = (g 1U x (e),g 2 QÂx (e), 0) ; {zÂc (0)} = (0, 0, g 2 QÂx (e))
món cỏc iu kin ban u
v

{zc (0)} = 1 U x (e), 2 x (e), 0 T ;

zc (0) = 0, 0, 2 x (e)

T

(11)
3

v
{z0 (e)} = U0 (e) 0 (e) W0 (e)

T

(12)

Ta nhn c [21]
{zc (x)} = [(x)] [] z0 (e) = [Gc (x)] z0 (e)

(13)

trong ú [Gc (x)] l ma trn 3ì

1 cosh k1 x 2 cosh k21 x 3 cosh k3 x

cosh k21 x
cosh k3 x
[Gc (x)] = cosh k1 x

1 sinh k1 x 2 sinh k2 x 3 sinh k3 x


11 12 13

21 22 23
31 32 33



1 0 0


0 2 0
0 2 0

11 = (k3 3 k2 2 )/; 12 = (3 k2 2 2 k3 3 )/; 13 = (2 3 )/

(14)

21 = (k1 1 k3 3 )/; 22 = (1 k3 3 3 k1 1 )/; 23 = (3 1 )/

31 = (k2 2 k1 1 )/; 32 = (2 k1 1 1 k2 2 )/; 33 = (1 2 )/
= k1 1 (2 3 ) + k2 2 (3 1 ) + k3 3 (1 2 )
Ta a vo ma trn hm vt nt
G(x) =

[Gc (x)] : x > 0
[0]
:x0
23

(15)


trong ú [Gc(x)] l ma trn 3ì3
ộa 1 cosh k1 x a 2 cosh k 21 x a 3 cosh k 3 x ự ộd 11 d 12
[G c ( x)] = ờờ cosh k1 x
cosh k 21 x
cosh k 3 x ỳỳ ì ờờd 21 d 22
ờở b1 sinh k1 x b 2 sinh k 2 x b 3 sinh k 3 x ỳỷ ờởd 31 d 32

i vi dm cú nhiu vt

d

Liờn, T. V. v cs. / Tp chớ Khoa hc Cụng ngh Xõy
(k 3 b 3 - k 2 b 2 ) D ; d 12 = (a 3 k 2 b 2 - a 2 k 3 b 3 ) D ; d 13 = (a
d 11 =dng
d 21 = (k1 b1 - k 3 b 3 ) D ; d 22 = (a 1 k 3 b 3 - a 3 k1 b1 ) D ; d 23 = (a
nt, ta nhn c nghim tng quỏt ca phng trỡnh (5) di dng
d 31 = (k 2 b 2 - k1 b1 ) D ; d 32 = (a 2 k1 b1 - a 1 k 2 b 2 ) D ; d 33 = (a

n
D = k1 b1 (a 2 - a 3 ) + k 2 b 2 (a 3 - a 1 ) + k 3 b 3 (a 1 - a 2

{zc (x, )} = {z0 (x, )} +

j=1

G x ej àj
Ta a vo ma trn hm vt nt

(16)

[G ( x)] = ỡớ[G [(0x]) ] ::xxÊ>00
c

vi à j l vộc-t 3 ì 1

ợ

i vi dm cú nhiu vt nt, ta nhn c nghim tng quỏt ca phn

j1

à j = z0 e j +

G e j ek
k=1

n
àk ; j = 1, 2, 3, . . . , n

(17)
{zc ( x, w)} = {z 0 ( x, w)} + ồ ộởG( x - e j ) ựỷ.{ j}
j =1

Thay biu thc nghim tng quỏt (6) vo (16), ta nhn c
vi { j } l vộc-t 3ì1


j -1
n


{
j } = {zÂ0 (e j )}+ ồ [G Â(e j - ek )].{ k } ;




G x e j j {C} = [(x, )] {C}
(18)
{zc (x, )} = [G(x, )] +
k =1
Thay biu thc nghim tng quỏt (6) vo (16), ta nhn c

j=1

trong ú
G x ej

ổ

n

ử

ố

j =1

ứ

{z c ( x, w )} = ỗ [G( x, w)] + ồ ộởG( x - e j ) ựỷ. ộở! j ựỷ ữ {C} = ộở ( x,

j1

n

[(x, )] = [G(x, )] +

j =1

j = G e j trong
+ ú G e j ek

k ; j = 1, 2, 3, . . . , n
j -1
n
k=1
ởộ ( x, w )ỷự = [G( x, w )] + ồ ởộG( x - e j ) ỷự. ởộ! j ỷự ; ởộ! j ỷự = ởộGÂ(e j ) ỷự + ồ ởộGÂ(e j - e

j=1

(19) k =1
j =1
Ký hiu cỏc ta nỳt, lc nỳt ca phn t thanh chu un
v
kộo,
nộn
ng
thi
nh
Hỡnh
3
Ký hiu cỏc ta nỳt, lc nỳt ca phn t thanh chu un v kộo, nộn
e = {U1 , 1 , W1 , U2 , 2 , W2 }T ;
U

T
M1 ,2W, 1Q
{Pe } = {N1 , M1{,UQe }1=, N
{U21,, Q
,U22}, Q 2 ,W2 }T ; {Pe }(20)
= {N1 , M 1 , Q1 , N 2 , M

Ta nhn c [21]
e () ã U
e
{Pe ()} = K

[BF (Y) x=0 ]

[BF () x=L ]

vi [BF ] l toỏn t ma trn

[(0, )]
[(L, )]

L

N1
i
M1

[ ]

x N2

m
trong ú K
e
ca phn t dm

j

W1

W2

1

U1

Q1

(22)

{Pe (w

Q2

Q1

(21)

e ma trn cng ng lc ca phn
trong ú K
t dm FGM cú nhiu vt nt
e =
K

ta nhn c [21

y

Q2

M2

] = ộ[- B F
[K

e
ờ [B
ở F

U2

vi [BF] l toỏn

Hỡnh 3: Thanh chu un v kộo, nộn ng thi

Hỡnh 3. Thanh chu un v kộo, nộn ng thi


0
A11 x A12 x

0
[BF ] = A12 x A22 x

0
A33 A33 x






(23)

