Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 4 - TS. Đinh Đức Anh Vũ

dce

2011

Chương 4

Tín hiệu và hệ thống
trong miền tần số
BK
TP.HCM

©2011, TS. Đinh Đ ức Anh Vũ


dce

2011

Nội dung
• Phân tích tần số của t/h LTTG
• Phân tích tần số của t/h RRTG
• Các tính chất của BĐ Fourier cho các t/h RRTG
• Đặc trưng miền tần số của hệ LTI
• Bộ lựa chọn tần số

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

2

dce

2011

Tại sao miền tần số ?
Tần số
t/h hình SIN: F0

F

t/h hình SIN: F1

Tín hiệu

F

t/h hình SIN: F2
…

Công cụ phân tích tần số
- Chuỗi Fourier – tín hiệu tuần hoàn
- Biến đổi Fourier – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn
(J.B.J. Fourier: 1768 - 1830)

F
Tín hiệu X

F-1

F-1

Tín hiệu X

Công cụ tổng hợp tần số
- Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hoàn
- Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

3


dce

2011

Đáp ứng của hệ LTI với t/h sin
T/h hình Sin
Ae jω0 n

Biên độ:
Pha:
Tần số:

T/h hình Sin
Aαe j (ω0n +θ )

Co/giãn lượng α
Lệch lượng θ
Không đổi ω0

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

4


dce

2011

Phân tích h/t ở miền tần số
Tần số

Tín hiệu

t/h hình SIN: F0

F

t/h hình SIN: F1
t/h hình SIN: F2

Phổ
Phổ (spectrum): Nội dung tần số của tín hiệu
Phân tích phổ:

Xác định phổ của t/h dựa vào công cụ toán học
Ước lượng phổ: Xác định phổ của t/h dựa trên phép đo t/h
Tần số
x1(t): F0

F-1

x0(t): 0

x(t)

x-1(t):-F0

Phổ
Tổng hợp tần số: Xác định t/h ban đầu từ các phổ tần số
DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

5


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (1)
• Chuỗi Fourier
– x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số)

x(t ) =

+∞

∑c e

k = −∞

– Đặt

j 2πkF0t

Phương trình tổng hợp

k

xk (t ) = ck e j 2πkF0t

• xk(t) tuần hoàn với chu kỳ Tk=Tp/k (kF0: tần số)

x(t ) =

+∞

∑ x (t )

k = −∞

k

• Đóng góp cho x(t) một lượng ck (Tần số kF0 có đóng góp một lượng ck)

– Hệ số chuỗi Fourier

ck =
Đóng góp về biên độ

1
Tp

− j 2πkF0t
(
)
x
t
e
dt
∫

Phương trình phân tích

Tp

ck = ck e

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

jθ k

Đóng góp về pha

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

6


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (2)
•

Đ/k Dirichlet: bảo đảm chuỗi Fourier hội tụ về x(t) ∀t

– x(t) có số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ
– x(t) có số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ
– x(t) khả tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức

•

Đ/k Dirichlet chỉ là đ/k đủ

•

Nếu x(t) là t/h thực

∫ x(t ) dt < ∞

Tp

– T/h biểu diễn bằng chuỗi Fourier chưa chắc thỏa đ/k Dirichlet

– ck và c-k liên hợp phức
– Biểu diễn rút gọn của chuỗi F
– Do

(

ck = ck e j∞θ k

)

x(t ) = c0 + 2∑ ck cos(2πkF0t + θ k )
k =1

cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk

⇒ Cách biểu diễn khác của chuỗi F

∞

x(t ) = a0 + 2∑ (ak cos 2πkF0t − bk sin 2πkF0t )

Với

a0 = c0
ak = │ck│cosθk
bk = │ck│sinθk

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

k =1

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

7


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (3)
• Ví dụ 1: Phân tích tín hiệu sau ra các thành phần tần số
x(t) = 3Cos(100πt – π/3)
x(t )

= e

j (100πt − π3 )

= e

− π3 j

3
2

3
2

e

+ e
3
2

j (100πt )

− j (100πt − π3 )
π

+ e 3 e − j (100πt )
3
2

j

Đồng nhất với PT tổng hợp
3

c1 = 2 e
⇒
π
3 3j

c−1 = 2 e
− π3 j

Tín hiệu miền thời gian

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

F

50Hz đóng góp c1
-50Hz đóng góp c-1
Phổ tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

8


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (4)
|Ck|

Phổ biên độ

3/2

Tần số
k

Tín hiệu

F

50Hz (c1)

-1

0

1
|θk|
π/3

- 50Hz (c-1)

