Chuyên đề 5 Đạo Hàm - Toán 11 có giải chi tiết

Đạo hàm – ĐS> 11

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM.
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):
f ( x) − f ( x0 )
∆y
f '( x0 ) = lim
lim
x → x0
x − x0
∆x → 0 ∆ x
=
(∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0))
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 )
f '( x0+ ) = lim+
f '( x0− ) = lim−
x → x0
x → x0
x − x0
x − x0
.
.
+
x0 ⇔ ∃ f ( x0 )
f '( x0− )
f '( x0+ ) = f '( x0− )

f ( x)
Hệ quả : Hàm
có đạo hàm tại
và
đồng thời
.
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
f (x)
( a; b )
•
Hàm số
có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc
( a; b )

•

f ( x)

Hàm số

[a ; b ]

có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên

đồng thời tồn tại đạo hàm trái
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

x0

f ( x)

Nếu hàm số

f '(a + )

f '(b )

( a; b )

•

nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc

−

có đạo hàm tại

và đạo hàm phải

x0

f ( x)

thì

.

liên tục tại

.

x0
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm

nhưng hàm đó

x0
khơng có đạo hàm tại

.

B – BÀI TẬP
x0 < 1

y = f ( x)

Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số
?
f ( x) − f ( x0 )
f ( x + ∆x ) − f ( x0 )
lim
lim
x →0
x − x0
∆x→0
∆x
A.
.
B.

.
f ( x) − f ( x0 )
f ( x0 + ∆x ) − f ( x )
lim
lim
x → x0
x − x0
∆x→0
∆x
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C.

Trang 1

tại


Đạo hàm – ĐS> 11

f ( x)
Câu 2. Cho hàm số

liên tục tại

f ( x0 )

A.
B.
C.

f ( x)

x0
. Đạo hàm của

x0
tại

là

.
f ( x0 + h) − f ( x0 )
h

.
f ( x0 + h) − f ( x0 )
lim
h →0
h

(nếu tồn tại giới hạn).
f ( x0 + h) − f ( x0 − h)
lim
h→0
h

D.
(nếu tồn tại giới hạn).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ′ ( x0 ) = lim
f ′ ( x0 ) = lim
∆x →0
h
→
0
∆x
h
Định nghĩa
hay
(nếu tồn tại giới hạn).
x0
f '( x0 )
y = f ( x)
Câu 3. Cho hàm số
có đạo hàm tại
là
. Khẳng định nào sau đây sai?

f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )

.
x − x0

f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
.
∆x

f ′( x0 ) = lim

f ( x + x0 ) − f ( x0 )
.
x − x0

∆x →0

A.

B.
f ′( x0 ) = lim
h →0

f ( x0 + h) − f ( x0 )
.
h

x → x0

C.

Hướng dẫn giải:
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì
∆x = x − x0 ⇒ x = ∆x + x0

D.

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

⇒ f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
=
=
x − x0
∆x + x0 − x0
∆x

C. Đúng vì

h = ∆x = x − x0 ⇒ x = h + x0 , ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )

Đặt
⇒ f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 )
=
=
x − x0
h + x0 − x0
h

f ( x ) = x3
Câu 4. Số gia của hàm số
A.

−19

Trang 2

.

x0 = 2
ứng với

B.

7

.

và

∆x = 1
C.

19

.

bằng bao nhiêu?
D.

−7

.


Đạo hàm – ĐS> 11
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
3
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( x0 + ∆x ) − 23 = x03 + ( ∆x ) + 3x0 ∆x ( x0 + ∆x ) − 8
Ta có
.

x0 = 2

∆x = 1

Với

∆y = 19

và
thì
.
∆y
f ( x ) = 2 x ( x − 1)
∆x
∆x
Câu 5. Tỉ số
của hàm số
theo x và
là
2
4 x + 2 ( ∆x ) − 2.
4 x + 2∆x + 2.
A.
B.
2
4 x∆x + 2 ( ∆x ) − 2∆x.
4 x + 2∆x − 2.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
∆y f ( x ) − f ( x0 ) 2 x ( x − 1) − 2 x0 ( x0 − 1)
=
=
∆x
x − x0
x − x0
=

2 ( x − x0 ) ( x + x0 ) − 2 ( x − x0 )
= 2 x + 2 x0 − 2 = 4 x + 2∆x − 2
x − x0
f ( x) =

Câu 6. Số gia của hàm số
1
2
( ∆x ) − ∆x.
2
A.
Hướng dẫn giải:
Chọn A

B.

x2
2

ứng với số gia

1
2
( ∆x ) − ∆x  .

2

∆x

x0 = −1
của đối số x tại
1
2
( ∆x ) + ∆x  .

2
C.

là
D.

1
2
( ∆x ) + ∆x.
2

x0 = −1

∆x

Với số gia
của đối số x tại
Ta có
2
2
( −1 + ∆x ) − 1 = 1 + ( ∆x ) − 2∆x − 1 = 1 ∆x 2 − ∆x
∆y =
( )
2

2
2
2 2

f ( x ) = x2 − x
Câu 7. Cho hàm số

lim

∆x → 0

( ( ∆x )

2

)

, đạo hàm của hàm số ứng với số gia
∆x → 0

B.
∆x → 0

∆x →0

Trang 3

(

)

lim ( ∆x ) + 2 x∆x + ∆x .

lim ( ∆x + 2 x + 1) .

C.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có :

của đối số x tại x0 là

lim ( ∆x + 2 x − 1) .

+ 2 x ∆x − ∆ x .

A.

∆x

D.