Sau ú, vic lp ghộp ma trn cng ng lc v vộc-t ti trng quy v nỳt ca phn t vo ma trn

cng ng lc v vộc-t ti trng quy v nỳt ca c kt cu c thc hin khụng khỏc gỡ phng
phỏp phn t hu hn. Bi toỏn dao ng riờng l gii cỏc phng trỡnh sau

= {0}
[K()]{
U}

(24)

Vi tn s dao ng riờng {} = {1 2 . . . n } cú c t phng trỡnh

det [K()]
=0

(25)

Mi nghim j ca phng trỡnh l tn s dao ng riờng ca kt cu ng vi dng dao ng riờng
j (x) =

C 0j

x, j

[(0, )]
[(L, )]

1

j
U

j l nghim chun húa ca (24) ng vi j .
trong ú C 0j l hng s bt k, U
24

(26)


Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

3. Phân tích wavelet và SWT
Phân tích wavelet bắt đầu bằng việc chọn một hàm wavelet cơ bản ψ(x) (gọi là wavelet mẹ). Phân
tích wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa là [21]
∞

1
C(a, b) = √
a

∞

x−b
f (x)ψ
dx =
a
−∞

f (x)ψa,b (x)dx

(27)

−∞

trong đó a > 0 là tỷ lệ và b tham số dịch mức; ψa,b (x) là hàm số
x−b
1
ψa,b (x) = √ ψ
a
a

(28)

Kết quả CWT là hệ số wavelet C(a, b) thể hiện sự tương quan giữa hàm số wavelet và tín hiệu phân
tích f (x). Vì thế, các thay đổi đột ngột trong f (x) sẽ tạo ra các hệ số wavelet có biên độ lớn, đây là đặc
điểm để xây dựng phương pháp nhận dạng vết nứt dựa trên phân tích wavelet của tín hiệu. Tín hiệu
ban đầu f (x) có thể được tái tạo từ các hệ số wavelet C(a, b)
∞ ∞

1
f (x) =
Kψ

C(a, b)ψa,b (x)

dbda
a2

(29)

−∞ −∞

trong đó hằng số Kψ phụ thuộc vào loại wavelet. Giả thiết rằng hệ số wavelet C(a, b) chỉ có giá trị đối
với tỷ lệ a < a0 , dành riêng cho các thành phần tần số cao trong tín hiệu, với a > a0 , được xem như
nhiễu. Trong trường hợp này, tín hiệu tái tạo cần phần bù của tín hiệu tương ứng với a > a0 . Để thực
hiện việc này, người ta đưa vào một hàm φ(x) khác gọi là “hàm tỷ lệ”, thu được các hệ số wavelet
∞

1
D (a0 , b) = √
a0

−∞

∞

x−b
f (x)φ
dx =
a0

f (x)φa0 ,b (x)dx

(30)

−∞

Hàm tỷ lệ rất cần thiết cho tính toán bằng số. Thay vì (29), tín hiệu ban đầu f (x) có thể tái tạo từ
a0

∞

∞

dbda
1
C(a, b)ψa,b (x) 2 +
Kψ a0
a

1
f (x) =
Kψ
a=0 b=−∞

D (a0 , b) φa0 ,b (x)db

(31)

b=−∞

Một nhược điểm của CWT là quá trình phân tích sẽ cho số lượng rất lớn các hệ số wavelet C(a, b). Để
giảm khối lượng tính toán, phân tích wavelet rời rạc (DWT) sử dụng tỷ lệ rời rạc và tham số dịch mức
dưới dạng cặp số: a = 2 j ; b = k2 j trong đó j và k là các số nguyên, j là mức dyadic. Phân tích wavelet
rời rạc DWT như sau
∞

C j,k = 2

∞

f (x)ψ 2 x − k dx =

− j/2

−j

−∞

f (x)ψ j,k (x)dx

(32)

−∞

trong đó ψi,k (x) là hàm wavelet rời rạc
ψ j,k (x) = 2− j/2 ψ 2− j x − k
25

(33)


Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

Thay cho (29), tín hiệu trong DWT có thể tái tạo từ hệ số wavelet C j,k
∞

∞

f (x) =

C j,k 2− j/2 ψ 2− j x − k

(34)

j=−∞ k=−∞

Tín hiệu sẽ đi qua rất nhiều bộ lọc (gồm có bộ lọc cao và bộ lọc thấp) để tách lấy các thành phần tần
số cao và tần số thấp tương ứng. Thay cho (31), tín hiệu trong DWT có thể được biểu diễn bằng hàm
xấp xỉ và chi tiết như sau


J  ∞
∞





f (x) =
cD j (k)ψ j,k (x) +
cA J (k)φ j,k (x) =
D j (x) + A j (x)
(35)

j=−∞ k=∞

j≤J

k=−∞

với A j (x) là hàm xấp xỉ ở mức J; Di (x) và chi tiết ở mức j ≤ J
∞

D j (x) =

∞

cD j (k)ψ j,k (x);

A j (x) =

k=∞

cA J (k)φ j,k (x)

(36)

f (x)φ J,k (x)dx

(37)

k=∞

cD j và cA j theo thứ tự là hệ số chi tiết và hệ số xấp xỉ
∞

cD J (k) =

∞

f (x)ψ J,k (x)dx;

cA J (k) =

−∞

−∞

Dưới đây, các tác giả quan tâm nhiều tới các tín hiệu chi tiết. Nếu f (x) là tín hiệu ứng xử kết cấu như
đường độ võng, thì tín hiệu D j (x) chứa thông tin cần thiết để phát hiện vết nứt.
Tuy nhiên DWT cổ điển có nhược điểm là nó không phải là biến đổi bất biến theo thời gian. Điều
này có nghĩa là, ngay cả với tín hiệu tuần hoàn, DWT của một phiên bản đã dịch của tín hiệu gốc f (x)
về cơ bản không phải là bản dịch của DWT của tín hiệu gốc f (x). Để khắc phục vấn đề này, ta có thể
sử dụng đến phần dư phân tích của tín hiệu [19]
∞