1
-1

Phổ pha
DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

k

0

-π/3
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

9

dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (5)
• Ví dụ 2: Cho biết t/h x(t) tuần hoàn, tần số cơ bản: 100Hz,
gồm các tần số và hệ số đóng góp của chúng như sau
100 Hz,
-100 Hz,
200 Hz,
-200Hz,

đóng góp: 2
đóng góp: 2
đóng góp: 5
đóng góp: 5

Xác định công thức của x(t)
Theo PT tổng hợp:
200Hz : 5

x(t )

= 2e j 2π 100t + 2e − j 2π 100t + 5e j 2π 200t + 5e − j 2π 200t
= 4 cos(200πt ) + 10 cos(400πt )

x(t)

100Hz : 2
-100Hz : 2

F-1

-200Hz : 5
DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

10


dce

2011

•

T/h LTTG và tuần hoàn (6)

Công suất trung bình

1
Px =
Tp

x * (t ) =

1
2
∫T | x(t ) | dt = Tp

p
+∞

*
x
(
t
)
x
(t )dt
∫

Px

Tp

k = −∞

– Do đó

•

∫

x(t ) dt =

Tp

2

+∞

* − j 2πF0 t 
ck e
 dt
∫T  x(t )k∑
= −∞

p

1
= ∑ ck* 
 T p
k = −∞
+∞

∑ ck*e− j 2πkF0t
1
Px =
Tp

1
=
Tp

∫ [x(t )e

− j 2πF0t

Tp


dt 


]

+∞

2
|
|
c
∑ k

k = −∞

Công thức quan hệ Parseval

Phổ mật độ công suất

– Công suất trung bình tổng cộng bằng tổng
các công suất trung bình của các t/h hài tần
– Giản đồ công suất theo tần số
– Phổ vạch: các vạch cách đều đoạn F0
– Hàm chẵn (do c-k = c*k đ/v t/h thực)
DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

11


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (7)
Ví dụ 1: tính công suất trungπ bình của x(t) = 3Cos(100πt
– π/3)
π

•

− j

– Theo VD trên, c1 = 32 e 3
và c−1 =
– Theo Parseval, Px = │c–1│2 + │c1│2 = 4.5

•

3
2

e3

j

Ví dụ 2: cho x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ Tp. Phân tích x(t) ra các

x(t)
thành phần tần số

Miền thời gian

 A,
x(t ) = 
0,

A

| t |≤ τ / 2
| t |> τ / 2

t
-Tp

Miền tần số

τ /2

ck

1
c0 =
Tp

Tp / 2

1

x(t )dt =
∫
Tp
−T p / 2

-τ/2

τ /2

Aτ
Adt =
∫
Tp
−τ / 2

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

0

τ/2

Tp

τ /2

− j 2πkF0t


1
A

e
− j 2πkF0t
=
Ae
dt = 

∫
T p −τ / 2
T p  − j 2πkF0  −τ / 2

A e jπkF0τ − e − jπkF0τ Aτ sin πkF0τ
=
=
2j
TpπkF0
Tp πkF0τ
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

12


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (8)

Minh họa ck ở miền tần số

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

ck =

Aτ sin πkF0τ
Tp πkF0τ

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

13


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (9)

Tổng hợp x(t) từ các thành phần hình Sin
Thông số:
Tp = 50s
τ = 0.2Tp
A =1

Tổng hợp từ
21 thành phần

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

14


dce

2011

T/h LTTG và tuần hoàn (10)
Tổng hợp từ
101 thành phần

Tổng hợp từ
2001 thành phần

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

15


dce

2011

T/h LTTG và không tuần hoàn (1)

• T/h tuần hoàn xp(t)

– Có được do lặp lại t/h x(t)

– Tuần hoàn chu kỳ cơ bản Tp
– Có phổ vạch: khoảng cách vạch F0=1/Tp

• T/h không tuần hoàn x(t)

– Có thể coi như xp(t) khi Tp → ∞
– Khoảng cách vạch F0 = 1/Tp → 0
⇒ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn là phổ liên tục

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

16


dce

2011

T/h LTTG và không tuần hoàn (2)
• Biến đổi Fourier
– x(t): LTTG, không tuần hoàn
+∞

X (F ) =

− j 2πFt
x
(

t
)
e
dt
∫

−∞

• Hệ số Fourier

1
ck =
X (kF0 ) = F0 X (kF0 )
Tp

+∞

x(t ) =

Phương trình phân tích
(biến đổi Fourier thuận)

j 2πFt
(
)
X
F
e
dF
∫

−∞

Phương trình tổng hợp
(biến đổi Fourier ngược)

– Đ/k Dirichlet
• x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn hữu hạn
• x(t) có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu
• x(t) khả tích phân tuyệt đối, nghĩa là