2


Đạo hàm – ĐS> 11

∆y = ( x0 + ∆x ) − ( x0 + ∆x ) − ( x02 − x0 )
2

= x02 + 2 x0 ∆x + ( ∆x ) − x0 − ∆x − x02 + x0
2

= ( ∆x ) + 2 x0 ∆x − ∆x
2

( ∆x ) + 2 x0 ∆x − ∆x = lim ∆x + 2 x − 1
∆y
f ' ( x0 ) = lim
= lim
(
)
0
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆x → 0
∆x
2

Nên

f ' ( x ) = lim ( ∆x + 2 x − 1)
∆x →0

Vậy
 x

f ( x) =  x
0


Câu 8. Cho hàm số
f ′ ( 0) = 1
(I)
.

khi x > 0
khi x = 0

. Xét hai mệnh đề sau:

(II) Hàm số khơng có đạo hàm tại x 0 = 0 .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi ∆x là số gia của đối số tại 0 sao cho ∆x > 0 .
f ( ∆x + 0 ) − f (0)
∆x
1
f ′ ( 0 ) = lim
= lim 2 = lim
= +∞
∆x →0
∆x → 0 ∆ x
∆x →0 ∆x ∆x
∆
x
Ta có

.
Nên hàm số khơng có đạo hàm tại 0.
 x3 − 2 x 2 + x + 1 − 1

khi x ≠ 1
f ( x) = 
x −1
0
khi x = 1
x0 = 1

Câu 9.
tại điểm
.
1
1
1
3
5
2
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
f ( x) − f (1)
x3 − 2 x 2 + x + 1 − 1
x
1
lim

= lim
= lim
=
2
3
2
x →1
x
→
1
x
→
1
x −1
( x − 1)
x − 2x + x +1 + 1 2
f '(1) =

Vậy

Câu 10.
Trang 4

1
2

.

khi x ≥ 1
2 x + 3

 3
2
f ( x) =  x + 2 x − 7 x + 4
khi x < 1

x −1


x0 = 1
tại

.

D. Cả hai đều đúng.

D.

1
4


Đạo hàm – ĐS> 11

0
4
A.
B.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
lim+ f ( x) = lim+ ( 2 x + 3) = 5

Ta có

x →1

x →1

x3 + 2 x 2 − 7 x + 4
= lim(
x 2 + 3 x − 4) = 0
x →1−
x −1

lim f ( x ) ≠ lim− f ( x ) ⇒

x →1+

Dẫn tới

D. Đáp án khác

x →1

lim− f ( x ) = lim−

x →1

5

C.

x →1

hàm số không liên tục tại

x0 = 1

x =1

nên hàm số khơng có đạo hàm tại

.

Câu 11. Cho hàm số
1
.
4
A.
Hướng dẫn giải:
Chọn B

Ta có

3 − 4 − x

4
f ( x) = 
1
 4

B.

f ( x ) − f ( 0)
lim
= lim
x →0
x→0
x−0

= lim

( 2−

x →0

)(

(

)

f ′ ( 0)
. Khi đó
1
.
32
C.

1
.
16

) = lim
x →0

(

x

4x 2 + 4 − x

2
Câu 12. Cho hàm số f ( x ) = x . Khi đó
A. Khơng tồn tại.
B. 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
f
f ′ ( 0 ) = lim
f ( x) = x 2 = x
∆x →0
Ta có
nên
∆x
∆x
lim
= −1 ≠ lim
=1
lim
−
+

∆x → 0 ∆x
Do ∆x →0 ∆x
nên ∆x →0

Trang 5

x=0

khi

là kết quả nào sau đây?
D. Không tồn tại.

3− 4 − x 1
−
4
4 = lim 2 − 4 − x
x →0
x
4x

4− x 2+ 4− x
4x 2 + 4 − x

khi x ≠ 0

f ′ ( 0)

)

= lim
x →0

(

1

4 2+ 4− x

)

là kết quả nào sau đây?
C. 1.

( ∆x + 0 ) − f (0) = lim
∆x

∆x → 0

∆x
∆x không tồn tại.

∆x
∆x .

=

1
.
16

D. 2.


Đạo hàm – ĐS> 11

Câu 13. Cho hàm số
trị của b là

 x2

f ( x) =  x 2
 − + bx − 6
 2

b = 3.

A.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
• f ( 2) = 4

B.

khi x ≤ 2
khi x > 2
. Để hàm số này có đạo hàm tại

b = 6.

C.

b = 1.

D.

x=2

b = −6.

• lim− f ( x ) = lim− x 2 = 4
x →2

x →2

 x2

• lim− f ( x ) = lim−  − + bx − 6 ÷ = 2b − 8
x →2
x →2
 2


f ( x)

f ( x)

x=2

có đạo hàm tại
khi và chỉ khi
liên tục tại
⇔ lim− f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ 2b − 8 = 4 ⇔ b = 6.
x→2

x=2

x→2

f ( x ) = x2 − 4x + 1
Câu 14. Số gia của hàm số
∆x ( ∆x + 2 x − 4 ) .
A.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có
∆y = f ( ∆x + x ) − f ( x )

ứng với x và
B.

∆x

là

∆x. ( 2 x − 4∆x ) .

2 x + ∆x.

C.

D.

2 x − 4∆x.

= ( ∆x + x ) − 4 ( ∆x + x ) + 1 − ( x 2 − 4 x + 1)
2

= ∆x 2 + 2∆x.x + x 2 − 4∆x − 4 x + 1 − x 2 + 4 x − 1 = ∆x 2 + 2∆x.x − 4∆x
= ∆x ( ∆x + 2 x − 4 )
Câu 15. Xét ba mệnh đề sau:

f ( x)

(1) Nếu hàm số
(2) Nếu hàm số

f ( x)

f ( x)

có đạo hàm tại điểm

thì

f ( x)

x = x0
liên tục tại điểm

thì

x = x0

(3) Nếu
gián đoạn tại
thì chắc chắn
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.
C. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Trang 6

f ( x)

x = x0

f ( x)

liên tục tại điểm đó.
có đạo hàm tại điểm đó.
khơng có đạo hàm tại điểm đó.