∞

D j,k = 2

− j/2

x−k
dx;
f (x)ψ
2j

A j,k = 2

− j/2

f (x)φ

x−k
dx
2j

(38)

−∞

−∞

Hệ số xấp xỉ và chi tiết xác định theo (37) được gọi là phân tích wavelet dừng (SWT). Cần phải chú ý
rằng SWT của dữ liệu gốc không bị tiêu hao nhiều. Có nghĩa là, kích thước của dãy số liệu biến đối
sau SWT không bị cắt đi một phần nào cả. Ngược lại, trong DWT, kích thước dãy dữ liệu sau biến
đổi chỉ bằng một nửa so với kích thước tín hiệu gốc. Do đó, DWT là quá trình phân giải tín hiệu mà
kết quả cho ra nghèo nàn hơn tín hiệu gốc. Trong khi đó, SWT là quá trình tách tín hiệu kết quả nhiều
hơn tín hiệu gốc. Do đó, hệ số chi tiết từ phân tích DWT có ít thông tin hơn so với phân tích SWT.
Bởi vậy, SWT có tiềm năng rất lớn với sự thuận lợi trong tách và nhận dạng các điểm nổi bật trong tín
hiệu và xác định hư hỏng kết cấu.
3.1. Nhiễu đo đạc và khử nhiễu
Thực tế, dữ liệu dạng dao động riêng của kết cấu có vết nứt gồm 3 phần [19]
y = yintact + ynoise + ycrack
26

(39)


Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

trong đó y là dạng dao động riêng đo lường được; yintact là dạng dao động riêng của kết cấu không có
vết nứt và không có nhiễu; ynoise là thành phần nhiễu có mặt cả trong trường hợp kết cấu có nứt và
không có nứt mà ta không biết được giá trị đúng hay không đo lường được; ycrack là thành phần tín
hiệu xuất hiện thêm vào khi có vết nứt và chỉ tồn tại khi kết cấu có vết nứt.
Về mặt lý thuyết, dữ liệu dạng dao động có thể phân tích bởi SWT thành hai thành phần: Thành
phần thứ nhất là hệ số xấp xỉ có chứa yintact , đây là một đường cong trơn; Thành phần thứ hai là hệ
số chi tiết gồm ynoise và ycrack và lưu ý rằng thành phần nhiễu bao gồm của cả hai thành phần kết cấu
không nứt và kết cấu có nứt đều được phân tách vào hệ số chi tiết. Hệ số chi tiết có thể cung cấp các
thông tin nhận biết sự tồn tại của vết nứt. Để thuận lợi cho nhận dạng được vết nứt thì việc lựa chọn
phương pháp giảm thiểu nhiễu hay khử nhiễu cho tín hiệu của kết cấu không có nứt hoặc có nứt là rất
cần thiết. Thông thường, quy trình khử nhiễu trong phân tích wavelet được thực hiện thông qua đặt
ngưỡng (thresholding) định sẵn. Có hai ngưỡng hay sử dụng là hard-thresholding (ngưỡng cứng) và
soft-thresholding (ngưỡng mềm). Hàm hard-thresholding được định nghĩa là
ηth =

x |x| > th
0 |x| < th

trong đó th là ngưỡng

(40)

Hàm ngưỡng mềm soft-thresholding được định nghĩa là
ηth = sgn(x) max(|x| − th, 0)

(41)

Hàm soft-thresholding được sử dụng nhiều hơn trong việc khử nhiễu. Đối với các hàm ngưỡng thì
mức ngưỡng th được tính toán theo công thức

th = σ 2 log N

(42)

trong đó N là chiều dài tín hiệu, σ là độ lệch chuẩn của nhiễu. Trong cả hai trường hợp kết cấu có vết
nứt và kết cấu không có vết nứt, nhiễu có trong cả tần số số cao và tần số thấp. Đối với kết cấu có vết
nứt, nhiễu sẽ tác động thêm vào tín hiệu trong hệ số chi tiết phát sinh khi có vết nứt. Như vậy trong
nhận dạng vết nứt của kết cấu, những tác động của mức nhiễu vào tần số thấp sẽ được bỏ qua coi như
nó đã có trong hệ số xấp xỉ là kết quả của phân tích wavelet, và không ảnh hưởng đến việc nhận dạng
vết nứt theo hệ số chi tiết.
Để mô phỏng các số liệu đo thực nghiệm, ta sử dụng nhiễu trắng Gaussian được cộng thêm vào
dạng dao động của kết cấu [21]
2
1
− (x−µ)
f (x) = √ e 2σ2
(43)
σ 2π
Thông thường đường cong Gaussian phụ thuộc vào giá trị kỳ vọng µ và phương sai σ2 , hoặc được
đánh giá theo trị số SNR (Signal to Noise Ratio)
SNR = 20 log10

norm(Signal)
norm(Noise)

(dB)

(44)

trong đó norm là chuẩn đo của tín hiệu f (x) có độ dài N s

N
1/2
 s

norm( f ) =  | f (xi )|2 
i=1

27

(45)


Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

3. Kết quả số, nhận xét và đánh giá
với N s là số điểm rời rạc của mẫu tín hiệu f (x). Chỉ số SNR cao tương ứng với sự hiện diện của nhiễu
3.1. Dầm đơn giản
nhỏ và ngược lại. Như vậy, véc-tơ tín hiệu nhiễu có dạng:
Xét dầm FGM Timoshenko hai đầu gối tựa cố định với các tham số: Et=70GPa; rt=2780kg/m3;
ynr vànorm
intact ) L=1,0m; b=0,1m; h=0,1m.
µt=0,33; Et/Eb=2; rb=7850kg/m3y; noise
µb=0,33;
n=0,5
kích(ythước:
=
(46)
(0.05×SNR)
norm (ynr ) 10
Hình 4 là biểu đồ hệ số chi tiết của SWT loại db4 cho 3 dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết

nứt ytại
x1=0,2m tính từ nút bên trái với độ sâu vết nứt là 10%, 20% và 30% ứng với số điểm đo là
với
nr = Rand size yintact,std là véc-tơ các giá trị giả lập ngẫu nhiên phân bố đều trên đoạn (0, 1),
50
điểm
(hình
4a-c),
200 điểm (hình 4g-i). Trong các tính toán dưới đây, ta
có chiều dài
tương
ứng100
với điểm
chiều (hình
dài tín4d-f),
hiệu gốc.
đều chọn số điểm đo là 100 điểm. Tín hiệu đầu vào là 3 dạng dao động riêng đầu tiên của dầm FGM
có vết nứt được cộng thêm nhiễu với các mức nhiễu SNR khác nhau. Hình 5 thể hiện hệ số chi tiết
4.
nhận
xétcho
và đánh
giá động riêng thứ nhất (5a-c), thứ hai (5d-f) và thứ ba (5g-i) của
đốiKết
với quả
phânsố,tích
SWT
dạng dao
dầm đơn giản FGM với mức nhiễu là 75, 80 và 90dB. Ta nhận thấy dạng dao động riêng càng cao
4.1.

Dầm
đơn giản
thì ảnh
hưởng
của nhiễu càng giảm dần. Để có thể nhận dạng được vị trí vết nứt, mức nhiễu của
dạngXét
daodầm
động
riêng
đầu tiên phải
dạng
hai,ρ giá
trị này
FGM
Timoshenko
hailớn
đầuhơn
gối80dB,
tựa cốtrong
định khi
với đó
cácvới
tham
số:dao
Et động
= 70thứ
GPa;
t = 2780
chỉ là3 75dB. Dưới đây, để đơn giản ta giả thiết3 không có nhiễu trong các dạng dao động riêng. Hình
kg/m ; µt = 0,33; Et /Eb = 2; ρb = 7850 kg/m ; µb = 0,33; n = 0,5 và kích thước: L = 1,0 m; b =

6 là biểu đồ hệ số chi tiết của SWT loại db4 cho 3 dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt
0,1
m; h =tính
0,1từ
m.nút bên trái với độ sâu là 30% khi số mũ n thay đổi lần lượt là n=0,1; 1; 10.
x1=0,2m

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Hình 4: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt ở vị

Hình 4. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm FGM có 1 vết nứt ở vị trí 0,2 m;
trí 0,2m; độ sâu vết nứt 10%; 20%; 30% với số điểm đo là 50(a-c); 100(d-e) và 200 điểm(g-i).
độ sâu vết nứt 10%; 20%; 30% với số điểm đo là 50(a-c); 100(d-e) và 200 điểm(g-i)

Hình 7 là biểu đồ hệ số chi tiết của SWT loại db4
28 cho 3 dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết
nứt x1=0,2m tính từ nút bên trái với độ sâu là 30% khi tỷ số Et/Eb thay đổi lần lượt là 0,5; 1; 5. Hình
8 là biểu đồ hệ số chi tiết của SWT loại db4 cho 3 dạng dao động đầu tiên của dầm có 4 vết nứt
8


cách đều nhau một khoảngLiên,
0,2m
với
nứt đều
thay nghệ
đổi Xây
là 10%,
T. V.
và độ
cs. /sâu
Tạp vết
chí Khoa
học Công
dựng 20% và 30%. Số điểm đo
trong các hình 5-7 đều là 100 điểm.
Hình 4 là biểu đồ hệ số chi tiết của SWT loại db4 cho 3 dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết
Ta nhận thấy:
nứt tại x1 = 0,2m tính từ nút bên trái với độ sâu vết nứt là 10%, 20% và 30% ứng với số điểm đo là 50
-điểm
Biểu
đồ hệ
số chi tiết

các(Hình
dạng dao
động khác
nhau(Hình
đều có4(g)–(i)).
điểm gián
đoạncác
tại tính
vị trítoán
vết nứt.
(Hình
4(a)–(c)),
100của
điểm
4(d)–(f)),
200 điểm
Trong
dưới
ta đều
chọncủa
số điểm
đo làđồ100
điểm.
3 dạng
-đây,Giá
trị đỉnh
các biểu
tăng
lên Tín
khi hiệu

chiềuđầu
sâuvào
vếtlànứt
tăng dao
lên, động
nghĩariêng
là vếtđầu
nứttiên
lớncủa
thì dầm
biểu
FGM
nứt tiết
được
cộng
đồcó
hệvết
số chi
càng
rõthêm
nét. nhiễu với các mức nhiễu SNR khác nhau. Hình 5 thể hiện hệ số chi
tiết đối với phân tích SWT cho dạng dao động riêng thứ nhất (Hình 5(a)–(c)), thứ hai (Hình 5(d)–(f))
- Đối với các vết nứt có độ sâu như nhau nhưng tại các vị trí khác nhau thì biên độ đỉnh cũng
và thứ
(Hìnhbiên
5(g)–(i))
củalớn
dầm
đơnvới
giản