+∞

∫ x(t ) dt < ∞

−∞
DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

17


dce

2011

T/h LTTG và không tuần hoàn (3)
• Ví dụ: cho x(t) không tuần hoàn. Phân tích x(t) ra các thành
phần tần số

+∞
X (F ) =

| t |≤ τ / 2
| t |> τ / 2

 A,
x(t ) = 
0,

F

− j 2πFt
Ae
dt
∫

−∞

= Aτ

Miền thời gian

sin πFτ
πFτ

Miền tần số

x(t)
A

-τ/2

0

τ/2

t

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

18


dce

2011

T/h LTTG và không tuần hoàn (4)

Phân tích x(t) thành các thành phần tần số
Tần số

x(t)

F

…

Thông số:
A=1
τ = 10s

Phổ
DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

19


dce

2011

•

T/h LTTG và không tuần hoàn (5)

Năng lượng
+∞

E x = ∫ | x(t ) |2 dt =
−∞

*
x
(

t
)
x
(t )dt
∫

Ex

−∞

+∞

x* (t ) =
Do đó

− j 2πFt
*
X
(
F
)
e
dF
∫

−∞

+∞

Ex =

∫

 +∞ *

− j 2πFt
= ∫ x(t )  ∫ X ( F )e
dF  dt
−∞
 −∞

+∞
+∞


− j 2πFt
*
dt 
= ∫ X ( F )dF  ∫ x(t )e
−∞
 −∞

+∞

+∞

+∞

x(t ) dt =
2

−∞

∫

2

X ( F ) dF

Công thức quan hệ Parseval

−∞

– Bảo toàn năng lượng trong miền thời gian và miền tần số
– Phổ mật độ năng lượng
Sxx(F) = |X(F)|2
• Không chứa phổ pha → không được dùng để khôi phục lại x(t)

– Nếu x(t) là t/h thực



∠X (− F ) = −∠X ( F ) 
X (− F ) = X ( F )

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

S xx ( F ) = S xx (− F )
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

20


dce

2011

T/h LTTG và không tuần hoàn (6)
F/F-1

F/F-1

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

21


dce

2011

T/h RRTG và tuần hoàn (1)
• x(n) là t/h tuần hoàn chu kỳ N
x(n+N) = x(n) ∀n
• Chuỗi Fourier cho t/h RRTG có tối đa N thành phần tần số (do tầm tần số
[0, 2π] hoặc [-π, π])
• Chuỗi Fourier rời rạc (DTFS)
N −1

x ( n ) = ∑ ck e

j 2π

k
N

n

Phương trình tổng hợp

k =0

•

Hệ số Fourier

– Mô tả x(n) trong miền tần số (ck biểu diễn biên độ và pha của thành phần tần
số sk(n) = ej2πkn/N)

1
ck =
N

N −1

∑ x ( n )e

− j 2π

k
N

n

Phương trình phân tích

n =0

– ck+N = ck ⇒ Phổ của t/h tuần hoàn x(n) với chu kỳ N là một chuỗi tuần hoàn
cũng với chu kỳ N

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

22


dce

2011

T/h RRTG và tuần hoàn (2)
• Ví dụ: Xác định và vẽ phổ cho các t/h sau
a. x(n) = 3 cos( 2πn)

b. x(n) = 3 cos( π3 n)
c. x(n) : tuan hoan,1 chu ky : {1 0 2 1}

↑

a.

x ( n ) = 3 cos( 2πn )

ω 0 = 2π , tuc f 0 = 1 / 2
Phổ

f0 :
→
→

không hữu tỉ
x(n) không tuần hoàn
Phổ gồm chỉ một tần số đơn: f0

3
Tần số
ω0 = 2π

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

23


dce

2011

b.

T/h RRTG và tuần hoàn (3)
x( n) = 3 cos( π3 n)

x(n) = 3cos(2πn/6) ⇒ f0 = 1/6 ⇒ N = 6
⇒ x(n) tuần hoàn chu kỳ N=6
1 5
− j 2π k6 n
ck = ∑ x ( n ) e
Các hệ số đóng góp
6 n =0
Tuy nhiên

x ( n)

k = 0..5

1
= 3 cos(2π n)
6
3 j 2π 16 n 3 − j 2π 16 n
= e
+ e
2
2

So trùng với phương trình tổng hợp

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

c0 = c2 = c3 = c4 = 0
c1 = c5 =

3
2
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

24


dce

2011

b.

T/h RRTG và tuần hoàn (4)
x(n) = 3 cos( π3 n)

Tín hiệu trong miền thời gian: (3 chu kỳ)

Tín hiệu trong miền tần số

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

25