B. Có một câu đúng và hai câu sai.
D. Cả ba đều sai.

thì giá

Đạo hàm – ĐS> 11

f ( x)
(1) Nếu hàm số

có đạo hàm tại điểm

f ( x)

(2) Nếu hàm số
Phản ví dụ

f ( x) = x

Lấy hàm

thì

x = x0
liên tục tại điểm

f ( x)

thì

liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
có đạo hàm tại điểm đó.

f ( x)

D=¡

ta có
f ( x ) − f ( 0)

Nhưng ta có

nên hàm số
liên tục trên

x −0
x−0
=
lim
= lim+
=1
 xlim
+
→0 +
x
→
0
x
→
0
x−0
x−0
x−0


 lim f ( x ) − f ( 0 ) = lim x − 0 = lim − x − 0 = −1
 x →0−
x →0− x − 0
x →0 + x − 0
x−0

Nên hàm số khơng có đạo hàm tại
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

f ( x)

(3) Nếu

f ( x)

x = x0

x=0

.

.

f ( x)

x = x0
gián đoạn tại

¡

thì chắc chắn

f ( x)

khơng có đạo hàm tại điểm đó.

x = x0

f ( x)

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có
khơng liên tục tại
thì
có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 16. Xét hai câu sau:
x
y=
x=0
x +1
(1) Hàm số
liên tục tại
x
y=
x=0
x +1
(2) Hàm số
có đạo hàm tại
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.

B. Chỉ có (1) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B

x
x
=0
lim
⇒ lim
= f ( 0)
 x→0 x + 1
x
x →0 x + 1
y=
 f ( 0) = 0

x=0
x +1
Ta có :
. Vậy hàm số
liên tục tại
x
f ( x ) − f ( 0) x + 1 − 0
x
=
=
x−0
x

x ( x + 1)
x≠0
Ta có :
(với
)

Trang 7


Đạo hàm – ĐS> 11

Do đó :


f ( x ) − f ( 0)
x
1
= lim+
= lim+
=1
 xlim
+
x → 0 x ( x + 1)
x →0 x + 1
x−0
 →0

x
−1
 lim f ( x ) − f ( 0 ) = lim

= lim−
= −1
+
−
 x →0
x → 0 x ( x + 1)
x →0 x + 1
x
−
0


Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của
x
y=
x=0
x +1
Vậy hàm số
khơng có đạo hàm tại

f ( x ) − f ( 0)
x−0

khi

x→0

.

f ( x ) = x2 + x

Câu 17. Cho hàm số

. Xét hai câu sau:

< nguyenthuongnd 86@ gmail.com >

(1). Hàm số trên có đạo hàm tại

.

x=0

(2). Hàm số trên liên tục tại
.
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.
B. Chỉ có (2) đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
lim+ f ( x ) = lim+ x 2 + x = 0
+)

x →0

x →0

(

C. Cả hai đều đúng.

)

lim f ( x ) = lim− ( x − x ) = 0

.

2

+)

x → 0−

x →0

f ( 0) = 0

.

+)
.
⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 )
x →0

x →0

Mặt khác:

. Vậy hàm số liên tục tại

x=0

f ′ ( 0+ ) = lim+

f ( x ) − f ( 0)
x2 + x
= lim+
= lim+ ( x + 1) = 1
x →0
x→0
x−0
x

f ′ ( 0− ) = lim−

f ( x ) − f ( 0)
x −x
= lim−
= lim− ( x − 1) = −1
x →0
x →0
x−0
x

x →0

+)
x →0

+)
⇒ f ′ ( 0+ ) ≠ f ′ ( 0− )

.

.

2

.

x=0

. Vậy hàm số khơng có đạo hàm tại
.
2
 x + x khi x ≥ 1
f ( x) = 
a, b
ax + b khi x < 1
x =1
Câu 18. Tìm
để hàm số
có đạo hàm tại
.

Trang 8

D. Cả hai đều sai.

Đạo hàm – ĐS> 11
a = 23

b = −1

a = 3

b = −11

 a = 33

b = −31

A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
lim+ f ( x) = lim(
x 2 + x) = 2 lim f ( x ) = lim(ax + b) = a + b
+
Ta có:

x →1

x →1

;

x =1

x →1−

x →1−

x =1 ⇔ a +b = 2

Hàm có đạo hàm tại
thì hàm liên tục tại
2
f ( x) − f (1)
x + x−2
lim+
= lim+
= lim(
x + 2) = 3
x →1
x →1
x →1+
x −1
x −1
lim−

x →1

f ( x) − f (1)
ax + b − 2
ax − a
= lim−

= lim−
=a
x →1
x →1
x −1
x −1
x −1

Hàm có đạo hàm tại

a = 3
⇔
x = 1 b = −1
x

f ( x) =  2
 ax + b

2

Câu 19. Cho hàm số
hàm tại

x =1

D.

a = 3

b = −1

(Do

b = 2−a

(1)

)

.
khi x ≤ 1
khi

x >1

. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo

?

1
a = 1; b = − .
2

a=

A.
Hướng dẫn giải:
Chọn A

Hàm số liên tục tại

B.

x =1

1
1
;b = .
2
2

a+b =

nên Ta có

x =1

C.

1
1
a = ;b = − .
2
2

D.