FGM
là 75,
và 90
Ta nhận
khácbanhau,
độ đỉnh
ứng
vị trí
vết với
nứtmức
làm nhiễu
thay đổi
lớn80
dạng
daodB.
động.
Như thấy
vậy,
dạng
dao
động
riêng
càng
cao
thì
ảnh
hưởng
của
nhiễu
càng

giảm
dần.
Để
có
thể
nhận
dạng
biên độ đỉnh phụ thuộc không những vào vị trí vết nứt mà còn phụ thuộc độ sâu vết nứt. được vị
trí vết nứt, mức nhiễu của dạng dao động riêng đầu tiên phải lớn hơn 80 dB, trong khi đó với dạng
- Khi tăng số lượng điểm lấy mẫu thì ảnh hưởng của chiều sâu vết nứt đến dạng gián đoạn của
dao động thứ hai, giá trị này chỉ là 75 dB. Dưới đây, để đơn giản ta giả thiết không có nhiễu trong các
biểu đồ hệ số chi tiết vẫn ổn định, đồng thời giá trị tuyệt đối của biên độ tăng lên đáng kể và
dạng
dao xảy
độngrariêng.
Hình
6 là
biểuthu
đồhẹp
hệ số
vùng
sự gián
đoạn
cũng
lại.chi tiết của SWT loại db4 cho 3 dạng dao động đầu tiên
của dầm có 1 vết nứt x1 = 0,2 m tính từ nút bên trái với độ sâu là 30% khi số mũ n thay đổi lần lượt
-là nKhi
số mũ
n càng nhỏ hoặc tỷ số Et/Eb càng lớn thì dầm nhạy cảm hơn với vết nứt, biểu đồ hệ
= 0,1;

1; 10.
số chi tiết có bước nhảy lớn.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)
h)
i)
Hình 5: Hệ số chi tiết SWT đối với dạng dao động riêng thứ nhất (a-c), thứ hai (d-f) và thứ ba (g-i) của
Hình 5.dHệ
chi tiết
đốiởvới
dạng
daotừđộng
riêng
(a-c),vàthứ
hainhiễu
(d-f) và
(g-i) của dầm
ầmsố

FGM
có 1SWT
vết nứt
vị trí
0,2m
nút trái
vớithứ
độnhất
sâu 30%
mức
75,thứ
80 ba
và 90dB.
FGM có 1 vết nứt ở vị trí 0, 2 m từ nút trái với độ sâu 30% và mức nhiễu 75, 80 và 90 dB

Hình 7 là biểu đồ hệ số chi tiết của SWT loại db4 cho 3 dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết
29

9
a)

b)

c)


d)

f)

e)

Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

nứt x1 = 0,2 m tính từ nút bên trái với độ sâu là 30% khi tỷ số Et /Eb thay đổi lần lượt là 0,5; 1; 5.
Hình 8 là biểu đồ hệ số chi tiết của SWT loại db4 cho 3 dạng dao động đầu tiên của dầm có 4 vết nứt
cách đều nhau một khoảng 0,2 m với độ sâu vết nứt đều thay đổi là 10%, 20% và 30%. Số điểm đo
trong các Hình 5–7 đều là 100 điểm.
g)
h)
i)

9
a)

b)

c)

Hình 6.cóHệ
với độ
ba dạng
daonứt
động
riêng
của dầm
có 1 vết
nứt ở vị
1 số
vếtchi

nứttiếtở SWT
vị trí đối
0,2m,
sâu vết
30%
vàđầu
số tiên
mũ thay
đổiđơn
lần giản
lượt FGM
là n=0,1;
1; 10.
b) là n = 0,1; 1; 10
c)
trí 0,2 m, độ sâu a)
vết nứt 30% và số mũ thay đổi lần lượt

Hình 6: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m, độ
a) sâu vết nứt 30% và số mũ thay
b) đổi lần lượt là n=0,1; 1; 10. c)
Hình 6: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m, độ sâu vết nứt 30% và số mũ thay đổi lần lượt là n=0,1; 1; 10.

a)

b)

c)

Hình 7.cóHệ1 số
tiếtở SWT
với ba
dao nứt
động30%
riêngvàđầu
dầm đơn giản FGM có 1 vết nứt ở vị
vếtchi
nứt
vị tríđối
0,2m,
độdạng
sâu vết
tỷ tiên
số Ecủa
t/Eb thay đổi lần lượt là 0,5; 1; 5. c)
trí 0,2 m, độ sâua)vết nứt 30% và tỷ số Et /Eb thay đổib)lần lượt là 0,5; 1; 5

Hình 7: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m, độ sâu vết nứt 30% và tỷ số Et/Eb thay đổi lần lượt là 0,5; 1; 5.

a)

b)

c)

Hình 8: Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM
có 4 vết nứt phân bố đềua)trên dầm và độ sâu vết nứt đềub)

thay đổi là 10%, 20%, 30%. c)
M
3.2.
liênchi
tục nhiều
nhịpvới ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm đơn giản FGM có 4 vết nứt phân
HìnhDầm
8. Hệ
có số
4 vết tiết
nứtSWT
phânđối
bố đều trên dầm và độ sâu vết nứt đều thay đổi là 10%, 20%, 30%.
bố đều trên dầm và độ sâu vết nứt đều thay đổi là 10%, 20%, 30%
h
3.2. Dầm liên tục nhiều nhịp
L2=1,2m
L3=0,6m b
L1=0,7m
h
Hình 9: Dầm
liên tục có vết nứt
30
L2=1,2m
L3=0,6m b
L1=0,7m
Xét dầm liên tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m3; µt=0,33;
Hình
Dầm
liênvật

tụcliệu
có vết
nứt Kích thước tiết diện: b=0,1m,
Et/Eb=2; rb=7850kg/m3; µb=0.33 và số
mũ9:đặc
trưng
n=0,5.
h=0,1m
Xét dầm(hình
liên 9).
tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m3; µt=0,33;
3


Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

Ta nhận thấy:
- Biểu đồ hệ số chi tiết của các dạng dao động khác nhau đều có điểm gián đoạn tại vị trí vết nứt.
- Giá trị đỉnh của các biểu đồ tăng lên khi chiều sâu vết nứt tăng lên, nghĩa là vết nứt lớn thì biểu
đồ hệ số chi tiết càng rõ nét.
- Đối với các vết nứt có độ sâu như nhau nhưng tại các vị trí khác nhau thì biên độ đỉnh cũng khác
nhau, biên độ đỉnh lớn ứng với vị trí vết nứt làm thay đổi lớn dạng dao động. Như vậy, biên độ đỉnh
phụ thuộc không những vào vị trí vết nứt mà còn phụ thuộc độ sâu vết nứt.
- Khi tăng số lượng điểm lấy mẫu thì ảnh hưởng của chiều sâu vết nứt đến dạng gián đoạn của
biểu đồ hệ số chi tiết vẫn ổn định, đồng thời giá trị tuyệt đối của biên độ tăng lên đáng kể và vùng xảy
ra sự gián đoạn cũng thu hẹp lại.
- Khi số mũ n càng nhỏ hoặc tỷ số Et /Eb càng lớn thì dầm nhạy cảm hơn với vết nứt, biểu đồ hệ
số chi tiết có bước nhảy lớn.
4.2. Dầm liên tục nhiều nhịp
Xét dầm liên tục FGM với các tham số vật liệu như sau: Et = 70 GPa; ρt = 2780 kg/m3 ; µt = 0,33;

Et /Eb = 2; ρb = 7850 kg/m3 ; µb = 0,33 và số mũ đặc trưng vật liệu n = 0,5. Kích thước tiết diện: b =
0,1m,
h =liên
0,1m
(Hình
9).nhịp
3.2.
Dầm
tụcnhiều
nhiềunhịp
3.2.
Dầm
liên tục
L1L
=0,7m
1=0,7m

L2=1,2m
L2=1,2m

h h
L3=0,6mb b
L3=0,6m

Hình
9:
Dầm
liênliên
tụccó
cóvết

vết
nứt nứt
Hình
Dầm
tục
cónứt
vết
Hình
9. 9:
Dầm
liên
tục
3
Xét
số số
vậtvật
liệuliệu
nhưnhư
sau:sau:
Et=70GPa;
rt=2780kg/m
; µt3=0,33;
Xét dầm
dầmliên
liêntục
tụcFGM
FGMvới
vớicáccáctham
tham
Et=70GPa;

rt=2780kg/m
; µt=0,33;
Hình
10
là
biểu
đồ
3 3 hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí
EEt/E
=2;
r
=7850kg/m
;
µ
=0.33
và
số
mũ
đặc
trưng
vật
liệu
n=0,5.
Kích
thước
tiết
diện:
b=0,1m,
b
b

b
t/Eb=2; rb=7850kg/m ; µb=0.33 và số mũ đặc trưng vật liệu n=0,5. Kích thước tiết diện: b=0,1m,
vết nứt(hình
là
x1 9).
=9).
0,2 m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi
h=0,1m
h=0,1m
(hình
lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 11 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của
Hình
10
làlàbiểu
đồđồhệhệsốsốchichi
tiếttiết
wavelet
ba ba
dạng
daodao
động
đầuđầu
tiêntiên
của của
dầmdầm
có 1có
vết1 nứt,
vị trívịvết
Hình
10

biểu
wavelet
dạng
động
vết nứt,
trí
vết
dầm
có
1
vết
nứt,
vị
trí
vết
nứt
là
x
=
0,2
m,
tính
từ
nút
thứ
hai
bên
trái
(trên
nhịp

dầm
thứ
chiều
1
nứt
là
x
=0,2m,
tính
từ
nút
đầu
tiên
bên
trái
(trên
nhịp
dầm
đầu
tiên),
chiều
sâu
vết
nứt
thay
đổi2),
lần
nứt là x1 1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay
đổi lần
sâu vết nứt thay

đổi lần Hình
lượt là 10%,
20%,
30%.
12 là
biểu đồ
số chi
wavelet
ba dạng
lượt
là là
biểu
đồđồ
hệ hệ
sốHình
chichi
tiết
wavelet
bahệ
dạng
daotiết
động
đầu đầu
tiên
của dao
lượtlàlà10%,
10%,20%,
20%,30%.
30%. Hình1111
biểu

số
tiết
wavelet
ba dạng
dao
động
tiên
của
động
đầu
tiên
của
dầm
có
1
vết
nứt,
vị
trí
vết
nứt
là
x
=
0,2
m,
tính
từ
nút
thứ

ba
(trên
nhịp
dầm
thứ
dầm
có
1
vết
nứt,
vị
trí
vết
nứt
là
x
=0,2m,
tính
từ
nút
thứ
hai
bên
trái
(trên
nhịp
dầm
thứ
2),
chiều

1
1
dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ hai bên trái (trên nhịp dầm thứ 2), chiều
sâu
vết
nứt
thay
đổi
lần
lượt
là
10%,
20%,
30%.
Hình
12
là
biểu
đồ
hệ
số
chi
tiết
wavelet
ba
dạng
3),
chiều
sâu
vết

nứt
thay
đổi
lần
lượt
là
10%,
20%,
30%.
s vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%. Hình 12 là biểu đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng
dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết nứt là x1=0,2m, tính từ nút thứ ba (trên nhịp dầm
thứ 3), chiều sâu vết nứt thay đổi lần lượt là 10%, 20%, 30%.
â
u

10
b)
c)
a)
c)
a) với ba dạng dao động riêng đầub)tiên của dầm liên tục FGM
Hình 10: Hệ số chi tiết SWT đối
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30%
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%,

Hình 10. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 vết nứt ở vị
trí 0,2 m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h =10%, 20%, 30%

Ta nhận thấy:
- Tương tự với trường hợp dầm đơn giản, các biểu đồ hệ số chi tiết đều có điểm gián đoạn tại vị

trí vết nứt.
31


b)
a)
c)
Hình 10: Hệ số chi tiết SWTa)đối với ba dạng dao động riêng b)
đầu tiên của dầm liên tục FGM c)
Liên,
T. V.
và cs.
/ Tạp
chítiên,
Khoađộ
họcsâu
Công
nghệ
Xây
dựng
cóHình
1 vết10:
nứt
vị trí
trên
nhịp
dầm
vết
nứtđầu
thay