1
a = 1; b = .
2

1
2

f ( x ) − f ( 1)
x −1

Hàm số có đạo hàm tại
nên giới hạn 2 bên của
bằng nhau và Ta có
f ( x ) − f ( 1)
ax + b − ( a.1 + b )
a ( x − 1)
lim+
= lim+
= lim+
= lim+ a = a
x →1
x
→
1
x
→
1
x →1
x −1
x −1
x −1

x2 1

−
f ( x ) − f ( 1)
2
2 = lim ( x + 1) ( x − 1) = lim ( x + 1) = 1
lim−
= lim−
x →1
x →1
x →1−
x −1
x − 1 x →1− 2 ( x − 1)
2
a = 1; b = −

Vậy

Trang 9

1
2


Đạo hàm – ĐS> 11

Câu20 .

1
 2
khi x ≠ 0
 x sin

f ( x) = 
x

khi x = 0
0

tại

x=0

.

1
2

0

A.
B.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
f ( x) − f (0)
1
lim
= lim x sin = 0
x →0
x →0
x
x
Ta có:

C.

2
3

D.

7

f '(0) = 0

Vậy

.

 sin 2 x

f ( x) =  x
x + x2


khi x > 0

Câu 21.
A. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn A

tại

B. 2

lim+ f ( x ) = lim+

x →0

x0 = 0

khi x ≤ 0

x →0

C. 3

sin 2 x
 sin x

= lim+ 
.sin x ÷ = 0
x →0  x
x


Ta có
lim− f ( x) = lim− x + x 2 = 0
x →0

x →0

lim+

f ( x) −
x

lim

f ( x) −
x

x →0

x → 0−

(

D. 5

)

nên hàm số liên tục tại
2
f (0)
sin x
= lim+
=1
x →0
x2
và
2
f (0)

x+x
= lim−
=1
x →0
x

x=0

f '(0) = 1

Vậy

.

f ( x) =

x2 + x + 1

Câu 22.
A. 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D

x

x0 = −1
tại
B. 0

.

C. 3

x0 = −1
Ta có hàm số liên tục tại
2
f ( x) − f ( −1) x + x + x + 1
=
x +1
x ( x + 1)

Trang 10

và

D. đáp án khác


Đạo hàm – ĐS> 11

f ( x ) − f ( −1)
x2 + 2x + 1
lim
= lim+
=0
x →−1+
x →−1
x +1
x( x + 1)
Nên

f ( x ) − f (−1)
x2 −1
= lim−
=2
x →−1 x ( x + 1)
x +1

lim−

x →−1

lim

x →−1+

Do đó

f ( x) − f ( −1)
f ( x) − f ( −1)
≠ lim−
x
→−
1
x +1
x +1

x0 = −1
Vậy hàm số khơng có đạo hàm tại điểm

.

x = x0

y = f ( x)

Nhận xét: Hàm số

có đạo hàm tại

thì phải liên tục tại điểm đó.


khi x ≥ 0
x +1
f ( x) =  2

2 x + ax + b khi x < 0
2

Câu 23. Tìm a,b để hàm số

a = 0, b = −1

a = 10, b = 11

A.

B.

có đạo hàm trên

¡

.
a = 20, b = 1

a = 0, b = 1

C.

D.

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta thấy với
đạo hàm tại

Ta có:

x≠0

x=0

f ( x)

thì

ln có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên

.

lim f ( x) = 1; lim− f ( x) = b ⇒ f ( x )
x →0

x → 0+

f '(0 + ) = lim+
x →0

Khi đó:

.
a = 0, b = 1

Trang 11

.

f ( x ) − f (0)
f ( x) − f (0)
= 0; f '(0 − ) = lim−
=a
x →0
x
x

⇒ f '(0+ ) = f '(0− ) ⇔ a = 0

Vậy

liên tục tại

x = 0 ⇔ b =1

là những giá trị cần tìm.

¡

khi và chỉ khi hàm có


Đạo hàm – ĐS> 11

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A – TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quy tắc tính đạo hàm
• (C)′ = 0
• (x)′ = 1
( x n ) ' = nx n −1 , n ∈ N*
•
( x )′ = 1
2 x
•
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số
'
'
'
• (u ± v)′ = u′ ± v′ ⇒ (u1 ± u2 ± ... ± un ) ' = u1 ± u2 ± ... ± un

• (uv)′ = u′v + v′u ⇒ (uvw) ' = u ' vw + uv ' w + uvw '

•

(ku)′ = ku′

v′
 u uv vu
1

ữ=
ữ = 2
2
v
v
v
ãv

.

3. Đạo hàm của hàm số hợp
y = f (u ( x)) = f (u )

Cho hàm số

u = u ( x)

với

. Khi đó

y 'x = y 'u .u ' x

4. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản
Đạo hàm
(c) ' = 0
α

( xα ) ' = α xα −1

( x ) ' = 21x
( x) '= n

1

n

B – BÀI TẬP

Trang 12

Hàm hợp

( u ) ' = αu

( x) ' = 1

n

x n −1

.

α −1

.u '

( u ) ' = 2u 'u
( u ) ' = n uu'
n

n

n −1


Đạo hàm – ĐS> 11

DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀN BẰNG CÔNG THỨC TẠI MỘT ĐIỂM HOẶC BẰNG
MTCT
f ( x)

f ( x ) = 2 x2 + 1

¡

f ′ ( −1)

Câu 1. Cho hàm số
xác định trên
bởi

. Giá trị
bằng:
6
3
2
−4
A. .
B. .
C.
.
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
f ' ( x ) = 4 x ⇒ f ′ ( −1) = −4
Ta có :
.
4
f ( x ) = − x + 4 x 3 − 3x 2 + 2 x + 1
f ' ( −1)
¡
Câu 2. Cho hàm số
xác định trên . Giá trị
bằng:
15
4
14
A. .
B. .
C. .
24

.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
f ' ( x ) = −4 x 3 + 12 x 2 − 6 x + 2
f ' ( −1) = 24
·Ta có:
. Nên
.

f ( x ) = ( x 2 + 1)

Câu 3. Đạo hàm của hàm số
−32
30
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
y′ = 4 x 2 + 1 x 2 + 1 ′ = 8x x 2 + 1

(

)(

)

(

)

4

tại điểm

x = −1

là:
−64
C.
.

D.

12

3

Ta có :
⇒ y ′ ( −1) = −64
.
f ( x) =
Câu 4. Với
1
A. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
f ( x) =

Ta có:

x2 − 2 x + 5
x −1

f ' ( −1)

. Thì
−3
B.
.

C.

−5

.

D.

4
x2 − 2 x + 5
4 ⇒ f '( x) = 1−
2
= x −1+
( x − 1) ⇒ f ' ( −1) = 0
x −1
x −1

f ( x)

Câu 5. Cho hàm số

Trang 13

bằng:

xác định trên

¡

f ( x) = x
bởi

.

f ′ ( 0)

2

. Giá trị

bằng

0

.

.

D.

Đạo hàm – ĐS> 11

0
A. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

B.

1
C. .

.

x2

Ta có :
⇒ f ′( x)
khơng xác định tại

x=0

x=0
khơng có đạo hàm tại
.
x
y=
.

4 − x 2 y′ ( 0 )
Câu 6. Cho hàm số
bằng:
1
1
y′ ( 0 ) =
y′ ( 0 ) =
2
3
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
−x
4 − x2 − x
4
4 − x2 =
y′ =
2
3
4 − x2
4 − x2

)

(

Ta có :

⇒ y′ ( 0 ) =

1
2

D. Không tồn tại.

x

f ′( x) =

⇒ f ′ ( 0)

2

.

Câu 7. Cho hàm số
1
12
A.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

xác định trên
1
−
12
B.

.

C.

y′ ( 0 ) = 2
.

D.

.

)

(

f ( x)

y′ ( 0 ) = 1

¡

f ′ ( −8 )

f ( x) = 3 x
bởi

y = 3 x ⇒ y 3 = x ⇒ 3 y 2 . y′ = 1 ⇒ y′ =

. Giá trị
1

6
C. .

1
1
=
2
3y
3 3x

( )

bằng:
−

D.

1
6

.

2

Ta có :
⇒ y ′ ( −8 ) =

1
12

.

f ( x)
Câu 8. Cho hàm số
1
2
A. .
Trang 14

f ( x) =

¡ \ { 1}
xác định trên
1
−
2
B.
.

bởi

C.

2x
x −1
−2

.

f ′ ( −1)

. Giá trị của

bằng:

D. Không tồn tại.


Đạo hàm – ĐS> 11
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2 ( x − 1) − 2 x
−2
1
f ′( x) =
=
2
2
( x − 1)
( x − 1) ⇒ f ′ ( −1) = − 2
Ta có :
.
 x2 + 1 − 1

( x ≠ 0)
f ( x) = 
x
0
f ( x)
f ′ ( 0)
( x = 0)


Câu 9. Cho hàm số
xác định bởi
. Giá trị
bằng:
1
0
2
1
A. .
B. .
C. .
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1
f ( x ) − f ( 0)
x 2 + 1 − 1 = lim
=
f ′ ( 0 ) = lim
= lim
2
2
x
→
0
x →0
x →0
x +1 +1 2

x−0
x
Ta có :
.
y=

x2 + x
x−2

x =1
Câu 10. Cho hàm số
đạo hàm của hàm số tại
là:
y′ ( 1) = −4
y′ ( 1) = −5
y′ ( 1) = −3
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
( 2 x + 1) ( x − 2 ) − ( x 2 + x ) x 2 − 4 x − 2
y′ =
=
2
2
( x − 2)

( x − 2)
Ta có :
⇒ y′ ( 1) = −5
.
x
y = f ( x) =
y '( 0)
4 − x2
Câu 11. Cho hàm số
. Tính
bằng:
1
1
y '( 0) =
y '( 0) =
y ' ( 0) = 1
2
3
A.
.
B.
.
C.
.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
'

Ta có:

(


x  x '. 4 − x − x. 4 − x
y ' = f '( x ) = 
÷=
2
 4− x 
4 − x2

Trang 15

2

2

)

'

y′ ( 1) = −2
D.

y ' ( 0) = 2
D.

x2

4 − x2 +

=

4− x

.

2

4 − x2


Đạo hàm – ĐS> 11
⇒ y ' ( 0) =

4 1
=
4
2

.
y=

Câu 12. Cho hàm số
y ' ( 1) = −4
A.
.
y ' ( 1) = −5
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Ta có:

x2 + x
x−2

x =1

, đạo hàm của hàm số tại
là:
y ' ( 1) = −3
y ' ( 1) = −2
B.
.
C.
.

6
x2 + x
6 ⇒ y ' = 1−
2
y=
= x +3+
( x − 2 ) ⇒ y ' ( 1) = 1 − 6 = −5
x−2
x−2

f ( x) = 3 x

Trang 16

.

f ′ ( 8)

Câu 13. Cho hàm số
. Giá trị
bằng:
1
1
1
6
12
6
A. .
B.
.
C. - .
Hướng dẫn giải::
x>0
Với
 1 ′ 1 −2
1 −2 1
1
f ′ ( x ) =  x 3 ÷ = x 3 ⇒ f ′ ( 8 ) = .8 3 = 2−2 =
3
3
12
  3
.