đổi
a/h=10%,
30%
Hệở số
chi0,2m
tiết SWT
đối với
bađầu
dạng
dao động
riêng
tiên
của
dầm liên20%,
tục FGM
có 1 vết nứt ở vị trí 0,2m trên nhịp dầm đầu tiên, độ sâu vết nứt thay đổi a/h=10%, 20%, 30%

a)
b)
c)
Hình 11: Hệ số chi tiết SWT đối
với
ba
dạng
dao
động
riêng
đầu
tiên
của

dầm
liên
tục
FGM
có
1
a)
b)
c)
vết
nứt
ở
vị
trí
0,2m
trên
nhịp
dầm
thứ
hai,
độ
sâu
vết
nứt
thay
đổi
a/h=10%,
20%,
30%
Hình

11:
Hệ
số
chi
tiết
SWT
đối
với
ba
dạng
dao
động
riêng
đầu
tiên
của
dầm
liên
tục
FGM
có
1
Hình 11. Hệ số chi tiết SWT đối với ba dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục FGM có 1 vết nứt ở vị
vết nứt ởtrí
vị0,2
trí m
0,2m
dầmhai,
thứđộhai,
a/h=10%,

20%, 30%
trêntrên
nhịpnhịp
dầm thứ
sâuđộ
vếtsâu
nứt vết
thaynứt
đổi thay
a/h =đổi
10%,
20%, 30%

b)
c)
a)
Hình 12: Hệ số chi tiết SWTa)đối với ba dạng dao động riêng b)
đầu tiên của dầm liên tục FGM c)
có
1 vết
trí tiết
0,2m
trên đối
nhịpvới
dầm
độđộng
sâu vết
nứtđầu
thaytiên
đổicủa

a/h=10%,
30%
Hình
12:nứt
Hệởsốvịchi
SWT
ba thứ
dạngba,
dao
riêng
dầm liên20%,
tục FGM
vếtsốnứt
vị trí
0,2m
nhịp
dầm
ba,riêng
độ sâu
Hìnhcó
12.1 Hệ
chiởtiết
SWT
đốitrên
với ba
dạng
daothứ
động
đầuvết
tiênnứt

củathay
dầm đổi
liêna/h=10%,
tục FGM có20%,
1 vết30%
nứt ở vị
m trênnhịp
nhịp dầm thứ ba, độ sâu vết nứt thay đổi a/h = 10%, 20%, 30%
3.2. Dầm liên trí
tục0,2
nhiều
3.2.- Giá
Dầmtrịliên
tục
nhiều
nhịpđồ tăng lên khi chiều sâu vết nứt tăng lên, nghĩa là vết nứt lớn thì biểu
đỉnh
của
các biểu
h
đồ hệ số chi tiết càng rõ nét.
L2=1,2m
L3=0,6m b h
L1=0,7m
- Đối với các vết nứt có độ sâu
như
nhau
nhưng
tại
các

vị
trí
nhau, trên các nhịp dầm khác
L2=1,2m
L3khác
=0,6m
L1=0,7m
b
9: Dầm
tục có
nhau thì biên độ đỉnh cũng khác nhau, Hình
biên độ
đỉnh liên
lớn ứng
vớivết
vị nứt
trí vết nứt làm thay đổi lớn dạng
3
Xétđộng.
dầm Như
liên vậy,
tục FGM
cácphụ
tham
số không
vậtDầm
liệu
nhưtục
sau:
Etrít=70GPa;

rt=2780kg/m
; µđộ
Hình
9:
liên
có
nứtnứt mà
t=0,33;
dao
biên độvới
đỉnh
thuộc
những
vào
vị vết
vết
còn phụ thuộc
sâu
3
3
E
/E
=2;
r
=7850kg/m
;
µ
=0.33
và
số

mũ
đặc
trưng
vật
liệu
n=0,5.
Kích
thước
tiết
diện:
b=0,1m,
t nứt.
bdầm liên
b
b các tham số vật liệu như sau: Et=70GPa; rt=2780kg/m ; µt=0,33;
vết
Xét
tục FGM với
3
h=0,1m
9).
Et/Eb=2;(hình
rb=7850kg/m
; µb=0.33 và số mũ đặc trưng vật liệu n=0,5. Kích thước tiết diện: b=0,1m,
h=0,1m
(hình
là biểu9).đồ hệ số chi tiết wavelet ba dạng dao động đầu tiên của dầm có 1 vết nứt, vị trí vết
5.Hình
Kết10
luận

nứt
là 10
x1=0,2m,
nútchiđầu
bên trái
dầm đầu
chiều
nứtnứt,
thayvịđổi
Hình
là biểu tính
đồ hệtừsố
tiếttiên
wavelet
ba (trên
dạng nhịp
dao động
đầu tiên),
tiên của
dầmsâu
cóvết
1 vết
trí lần
vết
lượt
là
10%,
20%,
30%.
Hình

11
là
biểu
đồ
hệ
số
chi
tiết
wavelet
ba
dạng
dao
động
đầu
tiên
của
Trong
bài
báo
này,
các
tác
giả
đã
trình
bày
các
kết
quả
nghiên

cứu
mới
về
việc
xác
định
vết
nứt
nứt là x1=0,2m, tính từ nút đầu tiên bên trái (trên nhịp dầm đầu tiên), chiều sâu vết nứt thay đổi
lần
dầm
1 vết
nứt,
vị30%.
tríđơn
vếtHình
nứt 11
là
xlà
nút
bênvết
trái
(trên
dầm
2),
chiều
1=0,2m,
trong
dầm
FGM