Đáp án B.
f ( x ) = x −1
x =1
Câu 14. Cho hàm số
. Đạo hàm của hàm số tại
là
1
0
2
1
A. .
B. .
C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
1
f '( x) =
2 x −1
Ta có
f ′ ( 2)
Câu 15. Cho hàm số y = f ( x) = 4 x + 1 . Khi đó
bằng:
2
1
1
.
.
.
3
6

3
B.
C.
A.
Hướng dẫn giải:
2
2
y′ =
f ′ ( 2) =
4 x + 1 nên
3.
Ta có:

D.

−

D.

1
12

.

D. Khơng tồn tại.

D. 2.


Đạo hàm – ĐS> 11

Chọn A.
f ( x) =

Câu 16. Cho hàm số
A. Không xác định.
Hướng dẫn giải:

Hàm số không xác định tại
Chọn A.

 0.
A.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
 f ′ ( 0 ) =

=

( 3x

2

( 6x + 2) 2

3x 2 + 2 x + 1
2 3 x3 + 2 x 2 + 1

 f ′ ( 0 )
. Giá trị

là:

1
.
2

B.

C. Không tồn tại.

(

+ 2 x + 1) ′ .2 3 x3 + 2 x 2 + 1 − ( 3 x 2 + 2 x + 1) . 2 3 x3 + 2 x 2 + 1

(

2 3x3 + 2 x 2 + 1

3 x 3 + 2 x 2 + 1 − ( 3x 2 + 2 x + 1)

(2

D. 0.

 1
1
f ′ − ÷
2 nên  2  khơng xác định

x=−

 f ( x ) =
Câu 17. Cho hàm số

 1
1− x
f ′ − ÷
2 x + 1 thì  2  có kết quả nào sau đây?
B. −3.
C. 3.

3x3 + 2 x 2 + 1

)

2

)

D.

)′

2

9x2 + 4 x
3x3 + 2 x 2 + 1 =

9 x 4 + 6 x3 − 9 x 2 + 8 x + 4

4 ( 3 x 3 + 2 x 2 + 1) 3x 3 + 2 x 2 + 1

.

4 1
 f ′ ( 0 ) = = .
8 2
f ( x) =

Câu 18. Cho
A. -14
Hướng dẫn giải:
Chọn A

1 2 3
+ +
x x 2 x3

f ' ( −1)

. Tính
B. 12

.
C. 13

/

Bước đầu tiên tính đạo hàm sử dụng cơng thức
/

−α
 1 
 α ÷ = α +1
x  x

1 4 9
1 2 3 
f '( x) =  + 2 + 3 ÷ = − 2 − 3 − 4
x 
x
x
x ⇒ f ' ( 1) = −1 − 4 − 9 = −14
x x

f ( x) =
Câu 19. Cho
Trang 17

1 .

1 1
+
+ x2
x
x

f ' ( 1)
. Tính

D. 10


Đạo hàm – ĐS> 11
1
2

A.
Hướng dẫn giải:
Chọn A

B. 1

/

Ta có

Vậy

1 1

f '( x) =  +
+ x2 ÷
x
x


C. 2

1 ( x)

=− −
x

2

D. 3

/

1
1
−
+ 2x
2
x 2x x

+ 2x = −

x

1
1
f ' ( 1) = −1 − + 2 =
2
2

f ( x ) = x5 + x3 − 2 x − 3

Câu 20. Cho
A. 4

Hướng dẫn giải:
Chọn A

f ' ( 1) + f ' ( −1) + 4 f ( 0 )
. Tính

B. 5

C. 6

D. 7

f ' ( x ) = ( x 5 + x3 − 2 x − 3) = 5 x 4 + 3 x 2 − 2
/

Ta có
f ' ( 1) + f ' ( −1) + 4 f ( 0 ) = (5 + 3 − 2) + (5 + 3 − 2) + 4.( −2) = 4
f ( x) =

Câu 21. Cho
1
4
A.

x

f ' ( 0)

4 − x2

. Tính

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải:
Chọn A

(


x  x' 4− x − x 4− x
f '( x) = 
÷=
2
2
 4− x 
4 − x2
2

/

(

f '( 0) =

Vậy

1
4

)

/

4 − x2 +
=

x2
4 − x2 =
2

( 4− x )

4

(4− x )
2

4 − x2

.
f ( x) =

Câu 22. Đạo hàm của hàm số
11
1

− .
.
3
5
A.
B.
Hướng dẫn giải:
Trang 18

)

2

−3 x + 4
2x +1

tại điểm

x = −1

C.

là

−11.

−

D.

11
.
9


Đạo hàm – ĐS> 11
Chọn C
f ′( x) =

−11

( 2 x + 1)

2

⇒ f ′ ( −1) =

−11
= −11
1

.
x+9
f ( x) =
+ 4x
x+3

Câu 23. Đạo hàm của hàm số
5
25

− .
.
8
16
A.
B.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
−6
2
f ′( x) =
+
2
4x
( x + 3)
f ′ ( 1) =

−6

( 1 + 3)

2

+

tại điểm

x =1

bằng:

5
.
8

C.

D.

11
.
8

2
5
=
4.1 8

.
f ( x) = k . x + x
3

Câu 24. Cho hàm số

k = 1.

A.
Hướng dẫn giải:
Chọn D

Ta có

. Với giá trị nào của

B.

9
k= .
2

C.

k

f ′(1) =

thì

k = −3.

3
2

?

D.

k = 3.

 13

′
1 1
1
f ′( x ) =  k .x + x ÷ = k . .
+
3
2
3 x
2 x



f ′(1) =

3
1
1 3
1
⇔ k + = ⇔ k =1⇔ k = 3
2
3
2 2
3

y=

1
1
− 2
x x

x=0
Câu 25. Đạo hàm của hàm số
tại điểm
là kết quả nào sau đây?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
D = ( 0; +∞ )
Tập xác định của hàm số là:
.
x = 0∉ D ⇒
x=0
không tồn tại đạo hàm tại
.
3
f ( x ) = 2 x + 1.
f ′( −1)
Câu 26. Cho hàm số
Giá trị
bằng:

Trang 19

Đạo hàm – ĐS> 11

3.
−2.
A. Câu .
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
f ( x) = 2 x3 + 1 ⇒ f ′( x) = 6 x 2 ⇒ f ′(−1) = 6.(−1) 2 = 6.
Có
f ′ ( 2)
y = 1 − x2
Câu 27. Cho hàm số
thì
là kết quả nào sau đây?
2
−2
−2
f ′(2) =
.
f ′(2) =
.
f ′(2) =
.
3
3
−3
A.

B.
C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
′
−2 x
−x
f ′ ( x ) = 1 − x2 =
=
2
2 1− x
1− x2
Ta có
f ′ ( 2)
Khơng tồn tại
.
2x
f ( x) =
f ′ ( 1)
x −1
Câu 28. Cho hàm số
. Giá trị
là
1
1
.
− .
2
2
A.

B.
C. – 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án D
−2
 2 x ′ 2 ( x − 1) − 2 x
f ′( x) = 
=
÷=
2
2
 x −1 
( x − 1)
( x − 1)
Ta có
f ′ ( 1)
Suy ra khơng tồn tại
.

(

D.

−6.

D. Không tồn tại.

)

f ( x ) = ( 3 x 2 − 1)

Câu 29. Cho hàm số
A. 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án D

2

D. Không tồn tại.

f ′ ( 1)
. Giá trị

là

B. 8.

C. -4.

D. 24.

f ′ ( x ) = 2 ( 3 x 2 − 1) ( 3 x 2 − 1) ′ = 12 x ( 3 x 2 − 1) ⇒ f ′ ( 1) = 24
Ta có
f ( x) =

Câu 30. Cho hàm số
1
.
2
A.

Trang 20

1
x

. Đạo hàm của
1
− .
2
B.

f

tại

x= 2

C.

là
1
.
2

−
D.

1
.
2

Đạo hàm – ĐS> 11
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
1
f ′( x) = − 2 ⇒ f ′
x

( 2 ) = − 12

4
3
2
Câu 31. Cho hàm số f ( x) = − x + 4 x − 3 x + 2 x + 1 . Giá trị f ′(1) bằng:
A. 14.
B. 24.
C. 15.
Hướng dẫn giải:
f ′( x) = −4 x3 + 12 x 2 − 6 x + 2 suy ra f ′(1) = 4
Ta có
Chọn D.

Trang 21

D. 4.


Đạo hàm – ĐS> 11

DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀN BẰNG CÔNG THỨC
y = 10

Câu 1. Đạo hàm của hàm số
là:
10.
−10.
0.
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
y = 10 ⇒ y′ = 0.
Có
f ( x ) = ax + b.
Câu 2. Cho hàm số
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
f ′( x) = −a.
f ′( x ) = −b.
f ′( x) = a.
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
f ( x ) = ax + b ⇒ f ′( x ) = a.
Có
f ( x ) = x2
Câu 3. Cho

và x0 ∈ ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.

f ′ ( x0 ) = 2 x0 .

B.

f ′ ( x0 ) = x02 .
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
f ( x ) = x2 ⇒ f ′ ( x ) = 2x

D.

D.

10 x.

f ′( x) = b.

D.

f ′ ( x0 ) = x0 .
f ′ ( x0 )

không tồn tại.

y = x 4 − 3x 2 + x + 1
Câu 4. Đạo hàm của hàm số

là
3
2
3
2
y ' = 4 x − 6 x + 1.
y ' = 4 x − 6 x + x.
A.
B.
y ' = 4 x3 − 3 x 2 + 1.

y ' = 4 x 3 − 3x 2 + x.
C.

D.

Hướng dẫn giải:
Đáp án A
Áp dụng công thức
4
3
Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = −2 x + 3 x − x + 2 bằng biểu thức nào sau đây?
3
2
3
2
3
2
−16 x 3 + 9 x − 1.
B. −8 x + 27 x − 1.

C. −8 x + 9 x − 1.
D. −18 x + 9 x − 1.
A.
Hướng dẫn giải:
( Cx n ) ′ = Cnx n−1 .
Công thức
Chọn C.
y = x4 − 3x2 + 2 x − 1
Câu 6.
y ' = 4 x3 − 6 x + 3
y ' = 4x4 − 6x + 2
y ' = 4 x3 − 3 x + 2
y ' = 4 x3 − 6 x + 2
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:

Trang 22


Đạo hàm – ĐS> 11
Chọn D
y ' = 4 x3 − 6 x + 2
Ta có:
y=−
Câu7 .

x3

+ 2 x2 + x − 1
3

y ' = −2 x + 4 x + 1

y ' = −3 x + 4 x + 1

2

2

A.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
y ' = − x2 + 4x + 1
Ta có

B.

C.

y = ( 1 − x3 )

y′ = −5 x 2 ( 1 − x

.

)

B.

y ' = − x2 + 4 x + 1
D.

5

Câu 8. Đạo hàm cấp một của hàm số
là:
3 4
2
3 5
y′ = 5 ( 1 − x )
y′ = −15 x ( 1 − x )
A.

1
y ' = − x2 + 4x + 1
3

y′ = −3 ( 1 − x3 )

. C.

4

.

D.