(dầm
giản,
dầm
liên
nhiều
cóhai
nhiều
dựanhịp
trênđộng
phânthứ
tích
SWT
lượt có
là
10%,
20%,
biểutục
đồtính
hệ từ
số nhịp)
chi thứ
tiết
wavelet
banứt
dạng
dao
đầu
tiên
của
sâu

vết
nứt
thay
đổi
lần
lượt
là là
10%,
20%,
30%.
Hình
12
làhai
biểu
đồtrái
hệ
số chi
tiếtdầm
wavelet
badạng
dạng
dầm
cócác
1 vết
nứt,
vị động
trí vết
nứt
tính
từ

nút
thứnhiễu
bên
(trên
nhịp
thứcác
2),
chiều
đối
với
dạng
dao
riêng
cóxkể
đến ảnh
hưởng
của
trắng
Gausian.
Tần
số và
1=0,2m,
dao
động
đầu
tiên
của
dầm
có
1

vết
nứt,
vị
trí
vết
nứt
là
x
=0,2m,
tính
từ
nút
thứ
ba
(trên
nhịp
dầm
1
sâuđộng
vết nứt
thay
đổixác
lầnđịnh
lượttừlàmô
10%,
20%,
Hìnhđàn
12hồi
là biểu
số và

chiuốn
tiếtcówavelet
ba nứt
dạng
dao
riêng
được
hình
phần30%.
tử thanh
chịu đồ
kéo,hệnén
nhiều vết
thứ
3),
chiều
sâu
vết
nứt
thay
đổi
lần
lượt
là
10%,
20%,
30%.
dao mô
động
đầulòtiên

của dầm
có 1pháp
vết nứt,
vị trí động
vết nứt
x1=0,2m,
tính từ
thứthấy
ba (trên
nhịp
dầm
theo
hình
xo bằng
phương
độ cứng
lực.làKết
quả nghiên
cứunút
cho
phương
pháp
thứ
3),
chiều
sâu
vết
nứt
thay
đổi

lần
lượt
là
10%,
20%,
30%.
này có tính khả thi, hiệu quả và có thể áp dụng vào thực tế.

Lời cảm ơn
Tác giả chân thành cảm ơn sự hỗ trợ tài chính của Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia
(NAFOSTED) cho đề tài mã số 107.02-2017.301.
10
10
32


Liên, T. V. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng

Tài liệu tham khảo
[1] Ke, L. L., Yang, J., Kitipornchai, S., Xiang, Y. (2009). Flexural vibration and elastic buckling of a
cracked Timoshenko beam made of functionally graded materials. Mechanics of Advanced Materials and
Structures, 16(6):488–502.
[2] Yang, J., Chen, Y., Xiang, Y., Jia, X. L. (2008). Free and forced vibration of cracked inhomogeneous
beams under an axial force and a moving load. Journal of Sound and Vibration, 312(1-2):166–181.
[3] Aydin, K. (2013). Free vibration of functionally graded beams with arbitrary number of surface cracks.
European Journal of Mechanics-A/Solids, 42:112–124.
[4] Yang, J., Chen, Y. (2008). Free vibration and buckling analyses of functionally graded beams with edge
cracks. Composite Structures, 83(1):48–60.
[5] Wei, D., Liu, Y., Xiang, Z. (2012). An analytical method for free vibration analysis of functionally graded
beams with edge cracks. Journal of Sound and Vibration, 331(7):1686–1700.

[6] Sherafatnia, K., Farrahi, G., Faghidian, S. A. (2013). Analytic approach to free vibration and buckling
analysis of functionally graded beams with edge cracks using four engineering beam theories. International Journal of Engineering-Transactions C: Aspects, 27(6):979–990.
[7] Kitipornchai, S., Ke, L. L., Yang, J., Xiang, Y. (2009). Nonlinear vibration of edge cracked functionally
graded Timoshenko beams. Journal of Sound and Vibration, 324(3-5):962–982.
[8] Yu, Z., Chu, F. (2009). Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version
of finite element method. Journal of Sound and Vibration, 325(1-2):69–84.
[9] Akbas¸, S¸. D. (2013). Free vibration characteristics of edge cracked functionally graded beams by using
finite element method. International Journal of Engineering Trends and Technology, 4(10):4590–4597.
[10] Banerjee, A., Panigrahi, B., Pohit, G. (2016). Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam
under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA. Nondestructive
Testing and Evaluation, 31(2):142–164.
[11] Su, H., Banerjee, J. (2015). Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally
graded Timoshenko beams. Computers & Structures, 147:107–116.
[12] Lien, T. V., Duc, N. T., Khiem, N. T. (2017). Mode shape analysis of multiple cracked functionally graded
beam-like structures by using dynamic stiffness method. Vietnam Journal of Mechanics, 39(3):215–228.
[13] Lien, T. V., Duc, N. T., Khiem, N. T. (2017). Free vibration analysis of multiple cracked functionally
graded Timoshenko beams. Latin American Journal of Solids and Structures, 14(9):1752–1766.
[14] Khiem, N. T., Lien, T. V. (2002). The dynamic stiffness matrix method in forced vibration analysis of
multiple-cracked beam. Journal of Sound and Vibration, 254(3):541–555.
[15] Sohn, H., Farrar, C. R., Hemez, F., Czarnecki, J. (2003). A review of structural health monitoring literature: 1996–2001. Los Alamos National Laboratory, USA.
[16] Liew, K. M., Wang, Q. (1998). Application of wavelet theory for crack identification in structures. Journal
of Engineering Mechanics, 124(2):152–157.
[17] Wang, Q., Deng, X. (1999). Damage detection with spatial wavelets. International Journal of Solids and
Structures, 36(23):3443–3468.
[18] Chang, C. C., Chen, L. W. (2005). Detection of the location and size of cracks in the multiple cracked
beam by spatial wavelet based approach. Mechanical Systems and Signal Processing, 19(1):139–155.
[19] Zhong, S., Oyadiji, S. O. (2007). Crack detection in simply supported beams without baseline modal
parameters by stationary wavelet transform. Mechanical Systems and Signal Processing, 21(4):1853–
1884.
[20] Khiem, N. T., Huyen, N. N. (2017). A method for crack identification in functionally graded Timoshenko

beam. Nondestructive Testing and Evaluation, 32(3):319–341.
[21] Liên, T. V., Khiêm, N. T. (2017). Phương pháp độ cứng động lực trong phân tích và chẩn đoán kết cấu.
Nhà xuất bản Xây dựng.

33