3 4

.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
y′ = 5 ( 1 − x3 ) ( 1 − x3 ) ′ = −15 x 2 ( 1 − x3 )
4

Ta có :

.

f ( x)

Câu 9. Cho hàm số
đúng:
f '( x) = a
A.
.
f ' ( x ) = −b
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

4

xác định trên

f ( x ) = ax + b

¡

bởi

, với

f ' ( x ) = −a
B.

là hai số thực đã cho. Chọn câu

f '( x) = b
.

( c)′ = 0

a, b

C.

.

D.

′
k = const
c = const x′ = 1 ( k .u ) = k .u ′
với
;
;
với

.

Sử dụng các công thức đạo hàm:
( x n ) ′ = n.x n−1 n
( u + v ) ′ = u ′ + v′
với là số nguyên dương ;
;
f ′ ( x ) = ( ax + b ) ′ = ax′ + b′ = a
Ta có
Câu 10. Cho hàm số

Trang 23

f ( x)

.
xác định trên

¡

f ( x ) = −2 x 2 + 3x
bởi

f ′( x)
. Hàm số có đạo hàm

bằng:


Đạo hàm – ĐS> 11

−4 x − 3
A.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

B.

−4 x + 3

.

C.

Sử dụng các công thức đạo hàm:
;
f ′ x = −2 x 2 + 3 x ′ = − 2 x 2 ′ + 3 x ' = − 4 x + 3

( )

(

)

.

D.

4x − 3

( x ) ′ = n.x ( u + v ) ′ = u′ + v′

( k .u ) ′ = k .u′

x′ = 1

4x + 3

n

n −1

;

;

.

( )

y = ( x − 2x
5

.

)

2 2

Câu 11. Đạo hàm của
y′ = 10 x9 − 28 x 6 + 16 x3 .
A.
y′ = 10 x9 + 16 x3 .
C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án A

là
y′ = 10 x9 − 14 x 6 + 16 x 3 .
B.
y′ = 7 x 6 − 6 x3 + 16 x.
D.

y′ = 2. ( x 5 − 2 x 2 ) ( x5 − 2 x 2 ) ′ = 2 ( x 5 − 2 x 2 ) ( 5 x 4 − 4 x ) = 10 x 9 − 28 x 6 + 16 x 3.
Ta có
y = (7 x − 5) 4
Câu 12. Đạo hàm của hàm số
bằng biểu thức nào sau đây
3
4(7 x − 5) .
−28(7 x − 5)3 .
28(7 x − 5)3 .
A.
B.
C.
A = y ''+ y = −3sin x − 2 cos x + 3sin x + 2cosx = 0

D.

Hướng dẫn giải:
Đáp án C
y′ = 4 ( 7 x − 5 )

Vì

3

( 7 x − 5 ) ′ = 28 ( 7 x − 5)

3

.

f ( x ) = −2 x 2 + 3x

f ′( x)

Câu 13. Cho hàm số
. Hàm số có đạo hàm
bằng
4 x − 3.
−4 x + 3.
4 x + 3.
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án B
f ( x ) = −2 x 2 + 3x ⇒ f ′ ( x ) = −4 x + 3

D.

−4 x − 3.

y = ( x3 − 2 x 2 ) 2016
Câu 14. Đạo hàm của hàm số
y′ = 2016( x3 − 2 x 2 )2015 .
A.
y′ = 2016( x3 − 2 x 2 )(3 x 2 − 4 x).
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Trang 24

là:
y′ = 2016( x3 − 2 x 2 )2015 (3 x 2 − 4 x).
B.
y′ = 2016( x 3 − 2 x 2 )(3 x 2 − 2 x ).
D.

.


Đạo hàm – ĐS> 11

Đặt

u = x3 − 2 x 2

2015
2
y = u 2016 , yu′ = 2016.u , u′x = 3x − 4 x.

thì

y ′x = yu′ .u ′x

Theo cơng thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có:
y′ = 2016.( x3 − 2 x 2 ) 2015 .(3 x 2 − 4 x).
Vậy:

y = ( x3 − 2 x 2 )

Câu 15. Đạo hàm của
6 x 5 − 20 x 4 + 16 x3
A.
.
5
4
3
6 x − 20 x + 4 x
C.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A

.

2

bằng :
B.

6 x 5 + 16 x 3

D.

.

6 x − 20 x − 16 x 3
5

4

.

( u )′
n

Cách 1: Áp dụng công thức
y′ = 2. ( x 3 − 2 x 2 ) . ( x3 − 2 x 2 ) ′ = 2 ( x3 − 2 x 2 ) . ( 3 x 2 − 4 x )
Ta có
= 6 x5 − 8 x 4 − 12 x 4 + 16 x 3 = 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3
Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :

y = ( x 3 − 2 x 2 ) = x 6 − 4 x5 + 4 x 4 ⇒ y ′ = 6 x 5 − 20 x 4 + 16 x 3
2

Ta có:

y=

Câu 16. Đạo hàm của hàm số
3
1
y′ = 3x5 + 2 +
.
x
x
A.
3
1
y′ = 3x5 − 2 +
.
x
x

1 6 3
x − +2 x
2
x

là:
y′ = 6 x5 +

3
1
+
.
2

x
2 x

y′ = 6 x5 −

3
1
+
.
2
x 2 x

B.

D.

C.

Hướng dẫn giải:
Chọn A
3
1
y′ = 3 x5 + 2 +
x
x
.

y = ( 3 x 2 − 1)

2

Câu 17. Đạo hàm của hàm số
là
2
2
2 ( 3x − 1)
6 ( 3x − 1)
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải::
Chọn D

Trang 25

y′

bằng.
C.

6 x ( 3 x 2 − 1)

12 x ( 3 x 2 − 1)

.

D.

.